Что означает двоеточие в геометрии
Перейти к содержимому

Что означает двоеточие в геометрии

  • автор:

Знак деления

Знак деления — математический символ в виде двоеточия (∶), обелюса (÷) или косой черты (∕), используемый для обозначения оператора деления.

В большинстве стран используют двоеточие (∶), в англоязычных странах и на клавишах микрокалькуляторов — символ (÷). В связи с большими неудобствами и даже невозможностью введения полноценных дробей в компьютер во времена операционных систем без GUI использовали упрощённые знаки для формул, в том числе для знака деления использовали значок косой черты (⁄).

Связанные понятия

О́белюс, обел (÷) (лат. obelus — от греч. ὀβελός, тот же корень, что и обелиск) — небуквенный символ, внешне напоминающий объединение знаков минуса и двоеточия.

Надстрочный знак, ве́рхний и́ндекс, суперскри́пт (англ. super script) (типографика) — знак, записанный выше основной строки. Применяется, например, при записи математических и химических формул.

Знаки «плюс» и «минус» (+ и −) — математические символы, используемые для обозначения операций сложения и вычитания, а также положительных и отрицательных величин. Кроме того, они используются и для обозначения других понятий. Латинские термины plus и minus означают «более» и «менее» соответственно.

Машинопи́сный апостро́ф (apostrophe, apostrophe-quote) — условное название знака, встречающегося на клавиатуре большинства пишущих машин с латинским шрифтом и компьютерных дисплеев. По историческим причинам лишь машинописный апостроф имеется на компьютерных клавиатурах и в 7-битовой кодировке ASCII. В качестве типографского символа он является суррогатом апострофа, кавычек, знака ударения, штриха (знака производной в математике, знака угловых минут и т. п.) и др. Часто смешивается с машинописным.

Веду́щие нули́ в записи числа при помощи позиционной системы счисления — последовательность из одного или более нулей, занимающая старшие разряды. Понятие ведущих нулей возникает при использовании представлений чисел, имеющих фиксированное количество разрядов. В остальных случаях, как правило, ведущие нули не пишутся.

Неразры́вный пробе́л (англ. non-breaking space) — элемент компьютерной кодировки текстов, отображающийся внутри строки подобно обычному пробелу, но не позволяющий программам отображения и печати разорвать в этом месте строку. Используется для автоматизации вёрстки, правила которой предписывают избегать разрыва строк в известных случаях (большей частью для удобочитаемости).

Перенос и заём в арифметике — приёмы, применяемые в арифметических алгоритмах позиционных систем счисления при выполнении операций сложения и вычитания соответственно, а также (в составе тех же сложения и вычитания) и иных арифметичких операций. Перенос можно понимать как выделение умножения на основание системы счисления в отдельное слагаемое, с последующей перегруппировкой слагаемых.

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

Рекурсивное определение или индуктивное определение определяет сущность в терминах её самой (то есть рекурсивно), хотя и полезным способом. Для того, чтобы это было возможно, определение в любом данном случае должно быть хорошо-основанным, избегая бесконечной регрессии.

Знак равенства (=) в математике, в логике и других точных науках — символ, который пишется между двумя идентичными по своему значению выражениями.

Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям.

В математике, норма́льная фо́рма — простейший либо канонический вид, к которому объект приводится эквивалентными преобразованиями.

Нумерация Гёделя — это функция g, сопоставляющая каждому объекту некоторого формального языка её номер. С её помощью можно явно пронумеровать следующие объекты языка: переменные, предметные константы, функциональные символы, предикатные символы и формулы, построенные из них. Построение нумерации Гёделя для объектов теории называется арифметизацией теории — оно позволяет переводить высказывания, аксиомы, теоремы, теории в объекты арифметики. При этом требуется, чтобы нумерация g была эффективно вычислимой.

Математические обозначения («язык математики») — сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных математических идей и суждений в человеко-читаемой форме. Составляет (по своей сложности и разнообразию) значительную долю неречевых знаковых систем, применяемых человечеством. В данной статье описывается общепринятая международная система обозначений, хотя различные культуры прошлого имели свои собственные, и некоторые из них даже имеют ограниченное применение до сих пор.

Греческая система счисления, также известная как ионийская или новогреческая — непозиционная система счисления. Алфавитная запись чисел, в которой в качестве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита, а также некоторые буквы доклассической эпохи, такие как ϝ (дигамма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи). Одно из начертаний дигаммы внешне похоже на распространившуюся в византийскую эпоху лигатуру ϛ (ϲτ), поэтому распространилось заблуждение, что для записи числа 6 использовалась стигма.Эта.

Календарная дата — порядковый номер календарного дня, порядковый номер или наименование календарного месяца и порядковый номер календарного года (Федеральный закон Российской Федерации от 3 июня 2011 г. № 107-ФЗ «Об исчислении времени»).

Минускульные цифры (старостильные цифры, «строчные» цифры) — символы арабских цифр, по высоте близкие к строчным буквам и обладающие (кроме цифр 0, 1 и 2) верхними или нижними выносными элементами. Предназначены для использования вместе со строчными буквами в тексте для сплошного чтения.

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения.

Армянская система счисления — историческая система счисления, созданная с использованием маюскулов (заглавных букв) армянского алфавита.

Тео́рия поле́й — раздел математики, занимающийся изучением свойств полей, то есть структур, обобщающих свойства сложения, вычитания, умножения и деления чисел.

Перебор делителей (пробное деление) — алгоритм факторизации или тестирования простоты числа путём полного перебора всех возможных потенциальных делителей.

При́знак Паска́ля — математический метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Геометрическая алгебра — историческое построение алгебры во второй книге «Начал» Евкида, где операции определялись непосредственно для геометрических величин, а теоремы доказывались геометрическими построениями.

Признаковое описание объекта (англ. feature vector) — это вектор, который составлен из значений, соответствующих некоторому набору признаков для данного объекта. Значения признаков могут быть различного, не обязательно числового, типа. Является одним из самых распространённых в машинном обучении способов ввода данных.

Языком Дика (англ. Dyck language) над 2n буквами называется контекстно-свободный язык над алфавитом.
Синглетон — множество с единственным элементом. Например, множество является синглетоном.

Деление на ноль в математике — деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано а⁄0, где а — это делимое.

В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным.

Гиппокра́товы лу́ночки — серповидные фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, ограниченные дугами двух окружностей.

В математике степень простого числа — это простое число, возведённое в целую положительную степень.

В теории представлений групп Ли и алгебр Ли, фундаментальное представление — это неприводимое конечномерное представление полупростой группы Ли или алгебры Ли, старший вес которого является фундаментальным весом. Например, определяющий модуль классической группы Ли является фундаментальным представлением. Любое конечномерное неприводимое представление полупростой группы Ли или алгебры Ли полностью определяется своим старшим весом (теорема Картана) и может быть построено из фундаментальных представлений.

Функция принадлежности нечёткого множества — обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому множеству.

Десятичный разделитель — знак, используемый для разделения целой и дробной частей вещественного числа в форме десятичной дроби в системе десятичного счисления. Для дробей в иных системах счисления может использоваться термин разделитель целой и дробной частей числа. Иногда также могут употребляться термины десятичная точка и десятичная запятая.

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Направленное множество в математике — непустое множество A с заданным на нем рефлексивным транзитивным отношением ≤ (то есть предпорядком), обладающее дополнительным свойством: у любой пары элементов из A есть верхняя грань в A.

Группа Григорчука — первый пример конечнопорождённой группы промежуточного роста (то есть её рост быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального).

Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Ма́ркер списка, бу́ллит, бу́ллет, бу́лит (•) (англ. bullet) — типографский знак, используемый для выделения элементов списка, как показано на примере ниже.

Преобразование в математике — отображение (функция) множества в себя. Иногда (в особенности в математическом анализе и геометрии) преобразованиями называют отображения, переводящие некоторое множество в другое множество.

Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью.

Единичный отрезок — величина, принимаемая за единицу при геометрических построениях. При изображении декартовой системы координат, единичный отрезок обычно отмечается на каждой из осей.

Звёздочка, или астери́ск (греч. ἀστέρισκος) — типографский знак в виде небольшой, обычно пяти- или шестиконечной звёздочки (*), расположенной в строке или поднятой над строкой.

Полурешётка (англ. semilattice, до 1960-х годов также использовался термин полуструктура) в общей алгебре — полугруппа, бинарная операция в которой коммутативна и идемпотентна.

Группы сферической симметрии также называются точечными группами в трёхмерном пространстве, однако эта статья рассматривает только конечные симметрии.

Φ, φ (название: фи, греч. φι) — 21-я буква греческого алфавита. В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 500. От буквы «фи» произошла кириллическая буква Ф.

Поляра точки P относительно невырожденной кривой второго порядка — множество точек N, гармонически сопряжённых с точкой P относительно точек M1 и M2 пересечения кривой второго порядка секущими, проходящими через точку P.

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, все точки которого изолированы друг от друга в некотором смысле.

Список обозначений в физике включает обозначения понятий в физике из школьного и университетского курсов. Также включены и общие математические понятия и операции для того, чтобы сделать возможным полное прочтение физических формул.

Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором.

Квазиньютоновские методы — методы оптимизации, основанные на накоплении информации о кривизне целевой функции по наблюдениям за изменением градиента, чем принципиально отличаются от ньютоновских методов. Класс квазиньютоновских методов исключает явное формирование матрицы Гессе, заменяя её некоторым приближением.

Связное двоеточие

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2.

Произведение топологических пространств — это топологическое пространство, полученное, как множество, декартовым произведением исходных топологических пространств, и снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения или тихоновской топологией. Слово «естественная» здесь употребляется в смысле теории категорий и означает, что эта топология удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства, дополнение к которому открыто.

Конечное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором существует лишь конечное число точек.

Тополо́гия Зари́сского, или топология Зариского, — специальная топология, отражающая алгебраическую природу алгебраических многообразий. Названа в честь Оскара Зарисского и, начиная с 1950-х годов, занимает важное место в алгебраической геометрии.

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Непреры́вное отображе́ние (непрерывная функция) — отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.

Алгебраи́ческая тополо́гия (устаревшее название: комбинаторная топология) — раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т. д.), а также поведение этих объектов под действием различных топологических операций.

Конец топологического пространства — грубо говоря, компонента связности его «идеальной границы».
Ги́льбертово простра́нство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность.

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на.

Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю множеств.

Геометрия инцидентности — раздел классической геометрии, изучающий структуры инцидентности.

Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.

Псевдотопологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной предельной структурой определённого типа (так называемой псевдотопологией). Исторически понятие псевдотопологического пространства появилось как обобщение топологического пространства. Псевдотопологические пространства были введены в 1959 г. Фишером . Псевдотопологические пространства естественным образом возникают при построении дифференциального исчисления в пространствах без нормы. Топологические пространства можно рассматривать.

То́чка — абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект). Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих.

В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления.

Вполне регулярное пространство или тихоновское пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам отделимости T1 и T3½, то есть такое топологическое пространство, в котором все одноточечные множества замкнуты и для любого замкнутого множества и точки вне его существует непрерывная числовая функция, равная единице на множестве и нулю в точке (А. Н. Тихонов, 1930).

Определению топологического пространства удовлетворяет широкий класс множеств. В частности, оно включает пространства, топология которых мало похожа на топологию метрического пространства. Поэтому на топологические пространства часто налагают дополнительные требования, в частности, аксиомы отделимости.

Прямое или декартово произведение двух множеств — это множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов исходных множеств.

Плоскость Фано — конечная проективная плоскость порядка 2, имеющая наименьшее возможное число точек и прямых (7 точек и 7 прямых), с тремя точками на каждой прямой и с тремя прямыми, проходящими через каждую точку. Названа по имени итальянского математика Джино Фано.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Коммутативное кольцо — кольцо, в котором операция умножения коммутативна (обычно также подразумевается её ассоциативность и существование единицы). Изучением свойств коммутативных колец занимается коммутативная алгебра.

Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.

Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии, в котором изучаются понятия «непрерывности» и «предела» в наиболее общем смысле.

Экспоненциал — теоретико-категорный аналог множества функций в теории множеств. Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми.

Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами — раздел коммутативной алгебры, возникший в семидесятых годах прошлого века.

Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.

Функциональная отделимость — свойство пары подмножеств топологического пространства.

Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.

Конфигурация — это разбиение d-мерного линейного, аффинного или проективного пространства на связные открытые ячейки, порождённые конечным набором геометрических объектов. Иногда эти объекты имеют один и тот же тип, такой как гиперплоскости или сферы. Интерес к изучению конфигураций вызван успехами в вычислительной геометрии, где конфигурации были объединяющими структурами для многих задач. Успехи в изучении более сложных объектов, таких как алгебраические поверхности, отвечали нуждам приложений.

Теорема Мура о факторпространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.

Вложение Сегре используется в проективной геометрии для того, чтобы рассматривать прямое произведение двух проективных пространств как проективное многообразие. Названо в честь итальянского математика Беньямино Сегре.

Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.

Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Окольцованное пространство — топологическое пространство, каждому открытому множеству которого сопоставлено коммутативное кольцо «функций» на этом множестве. Окольцованные пространства, в частности, используются при определении схем.

Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов.

n-Мерная целочисленная решётка (или кубическая решётка), обозначается Zn, — это решётка в евклидовом пространстве Rn, точки которой являются n-кортежами целых чисел. Двумерная целочисленная решётка называется также квадратной решёткой. Zn является наиболее простым примером решётки корней. Целочисленная решётка является нечётной унимодулярной решёткой.

Симплициальный компле́кс, или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.

Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью.
Общая точка — точка топологического пространства, замыкание которой совпадает со всем пространством.

В алгебре (разделе математики), многие алгебраические структуры имеют тривиальные, то есть простейшие объекты. Как множества, они состоят из одного элемента, обозначаемого символом «0», а сам объект — как «», или просто «0» смотря по контексту (например, в точных последовательностях). Объекты, соответствующие тривиальным случаям, важны для унификации рассуждений: например, удобнее сказать, что «решения уравнения T x = 0 всегда составляют линейное пространство», нежели делать оговорку «… либо множество.

Научный форум dxdy

Двоеточие в формуле на языке теории множеств

Двоеточие в формуле на языке теории множеств

25.01.2019, 18:04

Последний раз редактировалось ktyz1992 25.01.2019, 18:05, всего редактировалось 1 раз.

Здравствуйте. Начал читать книгу по теории математической логике и теории множеств и наткнулся на обозначение ранее по тексту не введённое (а именно, двоеточие в формуле на стр. 12): \bigcup_<i<\in>I>A_=\i<\in>I:x<\in>A_\>» />. Читаю так: «Множеством <img decoding=«. Подскажите пожалуйста, как понимать это двоеточие.

Re: Двоеточие в формуле на языке теории множеств

25.01.2019, 18:07

Заслуженный участник

Как скобки, в которые заключен кусок формулы дальше (какой именно кусок — должно быть понятно из контекста; как правило — кусок до первой связки).

Формализация математики

В математике аксиомы определяют объекты и их свойства. Новые утверждения (теоремы) доказываются при помощи логических рассуждений. Подобная схема впервые проявилась в книгах Евклида, в частности, при описании геометрии.

Пятая аксиома о параллельных прямых (не имеющих общей точки) выглядела сложнее остальных аксиом: «через всякую точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна, параллельная ей прямая». На протяжении более двух тысячелетий длилась безрезультатная борьба за её доказательство (вывод из остальных аксиом). Пятая аксиома оказалась всё же независимой, однако попытки построить её доказательство привели к неевклидовым геометриям и более глубокому пониманию как структуры математического здания, так и возможных свойств физического пространства.

Впрочем, на самом деле «доказательств» было множество. Внешне они выглядели безупречными, однако при более внимательном рассмотрении выяснялось, что в них неявно используется то или иное очень «естественное» допущение. Например, что может быть «очевиднее» существования треугольников со сколь угодно большой площадью? Однако нет ничего более неочевидного, чем очевидные истины.

Со временем возникла потребность так формализовать теории и методы доказательств, чтобы ни какие незаметно привнесённые «очевидности» не портили её логической стройности. В частности, по-возможности необходимо отказаться от естественного языка с присущей ему неоднозначностью. Блестящим примером подобного подхода явились «Основания геометрии» и последующие работы Давида Гильберта.

Формализация геометрии

Геометрия на плоскости родилась из построений при помощи линейки и циркуля. С формальной точки зрения это теория о точках и прямых. Эти сущности или предметы не наделяются образными свойствами («не имеет ширины» и т.п). Просто рассматриваются объекты двух видов. Первые обозначаются латинскими буквами \(x\), \(y\). и называются точками, а вторые — греческими \(\alpha\), \(\beta\). и называются прямыми.

Предметы вступают в определённые отношения, которые в геометрии соответствуют словам «лежать», «параллельны», «между» и т.д. Чтобы избежать неоднозначности естественного языка, эти отношения записывают при помощи формальных обозначений. Например, фразы «точка \(x\) лежит на прямой \(\alpha\)» или «прямая \(\alpha\) проходит через точку \(x\)» кодируются функцией с именем «\(\in\)». Она имеет два аргумента. Первый — имя точки, а второй — имя прямой: \(\in(x,\alpha)\).

Для данных \(x\) и \(\alpha\) такая функция считается либо истинным утверждением (если \(x\) действительно принадлежит \(\alpha\)), либо ложным (в противном случае). Подобные логические функции, значения которых бинарны (истина/ложь) называются предикатами. Их аргументы — это предметные величины, т.е. сущности с которыми оперирует теория. В случае плоской геометрии это точки и прямые.

Предикаты с двумя аргументами часто записывают в операционном виде, когда имя предиката помещается между его аргументами как операция. Так, \(x \in \alpha\) — это то-же, что и \(\in(x,\alpha)\).

При помощи одних предикатов (отношений между объектами = логических функций = высказываний об объектах) можно определять другие. Для этого вводятся формальные замещения слов «И», «ИЛИ», «НЕ»:

\(A\,\&\, B\) : «И» (и \(A\), и \(B\), т.е. оба);
\(A \vee B\) : «ИЛИ» (или \(A\), или \(B\), или оба, т.е. хотя бы одно);
\(\neg A \) : «НЕ» (не \(A\); если \(A\) истинно, то \(\neg A\) — ложно).

Например, предикат от трёх сущностей: «прямая \(\alpha\) проходит через две точки \(x\) и \(y\)» можно определить следующим образом:

\[ L(x,\, y,\, \alpha)~~:$~(x \in \alpha) \, \& \, (y \in \alpha). \]

Двоеточие означает, что везде, где встречается \(L(x,\, y,\,\alpha)\), его необходимо заменить на строку \((x \in \alpha) \, \& \, (y \in \alpha)\).

Введём ещё два символа — заменители слов:

\(\forall \) : «любой» = «каждый» = «для всех» = квантор всеобщности
\(\exists\) : «существует по крайней мере один» = квантор существования

Теперь можно записывать различные геометрические утверждения. Например, фраза «для любых точек \(x\) и \(y\) существует по крайней мере одна прямая \(\alpha\), которая через них проходит» имеет вид: \[ \forall_x\, \forall_y\, \exists_\alpha\, L( x,\, y,\,\alpha), \] а предикат параллельности прямых \(\alpha\) и \(\beta\) определим как: \[ \alpha||\beta:~~~~\neg\exists_x\,(x\in\alpha~\&~x\in\beta). \]

Подобным образом записываются все аксиомы геометрии. Затем с ними проделываются формальные манипуляции для вывода новых формул. После перечисления аксиом и правил вывода, содержательная составляющая теории отходит на второй план. Построение доказательств и их проверка может быть проведена компьютером или марсианином, ничего не знающим о смысле букв \(x\), \(y\), \(\alpha\), \(\beta\), предиката \(x \in \alpha\), и ему подобных. Довнесение «очевидных» суждений, не заложенных в исходные аксиомы, при таком подходе уже практически невозможно.

Формализация арифметики

В каждой формальной теории фиксируется множество символов, при помощи которых записывают все утверждения. Так, для формулировки большинства фактов из теории натуральных чисел достаточно такого » алфавита«: \[ 0~~1~~x~~+~~\cdot~~=~~(~~)~~\neg~~\&~~\vee~~~\forall~~~\exists \] Символы «\(0\)», «\(1\)» являются предметными константами, обозначающими числа «ноль» и «один», «\(x\)» — переменная (произвольное число). Дополнительные переменные можно ввести при помощи повторений \(xx\), \(xxx\), и т.д., которые для краткости обозначают как \(x, y. \) или \(x_1, x_2. \).

Сложение «+» — это предметная функция двух переменных. Каждым двум числам она ставит в соответствие третье число: \(+(x,y)\) или \((x+y)\). При помощи константы «\(1\)» и функции «\(+\)» определяется множество других констант: \(2:~(1+1),~3:~((1+1)+1)\), и т.д. Аналогично, точка — это ещё одна функция \(x\cdot y\), имеющая смысл умножения чисел.

Символ » \(\neg~ \& ~\vee\)» (НЕ, И, ИЛИ) и кванторы — заменители слов «все» ( \(\forall\) ) и «существует» ( \(\exists\) ) — позволяют записывать произвольные формулы. Таким образом, математическое утверждение представляется строкой символов из данного алфавита.

Существуют простые способы (алгоритмы) отличить правильно построенную формулу: «\(\neg(x=y) \vee (x+1=y)\)» от неправильной: «\(\vee)\neg\&x\)». Правильность понимается в смысле «синтаксически верно», а не в смысле истинно! Так, компилятор распознает синтаксическую ошибку, сделанную при записи программы, хотя синтаксически верная программа может работать и не правильно, например, никогда не останавливаться.

Через предикат \(x=y\) определяются предикаты «не равно» и «меньше»:

\(x \neq y\) : \(\neg (x=y)\) ,
\(x

Аксиомы теории

Предметные функции и предикаты определяются при помощи аксиом — формул, которым они должны удовлетворять (быть истинными).

\(\diamond\) Сложение в арифметике определяют аксиомы: \[ \begin \forall_x\,\bigr[\,x+1\neq 0\,\bigr],&~~~~~&\forall_x\,\forall_y\,\bigr[\,x+1\,\neq\, y+1~~\vee~~x=y\,\bigr],\\[2mm] \forall_x\,\bigr[\,x+0 = x\,\bigr], &~~~~~~&\forall_x\,\forall_y\,\bigr[\,x+(y+1)=(x+y)+1\,\bigr],\\ \end \] а умножение: \[ \begin \forall_x\,\bigr[\,x\cdot 0 = 0\,\bigr], &~~~~~~~~~&\forall_x\,\forall_y\,\bigr[\,x\cdot(y+1)=(x\cdot y)+x\,\bigr].\\ \end \] Предикат, утверждающий что число \(x\) является простым, имеет вид: \[ \mathrm(x):~~~\neg\exists_y\exists_z\,\bigr[\,y\neq 1~\&~z\neq 1~\&~x=y\cdot z\bigr]. \] Это уже определение, использующее функцию умножения. \(\square\)

Кроме аксиом, задаются правила вывода — формальные способы получения одних формул из других. Такие правила сохраняют истинность выражений, так что из истинной формулы может быть выведена только истинная формула.

Свободные и связанные переменные

В формулах необходимо различать свободные и связанные предметные переменные. Связанная переменная стоит под действием квантора «\(\exists_x\) » или «\(\forall_x\)». Если рассматривается конечная предметная область, состоящая только из трех предметных констант \(x = \\), то: \[ \exists_x A(x) = A(1) \vee A(2) \vee A(3),~~~~~~~~~~~~~\forall_x A(x) = A(1) \,\&\, A(2) \,\&\, A(3). \] Первое выражение утверждает, что «существует такой \(x\), что некий предикат \(A(x)\) истинен». Это значит, что истинно или \(A(1)\), или \(A(2)\), или \(A(3)\) (хотя бы что-то одно из \(\\), которое и «существует»). Аналогично для квантора «любой» истинными должны быть и \(A(1)\), и \(A(2)\), и \(A(3)\), т.е. все. Таким образом, наличие в формуле переменной, связанной с квантором, аналогично индексу суммирования и выражение (после явной записи «суммы») от нее не зависит. Как и суммационный индекс, связанную переменную можно обозначить любой буквой, которой еще нет в выражении.

Формулы без свободных переменных считаются либо истинными, либо ложными. Например, утверждение об отсутствии самого большого простого числа: \[ \neg\exists_x\forall_y\,\bigr[\,\mathrm(x)~\&~\mathrm(y)~\&~y\leqslant x\,\bigr] \] истинно, а его отрицание (наибольшее число \(x\) существует) — ложно.

Прежде чем подробнее изучать введенные понятия, напомним основные факты из теории множеств.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *