Что такое логарифмическая шкала
Перейти к содержимому

Что такое логарифмическая шкала

  • автор:

Логарифмическая шкала

На шкале в логарифмическом масштабе длина отрезка шкалы пропорциональна логарифму отношения величин отмеченных на концах этого отрезка (в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах).

Наглядный пример употребления и полезности логарифмического масштаба — логарифмическая линейка которая позволяет проводить довольно сложные вычисления с точностью два-три десятичных знака.

Логарифмическая шкала исключительно удобна для отображения очень больших диапазонов значений величин. Кроме того, для многих органов чувств величина ощущения пропорциональна логарифму воздействия. Например, в музыке ноты, различающиеся по частоте в два раза, воспринимаются как одна и та же нота, а интервал между нотами в полтона соответствует отношению их частот 2 1/12 . Поэтому нотная шкала — логарифмическая. Кроме того, согласно закону Вебера — Фехнера, воспринимаемая громкость звука также пропорциональна логарифму его интенсивности (в частности, логарифму мощности колонок). Поэтому на амплитудно-частотных характеристиках звуковоспроизводящих устройств применяют логарифмический масштаб по обеим осям.

Примеры применения логарифмического масштаба:

  • Шкала Рихтера интенсивности землетрясений
  • Шкала экспозиций в фотографии
  • Звёздные величины — шкала яркости звезд
  • Шкала pH
  • Шкала интенсивности звука — децибелы
  • Шкала частоты звука — нотная шкала

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Логарифмическая фазовая частотная характеристика
  • Логарифмическая таблица

Смотреть что такое «Логарифмическая шкала» в других словарях:

  • ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА — (logarithmic scale) Шкала на диаграмме, где единицей измерения выступает значение логарифма переменной. Логарифмические шкалы используются прежде всего в диаграммах, в которых на одной, обычно горизонтальной шкале показано время, а на… … Экономический словарь
  • логарифмическая шкала — Шкала, построенная на основе систем логарифмов. Примечание Для построения логарифмических шкал обычно используются системы десятичных или натуральных логарифмов, а также система логарифмов с основанием два. [МИ 2365 96] Тематики метрология,… … Справочник технического переводчика
  • логарифмическая шкала — 2.2.7 логарифмическая шкала : Шкала измерений, получаемая логарифмическим преобразованием измеряемой величины. Источник: РМГ 83 2007: Государственная система обеспечения единства измерений. Шкалы измерений. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
  • логарифмическая шкала — logaritminė skalė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. logarithmische Skala, f rus. логарифмическая шкала, f pranc. échelle logarithmique, f … Automatikos terminų žodynas
  • логарифмическая шкала — logaritminė skalė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Logaritminiu masteliu sudaryta skalė. atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. logarithmische Skala, f rus. логарифмическая шкала, f pranc. échelle logarithmique, f … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
  • логарифмическая шкала — logaritminė skalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. Logarithmenskala, f rus. логарифмическая шкала, f pranc. échelle logarithmique, f … Fizikos terminų žodynas
  • Логарифмическая шкала разностей — Логарифмическая шкала измерений, получаемая при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, или интервала в шкале разностей, т.е. шкала, определяемая зависимостью L = log (Х/Х0), где Х текущее, a X0 принятое по… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
  • логарифмическая шкала разностей — Логарифмическая шкала измерений, получаемая при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, или интервала в шкале разностей, т.е. шкала, определяемая зависимостью L = log (X/X0), где Х текущее, а Х0 принятое по… … Справочник технического переводчика
  • логарифмическая шкала для частот — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN logarithmic frequency scale … Справочник технического переводчика
  • Логарифмическая шкала времени — вид логарифмической шкалы, которая показывает наиболее значимые исторические события на одной странице в десяти строках в логарифическом масштабе.[источник не указан 448 дней] События далёкого прошлого имеют меньшее влияние на … Википедия

Сравнение равномерной, логарифмической и степенной шкал

Выбор типа шкал для графика, всегда казалось мне интуитивно понятной задачей. Однако, когда мне нужно было объяснить, чем они отличаются, то я не смог привести понятных аргументов. В интернете хорошей информации мне не попалось. Поэтому решил разобраться, откуда растут ноги у разных видов шкал и как их следует применять. Я решил рассмотреть три самых распространенных вида шкал — равномерную, логарифмическую и степенную.

Равномерная шкала

Самый распространенный и привычный вид шкал. Также их называют арифметическими или линейными шкалами. На такой шкале значения равноудалены друг друг от друга.
Например значения 100 и 200, и 200 и 300 отстают друг от друга на одно и тоже расстояние.
Например, на этом графике по оси Y — равномерная шкала с шагом в 20 лет средней продолжительности жизни, а по оси X — равномерная шкала с шагом 10 календарных лет.

Логарифмическая шкала

Этот вид шкал тоже используется достаточно часто, особенно когда речь идёт о научных исследованиях. Она используется для отображения широко диапазона величин, когда значения, которые попадают на график отличаются на много порядков. То есть когда мы хотим одновременно видеть и значения 0.1, 0.2 и значения 100, 200 на одном графике. Зачастую это связанно с физикой процесса. Так, например, в музыке ноты, различающиеся по частоте в два раза это ноты на октаву выше (Ля и Ля следующей октавы). Чтобы показать частоты двух нот будет удобно использовать логарифмическую шкалу.

Но бывает, что в наборе данных просто содержаться большой разброс данных. Например, как на этом графике из Beautiful Evidence Тафти, где он использует логарифмические шкалы для сравнения массы тела и мозга различных существ. Так как бывают и крошечные рыбки и огромные киты, то на таком графике удобно использовать логарифмические шкалы.

Чаще всего используются логарифмические шкалы с основанием 10. Это значит, что одинаковые расстояние на графике откладываются между значениями отличающимися на один порядок. Но бывают логарифмические шкалы с другими основаниями. Например 2.

Степенная шкала

Это менее известный тип шкал. Он отличается от остальных тем, что расстояние между рисками, соответствует числам возведенным в степень. То есть получается, что расстояние между соседними рисками постоянно растёт или уменьшается. Такие шкалы удобны, когда мы хотим показать на одном графике более детально какую-то группу значений, но при это не хотим потерять из вида, значения которые, сильно отличаются от этой группы. Чем-то это похоже на логарифмическую шкалу, но здесь идёт акцент не на всем промежутке, а только на отдельной его части. Это хорошо видно на примере РИА новости, где они использовали степенные шкалы, чтобы сгладить выбросы по доходам отдельных депутатов.

Со степенной шкалой

С равномерной шкалой

То есть степенные шкалы используются когда данные смещены в ту или иную сторону.

Сравнение шкал

Чтобы удобно сравнить и понять как использовать ту или иную шкалу, я сделал небольшой инструмент. На нём можно выбрать разные наборы данных и понять, как они выглядят на разных шкалах.

Логарифмические шкалы

Физика

Логарифми́ческие шка́лы, шкалы измерений , получаемые путём логарифмического преобразования (логарифмирования) измеряемой величины . Для построения логарифмических шкал обычно используются десятичные или натуральные логарифмы , а также логарифмы по основанию два.

Шкалы разностей (интервалов), шкалы отношений и абсолютные шкалы допускают логарифмическое преобразование, часто применяемое на практике.

Операция логарифмирования может быть применена только к безразмерным (безразмерностным) величинам . Поэтому перед логарифмированием размерную величину преобразуют в безразмерную путём её деления на принятое по соглашению произвольное или опорное значение той же величины. Затем вычисляют логарифм полученной безразмерной величины. Логарифмировать значения порядковых величин, измеряемых по шкалам порядка бессмысленно.

Виды логарифмических шкал

В зависимости от типа шкалы, подвергнутой логарифмическому преобразованию, логарифмические шкалы подразделяют на два вида: логарифмические абсолютные шкалы и логарифмические шкалы разностей.

Логарифмические абсолютные шкалы – логарифмические шкалы, получаемые логарифмическим преобразованием L = log ⁡ X L=\log X L = lo g X безразмерной величины X X X , описываемой абсолютной шкалой. Другое наименование этой разновидности шкал – логарифмические шкалы с плавающим нулём. Логарифмическая единица (число 1 в логарифмической шкале) может иметь специальное наименование. Например, логарифмической единице при основании 10 присвоены наименования бел (обозначение Б) или декада (для интервалов частот).

Логически операция логарифмирования может быть прямо применена только к относительным величинам, измеряемым по абсолютным шкалам. Для некоторых относительных величин имеет смысл умножение (деление) их значений, которому соответствует сложение (вычитание) их логарифмов. Разности двух логарифмических значений величины соответствует отношение значений этих двух относительных величин, сумме – произведение.

Примеры логарифмических шкал с плавающим нулём:

  • шкалы коэффициентов усиления с единицей измерений децибел ;
  • шкалы коэффициентов ослабления ( экстинкции ) с единицей измерений децибел;
  • шкала оптической плотности .

Логарифмические шкалы разностей логарифмические шкалы с фиксированным нулём, получаемые при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, т. е. шкалы, определяемые зависимостью L = log ⁡ ( X / X 0 ) L=\log(X/X_0) L = lo g ( X / X 0 ​ ) , где X X X – измеряемое значение, а X 0 X_0 X 0 ​ – принятое по соглашению опорное значение преобразуемой величины. Выбор опорного значения X 0 X_0 X 0 ​ определяет условный нуль логарифмической шкалы разностей, наличие которого предопределяет особенности математических операций со значениями величин в таких шкалах, часто называемых уровнями величин.

Сложение уровней аддитивной величины неуместно, т. к. сумме логарифмов значений величины соответствует лишённое смысла произведение значений аддитивной величины. Интервалу значений уровня величины (результату вычитания уровней) в таких шкалах соответствует отношение соответствующих значений пропорциональной или аддитивной величины. На это отношение не влияет размер опорного значения шкалы.

Примеры логарифмических шкал с фиксированным нулём:

  • шкалы уровней радиоэлектронных сигналов (для мощности, напряжения и т. д. в качестве опорных значений принимают соответственно 1 мВт, 1 В, 1 мкВ и др.);
  • шкалы уровней звукового давления (в акустике принято опорное значение 20 мкПа);
  • шкала водородного показателя рН водных растворов (взятого с обратным знаком десятичного логарифма активности ионов водорода с опорным значением 1г‧моль/л);
  • шкала гармонической высоты музыкального тона ;
  • шкалы звёздных величин ;
  • шкалы измерений количества информации с логарифмическими единицами шеннон , хартли , нат.

Логарифмические единицы измерений

Логарифмическая единица шкалы с фиксированным нулём – равный числу 1 логарифм (по определённому основанию) значения отношения пропорциональной или аддитивной величины к установленному опорному значению этой величины. Логарифмическая единица шкалы с фиксированным нулём определяется числовым значением используемого основания логарифмов и выбранным опорным значением измеряемой величины.

В зависимости от использованных систем логарифмирования и особенностей логарифмируемых величин логарифмическим единицам присвоены различные наименования: бел, децибел, непер , шеннон, хартли, нат, октава , декада, савар , мел , фон и др.

Международным стандартом ( ГОСТ Р МЭК 60027-3-2016 ) установлены обозначения и правила использования логарифмических единиц измерений.

1. Для логарифмических величин уровней L L L при необходимости добавления информации о природе данной величины она должна указываться подстрочным индексом к обозначению величины (например: L I L_I L I ​ – уровень тока, L P L_P L P ​ – уровень мощности, L E L_E L E ​ – уровень напряжённости электрического поля, L p L_p L p ​ – уровень давления и т. д.). При полной форме записи численное значение и обозначение единицы исходной величины помещается в скобках за обозначением уровня логарифмической величины или в виде нижнего подстрочного индекса, например:

L I ( исх . 1 А ) = − 10 Нп или L I / 1 А = − 10 Нп , L_I =-10~\quad\quad L_>=-10~, L I ​ ( исх . 1 А ) = − 10 Нп или L I / 1 А ​ = − 10 Нп ,

L P ( исх . 1 мВт ) = 20 дБ или L P / 1 мВт = 20 дБ , L_P =20~\quad\quad L_>=20~, L P ​ ( исх . 1 мВт ) = 20 дБ или L P / 1 мВт ​ = 20 дБ ,

L E ( исх . 1 мкВ / м ) = 15 дБ или L E / 1 мкВ / м = 15 дБ , L_E <\rm~(исх.~1~мкВ/м)>=15~\quad\quad L_>=15~, L E ​ ( исх . 1 мкВ / м ) = 15 дБ или L E / 1 мкВ / м ​ = 15 дБ ,

L p ( исх . 20 мкПа ) = 40 дБ или L p / 20 мкПа = 40 дБ . L_p =40~\quad\quad L_

>=40~. L p ​ ( исх . 20 мкПа ) = 40 дБ или L p / 20 мкПа ​ = 40 дБ .

При краткой форме записи численное значение и обозначение единицы исходной величины указывают в скобках за значением уровня, например: –10 Нп (1 А), 20 дБ (1 мВт), 15 дБ (1 мкВ/м), 40 дБ (20 мкПа).

2. В акустических измерениях для значений уровней громкости звука , определённым по взвешенным шкалам А, В, С, D, используют аналогичную полную форму записи, например для уровня звука по взвешенной шкале А L A ( исх . 20 мкПа ) = 60 дБ L_~=60~ L A ​ ( исх . 20 мкПа ) = 60 дБ или L A = 60 дБ L_=60~ L A ​ = 60 дБ , а при краткой форме в скобках за единицей дБ записывают обозначение взвешенной шкалы, например 60 дБ (А).

3. На графиках, в столбцах таблиц и на отсчётных шкалах измерительных приборов обозначение численного значения исходной величины и единицы измерений рекомендуется записывать в виде дроби, например:

L A ( исх . 20 мкПа ) дБ \displaystyle~>>> дБ L A ​ ( исх . 20 мкПа ) ​ .

4. Единицы непер (Нп), бел (Б), децибел (дБ) не должны использоваться, когда не существует соотношения между рассматриваемыми величинами и силовыми или энергетическими величинами.

Необходимо различать применение единицы бел к относительным (безразмерным) и размерным величинам. Для относительной величины x x x : A = lg ⁡ x A=\lg x A = l g x , A = 1 A=1 A = 1 Б при x = 10 x=10 x = 10 . Увеличение уровня величины x x x на 1 дБ ( 1 дБ = 0 , ⁣ 1 Б = 0 , ⁣ 1 lg ⁡ 10 = lg ⁡ 1 0 0 , 1 ≈ lg ⁡ 1 , ⁣ 26 1~=0,\!1~=0,\!1\lg 10=\lg 10^\approx \lg 1,\!26 1 дБ = 0 , 1 Б = 0 , 1 l g 10 = l g 1 0 0 , 1 ≈ l g 1 , 26 ) означает увеличение величины x x x в 1,26 раза.

Для энергетических P P P и силовых F F F размерных величин, преобразуемых в условно безразмерные, определения бела отличаются с учётом их физической взаимосвязи. Уровень L L L энергетической величины P 2 P_2 P 2 ​ (мощность, интенсивность) относительно опорного значения P 1 P_1 P 1 ​ одноимённой величины: L = lg ⁡ P 2 / P 1 L=\lg P_2/P_1 L = l g P 2 ​ / P 1 ​ , L = 1 Б L=1~ L = 1 Б , если P 2 = 10 P 1 P_2=10P_1 P 2 ​ = 10 P 1 ​ . Уровень L L L силовой величины F 2 F_2 F 2 ​ (звуковое давление, механическое ускорение, электрическое напряжение) относительно опорного значения F 1 F_1 F 1 ​ определяется выражением L = 2 lg ⁡ F 2 / F 1 L=2\lg F_2/F_1 L = 2 l g F 2 ​ / F 1 ​ . Опорные значения P 1 P_1 P 1 ​ и F 1 F_1 F 1 ​ выбираются соответственно условиям конкретной области измерений, например по международному соглашению P 1 = 1 0 − 12 Вт P_1=10^~ P 1 ​ = 1 0 − 12 Вт для мощности звука, F 1 = 2 ⋅ 1 0 − 5 Па F_1=2\cdot10^~ F 1 ​ = 2 ⋅ 1 0 − 5 Па для звукового давления.

К уровням нельзя в общем случае применять ни одно из арифметических действий. Эта особенность обусловлена свойствами логарифмической системы счисления. Сложение или вычитание величин, выраженных в логарифмических единицах, когда это имеет физический смысл, математически сводится к задаче определения логарифма суммы или логарифма разности двух величин, логарифмы которых известны.

Суммарный уровень интенсивности L 1 + 2 L_ L 1 + 2 ​ не равен сумме L 1 L_1 L 1 ​ и L 2 L_2 L 2 ​ . Если энергетическая величина P 2 P_2 P 2 ​ увеличивается в 2 раза, то её уровень не удваивается, а возрастает только примерно на 3 дБ. Несколько парадоксальным выглядит сложение двух уровней, каждый из которых равен 0 дБ: суммарный уровень будет в этом случае равен 3 дБ для энергетических и 6 дБ для силовых величин. Однако для относительных величин сложение равных 0 дБ значений даёт суммарное нулевое значение.

Опубликовано 18 ноября 2022 г. в 11:33 (GMT+3). Последнее обновление 18 ноября 2022 г. в 11:33 (GMT+3). Связаться с редакцией

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА

(logarithmic scale) Шкала на диаграмме, где единицей измерения выступает значение логарифма переменной. Логарифмические шкалы используются прежде всего в диаграммах, в которых на одной, обычно горизонтальной шкале показано время, а на вертикальной оси – некая реальная или номинальная переменная, например ВВП или уровень цен. Угол наклона кривой в подобной диаграмме показывает пропорциональные темпы роста переменной, а постоянная пропорциональная тенденция роста представлена в виде прямой линии. Если на обеих осях используются логарифмические шкалы, то угол наклона кривой пропорционален ее эластичности. Ни нуль, ни отрицательные числа не могут быть показаны на логарифмической шкале. На обоих графиках (рис. 19) горизонтальные оси показывают время, а вертикальные оси обозначают реальный ВВП воображаемой страны. Рис. 19: Логарифмические шкалы На графике 1 используется натуральная шкала; на графике 2 используется логарифмическая шкала. Предполагается, что в этой стране происходят сменяющие друг друга экономические подъемы, каждый из которых продолжается пять лет, и кризисы, каждый из которых продолжается два года. График 1 позволяет апологетам правительства утверждать, что его политика экономического роста имеет успех, поскольку экономический рост в каждом последующем цикле увеличивается. В то же время он позволяет критикам правительства утверждать, что экономические циклы становятся все более тяжелыми, демонстрирующими некомпетентность политики стабилизации правительства. График 2 показывает ошибочность утверждений обеих сторон. В действительности экономический рост замедляется, но колебания в рамках цикла также становятся менее серьезными. (Цифры были подобраны таким образом, чтобы во время подъемов экономика последовательно увеличивалась на 100, 90, 80% и т.д. и во время кризисов последовательно сокращалась на 10, 9, 8% и т.д.)

Экономика. Толковый словарь. — М.: «ИНФРА-М», Издательство «Весь Мир». Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М. . 2000 .

Экономический словарь . 2000 .

  • ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
  • ЛОГАРИФМИЧЕСКИ-НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *