Параллелограмм это ничто иное как четырехугольник
Перейти к содержимому

Параллелограмм это ничто иное как четырехугольник

  • автор:

Конструкции «не кто иной», «не что иное»

Конструкции не кто иной, как и не что иное, как, в которых кто и что могут стоять в косвенных падежах без предлогов и с предлогами (не кого иного, как; не чему иному, как; не у кого иного, как; не с чем иным, как и т. д.), следует отличать от конструкций, в которые входят местоимения никто и ничто (тоже в разных падежах без предлогов и с предлогами). Ср. попарно следующие примеры: 1) Это не кто иной, как его родной брат. — Никто иной, кроме его родного брата, не может этого знать. 2) Это не что иное, как самый наглый обман. — Ничто иное его не интересует. 3) Он встретился не с кем иным, как с президентом страны. — Ни с кем иным, кроме президента, он не согласен встречаться. 4) Он согласился не на что иное, как на руководство всей работой. — Ни на что иное, кроме руководящей должности, он не согласится. В каждой паре первое предложение утвердительное, второе — отрицательное.

Местоименные сочетания никто иной (другой) и ничто иное (другое) связаны не с противопоставлением, а с усилением и, как правило, употребляются в отрицательных предложениях, например: Никто иной не мог бы лучше этого сделать; Ничто другое нас бы не устроило; также: Ничем иным, как разным уровнем производства, нельзя объяснить такое положение. В предложениях без отрицания рассматриваемая конструкция носит присоединительный характер, усиливая сказанное в первой части предложения, например: Разрешение может дать только руководитель учреждения, и никто иной. В обоих случаях ни употребляется в качестве приставки, т. е. пишется слитно с местоимением.

Запятая обычно ставится в сочетании не иначе, как только, например: У него азартная страсть ко всякого рода талантам, и каждый талант он видит не иначе, как только в увеличенном виде. А. Чехов, Письма. Шлюпка могла пойти куда-нибудь не иначе, как только с разрешения самого Рожественского. А. Новиков-Прибой, Цусима.
  1. Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В.В. Лопатина //Правописание безударных гласных, §78
  2. Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию/Д.Э. Розенталь, Е.В. Джанджакова, Н.П. Кабанова//11. Правописание местоимений, §47. Отрицательные местоимения
  3. http://new.gramota.ru/spravka/punctum?layout=item&id=58_470

© ООО «Орфограмматика», 2012—2024

Параллелограмм это ничто иное как четырехугольник

  • slide3

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных .

Автор
Пиголкина Татьяна Сергеевна 464 статьи

§ 3 Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (рис. 16). Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник. В разных учебниках различные определения выпуклого четырёхугольника, приведём два равносильных определения:

1) Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

2) Четырёхугольник называется выпуклым, если его диагонали пересекаются.

Равносильность доказывается на основе свойства полуплоскостей.

Легко доказывается теорема, что сумма углов выпуклого четырёхугольника равна `360^@` (повторите по учебнику).

Рис. 16

  1. Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна `180^@`
  2. Противолежащие углы параллелограмма равны.
  3. Противолежащие стороны параллелограмма равны.
  4. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  1. Если в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны, то это параллелограмм.
  2. Если в четырёхугольнике противолежащие углы попарно равны, то это параллелограмм.
  3. Если в четырёхугольнике противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм.
  4. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Доказательство

Докажем, например, признак 3.

Пусть в четырёхугольнике `ABCD` стороны удовлетворяют условиям `AB=DC` и `BC=AD` (рис. 17). Отметим соответственно равные стороны и проведём диагональ `AC`. `Delta ABC= Delta CDA` (`AB=CD`, `BC=AD`, `AC` — общая сторона). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: против `AB` — угол `1`, против `CD` — угол `2`, `/_ 1 = /_ 2` (накрест лежащие углы) ⇒ B C ∥ A D \Rightarrow BC\parallel AD . Против `BC` — угол `3`, против `AD` — угол `4`, `/_ 3 = /_ 4 =>` A B ∥ C D AB\parallel CD .

Противолежащие стороны попарно параллельны, значит параллелограмм по определению.

Свойства параллелограмма используются для доказательства замечательной теоремы о высотах треугольника.

Три высоты или три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство

Через каждую вершину треугольника `ABC` (рис. 18) проведём прямую, параллельную противолежащей вершине стороне. Получаем треугольник `A_1 B_1 C_1`, к сторонам которого перпендикулярны высоты данного (например, если `AH _|_ BC`, то из B C ∥ B 1 C 1 BC\parallel B_1C_1 , следует `AH_|_B_1 C_1`).

По построению A B ∥ C A 1 AB\parallel CA_1 , A C ∥ B A 1 AC\parallel BA_1 , ⇒ A B A 1 C \Rightarrow ABA_1C — параллелограмм. Также показывается, что `AC_1BC` — параллелограмм. По свойству параллелограмма `BA_1 = AC`, `C_1 B = AC => C_1 B = BA_1`, т. е. точка `B` — середина стороны `A_1 C_1`. Повторяя рассуждение, устанавливаем, что точка `A` — середина стороны `B_1 C_1` и точка `C` — середина стороны `A_1 B_1`.

Прямые, на которых лежат высоты `AH`, `BF` и `CK` треугольника `ABC`, перпендикулярны к сторонам треугольника `A_1 B_1 C_1` и проходят через их середины, а три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (определяют центр окружности, описанной около треугольника `A_1 B_1 C_1`). Значит три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке.

Если треугольник остроугольный, то пересекаются сами высоты.

Если в треугольнике `ABC` углы `A` и `C` — острые (рис. 19), то вершина `B` лежит в полосе между двумя параллельными прямыми `l_1` и `l_2`, которые проходят через точки `A` и `C` и перпендикулярны `AC`. Отсюда следует, что основание `F` её высоты `BF` лежит на стороне `AC`. Если угол `B` — также острый (т. е. треугольник `ABC` — остроугольный), то основание `H` высоты `AH` тоже лежит на стороне `BC` (рассуждения те же самые). Точки `B` и `F` лежат в разных полуплоскостях, образованных прямой `AH`, значит отрезок `BF` пересекает прямую `AH`. Точка пересечения `O` лежит на `BF`, т. е. лежит внутри треугольника, и, значит, на отрезке `AH`. По теореме третья высота пройдёт через ту же точку `O`.

Биссектриса угла `A` параллелограмма `ABCD` пересекает сторону `CD` в точке `K`, а продолжение стороны `BC` в точке `F` (рис. 20). Найти стороны параллелограмма, если `BF = 16` и `CK =5`.

`AF` — биссектриса угла `BAD`, ∠ 1 = ∠ 2 \underline . Прямые `AD` и `BF` — параллельны, поэтому ∠ 3 = ∠ 1 \angle3=\angle1 (как накрест лежащие), тогда `/_2 = /_3`, треугольник `ABF` -равнобедренный, `AB=BF`. Значит `AB =16`.

По свойству параллелограмма `CD=AB`, значит `CD=16` и `DK=11`. Далее, из A B ∥ C D AB\parallel CD следует `/_2 = /_4` (накрест лежащие), значит `/_4=/_1`, треугольник `ADK` — равнобедренный, `AD=DK=11`.

Дана окружность с диаметром `AB` и точка `M`, лежащая внутри окружности, но не на диаметре (рис. 21). С помощью односторонней линейки опустить из точки `M` перпендикуляр на прямую `AB`.

( – уменьшенная копия односторонней линейки).

Что мы можем делать с помощью односторонней линейки? Проводить прямые! Вот и проведём через точки `A` и `M` прямую до пересечения с окружностью в точке `A_1`, затем через точки `B` и `M` проведём прямую до пересечения с окружностью в точке `B_1` (рис. 21).

Далее, проведём прямую через точки `A` и `B_1` и прямую через точки `B` и `A_1` — получим в их пересечении точку `C`. Прямая `CM` — искомая. В треугольнике `ACB` высоты `A A_1` и `B B_1` (углы `A A_1 C` и `B B_1 C` — прямые, опираются на диаметр) пересекаются в точке `M`. Точка `M` — точка пересечение высот треугольника `ACB`, значит `C C_1 _|_ AB`.

Если точка `M` лежит вне окружности и не на прямой `AB`, решение задачи усложняется, но немного (попробуйте сами).

Параллелограмм, в котором все углы прямые, называется прямоугольником.

Верна теорема: диагонали прямоугольника равны.

Верна и обратная теорема — признак прямоугольника: если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Сформулируйте сами две теоремы о диагоналях ромба и обратные к ним.

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. Квадрат — правильный четырёхугольник.

Через середину диагонали `BD` прямоугольника `ABCD` проведена перпендикулярно этой диагонали прямая, пересекающая сторону `BC` в точке `F` и сторону `AD` в точке `E`. Известно, что `EF = ED = 8`. Найти большую сторону прямоугольника.

Середина диагонали `BD` — точка `O`, — есть центр прямоугольника, `BO=OD` (рис. 22). Отрезок `EF` делится точкой `O` пополам, действительно, `Delta BOF = Delta DOE` (углы при точке `O` равны как вертикальные, `/_DBF = /_BDE` (как накрест лежащие при параллельных прямых `BC` и `AD`) и `BO=OD`; треугольники равны по второму признаку равенства).

Значит `FO=EO=1/2 EF=4` и `BF=ED=8`.

Треугольник `BOF` — прямоугольный, гипотенуза `BF=8`, катет `OF=4`, значит `/_OBF =30^@`.

Диагонали прямоугольника равны, равны и их половины, `BO=OC`. Треугольник `BOC` — равнобедренный, `/_BCO=30^@`, `/_CFO=180^@ — /_OFB =180^@ — 60^@ = 120^@`,

следовательно `/_FOC = 30^@`. Треугольник `OFC` — равнобедренный, `FC=OF=4`, значит `BC=12`.

Окружность, построенная как на диаметре, на стороне `AD` параллелограмма `ABCD` касается стороны `BC` и проходит через середину стороны `AB` (рис. 23). Найти углы параллелограмма.

Пусть `O` — центр окружности и `R` — её радиус. Если `P` — точка касания стороны `BC`, то `OP_|_ BC`, а из A D ∥ B C AD\parallel BC следует `OP_|_AD`. Это означает, что расстояние между параллельными прямыми `AD` и `BC` равно `R`.

Точка `M` лежит на окружности, `OM=R`. Точка `M` — середина стороны `AB`. Если `MF _|_ AD` и `MK _|_ BC`, то точки `K`, `M` и `F` лежат на одной прямой (т. к. A D ∥ B C AD\parallel BC ) и поэтому `KF=PO=R`. Прямоугольные треугольники `AMF` и `BMK` равны (по гипотенузе и острому углу) и `MF=1/2 KF = 1/2 R`.

Из треугольника `OMF`, в котором `MF_|_OF`, `OM=R` и `MF= R/2` следует, что `/_MOF = 30^@`.

Далее заметим, что треугольник `AOM` равнобедренный `(OA=OM=R)`,

угол при вершине `O` равен `30^@`, следовательно `/_OAM = /_ AMO = 75^@`.

Итак, острый угол `A` параллелограмма равен `75^@`, а тупой угол `B` равен `105^@`.

Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны. Докажите, что он параллелограмм.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны друг другу. Итак, АВСД — четырёхугольник, в котором АВ=СД, а ВС=АД. Требуется доказать, что АВ параллельна СД и ВС параллельна АД. Проведём диагональ АС. Она разбила наш четырёхугольник на два треугольника — АВС и АДС. Легко увидеть, что все три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого ( АС — сторона общая, АВ=СД и ВС=АД по условию задачи) . Таким образом, треугольник АВС равен треугольнику АДС по признаку равенства трёх сторон. Из равенства треугольников следует равенство углов САД и ВСА. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и АД и секущей АС. Следовательно, прямые ВС и АД параллельны.
Проведём теперь вторую диагональ в нашем четырёхугольнике — ВД. Дальше всё повторяется в точности: прямая дала нам два треугольника — АВД и СВД, эти треугольники так же равны между собой по признаку равенства трёх сторон, следовательно, угол АВД равен углу СДВ. Эти углы так же являются внутренними накрест лежащими при прямых АВ и СД и секущей ВД. Значит, ВС параллельна АД.
Итак, что имеем? ВС параллельна АД, АВ параллельна СД. Значит, наш четырёхугольник есть ничто иное, как параллелограмм по своему определению.

Остальные ответы

посмотрите здесь — может что-то свое в голове вспомнится. или сложится.. .

Параллелограмм

Подробнее

Подробнее

Подробнее

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и \(AB = CD\) .

Проведём диагональ \(AC\) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: \(ABC\) и \(CDA\) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ( \(AC\) – общая сторона, \(AB = CD\) по условию, \(\angle 1 = \angle 2\) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) секущей \(AC\) ), поэтому \(\angle 3 = \angle 4\) . Но углы \(3\) и \(4\) накрест лежащие при пересечении прямых \(AD\) и \(BC\) секущей \(AC\) , следовательно, \(AD\parallel BC\) . Таким образом, в четырехугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Проведём диагональ \(AC\) данного четырехугольника \(ABCD\) , разделяющую его на треугольники \(ABC\) и \(CDA\) .

Эти треугольники равны по трем сторонам ( \(AC\) – общая, \(AB = CD\) и \(BC = DA\) по условию), поэтому \(\angle 1 = \angle 2\) – накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) . Отсюда следует, что \(AB\parallel CD\) . Так как \(AB = CD\) и \(AB\parallel CD\) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\) , в котором диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам.

Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по первому признаку равенства треугольников ( \(AO = OC\) , \(BO = OD\) по условию, \(\angle AOB = \angle COD\) как вертикальные углы), поэтому \(AB = CD\) и \(\angle 1 = \angle 2\) . Из равенства углов \(1\) и \(2\) (накрест лежащие при \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\) ) следует, что \(AB\parallel CD\) .

Итак, в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

1) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AE\) – биссектриса угла \(BAD\) .

Углы \(1\) и \(2\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AE\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как \(AE\) – биссектриса. В итоге \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2\) , откуда следует, что треугольник \(ABE\) – равнобедренный.

2) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы углов \(BAD\) и \(ABC\) соответственно.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^\) , тогда \(\angle DAB + \angle ABC = 180^\) .

Так как \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы, то \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^\) , откуда \(\angle AOB = 180^\circ — (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\) .

3. Пусть \(AN\) и \(CM\) – биссектрисы углов параллелограмма \(ABCD\) .

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \angle 1\) . Кроме того, углы \(1\) и \(3\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(CM\) , тогда \(\angle 2 = \angle 3\) , откуда следует, что \(AN\parallel CM\) . Кроме того, \(AM\parallel CN\) , тогда \(ANCM\) – параллелограмм, следовательно, \(AN = CM\) .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *