Почему 1 в степени бесконечность это неопределенность
Перейти к содержимому

Почему 1 в степени бесконечность это неопределенность

  • автор:

Один в степени бесконечность

Добрый день. Изучаю пределы и не могу понять почему 1 в степени бесконечность является неопределеностью, ведь 1×1×1×. ×1 =1.

Буду благодарен за ваш ответ, я честно гуглил но так и не понял почему это так .

Александр Емелин 01.03.2023 в 19:21

Здравствуйте, Сергей, спасибо за вопрос! Потому что единица — это лишь символ — на самом деле здесь имеется в виду бесконечно близкое к единице значение, а-ля 0,999999999. либо 1,000000011. И если мы будем возводить в бесконечность то или иное значение, то не понятно, что получится в пределе, поэтому здесь и неопределённость (формула 1×1×1×. ×1×. =1 не работает)

Александр Емелин 01.03.2023 в 19:27

Так, при возведении в бесконечную степень значения 1,000000011. может получится как 1, так и бОльшее число, так и бесконечность — это зависит от того, насколько быстро приближается к единице основание степени и насколько быстро (по отношению к предыдущей «быстроте») приближается к бесконечности показатель

Сергей 05.03.2023 в 18:25
Александр, спасибо больше за ответ.

  1. Помогите пожалуйста с пониманием предела
  2. Арксинус икс в степени икс (производная)
  3. Решение неопределённого интеграла тригонометрической функции с понижением степени
  4. Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
  5. Бесконечность минус бесконечность

Научный форум dxdy

В учебнике Фихтенгольца доказывается, что n^(1/n) — корень n-ной степени из n = 0 при n стремится к бесконечности (том 1, стр.66).
Отсюда следует, что 1 в степени бесконечность стремится к бесконечности (к n). Это мне не понятно. Для меня было очевидно, что 1 в любой степени стремится к 1. Так ли это и почему получается, что 1 в степени бесконечность равно бесконечности? Прошу объяснить или подсказать где почитать разъяснение этого.

Re: 1 в степени бесконечность
14.03.2010, 19:23

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось meduza 14.03.2010, 19:23, всего редактировалось 1 раз.

$\left(1^<\infty></p>
<p>\right)$» /> — неопределённость и может стремиться к чему угодно или же не стремится ни к чему. Про пределы и раскрытие неопределённостей есть в любом учебнике матана, в том же Фихтенгольце или его lite-версии Пискунов.</p>
<p>P. S. Правила форума обязывают использовать TeX.</p>
<p><b>Re: 1 в степени бесконечность</b><br />
14.03.2010, 19:23</p>
<table cellspacing= Заслуженный участник

$\lim\limits_<n\to\infty></p><div class='code-block code-block-3' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 3joomlaumnik -->
<script src=

Напишите предел, который Вас интересует. Например, \sqrt[n] n =1$» />.

Re: 1 в степени бесконечность
14.03.2010, 19:28
meduza в сообщении #297689 писал(а):

$\left(1^<\infty></p>
<p>\right)$» /> — неопределённость и может стремиться к чему угодно или же не стремится ни к чему.</p>
<p>При каких условиях тогда он стремится к 1 и при каких — к бесконечности?<br />
<b>Re: 1 в степени бесконечность</b><br />
14.03.2010, 19:30</p><div class='code-block code-block-4' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 4joomlaumnik -->
<script src=

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось meduza 14.03.2010, 19:31, всего редактировалось 1 раз.

$e$

zaqwedcvbgt
Зависит от конкретного предела. Например, второй замечательный равен .

Re: 1 в степени бесконечность
14.03.2010, 19:33

Заслуженный участник

Так какой конкретно предел Вас интересует. А там посмотрим, чего «в общем» говорить.
Re: 1 в степени бесконечность
14.03.2010, 19:40

Padawan
Я читаю последовательно учебник для общего развития. Мне непонятно, поэтому спрашиваю.

$\lim\limits_<n\to\infty></p>
<p> \sqrt[n] n =1$» />.<br />Почему нельзя тогда возвести правую и левую часть в степень n и получить, что 1 в степени n стремится к бесконечности вообще?</p>
<p><b>Re: 1 в степени бесконечность</b><br />
14.03.2010, 19:55</p><div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 6joomlaumnik -->
<script src=

Заслуженный участник

zaqwedcvbgt в сообщении #297702 писал(а):
Почему нельзя тогда возвести правую и левую часть в степень n

$n$— это внутренняя (вне предела $n$не существует) переменная (а не число и $n\neq\infty$, да и $\infty$— тоже не число) предела. Вернитесь в учебнике назад и вникните в определение предела, а потом идите дальше неспеша.

Re: 1 в степени бесконечность
14.03.2010, 19:58

Заслуженный участник

Возводя, получим слева
$\lim\limits_<n\to\infty>\left (\lim\limits_ <n\to\infty>\sqrt[n] n\right)^n$» /><br />А это не равно<br /> <img decoding=

Заблокирован

Цитата:

Почему нельзя тогда возвести правую и левую часть в степень n и получить, что 1 в степени n стремится к бесконечности вообще?

$\lim\limits_<n\to\infty></p>
<p>Потому что нельзя перемножать неограниченное число пределов. Примените это к такому примеру:<br />\left(1+\frac\right)=1=\lim\limits_<n\to\infty>\left(1+\frac\right)$» /></p>
<p><b>Re: 1 в степени бесконечность</b><br />
15.03.2010, 09:56</p><div class='code-block code-block-8' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 8joomlaumnik -->
<script src=

Заслуженный участник

Padawan в сообщении #297713 писал(а):

$\lim\limits_<n\to\infty></p>
<p>Возводя, получим слева<br />\left (\lim\limits_ <n\to\infty>\sqrt[n] n\right)^n$» /></p>
<p><img decoding=

Ну нельзя же так небрежно. Можно только \left (\lim\limits_ \sqrt[n] n\right)^m$» />.

Re: 1 в степени бесконечность
15.03.2010, 10:12

Wolfram Mathematica (конечно, не истина в последней, но все же. ) выдаёт:
$<1^<\infty>> \to Indeterminate$» /><br /> <img decoding= Заслуженный участник

Lesobrod в сообщении #297881 писал(а):

$\lim\limits_<n\to\infty>\left (\sqrt[n] n\right )^n=1$» /><br /><img decoding=

Заслуженный участник

$\lim\limits_<n\to\infty></p>
<p>А Wolfram Mathematica на такое будет ругаться? <br />\left (\lim\limits_ <n\to\infty>\sqrt[n] n\right)^n$» /></p>
<p>— Пн мар 15, 2010 10:49:03 —</p>
<p><b>Lesobrod в сообщении #297881</b> писал(а):</p><div class='code-block code-block-12' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 12joomlaumnik -->
<script src=

Wolfram Mathematica (конечно, не истина в последней, но все же. ) выдаёт:
$<1^<\infty>> \to Indeterminate$» /><br /> <img decoding=

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + f(x))^{\frac{1}{{f(x)}}}} = e.\]

Рассмотрим на примерах, как раскрыть неопределенность один в степени бесконечность в этом случае.

\[1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \left[ {{1^{\frac{1}{0}}}} \right] = ?\]

Получили неопределенность один в степени один на ноль. Поскольку

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{C}{x} = \infty ,C = const, \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \left[ {{1^{\frac{1}{0}}}} \right] = \left[ {{1^\infty }} \right] = ?\]

Чтобы воспользоваться модификацией второго замечательного предела и раскрыть неопределенность один в степени бесконечность, рассуждаем так:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {(1 + f(x))} \right]^{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {(1 + f(x))} \right]}^{\frac{1}{{f(x)}}}}} \right\}^{f(x) \cdot g(x)}} = \]

(не забываем о требовании f(x)→0, при x→0).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + 3x)^{\frac{1}{{5x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + 3x} \right]}^{\frac{1}{{3x}}}}} \right\}^{3x \cdot \frac{1}{{5x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + 3x} \right]}^{\frac{1}{{3x}}}}} \right\}^{\frac{3}{5}}} = {e^{\frac{3}{5}}}.\]

\[2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{x^2} + 3x)^{\frac{3}{{7{x^2}}}}} = \left[ {{1^{\frac{3}{0}}}} \right] = \left[ {{1^\infty }} \right] = \]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left\{ {{{\left[ {1 + ( - 2{x^2} + 3x)} \right]}^{\frac{1}{{ - 2{x^2} + 3x}}}}} \right\}^{( - 2{x^2} + 3x) \cdot \frac{3}{{7{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 6{x^2} + 9x}}{{7{x^2}}}}} = \]

Чтобы избавиться от неопределенности ноль на ноль в показателе степени, в числителе выносим за скобки общий множитель x и сокращаем дробь на x:

\[ = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x( - 6x + 9)}}{{7{x^2}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 6x + 9}}{{7x}}}} = \left[ {{e^{\frac{9}{0}}}} \right] = {e^\infty } = \infty .\]

Будьте внимательны! Если в примере нет неопределенности, предел вычисляем непосредственно:

\[3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - 2{x^2} + 3x)^{\frac{3}{{7{x^2} + 1}}}} = {1^3} = 1.\]

\[4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + \sin 3x)^{\frac{1}{{2x}}}} = \left[ {{1^\infty }} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left[ {{{(1 + \sin 3x)}^{\frac{1}{{\sin 3x}}}}} \right]^{\frac{{\sin 3x}}{{2x}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{2x}}}} = \]

Неопределенность вида ноль на ноль в показателе степени — первый замечательный предел:

Число в степени бесконечность

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется непосредственно. Поскольку показательная функция

при а>1 возрастает, то для таких а

Соответственно, применение второго замечательного предела здесь не требуется. Используем следующее свойство пределов:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f(x)} \right]^{g(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f(x)} \right]^{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)}}\]

при условии, что эти пределы существуют.

Рассмотрим примеры, в которых нужно найти число в степени бесконечность.

Найти пределы функций:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}})^{4x + 8}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?\]

Получили неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.

Найдем пределы основания и показателя степени. (Как находить предел бесконечность на бесконечность, уже рассматривали ранее. Делим и числитель, и знаменатель на старшую степень икса, в данном случае — на x.)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x - 3}}{{5x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{5 + \frac{1}{x}}} = \frac{2}{5},\]

Таким образом, приходим к выводу, что

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}})^{4x + 8}} = {\left[ {\frac{2}{5}} \right]^\infty } = 0.\]

2) Вычислить предел функции:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{3{x^2} - 7}}{{2{x^2} + 5}})^{4{x^2} - 1}} = {\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]^\infty } = ?\]

Рассуждаем аналогично. При нахождении предела основания степени делим многочлены в числителе и знаменателе на старшую степень икса, то есть на x²:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *