Что такое d в геометрии
Перейти к содержимому

Что такое d в геометрии

  • автор:

Обозначения и символика

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, . , L, М, N, .

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

а, b, с, d, . , l, m, n, .

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) — луч с началом в точке А;

[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d1 d2gα) — поверхность β определяется направляющими d1 и d2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC — угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, . , ∠φ°, .

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

— величина угла АВС;

— величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.

|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| — расстояние от точки А до линии a;

|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| — расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π1 и π2, где π1 — горизонтальная плоскость проекций;

π2 —фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π3, π4 и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х — ось абсцисс; у — ось ординат; z — ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

А’, В’, С’, D’, . , L’, М’, N’, горизонтальные проекции точек; А», В», С», D», . , L», М», N», . фронтальные проекции точек; a’ , b’ , c’ , d’ , . , l’, m’ , n’ , — горизонтальные проекции линий; а» ,b» , с» , d» , . , l» , m» , n» , . фронтальные проекции линий; α’, β’, γ’, δ’. ζ’,η’,ν’. горизонтальные проекции поверхностей; α», β», γ», δ». ζ»,η»,ν». фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса , подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h — горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f — фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: Ha — горизонтальный след прямой (линии) а;

Fa — фронтальный след прямой (линии ) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3. n:

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0 :

А 0 , В 0 , С 0 , D 0 , .

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , .

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , .

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , .

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1 :

А 1 0 , В 1 0 , С 1 0 , D 1 0 , .

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , .

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , .

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , .

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами

№ по пор. Обозначение Содержание Пример символической записи
1 Совпадают (АВ)≡(CD) — прямая, проходящая через точки А и В,
совпадает с прямой, проходящей через точки С и D
2 Конгруентны ∠ABC≅∠MNK — угол АВС конгруентен углу MNK
3 Подобны ΔАВС∼ΔMNK — треугольники АВС и MNK подобны
4 || Параллельны α||β — плоскость α параллельна плоскости β
5 Перпендикулярны а⊥b — прямые а и b перпендикулярны
6 Скрещиваются с d — прямые с и d скрещиваются
7 Касательные t l — прямая t является касательной к линии l.
βα — плоскость β касательная к поверхности α
8 Отображаются Ф1→Ф2 — фигура Ф1 отображается на фигуру Ф2
9 S Центр проецирования.
Если центр проецирования несобственная точка,
то его положение обозначается стрелкой,
указывающей направление проецирования
10 s Направление проецирования
11 P Параллельное проецирование рs α Параллельное проецирование — параллельное проецирование
на плоскость α в направлении s
В. Обозначения теоретико-множественные

№ по пор. Обозначение Содержание Пример символической записи Пример символической записи в геометрии
1 M,N Множества
2 A,B,C. Элементы множества
3 Состоит из . Ф

Ф — фигура Ф состоит из точек А, В,С, .
4 Пустое множество L — ∅ — множество L пустое (не содержит элементов )
5 Принадлежит, является элементом 2∈N (где N — множество натуральных чисел) —
число 2 принадлежит множеству N
А ∈ а — точка А принадлежит прямой а
(точка А лежит на прямой а )
6 Включает, cодержит N⊂М — множество N является частью (подмножеством) множества
М всех рациональных чисел
а⊂α — прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле:
множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α)
7 Объединение С = A U В — множество С есть объединение множеств
A и В; = ∪

ABCD = [AB] ∪ [ВС] ∪ [CD] — ломаная линия, ABCD есть
объединение отрезков [АВ], [ВС], [CD]
8 Пересечение множеств М=К∩L — множество М есть пересечение множеств К и L
(содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L).
М ∩ N = ∅— пересечение множеств М и N есть пустое множество
(множества М и N не имеют общих элементов)
а = α ∩ β — прямая а есть пересечение
плоскостей α и β
а ∩ b = ∅ — прямые а и b не пересекаются
(не имеют общих точек)
Группа II СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№ по пор. Обозначение Содержание Пример символической записи
1 Конъюнкция предложений; соответствует союзу «и».
Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинны
α∩β = < К:K∈α∧K∈β>Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия),
состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β
2 Дизъюнкция предложений; соответствует союзу «или». Предложение (p∨q)
истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба).
3 Импликация — логическое следствие. Предложение р⇒q означает: «если р, то и q» (а||с∧b||с)⇒a||b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
4 Предложение (р⇔q) понимается в смысле: «если р, то и q; если q, то и р» А∈α⇔А∈l⊂α.
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости.
Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии,
принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости
5 Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого.
Выражение ∀(x)P(x) означает: «для всякого x: имеет место свойство Р(х) «
∀( ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов
при вершинах равна 180°
6 Квантор существования, читается: существует.
Выражение ∃(х)P(х) означает: «существует х, обладающее свойством Р(х)»
(∀α)(∃a)[a⊄α∧a||α].Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α
и параллельная плоскости α
7 ∃1 Квантор единственности существования, читается: существует единственное
(-я, -й). Выражение ∃1(x)(Рх) означает: «существует единственное (только одно) х,
обладающее свойством Рх»
(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a,
проходящая через эти точки.
8 (Px) Отрицание высказывания P(x) аb( ∃α )(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их
9 \ Отрицание знака [AB]≠[CD] —отрезок [АВ] не равен отрезку [CD].а?b — линия а не параллельна линии b

что такое d в геометрии.

если это ромб, то диагональ))) ) в задачке: сторона ромба 10.5 или 1.5, дана ли S?

Остальные ответы

Обычно диаметр.

Диаметр XD

r радиус d кажется диаметр (если фигура круг)

Что угодно, геометрия — не физика (да и в физике обозначения могут плавать) .
Но чаще всего диаметрю

диаметр

диаметр окружности

ответ:
диаметр.

Диагоноль в многоугольнике
Диаметр в круге

А в треугольнике?

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Диаметр окружности

Диаметр окружности – величина, используемая в классической геометрии, и это название пришло в русский язык, как и многие научные термины, из латинского. Разберемся, что обозначает это слово, как измерять и вычислять диаметр, а также для чего школьникам нужно учиться это делать.

Определение диаметра окружности

Словом «диаметр» обозначают как отрезок, соединяющий две противоположные точки окружности и проходящий через ее центр, так и длину этого отрезка. Диаметр можно найти у любого круглого тела или объекта: озера, мяча, печеньки или даже радуги, если вообразить, что она на самом деле круглая и мы видим лишь ее половину.

Для измерения объемных предметов, имеющих круглое сечение (труб, монет, бутылок и прочего) существует специальный инструмент, который называется штангенциркуль. С его помощью можно измерить диаметр без необходимости определения центра окружности.

Полезная информация о диаметре окружности

В окружности можно провести бесконечное число диаметров Так как окружность состоит из бесконечного множества точек, которые могут быть концами отрезка-диаметра.
Диаметр всегда проходит через центр окружности А окружность всегда делится диаметром ровно пополам.
Этимологически слово «диаметр» можно назвать пришедшим из древнегреческого От διάμετρος «поперечник, диаметр», где διά «через; раздельно» + μετρέω «измеряю».
От слова диаметр произошло наречие «диаметрально» Что означает «полностью, абсолютно» и чаще всего применяется в словосочетании «диаметрально противоположный».

Формулы диаметра окружности

Диаметр, являясь геометрической величиной, может быть численно выражен через другие измерения окружности и связанных с ней фигур. Рассмотрим формулы, наиболее часто применяемые для вычисления диаметра.

Через длину окружности

Через радиус окружности

Проще всего связать диаметр с радиусом окружности: фактически, диаметр – это два радиуса, лежащих на одной прямой. Зная это, легко составить формулу вычисления диаметра через радиус: достаточно умножить его длину на два.

\(D\;=\;2\;\cdot\;R,\\где\;D\;–\;диаметр\;окружности,\\а\;R\;–\;ее\;радиус.\)

Диаметр окружности

Через площадь круга

Диаметр может быть вычислен не только через численные измерения самой окружности, но и через площадь круга, ей ограниченного.

Диаметр окружности

Построение диаметра с помощью циркуля и линейки

Как известно, для построения диаметра окружности необходимо провести прямую через ее центр, но далеко не в каждом случае мы точно знаем, где этот самый центр находится.

Например, как узнать диаметр круглой тарелки, если у нас нет штангенциркуля? Для этого существует удобный способ построения диаметра с помощью обыкновенного циркуля и линейки.

Предположим, что мы положили тарелку на лист бумаги, обвели карандашом и получили окружность. Как измерить ее диаметр, имея под рукой только циркуль и линейку? Если чертить диаметр «на глаз», то велик шанс провести отрезок, близкий по длине к диаметру, но все же не совпадающий с ним. Поэтому воспользуемся простым и точным способом построения диаметра.

Нам необходимо начертить две окружности, центры которых будут лежать на разных сторонах уже изображенной окружности, причем их диаметры должны быть больше диаметра исходной. После этого нужно провести прямую через точки их пересечения (они могут располагаться вне исходной окружности). Отрезок этой прямой, лежащий внутри первой окружности, и есть ее диаметр.

Задачи на нахождение диаметра окружности с решением

Решим несколько задач, используя рассмотренные выше формулы.

Задача 1

Чемпион двора по армрестлингу Петя Ласточкин от скуки согнул метровый металлический прут в идеально ровную окружность. Красавица Варя Синичкина, проходя мимо, решила, что Петя таким образом сделал для нее подарок – гимнастический обруч хулахуп, и попыталась надеть его на себя, чтобы покрутить. Вопрос: удастся ли Варе это, если ширина ее плеч 30 сантиметров?

Решение
Для начала определим, какие факты нам известны, и переведем их в математические величины:

  1. В обруч был согнут метровый прут, то есть длина окружности обруча – один метр.
  2. Чтобы надеть обруч на себя, Варе необходимо, чтобы в него прошли ее плечи, то есть диаметр получившейся окружности должен быть больше ширины ее плеч.

Получается, нам необходимо проверить, что диаметр окружности длиной один метр больше 30 сантиметров. Сразу же переводим метры в сантиметры и получим длину 100 см. Математическую постоянную �� будем использовать в стандартном значении 3,14.

Воспользуемся формулой нахождения диаметра через длину окружности:

D = C/�� = 100/3,14 = 31,85 > 30

Ответ: Варя сможет надеть обруч, так как его диаметр больше ширины ее плеч, однако неясно, умеет ли она его крутить.

Задача 2

Ученики 1 «А» класса решили разбить во дворе школы круглую клумбу. Для этого они начертили круг, используя вместо циркуля веревку длиной 4,5 метра. Хулиган из 5 «Б» по имени Вася на спор решил с разбега перепрыгнуть эту клумбу, причем в самом широком ее месте. Вопрос: на какое расстояние должен прыгнуть Вася, чтобы не потоптать свежепосаженные кактусы?

Решение

Для решения задачи определим, какие данные нам известны:

  1. Вася хочет перепрыгнуть круглую клумбу в самом широком месте, то есть траектория его полета должна совпасть с диаметром окружности.
  2. Первоклассники чертили круг для клумбы с помощью веревки, то есть радиус окружности равен длине этой веревки – 4,5 метра.

Теперь используем формулу нахождения диаметра через радиус:

D = 2R = 2*4,5 = 9 метров.

Ответ: чтобы не приземлиться на колючие кактусы, Васе необходимо прыгнуть на 9 метров, тем самым побив мировой рекорд по прыжкам в длину с разбега.

это интересно
Радиус окружности
Простое объяснение, что такое радиус окружности и как его вычислить

Задача 3

Вандал Демид Иванов за ночь закрасил зеленой краской из баллончика круглый иллюминатор ракеты на городской детской площадке. Как позже выяснилось, на это хулиганство у него ушел целый баллон краски без остатка. Монтажник Иван Демидов, придя на следующее утро на работу, забыл, какого диаметра стекло ему нужно вырезать для замены испорченного. Однако на выходных он красил на даче забор точно такой же краской, и ему известно, что одного баллончика хватает для окрашивания ровно трех квадратных метров поверхности. Помогите Ивану выяснить диаметр необходимого стекла. Постоянную �� в этой задаче для упрощения вычислений принять за 3.

Решение

Демид истратил весь баллончик краски без остатка, а значит окрасил ровно три квадратных метра поверхности иллюминатора, то есть площадь нужного стеклянного круга – три квадратных метра.

Применим формулу нахождения диаметра через площадь круга:

\(D=\;2\sqrt>=\;2\sqrt\;=\;2\cdot1\;=\;2\)

Ответ: Ивану необходимо вырезать стекло диаметром два метра. На детской площадке установлена очень большая ракета.

Популярные вопросы и ответы

Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике

Как объяснить простыми словами, что такое диаметр окружности?

В самом начале этой познавательной статьи уже есть очень простое и емкое определение слову «диаметр». Я бы могла только добавить, что диаметром еще называют самую большую хорду окружности. Хорда – это как раз отрезок, соединяющий две точки окружности. А если диаметр – это самая большая хорда, тогда она, несомненно, пройдет через центр окружности.

В чем измеряется диаметр окружности?

Диаметр окружности – это линейная величина, поэтому измеряется длина диаметра в сантиметрах, метрах, дюймах и других известных единицах измерения. Все зависит от конкретного случая или даже страны применения.

Для чего в 6 классе нужно уметь вычислять диаметр окружности?

На сегодняшний день сложно представить ситуацию, где такое умение окажется просто незаменимым, так как существует огромное множество разных калькуляторов для вычисления любых величин из любых формул. Однако шестиклассникам очень важно научиться выражать одну величину через другие, исходя из того, что дано в конкретной задаче. Это очень развивает мышление и аналитические способности.

О ГЕОМЕТРИИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ С φ-СВЯЗНОСТЬЮ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПОЧТА КОНТАКТНАЯ МЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА / ВНУТРЕННЯЯ СВЯЗНОСТЬ / ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ СХОУТЕНА / Ф-СВЯЗНОСТЬ / ALMOST CONTACT METRIC STRUCTURE / INTERIOR CONNECTION / SCHOUTEN CURVATURE TENSOR / Ф-CONNECTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Букушева А.В.

На многообразии с контактной метрической структурой (ф, п, g, X, D) определяется и исследуется ф-связность . Находятся условия, при которых ф-связность является адаптированной к контактной метрической структуре.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Букушева А.В.

Почти контактные метрические пространства с N-связностью
Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением
О распределениях со специальной квази-сасакиевой структурой
Обобщенный тензор кривизны Вагнера почти контактных метрических пространств
Почти контактные метрические структуры, определяемые $n$-продолженной связностью
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE GEOMETRY OF THE CONTACT METRIC SPACES φ-CONNECTION

The -connectedness is defined on the manifold possessed the contact metric structure g, X, D) which is studied. The sufficient conditions when such a connectedness is adapted with contact metric structure.

Текст научной работы на тему «О ГЕОМЕТРИИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ С φ-СВЯЗНОСТЬЮ»

20 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

MSC 53D15, 53В05

О ГЕОМЕТРИИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

Саратовский государственный университет, ул. Астраханская, 83, Саратов, 410012, Россия, e-mail: bukushevaQlist.ru

Аннотация. На многообразии с контактной метрической структурой (ф, £, п, g, X, D) определяется и исследуется ф-связность. Находятся условия, при которых ф-связность является адаптированной к контактной метрической структуре.

Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, внутренняя связноств, тензор кривизны Схоутена, ф-связноств.

1. Введение. Понятия Х-продолженной связности и Х-связности на многообразии с почти контактной метрической структурой введены в работах [1,2]. Связности Танака-Вебстера и Схоутена-ван Кампена [3,4] являются частными случаями Х-связности. В основе определения Х-связности лежат внутренняя связность [5,6] и эндоморфизм Х : D ^ D распределения почти контактной метрической структуры. Выбирая эндоморфизм Х, мы получаем связность с нужными свойствами. В настоящей работе мы останавливаемся на изучении случая Х = ф.

Пусть X — гладкое многообразие нечетной размерности n = 2m + 1, Г TX — CX(X)-модуль гладких векторных полей на X. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса CX Рассмотрим на X почти контактную метрическую структуру (ф, У, п, д) [5], где ф — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, (ип~ вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, д — (псевдо) риманова метрика. Кососимметрический тензор П(Х,у) = д(х,фу), x,y Е ГTX, называется фундаментальной формой структуры. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура, называется почти контактным метрическим многообразием. В случае, когда П = dn, почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой. Пусть D — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой n D± = span (У) его оснащение: TX = D ф DX Если ограничение формы ш = dn на распределении D дает невырожденную форму, то в этом случае вектор У однозначно определяется из условий п(У) = 1 кегш = span (У) и называется вектором Риба. Будем называть D распределением почти контактной метрической структуры.

На протяжении всей работы мы будем использовать адаптированные координаты. Карту K(xa) (a,e,Y = 1. n) (a,b,c,e = 1. n — 1) многообразия X будем называть адаптированной к распределению D, если dn = У [5]. Пусть P : TX ^ D — проектор, определяемый разложением TX = D ф Dx, и K(ха) — адаптированная карта. Векторные поля P(da) = ea = да — ГПдп линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают систему D: D = span(ea). На многообразии X, таким

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 21

образом, определены неголономное поле базисов (ea,dn) и соответствующее ему поле кобазисов (dxa, 0n = dxn + rndxa). Непосредственно проверяется, что [eaeb] = 2ubadn. Адаптированным будем называть также базис ea = da — rndn, как базис, определяемый адаптированной картой. Заметим, что имеет место равенство dnrn = 0. Пусть K(ха) и K'(ха )-адаптированные карты, тогда получаем следующие формулы преобразования координат: xa = xa(xa ), xn = xn + xn(xa ).

Тензорное поле t тип a (p, q), заданное на почти контактном метрическом многообразии, называется допустимым (к распределению И), если t обращается в нуль каждый раз, когда среди его аргументов встречаются £ или у. Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид:

t = t^a4i 0 . 0eap 0 dxbl 0 . 0 dxbq.

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:

где Aaa, = dxa/dxa’.

Введем в рассмотрение допустимые тензорные поля, определяемые равенствами hx = 2(L^)(x), С(x,y) = 2(L^g)(x,y), g(Cx,y) = C(x,y), g(x,фу) = ш(x,y), Lx =

Cx — фx, x,y E ГТХ. В случае контактного метрического пространства эндоморфизм ф совпадает с эндоморфизмом ф В адаптированных координатах получаем: ha = 2dnpOa-, Cab = 2dngab, С = gdaCdb, ФЬ = gdauda. Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивита тензора g: V, Г^.

Теорема 1 [7]. Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют вид: Гab = rab, Гnb = wba — Cab,

Гban = ГПь = Ca — фЬа, Кa = 0 ГПп = 0, Чс = 1 gad(ebgcd + Xgbd — ^bc)-

Под внутренней линейной связностью на многообразии с почти контактной метрической структурой [5] понимается отображение V : ГИ х Г И ^ ГИ, удовлетворяющее следующим условиям:

^ Vfix+f2y flVX + f2V y 2) Vxfy = f Vxy + (xf )y,

где Г И — модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определятся из соотношения Veaeb = ГЬьсС. Кручение внутренней линейной связности S то определению полагается равным S(x,y) = Vxy — Vyx — P[x,y]. Таким образом, в адаптированных координатах мы имеем Sab = Г(ьЬ — ГСь.

Координатное представление тензора кручения внутренней связности указывает на целесообразность называть внутреннюю связность с нулевым кручением симметричной связностью. Действие внутренней линейной связности естественным образом продолжается на произвольные допустимые тензорные поля. Если кручение внутренней связности равно нулю и Vg = 0, то соответствующую связность будем называть внутренней метрической связностью без кручения.

22 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

Внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством векторного расслоения (D,n,X). Будем говорить, что над распределением D задана связность, если распределение D = n-^D), где п : D ^ X — естественная проекция, разбивается в прямую сумму вида D = HD ф VD, где VD — вертикальное распределение на тотальном пространстве D.

Введем на D структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте K(ха) на многообразии X сверхкарту K(xa,xn+a) на многообразии D, где xn+a — координаты допустимого вектора в базисе ea = да — ГПдп. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта Ga(xa,xn+a) такого, что HD = Span(ea), где £a = da—ГПдп— Gbadn+b. В случае, когда Ga(xa, xn+a) = Fac(xa)xn+c, связность над распределением определяется внутренней линейной связностью. Пусть V — внутренняя линейная связность, определяемая горизонтальным распределением HD, и N : D ^ D — поле допустимого тензора типа (1,1). N-продолженной связностью называется [1,2] связность в векторном расслоении (D,n,X), определяемую разложением TD = HDф VD, такую, что HD = HD ф Span(u), где ux = £ — (Nx)v, £ = dn, x Е D, (Nx)v — вертикальный лифт. Относительно базиса (£a, dn, dn+a) толе u получает следующее координатное представление: u = dn — Nbaxn+bdn+a.

Кручением N-продолженной связности называется кручение исходной внутренней связности. Будем использовать следующее обозначение для N-продолженной связности: VN = (V,N) где V — внутренняя связность. N-продолженную связность назовем метрической, если V — внутренняя симметричная метрическая связность и выполняется равенство Vj^gab = dnQab — NCgcb — Ngac = 0.

Допустимое тензорное поле, определяемое равенством R(x,y)z = VxVyz — VyVxz — VP [x,y\£ — P[Q[x,y\,z\, где Q = 1 — P, названо Вагнером [8] тензором кривизны Схо-утена. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид: Rabc = 2 е^Г^ + 2r|a|e|r|\c. Тензор кривизны Схоутена возникает в результате альтернирования вторых ковариантных производных: 2V\aVb\vc = Rrabeve + 4ubadnvc.

В случае, когда распределение D не содержит интегрируемое распределение размерности n — 2, обращение в нуль тензора кривизны Схоутена равносильно тому, что параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых не зависит от пути переноса [8]. Назовем тензор Схоутена тензором кривизны распределения D, а распределение D, в случае обращения в нуль тензора Схоутена, — распределением нулевой кривизны.

Векторные поля (£a = da—rndn—Tbacxn+cdn+b, u = dn—Vndn+a, dn+a), определяют на D неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (dxa, &n = dxn + Tndxa, Qn+a = dxn+a + Tlcxn+cdxb + Naxn+bdxn) — соответствующее поле кобазисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[£a, U\ = xn+d(dnTcad — VaNCd)dn+c , (2)

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 23

Из (1), (2) получаем выражение для тензора кривизны N-продолженной связности:

K (X,y)z = 2u(X,y)Nz + R(X,y)z, (3)

K(i,x)y = P(x,y) — (VxN)y,

Говорят, что классическая связность V с компонентами G^ соответствует N-продолженной связности VN, если в адаптированных координатах все компоненты G^ равны нулю, за исключением Gbc = ГЬС, Gnc = N0-

Бежанку [9] определяет связность VB на многообразии Сасаки с помощью формулы VB = Vxy — п(x)VyZ — п(y)VxZ + (& + c)(X,y)Z• В адаптированных коорди-

натах отличными от нуля компонентами ГВ» связноети VB являются Г^ = Г^с = 2gad(ebgcd + ecgbd — edgbc). Тензор кривизны связности Бежанку совпадает с тензором кривизны Схоутена. Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической. Так как VBgab = dngab, то метричность связности Бежанку эквивалентна (почти) K-контактности почти контактной метрической структуры. Определим на многообразии с контактной метрической структурой классическую связность Vv с помощью равенства V^y = VBy + n(x)фу. Назовем введенную связность ф-связностью. Отличными от нуля компонентами ф-связности будут Г^а = Г

Найдем условия, при которых ф-связность является адаптированной к контактной метрической структуре. Проведем для этого необходимые вычисления. Равенство Vvg = 0 сведется к следующем двум равенствам, записанным в адаптированных координатах: V^gbc = 0 V‘Zgbc = 0. Первое из этих равенств выполняется в силу метричности исходной внутренней связности. Второе равенство перепишем в виде: V%gbc = dngbc — фagac — фcagba = 0. Из определения контактного метрического пространства непосредственно следует, что последнее равенство эквивалентно равенству VZgbc = dngbc = 0. Аналогично, равенство W = 0 эквивалентно равенство дпфьа = 0. Таким образом, справедлива следующая

Теорема 2. ф-связность, заданная на контактном метрическом многообразии, адаптирована к контактной метрической структуре тогда и только тогда, когда пространство является K-контактным.

1. Галаев С.В. О почти контактных метрических пространствах с метрической N-связностыо // Современные научные исследования и инновации. — 2015. — 4 [Элек-

24 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

тронный ресурс]. URL: http: //web.snauka.ru/issues/2015/04/52011 (дата обращения: 25.06.2015).

2. Галаев С.В. О метрической N-продолженной связности на почти контактном метрическом пространстве // Современник научные исследования и инновации. — 2015. -5 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/05/53580 (дата обращения: 25.06.2015).

3. Tanno S. Variational problems on contact Riemannian manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. — 1989. -314 — P.349-379.

4. Schouten J., van Kampen E. Zur Einbettungs-und Kriimmungstheorie nichtholonomer Gebilde // Math. Ann. -1930. — 103. — P.752-783.

5. Галаев C.B. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2012. — 12:1. — С. 16-22.

6. Букушева А.В., Галаев С.В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2013. — 4. — С.1-9.

7. Галаев С.В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2014. — 8. -С.42-52.

8. Вагнер В.В. Геометрия (п — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — М.: Изд-во Моек, ун-та. — 1941. — 5. — С. 173-255.

9. Bejancu A. Kahler contact distributions // Journal of Geometry and Physics. — 2010. — 60. -P.1958-1967.

THE GEOMETRY OF THE CONTACT METRIC SPACES ^-CONNECTION

A.V. Bukusheva Saratov State University,

Astrakhanskaya St., Saratov, Russia, e-mail: bukushevaQlist.ru

Abstract. The ^-connectedness is defined on the manifold possessed the contact metric structure (ф,£,ц, g, X, D) which is studied. The sufficient conditions when such a connectedness is adapted with contact metric structure.

Key words: almost contact metric structure, interior connection, Schouten curvature tensor, Ф connection.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *