Что такое сигма алгебра
Перейти к содержимому

Что такое сигма алгебра

  • автор:

Σ-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — это алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение

\mathfrak<S></p><div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 1joomlaumnik -->
<script src=

Семейство » width=»» height=»» /> подмножеств множества X называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. \mathfrak<S>» width=»» height=»» /> содержит пустое множество.</li>
<li>Если <img decoding=, определяется следующим образом:
  2. \sigma(\xi) = \left\<\xi^<-1>(B)\mid B \in \mathcal(\mathbb)\right\>» width=»» height=»» />, где <img decoding= — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — минимальная сигма-алгебра на пространстве X , относительно которой случайная величина ξ всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве X вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции ξ её можно ввести и наделить таким образом пространство X структурой измеримого пространства так, что функция ξ будет измеримой.

    Связанные определения

    • Измеримое пространство — это пара (X, \mathcal F), где X — множество, а \mathcal F— сигма-алгебра его подмножеств.

    Примеры

    • Борелевская сигма-алгебра
    • Для любого множества X можно построить тривиа́льную σ-алгебру \<X,\varnothing\>» width=»» height=»» />, где <img decoding=— пустое множество.
    • Для любого множества X можно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Глава 3 Сигма-алгебра ( \(\sigma\) — алгебра)

    Случайные величины принято обозначать заглавными последними буквами латинского алфавита, например \(X, Y, Z\) . События обычно обозначают заглавными первыми буквами латинского алфавита, например \(A,B,C\) . Для обозначения \(\sigma\) -алгебры обычно используются каллиграфические заглавные буквы латинского алфавита, например \(\mathcal\) .

    3.1.2 Неформальное определение \(\sigma\) — алгебры:

    \(\sigma\) -алгебра индивида — множество событий, про которые индивид может гарантированно сказать, произошли они или нет, вне зависимости от исхода эксперимента. Цель использования \(\sigma\) -алгебр — описать наделенность информацией индивидов.

    3.1.3 Пример с игровым кубиком:

    Эксперимент заключается в однократном подбрасывании игрового кубика. Пространство элементарных исходов: \[ \Omega = \\] Имеется три наблюдателя эксперимента: Антон — знает что кубик бросали, но не видел что на нем выпало. Обозначим \(\sigma\) -алгебру Антона \(\mathcal\) , Берта — внимательно наблюдала эксперимент, видела исход. Обозначим \(\sigma\) -алгебру Берты \(\mathcal\) . Ваня — так же видел исход эксперимента, но он из южно-американского племени Пираху, где при счете различают только 1, 2 и “много”. \(\sigma\) -алгебра Вани — \(\mathcal\) .

    Определим, из каких элементов состоит каждая \(\sigma\) -алгебра. Антон не видел исход эксперимента, но знал, что эксперимент был, таким образом он может ответить на вопрос: “Упал ли кубик?”, или по-другому: “Выпало ли какое-нибудь число?”. То есть Антон различает только два события: “кубик упал”, которому соответствует все пространство элементарных исходов, и “кубик не упал”, которому соответствует пустое множество. Получаем, что \(\sigma\) -алгебра Антона состоит из двух элементов: \[\mathcal=\<\varnothing,\Omega \>\]

    Берта видела исход эксперимента и различает все исходы, а значит, различает все возможные события, которые могут произойти в ходе эксперимента, их объединения, пересечения и прочие логические операции над ними ( мы предполагаем, что наши индивиды умеют делать логические выводы, на основе имеющейся информации). \(\sigma\) -алгебра Берты — булеан \(\Omega\) .

    3.1.4 Формальное определение \(\sigma\) — алгебры:

    Множество \(\mathcal\) называется \(\) для множества элементарных исходов \(\Omega\) , если:

    1. \(\varnothing,\Omega \in \mathcal\)
    2. Если \(A \in \mathcal\) , то и \(\bar \in \mathcal\)
    3. Если \(A_, A_,\dots \in \mathcal\) , то любое событие, которое можно получить из \(A_\) с помощью любой логической операции в счетном количестве, обязательно лежит в \(\mathcal\) .

    На самом деле, некоторые пункты в данном определении можно опустить, так как другие пункты так же их учитывают. Минимальные требования, при которых определение остается корректным:

    1. \(\varnothing \in \mathcal\)
    2. Если \(A \in \mathcal\) , то и \(\bar \in \mathcal\)
    3. Если \(A_, A_,\dots \in \mathcal\) , то и \(\bigcup_^ <\infty>A_ \in \mathcal\)

    3.2 Упражнение про Петров и Николаев:

    В ходе эксперимента монетку подбрасывают бесконечное число раз. Пусть событие \(A_\) — в i-ом подбрасывании выпал орел, \(i=1,2,\dots\) .Имеются два типа наблюдателей, Петры и Николаи. \(Петр_\) видел все подбрасывания, начиная с первого, \(Петр_\) видел все подбрасывания, начиная со второго и тд. То есть \(Петр_\) видел все подбрасывания, начиная с i-ого. \(Николай_\) видел первое подбрасывание, а потом ушел, \(Николай_\) видел первое и второе подбрасывание, а потом ушел и тд. То есть \(Николай_\) видел все подбрасывания до i-ого включительно, а остальные не видел. Обозначим \(\sigma\) — алгебру i-ого Петра \(\mathcal_\) , а \(\sigma\) -алгебру i-ого Николая \(\mathcal_\) .

    Задания:

    1. Выпишите явно \(\mathcal_\) и \(\mathcal_\) .
    2. Сколько событий в \(\mathcal_\) ?
    3. Сравните \(\mathcal_\) и \(\mathcal_\) .
    4. Сравните \(\mathcal_\) и \(\mathcal_\) .
    5. В какие \(\sigma\) -алгебры входят следующие события:
    • \(A_\)
    • \(A_\)
    • \(A_ \cup A_\)
    • \(A_ \cap A_\)
    • \(\bigcap_^<\infty>A_\)
    • \(\bigcup_^<\infty>A_\)
    • \(A_\cap \bar_\)
    • \(\bigcup_^<\infty>A_\)
    • \(\bigcap_^<\infty>(\bigcup_^<\infty>A_)\)
    • \(\bigcup_^<\infty>(\bigcap_^<\infty>A_)\)
    1. \(\mathcal_=\\) ;

    выполнено с использованием пакета tikz в LaTeX

    выполнено с использованием пакета tikz в LaTeX

    Диаграмма условно разбита на 4 сектора, которые обозначены \(R_,R_,R_\) и \(R_\) . Элементы \(\sigma\) -алгебры \(Николая_\) — это все возможные комбинации “включения” и “исключения” областей \(R_\) . Получаем:

    • \(A_ \in \mathcal_, i=40,41,\dots\) ,
    • \(A_ \cup A_\in \mathcal_\) ,

    \(A_ \cup A_\in \mathcal_, i=40,41,\dots\)

    • \(A_ \cap A_\in \mathcal_\) ,

    \(A_ \cap A_\in \mathcal_, i=40,41,\dots\)

    • “в каждом подбрасывании выпал орел” \(\bigcap_^<\infty>A_\in \mathcal_\)
    • “за все подбрасывания хотя бы раз выпал орел” \(\bigcup_^<\infty>A_\in \mathcal_\)
    • \(A_\cap \bar_\in \mathcal_, i=56,57,\dots\) ,
    • “после 39 подбрасывания хотя бы раз выпал орел” \(\bigcup_^<\infty>A_\in \mathcal_, j=1,2,\dots,40\)

    Сигма-алгебра

    σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

    Определение

    Семейство \mathfrak<S>» width=»» height=»» /> подмножеств множества <img decoding=называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

    1. \mathfrak<S>» width=»» height=»» /> содержит пустое множество.</li>
<li>Если <img decoding=, определяется следующим образом:
    2. \sigma(\xi) = \left\<\xi^<-1>(B)\mid B \in \mathcal(\mathbb)\right\>» width=»» height=»» />, где <img decoding= — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — минимальная сигма-алгебра на пространстве X, относительно которой случайная величина \xiвсё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве Xвообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции \xiеё можно ввести и наделить таким образом пространство Xструктурой измеримого пространства, так что функция \xiбудет измеримой.

      Связанные определения

      • Измеримое пространство — это пара (X, \mathcal F), где X— множество, а \mathcal F— некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

      Примеры

      • Борелевская сигма-алгебра
      • Для любого множества Xможно построить тривиа́льную σ-алгебру \<X,\varnothing\>» width=»» height=»» />, где <img decoding=— пустое множество.
      • Для любого множества Xможно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.

      Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
      Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
      Эта отметка установлена 14 мая 2011.

      Сигма-алгебра

      У этого термина существуют и другие значения, см. алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

      Определение [ ]

      Семейство S > подмножеств множества X называется σ-алгеброй если оно удовлетворяет следующим свойствам:

      Замечания [ ]

      • Для любой системы множеств S > существует минимальная сигма-алгебра σ ( S ) )> , являющаяся его надмножеством.
      • σ-алгебра, порождённаяслучайной величиной X , определяется следующим образом:

      Примеры [ ]

      • Для любого множества X можно построить тривиа́льную σ-алгебру < X , ∅ >> , где ∅ — пустое множество.
      • Борелевская сигма-алгебра.

      Эта статья содержит материал из статьи Сигма-алгебра русской Википедии.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *