Что такое вещественное число
Перейти к содержимому

Что такое вещественное число

  • автор:

Что такое вещественные числа?

lazalu68

Множество вещественных чисел это объединение множеств чисел рациональных и иррациональных.

1 — рациональное число.
Число Пи — иррациональное.
Оба вещественные.

Для того чтобы на практике прочувствовать что такое вещественные числа и в чем их отличие, достаточно в консоли сложить 0.1 и 0.2

Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится 3 Комментировать
Ответы на вопрос 2

iiiBird

Пока ты спишь — твой конкурент совершенствуется

Понятным и доступным языком напишите

Были натуральные числа. тобишь те, которые использовали при счете: 1, 2, 3 . а потом кому то понадобились и отрицательные числа включить туда и дробные, и иррациональные. и он их назвал вещественными. тобишь вещественные числа — это те же натуральные, но еще и включает отрицатаельные, иррациональные и дроби.
p.s. вот нарыл книгу матана. хорошо расписано: matematika.phys.msu.ru/files/a_stud_gen/171/matan.pdf

Вещественные числа

Множество натуральных чисел [math] \mathbb N = \[/math] определяется следующим образом:

За числом [math]n[/math] в натуральном ряде непосредственно следует [math]n + 1[/math] , между [math]n[/math] и [math]n + 1[/math] других [math] k \in \mathbb N [/math] нет.

Натуральные числа — первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.

Целые числа

Множество целых чисел [math] \mathbb Z = \ < 0 \>\cup \ < n, -n | n \in \mathbb N \>[/math] . Также [math] \mathbb N \subset \mathbb Z [/math]

Рациональные числа

Множество рациональных чисел [math] \mathbb Q = \ [/math]

Множество рациональных чисел упорядочено, то есть всегда выполняется только один из трех случаев: [math] r \lt q, r = q[/math] или [math] r \gt q [/math]

Модуль

Определение:
[math] |x| = \begin x, & x \gt 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x \lt 0 \end [/math] — модуль или абсолютная величина числа x
  1. [math]|ab| = |a||b|[/math]
  2. [math]|x + y| \le |x| + |y|[/math]
  3. [math]|x — a| \le r \Leftrightarrow a — r \le x \le a + r[/math]

Аксиома Архимеда

В множестве [math] \mathbb Q [/math] выполняется аксиома Архимеда:

[math] 0 \lt r \lt q \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\ \exists n \in \mathbb N : q \lt n \cdot r [/math]

Дополнение множества рациональных чисел

Пусть [math]A, B[/math] — два числовых множества.

Определение:
Запись [math]A \lt B[/math] означает, что [math] \forall a \in A, \forall b \in B \Rightarrow a \lt b [/math] .

Аналогично определяются записи типа [math] A \le B [/math] , и т. д. и т. п.

Если [math] B = \[/math] , то запись [math] A \lt b [/math] означает, что [math] A \lt B [/math] .

Неполнота числовой оси

Тогда [math] \nexists d \in \mathbb Q : A \le d \le B [/math]

Допустим, что такое [math]d[/math] существует и [math] d \in \mathbb Q [/math] . Тогда возможны три случая: [math] d^2 \lt 2,\ d^2 = 2,\ d^2 \gt 2[/math]

Случай [math] d^2=2 [/math] невозможен. Докажем это.

Предположим, что [math] d^2=2;\ d\in \mathbb Q [/math] , Значит число [math]d[/math] можно представить в виде несократимой дроби [math] d = \frac mn[/math] .

Тогда: [math] d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2,\ [/math] 2 — простое, значит [math]m[/math] делится на [math]2[/math]

[math] m = 2p,\, 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\, n\:\vdots\:2[/math] , противоречие.

Возможны два случая: либо [math] d^2 \lt 2 [/math] , либо [math] d^2 \gt 2 [/math] . Рассмотрим первый из них, второй доказывается аналогичным образом

1) Для всех рациональных [math] \delta \in (0; 1): [/math]

[math] (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 \\ \delta^2 \lt \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 \lt d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta [/math]

Заметим, что если [math] \delta \lt \frac[/math] , то [math]d^2 + (2d+1)\delta \lt 2 ,\, d^2 \lt 2,\, 2 — d^2 \gt 0 \Rightarrow \delta \gt 0 [/math]

[math] \delta_0 \in \mathbb Q; \delta_0 = \min<(\frac<1>, \frac)> \in (0; 1) [/math] ;

Для такого [math] \delta_0: (d + \delta_0)^2 \lt 2 \Rightarrow (d + \delta_0) \in A [/math]

По предположению, [math] A \le d \rightarrow d + \delta_0 \le d, \delta_0 \le 0 [/math] , противоречие.

2) Пусть [math] d^2 \gt 2 [/math] Для всех рациональных [math] \delta \in (-1; 0): [/math] [math] (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 \gt d^2 + 2d\delta + \delta[/math]

При [math] \delta \gt \frac, d^2 + 2d\delta + \delta \gt 2, d^2 \gt 2 [/math] , тогда [math] 2 — d^2 \lt 0 \Rightarrow \delta \lt 0 [/math]

Рассмотрим [math] \delta_0 \in \mathbb: \delta_0 = \max<(-\frac13, \frac<2 - d^2>)> \in (-1; 0) [/math] , тогда [math] (d + \delta)^2 \gt 2 \Rightarrow d + \delta_0 \in B [/math]

Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел во множестве рациональных чисел. Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:

  1. 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
  2. Сохранение упорядоченности.
  3. Выполнение аксиомы непрерывности:

Пусть [math]A [/math] и [math]B [/math] — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и [math] A \le B [/math] , то в пополненном множестве [math] \exists d: A \le d \le B [/math]

Получим множество, называемое множеством вещественных чисел — [math] \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R [/math] .

Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.

Для анализа важно то, что для [math] \mathbb R [/math] выполняется аксиома непрерывности.

Существует несколько моделей построения [math] \mathbb R [/math] :

  1. Модель Дедекинда
  2. Модель Вейерштрасса
  3. Модель Кантора

Базируясь на аксиоме Архимеда и непрерывности, можно установить, что [math] \mathbb Q [/math] всюду плотно на [math] \mathbb R [/math] :

В любом вещественном интервале [math] (a, b) : (x: a \lt x \lt b) [/math] найдется рациональное число.

Для нас этот факт важен тем, что он гарантирует единственность пополнения [math] \mathbb Q [/math] для выполнения аксиомы непрерывности.

Любое такое пополнение, независимо от модели, приводит к множествам, изоморфным друг другу.

Вещественное число

Вещественные или действительные числа — это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. Такое число может быть интуитивно представлено как отношение двух величин одной размерности , или описывающие положение Множество вещественных чисел обозначается R и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа строятся на базисе более простых объектов таких, как целые и рациональные числа. Свойства вещественных чисел являются важнейшим объектом изучения математического анализа.

  • 1 Аксиоматическое определение
    • 1.1 Полное упорядоченное поле
    • 1.2 Изоморфизм полных упорядоченных полей
    • 3.1 Пример
    • 3.2 Бесконечные десятичные дроби

    Аксиоматическое определение [ ]

    Полное упорядоченное поле [ ]

    Пусть на множестве X заданы две бинарные операции + и отношение порядка ≤ . Четвёрка ( X , + , ⋅ , ≤ ) называется полным упорядоченным полем, если

    1. ( X , + , ⋅ ) представляет собой алгебраическое поле;
    2. ( X , ≤ ) является полностью упорядоченным множество с отношением порядка , то есть
      • порядок устойчив относительно сложения: ∀ x , y , z ∈ X ( x ≤ y ) ⇒ ( x + z ≤ y + z ) x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z>
      • порядок устойчив относительно умножения: ∀ x , y ∈ X ( 0 ≤ x ) ∧ ( 0 ≤ y ) ⇒ ( 0 ≤ x ⋅ y ) <\displaystyle \forall x,y\in X\quad 0\leq x\wedge 0\leq y\Rightarrow 0\leq x\cdot y> .
    3. упорядоченное множество ( X , ≤ ) удовлетворяет принципу полноты Вейерштрасса, то есть любое ограничен

    Изоморфизм полных упорядоченных полей [ ]

    Пусть даны два полных упорядоченных поля ( X , + X , ⋅ X , ≤ X ) ,\cdot _,\leq _)> и ( Y , + Y , ⋅ Y , ≤ Y ) ,\cdot _,\leq _)> . Тогда они называются изоморфными, если существует биекция f : X → Y такая, что

    1. ∀ x 1 , x 2 ∈ X f ( x 1 ) + Y f ( x 2 ) = f ( x 1 + X x 2 ) ; ,x_\in X\quad f(x_)+_f(x_)=f(x_+_x_);>
    2. ∀ x 1 , x 2 ∈ X f ( x 1 ) ⋅ Y f ( x 2 ) = f ( x 1 ⋅ X x 2 ) ; ,x_\in X\quad f(x_)\cdot _f(x_)=f(x_\cdot _x_);>
    3. f ( 0 X ) = 0 Y ; <\displaystyle f(0_)=0_;>
    4. f ( 1 X ) = 1 Y ; <\displaystyle f(1_)=1_;>
    5. ∀ x 1 , x 2 ∈ X ( x 1 ≤ X x 2 ) ⇔ ( f ( x 1 ) ≤ Y f ( x 2 ) ) . ,x_\in X\quad x_\leq _x_)\Leftrightarrow f(x_)\leq _f(x_).>

    Любые два полных упорядоченных поля изоморфны между собой. Таким образом с точностью до свойств операций и порядка существует только одно полное упорядоченное поле. Оно называется полем действительных чисел. Аксиомы полного упорядоченного поля, перечисленные выше, называются аксиомами вещественных чисел.

    Пополнение рациональных чисел [ ]

    Вещественные числа R > могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел Q по отношению к обычной метрике d ( r , q ) = | r − q | . Рассмотрим семейство фундаментальных последовательностей рациональных чисел < r n >n ∈ N . \>_ >.> Назовём две последовательности < r n >> и < q n >\>> эквивалентными, если существует предел

    Введённое таким образом отношение является отношением эквивалентности и следовательно разбивает рассматриваемое семейство на непересекающиеся классы эквивалентности. Отождествляя рациональное число q ∈ Q > с фундаментальной последовательностью q n = q , n ∈ N =q,\;n\in \mathbb > , можно считать, что полученное фактор-множество содержит рациональные числа. Зададим на фактор-множестве бинарные операции и порядок следующим образом:

    Непосредственно проверяется, что это построение корректно и полученная таким образом четвёрка является полным упорядоченным полем. В силу изоморфизма полных упорядоченных полей эту структуру можно называть полем действительных чисел и более того считать, что Q ⊂ R . \subset \mathbb .>

    Дедекиндовы сечения [ ]

    Рассмотрим опять множество рациональных чисел Q . Дедекиндовым сечением ( A , B ) множества Q > называется такое его разбиение, что A замкнуто снизу, B замкнуто сверху, и A не содержит наибольшего элемента. Отождествим произвольное рациональное число q ∈ Q > c сечением ( A q , B q ) , ,B_),> где

    и введём на семействе Дедекиндовых сечений бинарные операции + , ⋅ и порядок ≤ следующим образом:

    Опять непосредственное проверяется, что таким образом построено полное упорядоченное поле, содержащее в себе с точностью до изоморфизма рациональные числа. В силу изоморфизма всех упорядоченных линейных полей между собой можно считать полученное поле вещественными числами.

    Пример [ ]

    Бесконечные десятичные дроби [ ]

    Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

    Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида ± d − k d − k + 1 … d 0 , d 1 d 2 … d_\ldots d_, d_ d_\ldots> , где d i являются десятичными цифрами, то есть 0 ⩽ d i < 10 .

    Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид d 999 … и ( d + 1 ) 000 … , где 0 ⩽ d ⩽ 8

    Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

    Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда ± ∑ i = − k ∞ d i ⋅ 10 − i ^ <\infty>d_i\cdot 10^> .

    Ссылки [ ]

    • Кириллов, А. А.Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
    • Понтрягин, Л. С.Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

    Вещественное число

    Веще́ственное, или действи́тельное число [1] — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений [2] .

    Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

    Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

    Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия [3] . Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере [3] была создана строгая теория вещественных чисел.

    С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

    \mathbb<R></p>
<p>Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big><b>R</b></big> («полужирное R»), или » width=»» height=»» /> (англ. <i>blackboard bold</i> «R») от лат. <i>realis</i> — действительный.</p>
<h3>История становления понятия вещественного числа</h3>
<h4>Наивная теория вещественных чисел</h4>
<p>Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании — рациональные числа). Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом [4] .</p>
<p>Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие <i>геометрической величины</i>, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть <i>отношение</i> двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях — например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др. [5] </p>
<p>Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным» [6] . После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе [7] , где поначалу разделяли рациональные и <i>иррациональные</i> (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века), который провозгласил [6] :</p>
<table style= Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью.

    Он же, с некоторыми оговорками, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей, которые с этого момента начинают вытеснять неудобные шестидесятеричные.

    Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону [8] :

    Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу.

    Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными (из геометрических или кинематических соображений). Например, считался самоочевидным тот факт, что непрерывная кривая, точки которой расположены по разные стороны от некоторой прямой, пересекает эту прямую. Строгое определение понятия непрерывности также отсутствовало [9] . Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.

    Даже после того, как Коши разработал достаточно строгий фундамент анализа, положение не изменилось, поскольку теории вещественных чисел, на которую обязан был опираться анализ, не существовало. Из-за этого Коши сделал немало ошибок, положившись на интуицию там, где она приводила к неверным выводам: например, он полагал, что сумма ряда из непрерывных функций всегда непрерывна.

    Создание строгой теории

    Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой пионерской работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана [10] . В более поздней работе [11] Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств [12] , но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.

    Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.

    Конструктивные способы определения вещественного числа

    Основная статья: Конструктивные способы определения вещественного числа

    \mathbb<Q></p>
<p>При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел » width=»» height=»» />), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и <i>пока</i> не являются строго определённым математическим понятием.</p>
<p>Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.</p>
<p>Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда [3] [13] .</p>
<h4>Теория фундаментальных последовательностей Кантора</h4>
<p>В данном подходе вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается <i>условие Коши</i>:</p><div class='code-block code-block-8' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 8joomlaumnik -->
<script src=

 \forall \varepsilon ></p>
<p> 0 \; \exists N(\varepsilon): \; \forall n > N(\varepsilon) \; \forall m > 0 \; | a_ — a_n | < \varepsilon

Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными.

Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел \<a_n\>» width=»» height=»» />, обозначим <img decoding=.

Два вещественных числа

\alpha = [a_n]и \beta = [b_n],

определённые соответственно фундаментальными последовательностями \<a_n\>» width=»» height=»» /> и <img decoding=и \beta = [b_n], то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей \<a_n\>» width=»» height=»» /> и <img decoding=

 \alpha + \beta \overset</p>
<p>> [a_n + b_n] \qquad \alpha \cdot \beta \overset> [a_n \cdot b_n] » width=»» height=»» /></p>
<p>Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число <img decoding=по определению больше числа \beta=[b_n], то есть \alpha >\beta» width=»» height=»» />, если</p>
<p><img decoding=

где \pmесть один из символов +или -, называемый знаком числа, a_0— целое неотрицательное число, a_1, a_2, \ldots a_n, \ldots— последовательность десятичных знаков, то есть элементов числового множества \<0, 1, \ldots 9\>» width=»» height=»» />.</p>
<p>Бесконечная десятичная дробь интерпретируется как такое число, которое на числовой прямой лежит между <i>рациональными</i> точками вида</p>
<p> <img decoding=и \pm \left ( a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^<-n>\right )» width=»» height=»» /> для всех <img decoding=

Сравнение вещественных чисел в форме бесконечных десятичных дробей производится поразрядно. Например, пусть даны два неотрицательных числа

 \begin</p>
<p> \alpha & = + a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots \\ \beta & = + b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots \end » width=»» height=»» /></p>
<p>Если <img decoding=, то \alpha <\beta; если a_0 >b_0″ width=»» height=»» /> то <img decoding=переходят к сравнению следующего разряда. И так далее. Если \alpha \neq \beta, то после конечного числа шагов встретится первый разряд n, такой что a_n \neq b_n. Если a_n < b_n, то \alpha <\beta; если a_n >b_n» width=»» height=»» /> то <img decoding=и \betaназывается вещественное число \alpha + \beta, удовлетворяющее следующему условию:

 \forall a

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Теория сечений в области рациональных чисел

В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.

Сечением в множестве рациональных чисел \mathbb<Q>» width=»» height=»» /> называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых <i>класса</i> — <i>нижний</i> <img decoding=и верхний A, так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:

 \mathbb<Q></p>
<p> = A \cup A» width=»» height=»» /></p>
<p>Если существует число <img decoding=, которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества Aи A: числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны от \alpha. Говорят также, что рациональное число \alphaпроизводит данное сечение множества рациональных чисел.

Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества Aи A. В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число \alpha, которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:

\forall a \in A, \forall a

Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.

Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел \alphaи \betaназывается вещественное число \alpha + \beta, удовлетворяющее следующему условию:

 \forall a

Аксиоматический подход

Построить множество вещественных чисел можно разными способами. В теории Кантора вещественные числа — классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел, в теории Вейерштрасса — бесконечные десятичные дроби, в теории Дедекинда — сечения в области рациональных чисел. Во всех этих подходах в результате мы получаем некоторое множество объектов (вещественных чисел), обладающих определёнными свойствами: их можно складывать, умножать, сравнивать между собой. Более того, коль скоро установлены свойства этих объектов, мы можем больше не апеллировать к тем конкретным конструкциям, с помощью которых они были построены.

В математике важна не конкретная природа объектов, а лишь математические соотношения, существующие между ними.

Для человека, который исследует математическое понятие количество элементов, безразлично, о чём говорить — о трёх яблоках или о трёх камнях, и их съедобность или несъедобность значения не имеет. В процессе отвлечения от несущественных признаков, то есть абстрагирования (лат. abstractio — отвлечение), он приходит к тому общему, что есть у трёх яблок и трёх камней — количеству элементов. Так возникает абстрактное понятие натурального числа. С этой точки зрения три яблока и три камня — две конкретные реализации, модели абстрактного понятия «число три».

Точно так же классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями вещественного числа. А само понятие вещественного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Коль скоро они установлены, определено и понятие вещественного числа.

Здесь уместно привести знаменитое высказывание Д. Гильберта, основоположника системного аксиоматического метода в математике, который, имея в виду аксиоматизацию геометрии, как-то заметил:

Давид Гильберт [15]

Аксиоматика вещественных чисел

\R

Множество называется множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

Аксиомы поля

\R

На множестве определено отображение (операция сложения)

+ : \R \times \R \to \R

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов a, bиз \Rнекоторый элемент cиз того же множества \R, называемый суммой aи b( a+bэквивалентная запись элемента cмножества \R).

\R

Также, на множестве определено отображение (операция умножения)

\cdot : \R \times \R \to \R

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов a, bиз \Rнекоторый элемент a \cdot b, называемый произведением aи b.

При этом имеют место следующие свойства.

\text<I>_. » width=»» height=»» /> <i>Коммутативность сложения.</i> Для любых <img decoding=  a + b = b + a \text<I>_.» width=»» height=»» /> <i>Ассоциативность сложения.</i> Для любых <img decoding=  a + (b + c) = (a + b) + c \text<I>_.» width=»» height=»» /> <i>Существование нуля.</i> Существует элемент <img decoding=, называемый нулём, такой, что для любого a \in \R  a + 0 = a \text<I>_.» width=»» height=»» /> <i>Существование противоположного элемента.</i> Для любого <img decoding=существует элемент -a \in \R, называемый противоположным к a, такой, что  a + (-a) = 0 \text<I>_.» width=»» height=»» /> <i>Коммутативность умножения.</i> Для любых <img decoding=  a \cdot b = b \cdot a \text<I>_.» width=»» height=»» /> <i>Ассоциативность умножения.</i> Для любых <img decoding=  a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \text<I>_.» width=»» height=»» /> <i>Существование единицы.</i> Существует элемент <img decoding=, называемый единицей, такой, что для любого a \in R  a \cdot 1 = a \text<I>_.» width=»» height=»» /> <i>Существование обратного элемента.</i> Для любого <img decoding=существует элемент a^<-1>\in \R» width=»» height=»» />, обозначаемый также <img decoding=и называемый обратным к a, такой, что  a \cdot a^<-1>= 1 » width=»» height=»» /> <img decoding=  a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \text<I>_.» width=»» height=»» /> <i>Нетривиальность поля.</i> <i>Единица</i> и <i>ноль</i> — различные элементы <img decoding=:

1 \neq 0

Аксиомы порядка

Между элементами \Rопределено отношение \leqslant, то есть для любой упорядоченной пары элементов a,bиз \Rустановлено, выполняется соотношение a \leqslant bили нет. При этом имеют место следующие свойства.

\text<II>_.» width=»» height=»» /> <i>Рефлексивность.</i> Для любого <img decoding=

a \leqslant a

\text<II>_.» width=»» height=»» /> <i>Антисимметричность.</i> Для любых <img decoding=

(a \leqslant b) \and (b \leqslant a) \Rightarrow (a = b)

\text<II>_.» width=»» height=»» /> <i>Транзитивность.</i> Для любых <img decoding=

(a \leqslant b) \and (b \leqslant c) \Rightarrow (a \leqslant c)

\text<II>_.» width=»» height=»» /> <i>Линейная упорядоченность.</i> Для любых <img decoding=

(a \leqslant b) \or (b \leqslant a)

\text<II>_.» width=»» height=»» /> <i>Связь сложения и порядка.</i> Для любых <img decoding=

(a \leqslant b) \Rightarrow (a + c \leqslant b + c)

\text<II>_.» width=»» height=»» /><i>Связь умножения и порядка.</i> Для любых <img decoding=

(0 \leqslant a) \and (0 \leqslant b)\Rightarrow (0 \leqslant a \cdot b)

Аксиомы непрерывности

\text<III>_.» width=»» height=»» /> Каковы бы ни были непустые множества <img decoding=и b \in Bвыполняется неравенство a \leqslant b, существует такое число \xi \in \R, что для всех a \in Aи b \in Bимеет место соотношение a \leqslant \xi \leqslant b

Этих аксиом достаточно чтобы строго вывести все известные свойства вещественных чисел [16] .

На языке современной алгебры аксиомы первой группы означают, что множество \Rявляется полем. Аксиомы второй группы — что множество \Rявляется линейно упорядоченным множеством (\text<II>_» width=»» height=»» /> — <img decoding=можно повторить слагаемым столько раз, чтобы образовавшаяся в результате сумма превзошла b:

a + a + \ldots + a ></p>
<p> b» width=»» height=»» /></p>
<p><img decoding=невозможно расширить ни до какой системы \R^<*>» width=»» height=»» />, так чтобы при сохранении прежних соотношений между элементами <img decoding=, для \R^<*>» width=»» height=»» /> выполнялись бы все аксиомы <img decoding=

Таким образом, можно дать следующее эквивалентное определение:

Определение. Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле

В качестве другого примера аксиоматизации вещественных чисел можно привести аксиоматику Тарского (англ.), состоящую всего из 8 аксиом.

Свойства

Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться раздел, посвящённый Свойствам вещественных чисел.
Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Связь с рациональными числами

Очевидно, что на числовой прямой рациональные числа располагаются вперемешку с вещественными, причём множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, основанные, в основном, на аксиоме Архимеда. [18]

Лемма 1. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами.

\forall a \in \mathbb<R></p>
<p> ~ \forall \varepsilon \in \mathbb_+ ~ \exists q_1,q_2 \in \mathbb: ~ (q_1 \leq a \leq q_2) \land (q_2 — q_1 < \varepsilon)

Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.

Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.

\forall a,b \in \mathbb<R></p>
<p>: ~ a\neq b ~ \exists q \in \mathbb: a < q < b

Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое бесконечное множество рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.

Лемма 3. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.

(\forall a,b \in \mathbb<R></p>
<p> ~ \forall \varepsilon \in \mathbb_+ ~ \exists q_1,q_2 \in \mathbb: ~ (q_1 \leq a \leq q_2) \land (q_1 \leq b \leq q_2) \land (q_2 — q_1 < \varepsilon)) \Rightarrow a = b

Эти леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.

Теоретико-множественные свойства

\left(0, 1 \right)

Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных, но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, т. е. не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность интервала . [18]

Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:

x_1 = 0,a_<11>a_ \cdots a_ \cdots» width=»» height=»» /> <img decoding=x_k = 0,a_<k1>a_ \cdots a_ \cdots» width=»» height=»» /> <img decoding=

Здесь a_<ij>» width=»» height=»» /> — <img decoding=-я цифра i-ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.

Далее предлагается рассмотреть следующее число:

x = 0, d_1 d_2 \cdots d_m \cdots

d_i

Пусть каждая цифра этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *