Доказать что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны
Перейти к содержимому

Доказать что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны

  • автор:

521 Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+CD2.

Решебник по геометрии за 8 класс к учебнику Геометрия. 7-9 класс Л.С.Атанасян и др.

Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №521
к главе «Глава VI. Площадь. Дополнительные задачи».

Доказать что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны

В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен R и AB = 2 BC .

Подсказка

1. Во вписанном четырёхугольнике со взаимно перпендикулярными диагоналями расстояние от центра описанной окружности до одной из сторон равно половине противоположной стороны.

2. Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон.

Решение

Первый способ.

Обозначим BC = x . Тогда AB = 2 x . Пусть O — центр описанной окружности, K и M — середины AD и DC . Тогда

OK = BC = , OM = AB = x ,
AD = 2 DK = , CD = 2 MD = 2.

Поскольку AB + CD = BC + AD , то

2 x + 2 = x + 2.

Отсюда находим, что

x = , AB = , AD = , BC = , CD = .

Поэтому AC — биссектриса угла BCD и ABC = 90 o . Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника ABC , т. е. R 2 .

Второй способ.

Обозначим BC = x , AB = 2 x , AD = y , CD = z . Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда

Поэтому BC = DC и BA = DA , т.е. точки A и C равноудалены от концов отрезка BD . Значит, прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BD описанной окружности четырёхугольника ABCD . Следовательно, AC — диаметр этой окружности, ABC = ADC = 90 o .

По теореме Пифагора

BC 2 + AB 2 = AC 2 , или x 2 + 4 x 2 = 4 R 2 ,

откуда x 2 = R 2 . Следовательно,

S ABCD = 2 S ABC = 2 . BC . AB = 2 x 2 = R 2 .
Первый способ.

Обозначим BC = x . Тогда AB = 2 x . Пусть O — центр описанной окружности, K и M — середины AD и DC . Тогда

OK = BC = , OM = AB = x ,
AD = 2 DK = , CD = 2 MD = 2.

Поскольку AB + CD = BC + AD , то

2 x + 2 = x + 2.

Отсюда находим, что

x = , AB = , AD = , BC = , CD = .

Поэтому AC — биссектриса угла BCD и ABC = 90 o . Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника ABC , т. е. R 2 .

Второй способ.

Обозначим BC = x , AB = 2 x , AD = y , CD = z . Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда

Поэтому BC = DC и BA = DA , т.е. точки A и C равноудалены от концов отрезка BD . Значит, прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BD описанной окружности четырёхугольника ABCD . Следовательно, AC — диаметр этой окружности, ABC = ADC = 90 o .

По теореме Пифагора

BC 2 + AB 2 = AC 2 , или x 2 + 4 x 2 = 4 R 2 ,

откуда x 2 = R 2 . Следовательно,

S ABCD = 2 S ABC = 2 . BC . AB = 2 x 2 = R 2 .
Первый способ.

Обозначим BC = x . Тогда AB = 2 x . Пусть O — центр описанной окружности, K и M — середины AD и DC . Тогда

OK = BC = , OM = AB = x ,
AD = 2 DK = , CD = 2 MD = 2.

Поскольку AB + CD = BC + AD , то

2 x + 2 = x + 2.

Отсюда находим, что

x = , AB = , AD = , BC = , CD = .

Поэтому AC — биссектриса угла BCD и ABC = 90 o . Следовательно, искомая площадь равна удвоенной площади треугольника ABC , т. е. R 2 .

Второй способ.

Обозначим BC = x , AB = 2 x , AD = y , CD = z . Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, а т.к. диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то равны и суммы квадратов его противоположных сторон. Тогда

Поэтому BC = DC и BA = DA , т.е. точки A и C равноудалены от концов отрезка BD . Значит, прямая AC — серединный перпендикуляр к хорде BD описанной окружности четырёхугольника ABCD . Следовательно, AC — диаметр этой окружности, ABC = ADC = 90 o .

По теореме Пифагора

BC 2 + AB 2 = AC 2 , или x 2 + 4 x 2 = 4 R 2 ,

откуда x 2 = R 2 . Следовательно,

Доказать что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны

Задача по математике — 10296

comment

2023-02-16
Доказать, что диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других сторон четырехугольника.

Первое решение. В условиях задачи утверждается, что диагональ $BD$ четырехугольника $ABCD$ перпендикулярна другой его диагонали $AC$ в том и только в том случае, если

Пусть $A, B, C$ — три фиксированные точки плоскости. Рассмотрим геометрическое место точек $D$, удовлетворяющих выписанным выше соотношениям. Ясно, что сама точка $B$ принадлежит этому геометрическому месту. Таким образом, исходная задача (в измененных обозначениях) сводится к доказательству следующей леммы.

Пусть на плоскости даны две точки $A$ и $B$. Геометрическое место точек, для которых величина $PA^ — PB^$ постоянна, есть перпендикуляр к отрезку $AB$.

Докажем, что разность $PA^ — PB^$ зависит лишь от положения точки $T$ — основания перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на отрезок $AB$, и изменяется, если точка $T$ перемещается к любому из концов отрезка Действительно, по теореме Пифагора (рис.).

Значение разности $TA^ — TB^$ не может быть одним и тем же для двух различных положений точки $T$ на отрезке $AB$. Действительно, абсолютная величина разности $TA^ — TB^$ совпадает для точек $T$, равноудаленных от $F$ — середины отрезка $AB$, но для точек $T$, расположенных по разные стороны от $F$, эта разность имеет различные знаки и обращается в нуль в самой точке $F$. Например, для точки $T$, лежащей на ближней к концу $B$ половине отрезка $AB$ (рис.),

$TA^ — NB^ = (AF + FT)^ — (AF — FT)^ = 4AF \cdot FT$,

поскольку $BF = AF$. Если учесть, что длина отрезка $AF = \fracAB$ не зависит от положения точки $T$, то тем самым лемма доказана.

Исходное утверждение задачи без труда следует из леммы. Стороны четырехугольника удовлетворяют соотношению $a^ + c^ = b^ + d^$ в том и только в том случае, если (рис.)

По доказанной лемме это означает, что вершины $B$ и $D$ должны лежать на одной и той же прямой, перпендикулярной отрезку $AC$. Иначе говоря, диагонали $BD$ и $AC$ четырехугольника $ABCD$ должны быть взаимно перпендикулярны.

Отсюда следует, что если угол между диагоналями шарнирного четырехугольника при каком-то одном положении звеньев оказывается прямым, то он остается прямым и при всех остальных положениях звеньев.

Второе решение, а. Докажем сначала утверждение задачи лишь для выпуклых четырехугольников. Воспользуемся для этого следующим соотношением между длинами сторон треугольника: в любом треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, меньше, а квадрат стороны, лежащей против тупого угла, больше суммы квадратов двух других сторон. (Эти неравенства следуют из теоремы косинусов, но доказать их можно и из чисто геометрических соображений, не прибегая к тригонометрии.)

Пусть $a, b, c$ и $d$ — стороны четырехугольника, а $p, q, r$ и $s$ — длины отрезков, на которые делит диагонали точка их пересечения (рис.). Если диагонали не взаимно перпендикулярны, то выберем обозначения так, чтобы угол, заключенный между отрезками $p$ и $r$, был тупым. Тогда в силу неравенства между квадратами сторон треугольника

Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то в силу теоремы Пифагора все неравенства перейдут в равенства. Таким образом, диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, если длины его сторон удовлетворяют соотношению

б. Пусть теперь $ABCD$ — заданный невыпуклый четырехугольник. Обозначим через $ \alpha, \beta, \gamma $ и $ \delta $ внутренние углы при его вершинах и предположим, что $ \delta > 180^< \circ >$ (рис.).

Пусть $D^< \prime>$ — точка, симметричная вершине $D$ относительно диагонали $AC$. Стороны четырехугольника $ABCD^< \prime>$ равны сторонам исходного четырехугольника $ABCD$. Диагональ $BD^< \prime>$ перпендикулярна диагонали $AC$ в том и только в том случае, если вершина $B$ лежит на прямой $DD^< \prime>$, поскольку в силу симметрии $DD^ < \prime>\perp AC$. Следовательно, диагональ $BD^< \prime>$ четырехугольника $ABCD^< \prime>$ перпендикулярна диагонали $AC$ в том и только в том случае, если диагональ $BD$ исходного четырехугольника $ABCD$ перпендикулярна $AC$. Таким образом, при отражении от диагонали длины сторон четырехугольника остаются неизменными и сохраняется перпендикулярность (или неперпендикулярность) его диагоналей.

Учитывая это, достаточно убедиться в том, что за конечное число отражений от диагоналей всякий невыпуклый четырехугольник можно преобразовать в выпуклый, относительно которого требуемое утверждение уже доказано (см. и. а), и отсюда заключить, что оно выполняется и для исходного четырехугольника $ABCD$.

Рассмотрим выпуклые (то есть меньше $180^< \circ >$) углы четырехугольника $ABCD^< \prime>$. По крайней мере один из углов, заключенных между отрезками $AC$ и сторонами $AB$ и $CB$, должен быть острым. Предположим, например, что острым является угол $BAC$. Тогда

$ \angle BAD^ < \prime>= 2 \angle BAC$

— выпуклый угол. Поскольку по условию задачи $ \sigma > 180^< \circ >$, то угол $ADC$, примыкающий извне к вершине $D$ исходного четырехугольника и равный углу $AD^< \prime>C$, выпуклый. Он дополняет угол $ \sigma $ до $360^< \circ >$ так же, как и сумма трех других внутренних углов четырехугольника $ABCD$, а потому равен этой сумме. Следовательно, выпуклые углы нового четырехугольника $ABCD^< \prime>$ удовлетворяют следующим соотношениям:

$ \angle D^< \prime>AB > \alpha, \angle ABC = \beta, \angle CD^< \prime>A = \alpha + \beta + \gamma > \gamma $

и
$ \angle D^< \prime>AB + \angle ABC + \angle CD^< \prime>A > \alpha + \beta + ( \alpha + \beta + \gamma)$.

Таким образом, при отражении от диагонали сумма выпуклых углов возрастает на величину, которая больше суммы двух наименьших углов исходного четырехугольника, причем ни один из выпуклых углов не убывает. Следовательно, угол, равный сумме выпуклых углов четырехугольника, после конечного числа отражений от диагоналей перестает быть выпуклым. Это и означает, что исходный (невыпуклый) четырехугольник $ABCD$ переходит в выпуклый.

Если диагонали четырехугольника перпендикулярны

diagonali-chetyrekhugolnika-perpendikulyarny

Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

Из прямоугольных треугольников AFB, CFD, AFD и BFC по теореме Пифагора

\[ AB^2 = AF^2 + BF^2 , \]

\[ CD^2 = CF^2 + DF^2 , \]

\[ AD^2 = AF^2 + DF^2 , \]

\[ BC^2 = BF^2 + CF^2 . \]

Сложив почленно 1-е и 2-е равенства, получим

\[ + \frac{\begin{array}{l} AB^2 = AF^2 + BF^2 \\ CD^2 = CF^2 + DF^2 \\ \end{array}}{{AB^2 + CD^2 = AF^2 + BF^2 + CF^2 + DF^2 }}, \]

\[ AB^2 + CD^2 = (AF^2 + DF^2 ) + (BF^2 + CF^2 ) = AD^2 + BC^2 . \]

Что и требовалось доказать.

Если суммы квадратов противолежащих сторон выпуклого четырехугольника равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

Дано: ABCD — выпуклый четырёхугольник,

Из треугольников AFB, CFD, AFD и BFC по теореме косинусов

\[ AB^2 = AF^2 + BF^2 - 2AB \cdot BF \cdot \cos \alpha , \]

\[ CD^2 = CF^2 + DF^2 - 2CF \cdot DF \cdot \cos \alpha , \]

\[ AD^2 = AF^2 + DF^2 + 2AF \cdot DF \cdot \cos \alpha , \]

\[ BC^2 = BF^2 + CF^2 + 2BF \cdot CF \cdot \cos \alpha . \]

Так как AB²+CD²=AD²+BC² (по условию), то

\[ AF^2 + BF^2 - 2AB \cdot BF \cdot \cos \alpha + \]

\[ + CF^2 + DF^2 - 2CF \cdot DF \cdot \cos \alpha = \]

\[ = AF^2 + DF^2 + 2AF \cdot DF \cdot \cos \alpha + \]

\[ + BF^2 + CF^2 + 2BF \cdot CF \cdot \cos \alpha , \]

\[ - 2AB \cdot BF \cdot \cos \alpha - 2CF \cdot DF \cdot \cos \alpha = \]

\[ = 2AF \cdot DF \cdot \cos \alpha + 2BF \cdot CF \cdot \cos \alpha , \]

\[ AB \cdot BF \cdot \cos \alpha + CF \cdot DF \cdot \cos \alpha + \]

\[ + AF \cdot DF \cdot \cos \alpha + BF \cdot CF \cdot \cos \alpha = 0, \]

\[ \cos \alpha (AB \cdot BF + CF \cdot DF + AF \cdot DF + BF \cdot CF) = 0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равняется нулю.

\[ AB \cdot BF + CF \cdot DF + AF \cdot DF + BF \cdot CF \ne 0 \]

(как сумма положительных слагаемых), следовательно cosα=0.

Значит α=90°, то есть AC⊥BD.

Что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *