Как подобрать частное решение
Перейти к содержимому

Как подобрать частное решение

  • автор:

2.2.2. Метод подбора частного решения

(2.34)

где P(x) и Q(x) — одночлены или многочлены (в общем случае различных степеней от x). Пусть при этом n — наивысшая степень одного из многочленов P(x) или Q(x).

Алгоритм построения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (2.28) следующий:

1. Находим корни характеристического уравнения (2.33).

2. Сравниваем конкретно заданную правую часть уравнения (2.28) с общим выражением (2.34), при котором применим метод подбора, и находим из этого сопоставления три числа:

3. Сравниваем «контрольное» комплексное число

с корнями характеристического уравнения и находим число m корней, совпавших с комплексным числом (если таких корней нет, то m=0).

4. Принимаем частное решение неоднородного уравнения (2.28)в виде

(2.35)

где -многочлены одной и той же n-ой степени, но с неопределенными и различными коэффициентами.

5. Записываем решение (2.35) в развернутой форме в зависимости от n. Так,

если то

если то

6. Подставляем в исходное уравнение (2.28) и получаем систему алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов A,B,C.

Замечание 1. Если правая часть уравнения (2.28) имеет более простой вид, например, содержит произведение степенной функции на показательную

(в частности, возможны случаи n=0 или (и) или содержит только линейную комбинацию тригонометрических функций вида

где M и N — постоянные числа, то частные решения неоднородного уравнения следует искать в форме, указанной в таблице 2 (в нее для полноты включен также общий случай).

Структура частного решения уравненияв зависимости от вида правой части

,

где -многочлен

n-ой степени от x

A. Если число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение следует принимать в форме

где — многочленn-ой степени с неопределенными коэффициентами.

Б. Если (-корень кратностиm, то

где M и N –заданные постоянные числа

A. Если мнимое число не совпадает ни с одним из

корней: (

частное решение в форме

где А и В – неопределенные коэффициенты

Б. Если (— корень кратностиm, то

где и могочлены в общем случае различных степеней

А. Если комплексное число не совпадает ни с одним из корней:, то частное решение следует принимать в форме

где ,— многочленыn-ой степени одного из многочленов P(x) или Q(x), но с неопределенными и различными коэффициентами.

Б. Если (— корень кратностиm, то

Замечание 2. Правая часть уравнения может содержать только функцию видаили функцию вида. Но частное решение методом подбора следует искать в полной форме, содержащей ии(см. таблицу 2).

Процедура подбора неопределенных коэффициентов показана на примерах.

Пример. Решить уравнение

1). Решаем сначала соответствующее однородное уравнение

Составляем характеристическое уравнение, отыскивая частные решения уравнения в виде . Получаем

.

Корни этого уравнения — действительны и различны. Соответствующие им частные линейно независимые решения ( см. таблицу 1 ) Поэтому общее решение однородного уравнения запишется в виде

(2.36)

2). Находим частное решение заданного неоднородного уравнения методом подбора, так как правая часть — многочлен третьей степени относится к первому из указанных в таблице 2 случаев.

Сравнивая функцию с выражением,заключаем, чтоа

Сравниваем с корнями характеристического уравнения. Так както, и частное решение принимаем в виде

(2.37)

где A,B,C,D — неопределенные коэффициенты.

Подставляем (2.37) в исходное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях получающегося равенства:

или

Решая систему алгеабраических уравнений находим коэффициенты: A=-1/8, B=-1/4, C=-3/8, D=1/2

Поэтому (2.38)

Складывая (2.36) и (2.38), получим общее решение уравнения в виде

Пример. Решить уравнение

1). Общее решение однородного уравнения известно (2.36).

2). Находим частное решение неоднородного уравнения, сравнивая правую часть c выражением 2 из таблицы 2:

Получаем .

Сравниваем мнимое число с корнями характеристического уравнения. Так как(j=1,2 — номер корня), то.

где A и B — неопределенные коэффициенты.

Процедура вычислений имеет вид:

или

или

Приравнивая коэффициенты в обеих частях получившегося тригонометрического равенства при и, получим систему

откуда следует A = 3/8, В=-3.8.

Поэтому частное решение исходного уравнения будет

Общее решение запишется в виде

Пример. Решить уравнение

1). Находим общее решение однородного уравнения

(2.39)

имеет комплексные сопряженные кори: ,

Частные решения уравнения (2.39) будут (см. таблицу 1,случай 2a)

2). Находим частное решение неоднородного уравнения. Сравниваем правую часть c общим выражением (1) из таблицы 2:

Видно, что в данном случае n=1, .

Так как (j=1,2), то m=0, поэтому принимаем ( см. табл.2, случай 2А ):

где A и B — неопределенные коэффициенты. Находим их, используя стандартную процедуру:

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

откуда следует B=10/49.

Пример. Решить уравнение

1). Однородное уравнение . Соответствующее ему характеристическое уравнениеимеет мнимые корни. Поэтому частные решения однородного уравнения будут (см. табл. 1, случай 2б ) . Общее решение примет вид

2). Находим сначала частное решение неоднородного уравнения

Сравниваемс выражением(см. табл.2, случай 2 ). ПолучаемТ=5. Сравниваемс корнямиТак как, тоПоэтому принимаемТогда

Приравнивая коэффициенты при sin 2x и cos 2x, получим A = -5/4,

B = 0. Следовательно,

3). Далее находим частное решение уравнения

При этом принимаем ( см. табл. 2, случай 2а )

откуда следует Поэтому

Суммируя полученные решения, получим

Пример частного решения линейного дифференциального уравнения

Задание . Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (xo = 0).
y″ + 6y’ + 13y = 8e -x , yo = 2/3, y’o = 2.
Решение находим с помощью калькулятора. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение:
r 2 +6 r + 13 = 0
D = 6 2 — 4·1·13 = -16


Корни характеристического уравнения: r1 = -3 + 2i, r1 = -3 — 2i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1=e -3x ·cos(2x), y2=e -3x ·sin(2x)
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -3x ·cos(2x)+C2·e -3x ·sin(2x)
Найдем частное решение при условии:y(0) = 2/3, y'(0) = 2
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:
c1 = 2/3
Находим первую производную:
y’ = -3·c2·e -3·x ·sin(2·x)-2·c1·e -3·x ·sin(2·x)-3·c1·cos(2·x)·e -3·x +2·c2·cos(2·x)·e -3·x
Поскольку y'(0) = -3·c1+2·c2, то получаем второе уравнение:
-3·c1+2·c2 = 2
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1 = 2/3
-3·c1+2·c2 = 2
т.е.:
c1 = 2 /3, c2 = 2
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 8·e -x
Поиск частного решения. Уравнение имеет частное решение вида: y * = Ae -x . Вычисляем производные онлайн:
Первая производная: y’ = -A·e -x
Вторая производная: y″ = A·e -x
Найденные производные подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 6y’ + 13y = (A·e -x ) + 6(-A·e -x ) + 13(Ae -x ) = 8·e -x
или 8·A·e -x = 8·e -x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 8A = 8
Откуда, A = 1
Частное решение имеет вид: y * = e -x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Рассмотрим тоже самое уравнение, но решим методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C’1·e -3x ·cos(2x)+C’2·e -3x ·sin(2x)=0
C’1(-2·e -3x ·sin(2x)-3·cos(2x)·e -3x ) + C’2(-3·e -3x ·sin(2x)+2·cos(2x)·e -3x ) = 8*exp(-x)
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2·sin(2x)/(cos(2x))
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = -4·e 2x ·sin(2x)
C’2 = 4·cos(2x)·e 2x
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = -e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 1
C2 = e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x + C * 2
Записываем полученные выражения в виде:
C1 = (-e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·cos(2x)·e -3x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = (e 2x ·sin(2x)+cos(2x)·e 2x )·e -3x ·sin(2x) + C * 2e -3x ·sin(2x)
или
C1 = -cos(2x)·e -x ·sin(2x)+cos 2 (2x)·e -x + C * 1e -3x ·cos(2x)
C2 = cos(2x)·e -x ·sin(2x)+sin 2 (2x)·e -x + C * 2e -3x ·sin(2x)
y = C1 + C2
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример . y″ + 5y’ + 6 = 12cos(2x)
Cоставляем характеристическое уравнение дифференциального уравнения: r 2 +5 r + 6 = 0
Находим дискриминант: D = 5 2 — 4·1·6 = 1


Корни характеристического уравнения: r1 = -2, r2 = -3. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e -2x , y2 = e -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e -2x +C2·e -3x
Найдем частное решение при условии:y(0) = 1, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 1
Находим первую производную: y’ = -3·c2·e -3·x -2·c1·e -2·x
Поскольку y'(0) = -3·c2-2·c2, то получаем второе уравнение:
-3·c2-2·c2 = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 1
-3·c2-2·c2 = 3
которую решаем или методом обратной матрицы или методом исключения переменных.
c1 = 6, c2 = -5
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: y =6·e -2x -5·e -3x
Рассмотрим правую часть: f(x) = 12·cos(2·x)
Уравнение имеет частное решение вида: y * = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные: y’ = -2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x); y″ = -4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y″ + 5y’ + 6y = (-4·A·cos(2x)-4·B·sin(2x)) + 5(-2·A·sin(2x)+2·B·cos(2x)) + 6(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 12·cos(2·x) или -10·A·sin(2x)+2·A·cos(2x)+2·B·sin(2x)+10·B·cos(2x) = 12·cos(2·x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему линейных уравнений:
-10A + 2B = 0
2A + 10B = 12
СЛАУ решаем методом Крамера:
A = 3 /13;B = 15 /13;
Частное решение имеет вид:
y * = 3 /13cos(2x) + 15 /13sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 2 . y’’ + y = cos(x)
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r 2 + 1 = 0
D = 0 2 — 4·1·1 = -4

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = i, r2 = -i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e 0 x cos(x) = cos(x)
y2 = e 0 x sin(x) = sin(x)

Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·cos(x)+C2·sin(x)

Рассмотрим правую часть: f(x) = cos(x)

Найдем частное решение. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r1).

Уравнение имеет частное решение вида:
y * = x (Acos(x) + Bsin(x))
Вычисляем производные:
y’ = sin(x)(B-A·x)+cos(x)(A+B·x)
y″ = cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y″ + y = (cos(x)(2·B-A·x)-sin(x)(2·A+B·x)) + (x (Acos(x) + Bsin(x))) = cos(x)
или
2·B·cos(x)-2·A·sin(x) = cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
2B = 1
-2A = 0
Следовательно:
A = 0; B = 1 /2;
Частное решение имеет вид: y * = x (0cos(x) + ½ sin(x)) = ½ x sin(x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

см. также решение диф уравнения в онлайн.

Как решить неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка?

Данная статья является логическим продолжением урока Однородные уравнения второго и высших порядков. Как я уже отмечал, для того чтобы научиться решать неоднородные уравнения вида , нужно уверенно щёлкать более простые однородные диффуры вида . Впрочем, они доступны даже для школьника, поскольку для решения однородного уравнения требуется лишь правильно решить обычное квадратное уравнение, которое проходят, вроде, в 8 классе. Предполагаю, что вы уверенно расправляетесь с однородными уравнениями, если это не так, пожалуйста, посетите предыдущий урок.

Неоднородные уравнения – это просто!

А самых прилежных читателей в конце урока ждёт морковка подарок от Дедушки Мороза!

Как решить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами вида ?

Алгоритм решения неоднородного ДУ следующий:

1) Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Да-да, взять уравнение , откинуть правую часть: – и найти общее решение. Данная задача подробно разобрана на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Общее решение однородного уравнения я привык обозначать буквой .

2) Наиболее трудный этап. Необходимо найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Сделать это можно так называемым способом подбора частного решения с применением метода неопределенных коэффициентов.

Внимание! Для освоения метода подбора будет нужен методический материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Данную справку лучше по возможности распечатать, очень удобно, если она будет перед глазами. Но не спешите вникать в эти таблицы, если являетесь чайником! Всему свое время.

3) На третьем этапе надо составить общее решение неоднородного уравнения. Это совсем легко: . Совершенно верно – следует просто приплюсовать завоёванные трофеи.

Если изначально в условии сформулирована задача Коши (найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям), то добавляется четвёртый этап:

4) Нахождение частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Порядок нахождения частного решение для уравнения второго порядка уже немного рассмотрен на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. В случае с неоднородным диффуром принципы нахождения частного решения сохраняются.

Примечание: В ваших лекциях, практических занятиях общее решение однородного уравнения и подобранное частное решение неоднородного уравнения , скорее всего, обозначаются не так. Я «намертво» привык к обозначениям , и буду использовать именно их.

Не так всё страшно, переходим к практическим задачам.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:
1) Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

2) Теперь нужно найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения

И вопрос, который вызывает затруднения чаще всего: В каком виде нужно искать частное решение ?

Прежде всего, смотрим на нашу правую часть: . Тут у нас многочлен третьей степени. По идее, частное решение тоже следует искать в виде многочлена третьей степени: , где – пока ещё неизвестные коэффициенты (числа). Образно говоря, нужно посмотреть на правую часть неоднородного уравнения и «собезьянничать» её, но уже с неопределёнными коэффициентами. Вариант подбора, который «сразу приходит в голову», я неформально буду называть обычным, обыкновенным или штатным случаем.

После предварительного анализа смотрим на корни характеристического уравнения , найденные на предыдущем этапе: это различные действительные корни, отличные от нуля. В методическом материале Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? данному случаю соответствует Раздел I. Анализируя примеры № 1-4 справки, приходим к выводу, что, да, действительно – частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде:

После правильно выбранного подбора алгоритм пойдёт по накатанной колее. Используем метод неопределенных коэффициентов. Кто не знаком – узнает.

Найдём первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

(1) Раскрываем скобки.
(2) Ставим знак = и приписываем правую часть исходного ДУ.

Далее работаем с последним равенством – здесь нужно приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:

Чтобы было еще проще, новичкам рекомендую предварительно сгруппировать подобные слагаемые:
, и только потом составлять систему.

В данном случае система получилась очень простой, и многие из читателей справятся с ней даже устно.

Подставляем найденные значения в наш исходный подбор частного решения :

Таким образом, подобранное частное решение неоднородного уравнения:

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Для неоднородных уравнений второго порядка я люблю проводить проверку-«лайт». Сначала я проверяю, правильно ли решил квадратное уравнение. После такой проверки первая часть ответа (общее решение однородного уравнения) будет гарантировано правильной.

Осталось проверить, верно ли найдена вторая часть ответа (подобранное частное решение): . Это тоже довольно просто.
Найдем первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено правильно.

Существует и полный вариант проверки, о нём речь пойдет, когда я разберу задачу Коши.

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Выполнить проверку-«лайт». Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Будьте внимательны, пример «с подвохом»!

А поэтому повторим, по какой схеме подбирать частное решение:
– Смотрим на правую часть и подбираем первоначальный «штатный» вид частного решения .
– Смотрим на корни характеристического уравнения и в справке Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? находим нужный раздел (всего их там пять).
– Знакомимся с разделом и уточняем, в каком же виде нужно искать частное решение .

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получены различные действительные корни, среди которых нет нуля, поэтому общее решение: .

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение ?

Сначала смотрим на правую часть и выдвигаем первую гипотезу: раз в правой части находится экспонента, умноженная на константу , то частное решение, по идее, нужно искать в виде

Далее смотрим на корни характеристического уравнения , , найденные в предыдущем пункте. Это два действительных корня, среди которых нет нуля. Данному случаю соответствует Раздел I справочного материала. Изучив примеры 5-8 таблицы, приходим к выводу, что наш первоначальный вариант подбора нужно домножить на «икс». То есть частное решение дифференциального уравнения следует искать в виде:
, где – пока еще неизвестный коэффициент, который предстоит найти.

После того, как подобран корректный вид частного решения, алгоритм работает стандартно, единственное, вы должны уметь уверенно находить производные, в частности, использовать правило дифференцирования произведения . В ходе вычислений я не буду подробно расписывать производные.

Найдем первую и вторую производную:

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения:

Что сделано? Подстановка, упрощение, взаимоуничтожение слагаемых, и в конце – приравнивание к исходной правой части .

Здесь повезло: из последнего равенства автоматически получаем .
Найденное значение подставляем в наш исходный подбор .

Таким образом, частное решение:

3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Подчеркиваю, что всегда полезно выполнить «быструю» проверку, проверив, по крайне мере, подобранное частное решение .

Думаю, что после трёх разобранных примеров вы уже понимаете, как и на каком этапе надо использовать справочный материал Как подобрать частное решение неоднородного уравнения? Теперь всем читателям, в том числе чайникам, рекомендую прочитать справку полностью.

Что произойдет, если мы неправильно подберём вид частного решения? Вот в только что разобранном примере мы искали частное решение в виде , а что будет, если попробовать искать частное решение в виде или в каком-то другом виде? Поначалу всё будет хорошо: удастся найти производные , провести подстановку. Но далее перед глазами возникнет грустный факт: у нас не получится красивого финального равенства , грубо говоря, «ничего не сойдётся»:

Взаимоуничтожилось вообще ВСЁ! Совершенно понятно, что в конце нельзя приписать правую часть: .

Для закрепления материала пара примеров для самостоятельного решения:

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

Полные решения и ответы в конце урока.

Коши шепчет, что пора рассмотреть его задачу.

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавляется дополнительный пункт.

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

– получены кратные действительные корни, поэтому общее решение:

2) Выясняем, в каком виде нужно искать частное решение . Смотрим на правую часть неоднородного уравнения , и сразу появляется первая версия подбора: .

Далее смотрим на корни характеристического уравнения: – действительные кратные корни. Изучая Раздел III, примеры 24-26 справочных материалов, приходим к выводу, что «очевидное» частное решение нужно домножить на , то есть частное решение следует искать в виде:

Ищем неизвестный коэффициент .

Найдем первую и вторую производную:

Подставим , и в левую часть неоднородного уравнения и максимально упростим выражение:

В самом конце после упрощений приписываем исходную правую часть .

Из последнего равенства следует:

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям ,

Как уже отмечалось, порядок нахождения частного решения немного рассматривался на уроке Однородные уравнения второго и высших порядков. Повторим.

Сначала берём найденное общее решение и применяем к нему первое начальное условие :

Согласно начальному условию: – получаем первое уравнение.

Далее находим производную от общего решения:
и применяем к найденной производной второе начальное уравнение :

Согласно второму начальному условию: – получаем второе уравнение.

Составим и решим систему:

Подставим найденные значения констант , в общее решение

Ответ: частное решение:

Выполним полную проверку:

Сначала проверяем, выполняется ли начальное условие :
– да, начальное условие выполнено.

Находим производную от ответа:

Проверяем, выполняется ли второе начальное условие :
– да, второе начальное условие тоже выполнено.

Берём вторую производную:

Подставим найденное решение и его производные , в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, значит, задание выполнено правильно.

Аналогично можно выполнить полную проверку любого общего решения с той лишь разницей, что не нужно проверять выполнение начальных условий.

Что важно? Важно уметь хорошо дифференцировать и быть внимательным.

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Выполнить полную проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

И еще пара примеров, что-то синусов с косинусами маловато было.

Найти общее решение неоднородного уравнения

Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде:
(при подборе не забываем посмотреть Раздел IV справочной таблицы).

Выясним, чему равны коэффициенты .

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

(после подстановки и максимальных упрощений приписываем правую часть: )

Из последнего равенства составим и решим систему:

Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения я почленно вычел первое уравнение. Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Естественно, при решении системы не возбраняется применять «школьный» метод подстановки, другое дело, что в похожей ситуации это обычно не очень выгодно и удобно.

Таким образом, подобранное частное решение: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Найти общее решение неоднородного уравнения

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения ! Полное решение и ответ в конце урока.

В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много.

На самом деле очень хотелось рассмотреть и другие диффуры, но таки статья должна укладываться в разумные размеры, чтобы Коши действительно не зашептал не обиделись поисковики, Яшенька, бедный, и так у нас очень глючный. Поэтому предлагаю для самостоятельного решения еще несколько уравнений, которые показались мне интересными, но не вошли в «основную сетку» урока.

Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Но, даже из одних ответов вы сможете «вытащить» информацию, например, в каком же виде надо выполнить подбор частного решения. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности.

Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования!

Найти общее решение неоднородного уравнения

Найти общее решение неоднородного уравнения

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Найти общее решение неоднородного уравнения

Найти общее решение неоднородного уравнения

Должен сказать, что примеры № 13-15 достаточно сложны в техническом плане, при подборе частного решения появляются громоздкие производные, которые еще и нужно подставлять в левую часть уравнения. Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов!

Однако и это ещё не все! По многочисленным просьбам я написал статью о линейных неоднородных ДУ высших порядков, где раскрыл дополнительные и очень полезные приёмы решения. В частности, за какую-то пару минут вы научитесь… вообще обходиться без справочной таблицы!!

К слову, о таблице. Наверное, многие, ознакомившись этим справочным материалом, заметили, что в правой части рассматривается ограниченный класс функций : многочлены, экспоненты, синусы, косинусы.

Как быть, если в правой части находятся другие функции, например, тангенс или какая-нибудь дробь? И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных.

Вот это подарки, так подарки =)

Решения и ответы:

Пример 2. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

, – различные действительные корни, один из которых равен нулю, поэтому общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (см. Раздел II Справки. ).
Найдем первую и вторую производную:

Подставим найденные производные в левую часть неоднородного уравнения:

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему. Из последнего равенства:

Таким образом:

3) Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Быстрая проверка: очевидно, что корни характеристического уравнения найдены правильно, поэтому с первой частью ответа всё хорошо. Проверим, правильно ли подобрано частное решение . Найдем первую и вторую производную:

Подставим и в левую часть исходного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение тоже найдено правильно

Пример 4. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел IV справки).

Подставим , , в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом, частное решение:

3) Общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример 5. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (смотрим раздел V справки).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях, составим и решим систему:

Таким образом: .

3) Запишем общее решение:

Ответ: общее решение:

Пример 7. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

– кратные действительные корни
Общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

В ходе решения данной системы использован метод почленного сложения уравнений системы, освежить материал можно на странице Как решить систему линейных уравнений?

3) Общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Ответ: частное решение:

Проверка: я 10+ лет назад уже выполнил полную проверку на черновике =) Как дела у вас?

Пример 9. Решение:
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:

– сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:
.

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (Смотрим Раздел V справочного материала).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

Кстати, почему ? Потому что в правой части отсутствует синус, формально правую часть можно было записать так:
Таким образом: .

3) Составим общее решение неоднородного уравнения:

Ответ: общее решение:

Пример 10.
Ответ: общее решение:

Пример 11.
Ответ: общее решение:

Пример 12.
Ответ: частное решение:

Пример 13.
Ответ: частное решение:

Пример 14.
Ответ: общее решение:

Пример 15.
Ответ: общее решение:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Научный форум dxdy

$y' = -y^2 - y(1 + t^2) + t^2$

Необходимо решить дифференциальное уравнение вида . Насколько я знаю, это называется уравнением Риккати и для его решения сначала было бы хорошо подобрать какое-нибудь частное решение, после чего задачу можно будет свести к решению соответствующего уравнения Бернулли. Частное решение здесь, видимо, следует искать в виде полинома. У меня возникли трудности с его подбором, ведь если полином будет чётной степени, то слева из-за дифференцирования степень станет нечётной, а в правой части будет стоять полином чётной степени. Аналогично с решением в виде полинома нечётной степени. Буду благодарен за подсказки.

Re: Подбор частного решения уравнения Риккати
13.04.2016, 13:28

Заслуженный участник

Хм. надо, конечно, взять бумагу и карандаш. А пока такое соображение: почему бы старшей степени многочлена справа не сократиться?

Re: Подбор частного решения уравнения Риккати
13.04.2016, 13:42

Я может быть что-то упускаю, но старшая степень справа появится в слагаемом $y^2$и сократиться она может только со слагаемым $-yt^2$, но тогда в правой части остаётся $-y+t^2$, а слева производная, имеющая степень на единицу меньше.

Re: Подбор частного решения уравнения Риккати
13.04.2016, 13:46

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось provincialka 13.04.2016, 14:02, всего редактировалось 1 раз.

Чтобы степени сократились, придётся брать константу. Но подходящей нет. Вы уверены, что все знаки указаны верно?

На самом деле все возможные полиномы легко исследуются в общем виде. Сначала показываем, что степень больше двух не подходит. Квадратичные полиномы исследуем в общем виде.

Re: Подбор частного решения уравнения Риккати
13.04.2016, 14:08

Да, уверен. Давайте расскажу, как я получил это уравнение, заодно может быть и остальное проверите.

$\begin<cases></p>
<p>Изначально строю асимптотику задачи<br /> \varepsilon \frac = -u(u-a(t)), ~a(t) = 1-t^2, ~0<t\le 4\\ u(0,\varepsilon) = u^0 \end<cases>$» /></p>
<p>Вырожденное уравнение (при <img decoding=) имеет два корня: $\varphi_1(t) = 1-t^2$и $\varphi_2(t) = 0$. Они пересекаются при $t = 1$. Так как первый корень устойчив на интервале <img decoding=< t < 1$" />, а второй на $t >1$» />, то составной корень имеет вид <img decoding=на <img decoding= и $\hat u = 0$на ' \le t \le 4$. Это регулярная часть асимптотики.

Пограничная часть асимптотики должна определиться из задачи
$\begin\frac = f(0,\varphi_1(0)+Q,0)\\ \varphi_1(0) + Q(0) = u^0, \end$
где $f$— правая часть исходного уравнения, $\tau = \frac<t>$» /> — растянутая переменная.</p>
<p><img decoding=Как вытащить фото из заблокированного iphone

  • Как отключить баннер внутри игры командой powershell
  • Как сделать чтобы моторчик крутился в обе стороны
  • Код эдо 3 проверьте что имя файла соответствует регламенту
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *