Как разрезать произвольный треугольник на две части
Перейти к содержимому

Как разрезать произвольный треугольник на две части

  • автор:

Научный форум dxdy

Необходимо разрезать произвольный треугольник с помощью двух разрезов на части так, чтобы из этих частей можно было сложить равнобедренный треугольник, причем должны быть равными большие стороны этих треугольников.

Идей пока никаких нет, пыталась решать многими способами, пользуясь свойствами высот, медиан, но ничего не выходит. Очень прошу помощи в этой задачи.

Re: Разрезание треугольника
08.01.2020, 16:14

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось grizzly 08.01.2020, 16:15, всего редактировалось 1 раз.

sobolevaekaterina в сообщении #1433951 писал(а):
пыталась решать многими способами, пользуясь свойствами высот, медиан, но ничего не выходит.
Попробуйте добавить к этому ещё среднюю линию.
sobolevaekaterina в сообщении #1433951 писал(а):
причем должны быть равными большие стороны этих треугольников.

Наверное, «этого треугольника»? Странное усложнение. Попытайтесь пока без него, глядишь, там чуть лучше прояснится.

Re: Разрезание треугольника
08.01.2020, 16:30
grizzly в сообщении #1433974 писал(а):

Наверное, «этого треугольника»? Странное усложнение. Попытайтесь пока без него, глядишь, там чуть лучше прояснится.

Я так понял, наибольшая сторона исходного треугольника должна равняться наибольшей стороне полученного треугольника.

Re: Разрезание треугольника
08.01.2020, 16:38

Последний раз редактировалось sobolevaekaterina 08.01.2020, 16:41, всего редактировалось 1 раз.

grizzly , пробовала и свойствами средней линии пользоваться, тоже не выходит.

Sender , да, верно.

Re: Разрезание треугольника
08.01.2020, 17:35

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось grizzly 08.01.2020, 17:36, всего редактировалось 2 раз(а).

А, понял про стороны. Это упрощает.

sobolevaekaterina
Эта задача типа олимпиадной и здесь сложно дать небольшую подсказку, которая была бы полезной, но не выдала бы сразу всю идею решения. Но ладно, я скажу идею, только все доказательства Вы уж самостоятельно, пожалуйста.

Проведите среднюю линию, параллельную большей стороне данного треугольника (назовём эту сторону ), и постройте внутри этого треугольника меньший треугольник, у которого основанием служит эта средняя линия, а одна из вершин находится на . По нему и будем резать. Каким должен быть этот внутренний треугольник, Вы должны догадаться (можно даже с ножницами думать).

Как разрезать произвольный треугольник на две части

Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на три многоугольника, один из которых должен быть тупоугольным треугольником, так, чтобы потом сложить из них прямоугольник. (Переворачивать части можно).

Решение

В неравнобедренном треугольнике ABC проведем высоту из вершины наибольшего угла ( BD на рис. 1). Пусть BC>BA , тогда DC>DA . Прямоугольником, равновеликим треугольнику ABC будет прямоугольник BDEF , где DE=AC , а точка E лежит на DC , так как DC>DA . Построим Δ GFE , равный Δ ADB ( G BF ). Тогда BG=BF-GF=DE-AD=(AD+EC)-AD=EC , и из параллельности прямых BG и CE HBG= HCE , BGH= HEC . Следовательно, Δ BGH=Δ CEH . Получили три многоугольника: ABD , BDEH , CEH (тупоугольный треугольник). Перекладывая Δ ABD на место Δ GEF и Δ CEH на место Δ BGH , получим прямоугольник.

Рис. 1 Рис. 2
Если Δ ABC равнобедренный ( AB=BC на рис. 2), то проводим высоту BD , отрезаем тупоугольный треугольник BFG и, перекладывая Δ BDC на место Δ AEB , получаем прямоугольник.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2003
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 03.4.8.4

Проект осуществляется при поддержке и .

Как разрезать произвольный треугольник на две части

Задача по математике — 1281

comment

2018-12-01
Покажите, как разрезать произвольный прямоугольник на три части и сложить из них неравнобедренный треугольник.

Существует несколько способов решения задачи. Рассмотрим Два из них. Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник (см. рис. а, б).

Первый способ. Пусть $K$ — середина меньшей стороны $BC$ (см. рис. а). Разрежем прямоугольник по прямой $AK$ и приложим прямоугольный треугольник $ABK$ так, как показано на рисунке. Треугольник $AMD$ — искомый, причем еще один разрез можно сделать произвольно.

Второй способ. Выберем на меньшей стороне $BC$ две точки $E$ и $F$ так, что $EF = \frac BC$ и $BE \neq CF$ (см. рис. б). Разрежем прямоугольник по прямым $AE$ и $BF$ и приложим прямоугольные треугольники $ABE$ и $DCF$ так, как показано на рисунке. Треугольник $APD$ — искомый.

Выбор меньшей стороны (в обоих способах) гарантирует, что полученный треугольник не будет равнобедренным.

Разбиение на подобные треугольники

Как разбить треугольник на подобные ему треугольники? 1 Сколько треугольников можно получить при таких разбиениях?

Разбиения равностороннего треугольника на равносторонние: от 4 до бесконечности

Очень легко разбить любой равносторонний треугольник на 4 равных равносторонних треугольника, соединив отрезками середины его сторон, то есть проведя средние линии (рис. 1, а).

Продолжая разбивать этим же способом получающиеся части, мы сможем разделить исходный треугольник на 7, 10, 13, . равносторонних треугольников, и вообще, на любое их число вида 3k + 1 (где k — натуральное). Отметим, что среди треугольников разбиения обязательно будут равные.

Рис. 1. Равносторонний треугольник разбит на 4 равных равносторонних треугольника; треугольник Серпинского («Квантик» №7, 2020)

Рисунок Марии Усеиновой («Квантик» №7, 2020)

Аналогично строится одна из самоподобных фигур — треугольник Серпинского (такие фигуры называются фракталами). В равностороннем треугольнике проводятся средние линии и «вынимается» средний из четырёх получившихся треугольников. Этот процесс повторяется в каждом из трёх остальных треугольников и т. д., до бесконечности. Итоговая фигура (рис. 1, б) имеет ту же форму, что и её части.

А если делить стороны равностороннего треугольника не на 2 равные части, а на 3, 4 и т. д.? Тогда можно разбить его на 9, 16, . равных равносторонних треугольников (рис. 2, а, б). Ведь если поделить одну из сторон на n равных частей, то сторона маленького треугольника будет в n раз меньше стороны исходного, а площадь тогда — в n 2 раз меньше. Это и значит, что в разбиении будет n 2 треугольников. Кстати, их можно было подсчитать и по «слоям»: в верхнем слое — один треугольник, в следующем — 3, в последующем — 5, . в самом нижнем слое будет 2n − 1 треугольников. Попутно мы доказали геометрически, что 1 + 3 + . + (2n − 1) = n 2 .

Рис. 2. Треугольник, разбитый на несколько равносторонних треугольников («Квантик» №7, 2020)

Обобщаем на произвольные треугольники

Всё сказанное выше легко обобщить на случай произвольного треугольника, проводя три семейства параллельных прямых (в каждом семействе прямые параллельны одной стороне и делят каждую из двух других сторон на n равных частей). Теперь несложно понять, как разбить любой треугольник на n ему подобных, где n > 5. Разбиение на 6 треугольников, подобных исходному, получается, если сделать чертёж, аналогичный рисунку 2, а, и стереть лишние линии (рис. 3, а). Разбиение на 8 подобных (рис. 3, б) получается из рисунка 2, б, и т. д., для любых чётных n, больших 5. Если же n — нечётное, то после стирания надо сделать ещё один шаг: разбить «верхний» треугольник средними линиями на четыре равных. На рисунке 3, в показано такое разбиение на 11 треугольников.

Рис. 3. Треугольники, разбитые на несколько треугольников («Квантик» №7, 2020)

А вот на 2, 3 или 5 треугольников, подобных исходному, можно разбить не любой треугольник.

Прямоугольные треугольники

Выясним, какой треугольник можно разбить на два ему подобных. Пусть отрезок CD делит треугольник АВС на два ему подобных: ACD и BCD. Если ∠ САD = α, ∠ AСD = β, то ∠ BDС = α + β (рис. 4, а). Тогда в треугольнике ACD должен быть угол α + β, и это может быть только угол ADС. Значит, ∠ АDС = ∠ ВDС = α + β = 90°. Тогда исходный треугольник тоже прямоугольный, и ∠ AСВ = 90°.

Так как α + β = 90°, то ∠ DCB = α, ∠ АВС = β, и треугольники ACD и BCD подобны треугольнику АВС (рис. 4, б).

Рис. 4. Треугольники, разбитые на несколько треугольников («Квантик» №7, 2020)

Проведя в любом из полученных треугольников высоту из вершины D, мы разобьём треугольник АВС на три треугольника, ему подобных. Продолжая этот процесс, можно разбить прямоугольный треугольник на любое количество ему подобных. А можно ли сделать эти треугольники равными? Иногда можно.

Так, если прямоугольный треугольник АВС — ещё и равнобедренный, высота CD разбивает его на 2 равных прямоугольных равнобедренных треугольника, подобных ABC, а их высоты, проведённые из вершины D, дают уже 4. Продолжая, можно разбить прямоугольный равнобедренный треугольник на 2 n равных треугольников, подобных ему (n — любое натуральное).

Рис. 5. Треугольник, разбитый на несколько треугольников («Квантик» №7, 2020)

Но этот случай — не единственный. Пусть длины катетов прямоугольного треугольника равны целым числам m и k, тогда его можно разбить на m 2 + k 2 равных треугольников, подобных ему. Для этого проведём высоту из вершины прямого угла и разобьём один получившийся треугольник на m 2 , а другой — на k 2 равных треугольников, как на рисунке 2. Полученные маленькие прямоугольные треугольники двух видов равны (по гипотенузе и острому углу) и подобны исходному. На рисунке 5 — пример разбиения треугольника с катетами 5 и 7 на 74 = 5 2 + 7 2 равных треугольника.

Разбиения на различные подобные треугольники

А какой треугольник можно разбить на треугольники, ему подобные, среди которых не будет равных? Оказывается, любой неравносторонний. Перед тем как объяснить решение, напомним, что в подобных треугольниках равны отношения соответствующих сторон. Построить искомое разбиение поможет обобщённая теорема Фалеса: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Рассмотрим треугольник АВС, в котором BC / AC = k > 1. Приложим к треугольнику ABC треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (рис. 6). Получим треугольник, разбитый на 6 неравных подобных треугольников.

Рис. 6. Треугольник, разбитый на несколько треугольников («Квантик» №7, 2020)

Треугольники ABC, 1, 2, 3, 4 все различны, так как каждый следующий в k раз больше предыдущего.

Но треугольники 4 и 5 могут оказаться равными, если k + k 3 = k 4 . Тогда достроим треугольники 6 и 7, а треугольник 5 заменим треугольником 8. Треугольники 7 и 8 не равны, так как k 6 ≠ k + k 3 + k 5 . Ведь если k + k 3 = k 4 , то k 6 = k 2 (k + k 3 ) = k 3 + k 5 < k + k 3 + k 5 .

Вместо заключения

Какие треугольники разрезаются на 5 подобных, до конца неизвестно, см. статью Б. Френкина «О разрезании треугольника на подобные ему» («Квант» № 4 за 2008 г.). Развитие темы для многоугольников см. в книге М. Гарднера «Математические досуги» (Мир, 2000; гл. 24: «Делящиеся» фигуры на плоскости).

Художник Мария Усеинова

Задачи для самостоятельного решения

Рисунок Марии Усеиновой («Квантик» №7, 2020)

1. Можно ли какой-нибудь треугольник разбить на три равных треугольника, подобных исходному?

2. Можно ли разбить на пять треугольников, подобных исходному, какой-нибудь: а) прямоугольный треугольник; б) (С. Маркелов) непрямоугольный треугольник?

3. (Т. Емельянова) Разрежьте неравносторонний треугольник на четыре подобных треугольника, среди которых не все между собой равны.

4. (А. Галочкин) Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

5. (Д. Шноль) Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей первого подобна одной из частей второго. Обязательно ли подобны оставшиеся части?

6. (М. Панов) Можно ли равносторонний треугольник разбить на 5 равнобедренных, но попарно не подобных?

1 Два треугольника подобны, если углы одного соответственно равны углам другого (достаточно соответствующего равенства двух углов).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *