Что такое rect в сигналах
Перейти к содержимому

Что такое rect в сигналах

  • автор:

Разложение сигналов по системам единичных импульсов и дельта-функций Текст научной статьи по специальности «Физика»

В статье рассматриваются возможность представления сигнала в виде временного или пространственного спектра путем его разложения по системам единичных импульсов и дельта-функций. Выводятся соотношения для определения коэффициентов разложения. Отмечается, что эти системы идеально подходят для временной (или пространственной) локализации всевозможных резких изменений анализируемого сигнала , т. е. для анализа его структурных особенностей.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Бахрушин Александр Петрович

Разложение сигналов на симметричном интервале по системам простых, составных и формальных систем базисных функций

Условия сходимости ряда Фурье при разложении сигнала по новым системам базисных функций
К вопросу разложения сигнала в функциональный ряд по совокупности базисных функций

Модель физического уровня системы широкополосного беспроводного доступа с пространственно-временным кодированием

Формирование и применение кусочно-непрерывных функций при защите видеопродукции с помощью цифровых водяных знаков

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

SIGNAL DECOMPOSITION BY SYSTEM OF UNIT IMPULSES AND DELTA-FUNCTIONS

The opportunity of signal presentation in a form of temporal or spatial spectra by its decomposing with system of unit impulses and delta-functions is discussed in this paper. The equations for calculation of decomposition coefficients are derived. It is noted that these systems of functions are ideal for temporal or spatial localization of all kinds of analyzed signal sharp changes, namely for analyzing its structural peculiar properties.

Текст научной работы на тему «Разложение сигналов по системам единичных импульсов и дельта-функций»

ТЕХНИЧЕСКИЕ, ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

УДК 681.323(075) А. П. Бахрушин

Разложение сигналов по системам единичных импульсов

В статье рассматриваются возможность представления сигнала в виде временного или пространственного спектра путем его разложения по системам единичных импульсов и дельта-функций. Выводятся соотношения для определения коэффициентов разложения. Отмечается, что эти системы идеально подходят для временной (или пространственной) локализации всевозможных резких изменений анализируемого сигнала, т. е. для анализа его структурных особенностей.

Ключевые слова: спектр, сигнал, коэффициенты разложения, единичные импульсы, дельта функция.

Alexander P. Bahrushin

SIGNAL DECOMPOSITION BY SYSTEM OF UNIT IMPULSES AND DELTA-FUNCTIONS

(Sholom-Aleichem Priamursky State University, Birobidzhan)

The opportunity of signal presentation in a form of temporal or spatial spectra by its decomposing with system of unit impulses and delta-functions is discussed in this paper. The equations for calculation of decomposition coefficients are derived. It is noted that these systems of functions are ideal for temporal or spatial localization of all kinds of analyzed signal sharp changes, namely for analyzing its structural peculiar properties.

Keywords: spectra, signal, decomposition coefficients, unit impulses, delta-functions.

Среди различных аспектов обобщенной спектральной теории сигналов, оказывающих непосредственное влияние на методы синтеза алгоритмических и аппаратных средств, особое место занимают вопросы формирования конкретных систем базисных функций. Разложение сигнала по некоторой системе базисных функций и его представление в вице спектра является универсальной формой его аналитического описания в линейной теории сигналов. Это же относится и к форме представления сигнала s (x) в виде функции временной или пространствен-

Бахрушин Александр Петрович — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры информатики и вычислительной техники (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, г. Биробиджан), e-mail: stripylife@yahoo.com.

© Бахрушин А. П., 2013

ной координаты. Такую форму представления сигнала можно рассматривать как временной или пространственный спектр, т. е. как результат разложения сигнала по системам единичных импульсов или дельта-функций. Так, например, в пространственном спектре сигнала 5(х) переменная х представляет собой пространственную координату, которая может возрастать или убывать, а также принимать как положительные, так и отрицательные значения [1—3].

Рассмотрим особенности формирования пространственного спектра на основе тех или иных систем базисных функций. Допустим, что некоторый сигнал задан на одностороннем интервале [0, х/2). Предположим также, что подлежащие анализу сигналы являются ступенчатыми с шириной ступени Ах, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Представление сигнала 5 (х) в виде ступенчатой функции

Допустим, что на интервале [0, х/2) укладывается п таких полных ступенек. В дальнейшем для того, чтобы распространить полученные результаты на непрерывные сигналы, перейдем к пределу Дг —» 0 . Очевидно, что число ступенек в этом случае и —> да . Рассмотрим возможность построения системы базисных функций для разложения сигнала 5 (х) на основе единичных импульсов о’, (х), которые формируются следующим образом.

Введем каузальную функцию, описывающую прямоугольный импульс:

[ 0, при остальных значениях Сделаем подстановку / = х/Ах. В этом случае:

, 2 » Х » 2 , 0, при остальных значениях х.

При сдвиге импульса вправо на величину x имеем:

[ 0, при остальных значениях x. Тогда функцию единичного импульса можно записать как:

На рис. 2 изображены системы четных \iuk.x)\ и нечетных <в<к,х)>функции, построенные на основе единичных импульсов.

Рис. 2. Система четных и нечетных \0(к, д:)| базисных функций

Системы базисных функций и сформированы таким образом, что входящие в них функции не перекрываются по пространственной координате х, чем и обеспечивается ортогональность каждой

из рассматриваемых систем.

Аналитически четные функции могут быть записаны в виде:

2 rect — , 1 Ах 1

Их средняя мощность на интервале [0, х/2) равна:

Запишем выражение, определяющее разложение сигнала ^ (х) в ряд Фурье по системе четных функций, построенных на основе единичных импульсов:

В свою очередь, коэффициенты разложения можно определить через прямое преобразование:

С1 (к) = — | ä1 (х) гес/

Очевидно, что по системе прямоугольных импульсов можно разложить не любой сигнал, а лишь сигнал, имеющий ступенчатую форму. Поэтому такая система является полной только для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени Дх.

Для приведения данной системы к полной для любого непрерывного сигнала необходимо в приведенных выражениях перейти к пределу при условии В этом случае дискретная переменная кАх переходит в

непрерывную переменную х и выражение (1) преобразуется к виду:

u (х х) u (х х), х 0.

Из (3) следует, что четная базисная система является функцией двух переменных — пространственной координаты X и величины смещения X единичных импульсов.

Разделим и умножим (2) на Дх

и перейдем к пределу при Лх —» 0 . Тогда разложение сигнала (х) будет иметь не вид суммы, а вид интеграла:

Q(jc) = J 5i(x)S(x)dx, при x — 0,

Q (x) = J sl (x) S (x — x) + S (x — x) dx, при x Ф 0 .

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аналогичным образом производится разложение сигнала на том же интервале по системе нечетных функций:

0 (х, х) = и (х — х) — и (х + х). При Лх —» 0 получаем:

s2(x) = J С2(х)[с> (/ — х) — S(t + х)] dx,

С2(х) = | s2(x) S(x — х)- S(x + x)dx

Рассмотрим возможность разложения сигналов на интервале [0, х/2) по базисным системам и <0<к,х)>, сформированным на основе дельта-функций. Моделями таких систем могут считаться функции, изображенные на рис. 2 с той разницей, что амплитуды прямоугольных импульсов у них определяются отношением 1/Дх. Четные функции в этом случае могут быть представлены в виде:

2 ( x — rect\ — Ax l Ax

Их средняя мощность на интервале [0, X/2) равна:

По аналогии с (4) запишем разложение ступенчатого сигнала ^ (х) по системе функций :

^ x — ktAx^ 1 ix + kAx

Для разложения непрерывных сигналов необходимо перейти к пределу при Ах —> 0. В результате будет получено выражение аналогичное (2), которое представляет собой разложение сигнала не по системе единичных импульсов, а по системе дельта функций:

Таким же образом нетрудно показать, что сигнал (х) можно разложить на интервале [0, х/2) по системе нечетных функций

в (х, х) = 8 (х — х) — 3 (х + х)

и получить выражение, аналогичное (4).

Несмотря на то, что аналитическое описание пространственных спектров С (х) и С2 (-) совпадает независимо от используемого подхода к их формированию, интерпретировать эти спектры можно по-разному.

При конечном интервале определения сигнала более удобной представляется трактовка пространственного спектра как результата разложения сигнала в предельный ряд Фурье по системе единичных импульсов. В этом случае такие импульсы могут иметь сколь угодно малую, но все же конечную мощность.

При рассмотрении сигнала на бесконечном интервале можно исходить из того, что мощность дельта-функций является конечной величиной. Действительно, так как в этом случае выражение (5) определяется при Лх —> 0 и X —> со, то их произведение АхХ, в соответствии с определением дельта-функции, может считаться величиной постоянной.

Поэтому на бесконечном интервале определения сигнала более приемлемой следует считать интерпретацию пространственных спектров, как интегралов Фурье по системе базисных дельта-функций.

Необходимо отметить, что так как согласно определению ширина дельта-функции бесконечно мала, то она идеально подходит для временной (или пространственной) локализации всевозможных резких изменений анализируемого сигнала, т. е. с помощью дельта-функции можно отразить все его структурные особенности. В то же время полученный таким образом спектр является исключительно временным (пространственным) спектром, т. е. не содержит информации о частотном составе анализируемого сигнала.

1. Трахтман А. М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Советское радио, 1972. 352 с.

2. Трахтман А. М., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Советское радио, 1975. 397 с.

3. Солодовников А. И., Спиваковский А. И., Канатов И. И. Синтез обобщенного спектрально ядра произвольной размерности / / Применение ортогональных методов при обработке сигналов и анализе систем: межвузовский сборник.

Свердловск: Изд-во УПИ, 1980. с. 15 — 22.

Управление пространственным спектром лазерного пучка с помощью частотно-манипулированных сигналов в лазерных сканирующих системах телеориентации — page 5

You are currently viewing the SEO version of !text.
It has a number of design and functionality limitations.

We recommend viewing the Flash version or the basic HTML version of this publication.

Что такое rect в сигналах

Представим периодический сигнал в виде ряда Фурье (комплексная форма)

Обозначим , при этом выразим коэффициент как .

На интервале в один период T /2 t T /2 сигналы xT ( t ) и x ( t ) совпадают, поэтому

Если , то , и в результате предельного перехода из предыдущих выражений мы получаем пару преобразований Фурье

— прямое преобразование Фурье, выражение анализа сигнала,

— обратное преобразование Фурье, выражение синтеза сигнала .

Функцию X () называют спектральной плотностью или спектральной функцией сигнала x ( t ). Спектральная плотность в общем случае является комплексной функцией действительного аргумента ω, так как .

В теории сигналов и систем эти преобразования называют также непрерывно – временными преобразованиями Фурье, сокращенно НВПФ (англ. Continue Time Fourier Transform – CTFT ), поскольку они относятся к непрерывным во времени сигналам.

Связь между x ( t ) и X () через преобразования Фурье может быть представлена в символической форме

которая означает, что они являются преобразованиями Фурье друг друга. . Во многих источниках вместо X ( ) используется обозначение X ( ω ), без символа j . Преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу x ( t ), заданному во временной области, функцию спектральной плотности X () в частотной области

Как и ряд Фурье, обратное преобразование Фурье дает сигнал x ( t ) в точках непрерывности и среднее значение в точках разрыва сигнала. В точках разрыва сходимость сопровождается явлением Гиббса.

Во многих практических задачах, связанных с преобразованием Фурье, удобно использовать не угловую частоту ω, выражаемую в радианах в секунду, а частоту в герцах . При этом преобразования Фурье приобретают вид

В этих выражениях уже нет множителя 1/2π.

Следует отметить, что преобразование Фурье не ограничиваются функциями времени. Они широко используются для функций пространственной переменной x . В этом случае частотная область получает смысл пространственных частот. Использование пространственных частот характерно для сигналов типа изображений (фотографий).

Какие сигналы x ( t ) имеют преобразование Фурье, т.е. для каких сигналов оно сходится? В математическом анализе доказывается, что сигналы должны

· либо иметь конечную энергию, т.е. ,

· либо удовлетворять условиям Дирихле, т.е. быть абсолютно интегрируемыми , иметь конечное число минимумов и максимумов и конечное число разрывов первого рода на каждом конечном интервале.

Амплитудный и фазовый спектры непериодического сигнала

Обратимся к выражению обратного преобразования Фурье и запишем его приближенно

Этот интеграл физически можно интерпретировать как разложение сигнала x ( t ) в виде бесконечной суммы комплексных гармоник с бесконечно малыми комплексными амплитудами вида X ( fk ) Δf . Элементарной частотной составляющей сигнала здесь выступает не отдельная гармоника, как у периодического сигнала, а приращение , где d f — бесконечно малое приращение частоты. При этом произведение X ( f ) df – бесконечно малая комплексная амплитуда комплексной гармоники . Обозначим dX = X ( f ) df , тогда . Чаще всего, но не всегда, размерность . Следовательно, X ( f ) имеет смысл плотности комплексных (имеющих модуль и фазу) амплитуд гармоник, приходящихся на единичный интервал частот вблизи рассматриваемой частоты f . Этим и объясняется название X ( f ) или X ()– спектральная плотность (функция) сигнала. Эта функция по своему физическому смыслу аналогична понятию плотности массы или плотности вероятности.

В общем случае X ( f ) является комплексной функцией действительного аргумента f (частоты), т.к.

Её можно представить в виде модуля и аргумента (фазы)

— это амплитудный спектр непериодического сигнала x ( t ),

— фазовый спектр непериодического сигнала.

Выражение спектральной плотности с помощью формулы Эйлера можно записать в виде

, где — четная функция частоты f , — нечетная функция f .

Отсюда амплитудный спектр — четная функция частоты, т.е. .

Фазовый спектр — нечетная функция частоты f ,

Следовательно, достаточно вычислять спектры только для положительных частот.

Общий вид амплитудного и фазового спектров. При этом амплитудный спектр — четная функция частоты, а фазовый — нечетная. Их главное внешнее отличие от поведения спектров периодических сигналов заключается в том, что огни являются сплошными в отличие от линейчатых спектров периодических сигналов.

В связи с симметрией обычно изображают спектры только для положительных частот.

Выразим вклад диапазона частот в сигнал x ( t )

Отсюда вклад элементарного диапазона частот в сигнал x ( t )

Таким образом, вклад элементарного диапазона частот в сигнал пропорционален значению модуля спектральной плотности на частоте f . Отсюда и происходит название .

Фаза выражает угловой (временной) сдвиг гармоники на частоте f при t = 0.

Сигналы, спектр которых (полоса частот) включает начало координат (нулевую частоту), называют низкочастотными. Узкополосным (полосовым) называют сигнал, спектр которого концентрируется около некоторой частоты, удаленной от начала координат. Сигналы реального мира в большинстве случаев являются низкочастотными, узкополосные сигналы используются в системах связи.

Примеры определения спектров

1. Экспоненциальный сигнал
u ( t ) — единичная ступенчатая функция.

Фазовый спектр . Графики спектров для a =1

2. Прямоугольный импульс, длительность

Преобразование Фурье (комплексный спектр)

действительная функция ω. Амплитудный спектр . Ф аза

График для Т1 = 0.5

Для T 1 =1/2 x ( t )= rect ( t ) — симметричный относительно начала координат прямоугольный импульс единичной длительности и амплитуды, его спектр

. Первый нуль спектра – при ,

если длительность импульса 2 T 1 ® 0, то ω1 ® ∞, т.е. чем уже импульс, тем шире спектр.

3. Дельта – функция (единичная импульсная функция) .

Преобразование Фурье δ- функции , значит, такой сигнал

имеет постоянный (бесконечно широкий) спектр при любой частоте ω.

Следовательно, согласно обратному НВПФ δ – функция может быть синтезирована из бесконечного множества гармоник вида .

— это δ- функция, сдвинутая на τ во времени. Её спектральная плотность

Графики амплитудного и фазового спектров

У смещенной δ – функции – линейный фазовый спектр

Что такое rect в сигналах

QML имеет механизм сигналов и обработчиков, аналогичный сигналам и слотам. Типы QML также могут определять сигналы, которые еще называются событиями. Для обработки события для сигнала определяется обработчик в виде свойства. Обработчик определяет действия, выполняемые при генерации сигнала. Причем сигнал и свойство-обработчик определяются в одном и том же классе. сигналу осуществуляется через специальное свойство. Обычно между наименованиями сигналов и свойств-обработчиков существует связь: свойство называется по имени сигнала + приставка on («clicked» — «onClicked»). Например, простеший код приложения на QML:

import QtQuick import QtQuick.Controls Window < width: 250 height: 200 visible: true title: "METANIT.COM" Column< padding: 5 Button< text: "Click Me" onClicked: < header.text = "Button clicked!" >> Text < id: header font.pixelSize: 18 >> >

Для кнопок определен сигнал clicked , который генерируется при нажатии на кнопку. Чтобы установить обработчик этого сигнала, у типа Button определено свойство onClicked . В данном случае обработчик представляет блок кода, где устанавливается текст элемента header. То есть по нажатию на кнопку генерируется сигнал clicked, обработчик onClicked получит этот сигнал и будет выполняться:

Сигналы в Qt и QML

Действия обработчика события можно вынести в отдельную функцию JavaScript:

import QtQuick import QtQuick.Controls Window < width: 250 height: 200 visible: true title: "METANIT.COM" function setText()< header.text = "Signal clicked" >Column < padding: 5 Button< text: "Click Me" onClicked: setText() >Text < id: header font.pixelSize: 18 >> >

В данном случае в качестве обработчика применяется функция setText.

Определение сигнала в QML

При необходимости мы можем сами определять свои сигналы в элементах QML. Для добавления сигнала внутри элемента QML применяется ключевое слово signal :

signal имя_сигнала[([параметр_1, параметр_2, . параметр_N)]

После слова signal идет имя сигнала, затем в скобках перечисление параметров через запятую. Для каждого параметра указывается тип и имя. Если сигнал не принимает параметров, то указываются пустые скобки. Например:

import QtQuick import QtQuick.Controls Window < width: 250 height: 200 visible: true title: "METANIT.COM" Rectangle < id: rect signal sendMessage() // определяем сигнал anchors.fill: parent Column< anchors.fill: parent Button < id:sendButton text: "Send" onClicked: rect.sendMessage() >Text < id: content >> onSendMessage: < // определяем обработчик сигнала sendMessage() content.text += "SendMessage Signal Received\n" >> >

Здесь для элемента Rectangle определен сигнал sendMessage

signal sendMessage()

Этот сигнал не имеет никаких параметров. Для обработки этого сигнала определен обработчик onSendMessage:

onSendMessage: < // определяем обработчик сигнала sendMessage() content.text += "SendMessage Signal Received\n" >

В этом обработчике просто изменяем текст элемента content. Обратите внимание на соответствие по имени между сигналом и обработчиком.

Теперь нам надо сгенерировать сигнал. Для этого у элемента Button определен следующий обработчик onClicked:

onClicked: rect.sendMessage()

То есть по нажатию на кнопку генерируется сигнал sendMessage, который затем обрабатывается обработчиком onSendMessage.

Определение и вызов сигналов в Qt и QML

Если сигнал должен принимать какие-то параметры, то для его обработки можно определить функцию JavaScript, которая будет принимать соответствующий параметр:

import QtQuick import QtQuick.Controls Window < width: 250 height: 200 visible: true title: "METANIT.COM" function printMessage(message)< content.text += message + "\n" >Rectangle < id: rect signal sendMessage(string message) // определяем сигнал anchors.fill: parent Column< anchors.fill: parent Button < id:sendButton text: "Send" onClicked: rect.sendMessage("Hello World") >Text < id: content >> Component.onCompleted: < rect.sendMessage.connect(printMessage) >> >

Здесь сигнал sendMessage принимает один параметр — message, который представляет строку — отправляемое сообщение.

signal sendMessage(string message)

Для обработки сигнала определяем функцию printMessage, которая по сигнатуре соответствует сигналу — принимает один параметр и которая выводит полученное через параметр сообщение в текстовое поле.

function printMessage(message)

Далее чтобы связать функцию с сигналом, у сигнала вызывается функция connect , в которую передается имя функции:

Component.onCompleted:

В зависимости от конкретного приложения место установки связи между функцией и сигналом может отличаться. В данном случае это производится в функции Component.onCompleted , которая вызывается при завершении инициализации компонентам.

Сигнал по прежнему генерируется в обработчике onClicked кнопки

onClicked: rect.sendMessage("Hello World")

только теперь в сигнал передается строка, которую получит функция printMessage через параметр message:

Связь сигналов и функций в Qt и QML

Подключение сигнала к другому сигналу

Подобным образом мы можем связать один сигнал с другим, чтобы при вызове одного сигнала автоматически генерировался другой. Например:

import QtQuick import QtQuick.Controls Window < width: 250 height: 200 visible: true title: "METANIT.COM" function printMessage()< // обработчик сигнала content.text += "Hello World\n" >Rectangle < id: rect signal sendMessage() // определяем сигнал anchors.fill: parent Column< anchors.fill: parent Button < id: sendButton text: "Send" >Text < id: content >> Component.onCompleted: < rect.sendMessage.connect(printMessage) sendButton.clicked.connect(sendMessage) >> >

Здесь при возникновении сигнала clicked кнопки (по нажатию на кнопку) генерируется сигнал sendMessage

sendButton.clicked.connect(sendMessage)

А при генерации сигнала sendMessage вызывается функция printMessage.

rect.sendMessage.connect(printMessage)

Стоит отметить, что в данном случае сигнатура обоих сигналов — clicked и sendMessage совпадает.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *