Как найти значение функции по графику
Перейти к содержимому

Как найти значение функции по графику

  • автор:

Графики функции, производной, первообразной

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье.

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям.

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции.

Возьмем график произвольной функции.

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным.

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт.

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума.

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке.

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум.

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х.

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х.

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график.

Вспомним, что:

  • производная положительна на промежутках возрастания функции;
  • производная отрицательна на промежутках убывания функции.

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются.

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у.

Можно представить, что ось х — это полюс, который разделяет тропики и льды. Над осью х всегда будет светить солнце, а температура будет положительной. А вот под осью х всегда будут льды и снега, и температура — отрицательной.

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней.

Подведем итоги:

  • В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
  • На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
  • На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной.

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

  • В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума.
  • На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать.
  • На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать.

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания.

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки.

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Ответ: 2

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2.

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Ответ: -2

Представим, что мы составили графики “Заинтересованность зрителей фильмом” и “Наличие в фильме экшн-сцен”. Совпадут ли эти графики? Скорее всего, нет.

Экшн-сцены могут вызывать интерес у зрителей, равно как и романтические сцены или смешные повороты сюжета. Получается, что наличие экшн-сцен и заинтересованность фильмом — это разные величины в кинематографе, хотя и связаны между собой.

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию.

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются.

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу.

Было Взяли производную Стало
Функция и производная f(x) f'(x) f'(x)
Функция и первообразная F(x) F'(x) f(x)

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной.

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x).

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным.

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.

Ответ: 3.

Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4].

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума.

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0.

Ответ: 9

Представим, что в качестве функции у нас выступают кофейные зерна. Тогда производная — то, что мы получаем в результате их переработки — это вкусный напиток.

Из чего получаются сами кофейные зерна? Их собирают с кофейного дерева. То есть зерна будут производной от кофейного дерева, а кофейное дерево — это первообразная.

Фактчек

  • Графики функции, производной и первообразной связаны между собой.
  • В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
  • На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
  • На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.
  • Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной.

Проверь себя

Задание 1.
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

  1. На промежутках убывания функции.
  2. На промежутках возрастания функции.
  3. В точках экстремума.
  4. Невозможно определить по графику.

Задание 2.
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

  1. На промежутках возрастания функции.
  2. На промежутках убывания функции.
  3. В точках экстремума.
  4. Невозможно определить по графику.

Задание 3.
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)?

  1. Точка максимума функции.
  2. Точка минимума функции.
  3. Любая произвольная точка на функции.
  4. Невозможно определить по графику.

Задание 4.
Выберите верный вариант:

  1. F(x) = f'(x)
  2. F(x) = f(x)
  3. F'(x) = f'(x)
  4. F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4

Как найти значение функции по графику

Argument ‘Topic id’ is null or empty

Сейчас на форуме

© Николай Павлов, Planetaexcel, 2006-2023
info@planetaexcel.ru

Использование любых материалов сайта допускается строго с указанием прямой ссылки на источник, упоминанием названия сайта, имени автора и неизменности исходного текста и иллюстраций.

ООО «Планета Эксел»
ИНН 7735603520
ОГРН 1147746834949
ИП Павлов Николай Владимирович
ИНН 633015842586
ОГРНИП 310633031600071

Как найти значение функции по графику

Свойства функций

  1. Область определения функции — это множество всех значений переменной x , которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают: D(f) . На графике область определения — это промежутки на оси ОX , над которыми (или под которыми) имеются части графика. Для нашего примера D(f) = [-8; 9,4] .
  2. Область значений функции — это множество всех ее значений у . Обозначают: E(f) . На графике область значений функции — это промежутки на оси OY , слева или справа от которых (в горизонтальной полосе) находятся части графика. Для нашего примера Е(f) = [-4; 4,2] .
  3. Функция y = f (x) называется возрастающей , если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1< x2 следует неравенство f (x1) < f (x2). Функцию можно назвать возрастающей на промежутке , если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции. Для нашего примера функция возрастает при . Функция y = f (x) называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1< x2 следует неравенство f (x1) > f (x2). Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если из любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции. Для нашего примера функция убывает при .
  4. Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых значения функции имеют постоянный знак (положительный или отрицательный). Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x , у которых соответствующие значения функции больше нуля ( y > 0 ). На графике — это части оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси ОХ . Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) > 0 . Для нашего примера функция положительна при . Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х , у которых соответствующие значения функции меньше нуля ( y .
  5. Нули функции — это значения переменной х , при которых у (х) = 0 . Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив уравнение f (x) = 0 . По графику нули определяют как абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ . Для нашего примера нули функции это точки х1 = -3, х2 = 2, х3 = 5.
  6. Четность и нечетность функции . Функция называется четной , если ее график симметричен относительно оси ОУ и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = f (x) . Т.е. функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента, из области определения, соответствуют равные значения функции. На графике четная функция имеет ось симметрии OY . Функция называется нечетной , если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = -f (x). Т.е. функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. На графике нечетная функция симметрична относительно начала координат. Произведение или частное двух четных функций — есть функция четная. Произведение или частное двух нечетных функций — есть функция четная. Произведение или частное двух функций, одна из которых четная, а другая нечетная — есть функция нечетная. Функция нашего примера — ни четная, ни нечетная.
  7. Периодичность функции . Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т > 0 , если для любого x ϵ D(f) верно: (х — Т) ϵ D(f), (х + Т) ϵ D(f) и f (х — Т) = f (х + Т) = f (x) . Если Т > 0 является периодом функции y = f (x) , то число — период функции y = f (kx + b) . Если Т1 > 0 и Т2 > 0 — периоды соответствующих функций y = f (x) и y = g (x) , причем , где m, n ϵ N, , то любая комбинация этих функций y = a • f (x) + b • g(x), a, b ϵ Z , также периодическая, период которой равен T = HOK(T1, T2) . Функция нашего примера не является периодической.
  8. Точки экстремума функции ( точки максимума и минимума ). Точка х0 называется точкой минимума , если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≥ f (x0) . На графике точки минимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «ямка». Для нашего примера точки минимума — это х1 = -4,5, х2 = 3 . Точка х0 называется точкой максимума , если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≤ f (x0 ). На графике точки максимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «горка». Для нашего примера точки максимума — это х1 = -7, х2 = -1, х3 = 7 .
  9. Наименьшее и наибольшее значение функции . Число y = t называется наименьшим значением функции на промежутке [a, b] , если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≥ f (x) . Для нашего примера наибольшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/б = 4,2 . Число y = t называется наибольшим значением функции на промежутке [a, b] , если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≤ f (x) . Для нашего примера наименьшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/м = -4 .
Функция
Область определения R R
Вершина параболы (0; 0)
Нули функции x = 0
Экстремумы если a < 0, то минимум в вершине
если a > 0, то максимум в вершине
Область значений
Четность четная ни четная, ни нечетная
Функция
Область определения R R
Область значений R [0; +∞ )
Четность нечетная четная
Нули функции х =0 х =0
Экстремумы нет х = 0 — точка минимума
Монотонность возрастает при х ϵ R при х ≤ 0 убывает
при х > 0 возрастает
Функция
Область определения R кроме х = 0 R кроме х = 0
Область значений (-∞ ; 0) U (0; +∞ ) (0; +∞ )
Четность нечетная четная
Нули функции нет нет
Экстремумы нет нет
Монотонность убывает при x ϵ D(f) при х < 0 возрастает
при х > 0 убывает
Функция
Область определения
Область значений
Нули функции х = 0 х = 0
Экстремумы нет нет
Монотонность возрастает при х ϵ D(f) возрастает при х ϵ D(f)
Функция y = a x , 0 < a < 1 y = a x , a > 1
Область определения R R
Область значений ( 0; +∞ ) ( 0; +∞ )
Нули функции нет нет
Экстремумы нет нет
Монотонность убывает при х ϵ D ( f ) возрастает при х ϵ D ( f )
Функция y = logax, 0 < a < 1 y = logax, a > 1
Область определения ( 0; +∞) ( 0; +∞)
Область значений R R
Нули функции нет нет
Экстремумы нет нет
Монотонность убывает при х ϵ D ( f ) возрастает при х ϵ D ( f )
Функция y = sin x y = cos x
Область определения R R
Область значений [-1; 1 ] [-1; 1 ]
Нули функции
Четность нечетная четная
Периодичность
Экстремумы
Монотонность возрастает при убывает при возрастает при убывает при
Функция y = tg x y = ctg x
Область определения R кроме R кроме
Область значений R R
Нули функции
Четность нечетная нечетная
Периодичность
Монотонность возрастает при убывает при
Функция y = arcsin x y = arcos x
Область определения [-1; 1 ] [-1; 1 ]
Область значений
Нули функции x = 0 x = 1
Четность нечетная ни четная, ни нечетная
Монотонность возрастает при x ϵ [-1; 1 ] убывает при x ϵ [ -1 ; 1 ]
Функция y = arctg x y = arcctg x
Область определения R R
Область значений
Нули функции x = 0 нет
Четность нечетная нечетная
Монотонность возрастает при x ϵ R убывает при x ϵ R
Функция
Область определения R [0; +∞ )
Область значений R [0; +∞ )
Нули функции х = 0 х = 0
Экстремумы нет нет
Монотонность возрастает при х ϵ D ( f ) возрастает при х ϵ D ( f )
  1. Область значений функции f -1 (x) является областью определения функции f (x) . E(f -1 (x)) = D(f), E(f) = D(f -1 (x)) .
  2. Графики функции f (x) и обратной к ней f -1 (x) симметричны относительно биссектрисы у = х .
  3. Если функция f (x) монотонна на промежутке Х , то она обратима на этом промежутке.
  4. Если функция f (x) возрастает (убывает) в своей области определения, то и обратная к ней f -1 (x) тоже возрастает (убывает).
Перейти к выполнению теста: Тест. Свойства функций

Как найти значение функции по графику

Задача: На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Решение:

Помним, что производная равна тангенсу угла наклона касательной (т.е. угловому коэффициенту касательной)

Касательная есть, осталось найти тангенс её наклона к положительному направлению оси абсцисс.

Требуется изобразить какой-либо прямоугольный треугольник, в котором касательная была бы гипотенузой, а вершины лежали бы в узлах сетки.

Например, вот такой треугольник:

Угол для исследования : .
Известно, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего.
Считаем клеточки, и получаем, что:
.
Итого:
Ответ: Производная в этой точке равна 4.

Задача: На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Решение:
Замечание: Задача аналогична предыдущей с тем отличием, что касательная «наклонена влево» и мы понимаем, что её угловой коэффициент отрицателен.
Замечание: Нужные точки касательной, точно расположенные в узлах координатной решетки, как бы невзначай обозначены жирненькими точками. Их то мы и возьмем за вершины треугольника.

Требуется найти . Из чертежа видно, что .

А из тригонометрии известно, что
Считаем клеточки, и получаем, что:
.
Итого:
Ответ: Производная в этой точке равна .

Понравилась статья?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *