Почему нельзя решить пример ab ba 7
Перейти к содержимому

Почему нельзя решить пример ab ba 7

  • автор:

Почему нельзя решить пример ab ba 7

Предположим, что нам нужно умножить матрицу A на матрицу B.

Чтобы свести эту проблему к уже известной («Умножение строки на столбец»), матрицу A будем рассматривать как набор строк, тогда как матрицу B — как набор столбцов.

Тогда все, что нам предстоит проделать — это умножить каждую строку матрицы A на каждый столбец матрицы B. При этом номера перемножаемых строк и столбцов сохраняют свою силу — в том смысле, что результат умножения, например, пятой строки на третий столбец записывается в пятую строку на третий столбец.

Пример:

Тогда произведением AB называется матрица размера m×n , элементы которой вычисляются по правилу

Правило умножения строки на столбец:

умножения i-ой строки матрицы A на j-ый столбец матрицы B:

Если обозначить строки матрицы A символами , а столбцы матрицы B – символами , то правило (1) матричного умножения можно представить в следующем блочном виде:

Таким образом, если матрица A содержит m строк, а матрица B содержит n-столбцов, то произведение AB представляет собой матрицу С размера m × n. Элемент , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрицы AB, вычисляется по правилу умножения строки на столбец: i-ая строка матрицы A умножается на j-ый столбец матрицы B.

  • Произведение AB определено, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. (Другими словами, число элементов в строке матрицы A должно совпадать с числом элементов в столбце матрицы B.)
  • Произведение BA определено, если число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы A.
  • Существование одного из произведений (AB или BA) не влечет за собой существование другого.
  • Если определено каждое из таких произведений, то размеры матриц AB и BA не обязательно совпадают друг с другом. Например, результатом умножения матрицы A размера 1×n на матрицу B размера n×1 является число (то есть матрица размера 1×1), тогда как произведение BA представляет собой квадратную матрицу n-го порядка.
  • Если матрицы A и B являются квадратными маирицами n-го, то и их произведения AB и BA являются матрицами такого же порядка. Однако даже для таких матриц их произведения в одном и другом порядках равны только в некоторых частных случаях.
  • Произведение нескольких матриц, расположенных в определенном порядке, однозначно определено, если число столбцов каждой матрицы равно числу строк соседней матрицы справа. В этом случае для нахождения произведения матриц можно использоать произвольный порядок расстановки скобок (см Свойства матричных операций).

Символическая запись означает произведение двух одинаковых квадратных матриц:
Аналогичным образом определяются другие целые положительные степени квадратной матрицы:

Правило (1) матричного умножения сохраняет свой вид и в том случае, когда элементами матриц A и B являются другие матрицы. Пусть, например, матрицы A и B представлены в виде

(4)

где A i j и B i j – некоторые матрицы, размеры которых таковы, что соответствующие матричные произведения определены.
Тогда

(5)

Задача про умножение с нестандартным решением

У этой задачи есть два решения — одно рассчитано на детей, второе — на взрослых суровых программистов. Какое сможете найти вы?

Сама задача выглядит так:

Задача про умножение с нестандартным решением

Надо найти, чему равны A и B.

Решение для детей

Представим, что мы знаем только самое простое умножение, максимум — с двузначными числами. Начнём с самого первого действия умножения в столбик:

Так как AB — это A × 10 + B, то если разделить AB на 10, то получим число A,B. Получается, что A,B × A = 38,4 (потому что первую строку мы тоже делим на 10.

А теперь следите за логикой. Это число — 38,4 — близко к квадрату числа A (A × A), и погрешность вносит только дробная часть. Представим, что её нет и посмотрим, квадрат какого числа максимально близко к 38,4:

5 × 5 = 25 → нет, слишком мало

6 × 6 = 36 → похоже на правду

7 × 7 = 49 → не, уже перебор

Получается, что число A — это 6. Зная это, подставим пока ноль вместо числа B и посмотрим, что получится:

Но у нас на второй строке стоит 384. Это значит, что B × 6 = 384 − 360 = 24. Получается, что B = 4.

Проверяем: 64 × 46 = 2944. Всё сходится, а значит, мы решили всё правильно.

Решение для программистов

Если мы будем решать эту задачу как программисты, то сразу заметим число 256 и вспомним, что 256 = 2 в восьмой степени. Это значит, что все его множители будут кратны двойке:

Число 256 получилось из умножения AB × B, то есть двузначного числа на однозначное. Из всех наших пар 128 × 2 не подходит, потому что 128 — трёхзначное число. И 16 × 16 тоже не подходит, потому что в этом случае мы умножаем не на однозначное, а на двузначное число.

Остаются пары 64 × 4 и 32 × 8. Но шаблону AB × B соответствует только пара 64 × 4, а значит, A = 6, а B = 4.

Решение грубой силой

Для нетерпеливых есть решение, которое можно запустить и протестировать прямо в консоли:

  1. Создаём цикл для переменной a, где мы перебираем значения a от 0 до 9.
  2. Внутри него такой же вложенный цикл для переменной b.
  3. Внутри этого вложенного цикла собираем два числа и перемножаем их. Чтобы собрать число ab, нужно a умножить на 10 и прибавить b. Аналогично для числа ba. Перемножаем их и сравниваем с искомым 2944.
  4. Если сравнение случилось, выводим результат в консоль

Итоговый код на JavaScript:

for (var a = 0; a ; > >

Можете скопировать, вставить в консоль браузера и проверить. Результат будет таким:

46 * 64 = 2944
64 * 46 = 2944

Почему нельзя решить пример ab ba 7

Марко — Мюллер, 1899

Позиция носит закрытый характер (пешечные замки запирают линии и диагонали), чтобы достигнуть прогресса, белым нужно захватить хотя бы одну линию.

Ничего не даёт 1. Ab ab 2. Л :a8? Л :a8 3. Л:a8 Ф:a8 и линия принадлежит чёрному ферзю.

Теперь все силы подключены и готовы к вскрытию. Возможен был и несколько другой вариант развития инициативы:

1. ab ab 2. Л a7+! (захватывая 7-ю горизонталь) 2. Кр g8 3. Фa1! Л :a7 4. Л :a7 и линия и «обжорный ряд» захвачены, дальнейшее достижение прогресса заключается в создании батареи по 7-й, либо в выигрыше чёрных пешек b6 или e6:4. Лb8 5.Фa6 Фd8

6. Фa3 h4 (от вторжения ферзя защиты нет) 7. Фе7! Ф:е7 8. Л :e7 и т.д.

Грозило 2. ab. Если 1. ba, то после 2. Л :a5 теряется пешка a7.

Оставляя место для второй ладьи.

Под боем пешка g6, и нельзя 8. Фg7? из-за 9. Ф:Ь8.

Партию уже не спасти, поэтому. Чёрные сдались.

Смыслов — Флор

Москва, 1949


У белых лишнее качество, однако, позиция острая, иважен точный расчёт вариантов.

«Ферзь включается в атаку на короля чёрных. Если теперь 45. Л :e3, то 46. Фh5+ Кр g7 47. Фh6+ Кр f7 48. g6+! hg 49. Ф8#» (В.Смыслов).

Размен ферзей значительно уменьшает атакующие возможности — чёрные ищут спасения в эндшпиле.

На поле e5, где король займёт сильную централизованную позицию.

«В эндшпиле, король — активная фигура!» (В.Смыслов).

Последними двумя ходами Смыслову не только удалось продвинуть пешку вперёд и тем самым сделать её сильнее, но и перекрыть диагональ d5-a8, создавая угрозу мата: 51. ЛЬ7+ Кр g6 52. Л g8+ Кр h5 53. Л :h7#.

Теперь после 52. ЛЬ7+ король убежит на поле g4, где он спрячется от шахов за пешкой g5. Василий Васильевич не оставляет сопернику этой лазейки.

«Жертвой пешки белые форсируют матовый финал» (В.Смыслов).

Своя же пешка g6 мешает выбежать чёрному королю.

Умножение матриц

Произведением матрицы $A_$ на матрицу $B_$ называется матрица $C_$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце, т.е. элемент $c_$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Задание. Вычислить $AB$ и $BA$, если $ A=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right) $ , $ B=\left( \begin & \\ & \end\right) $

Решение. Так как $ A=A_ $ , а $ B=B_ $ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $ C=C_ $ , а это матрица вида $ C=\left( \begin> & > \\ > & > \\ > & >\end\right) $ .

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_=a_ \cdot b_+a_ \cdot b_=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Выполним произведения в более компактном виде:

Найдем теперь произведение $ D=B A=B_ \cdot A_ $. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $ A B=\left( \begin & \\ & \\ & \end\right) $ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

Свойства произведения матриц:

  1. Ассоциативность $ (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C) $
  2. Ассоциативность по умножению $ (\mu \cdot A) \cdot B=\mu \cdot(A \cdot B) $
  3. Дистрибутивность $ A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C$, $(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C $,
  4. Умножение на единичную матрицу $ E_ \cdot A_=A_ \cdot E_=A_ $
  5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $ A B \neq B A $
  6. $ E A=A $

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *