Что такое окрестность точки
Перейти к содержимому

Что такое окрестность точки

  • автор:

Окрестность

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения

Математический анализ

Основная статья: ε-окрестность

\varepsilon></p>
<p>Пусть 0″ width=»» height=»» /> произвольное фиксированное число.</p><div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 1joomlaumnik -->
<script src=

Окрестностью точки x_0на числовой прямой (иногда говорят \varepsilon-окрестностью) называется множество точек, удаленных от x_0не более чем на \varepsilon, то есть O_\varepsilon(x_0) =\<x: |x-x_0|< \varepsilon\>» width=»» height=»» />.</p>
<p>В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый <img decoding=-шар с центром в точке x_0.

В банаховом пространстве (B,\|\cdot\|)окрестностью с центром в точке x_0называют множество A=\<x\in B:\|x-x_0\|<\epsilon\>» width=»» height=»» />.</p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 2joomlaumnik -->
<script src=

В метрическом пространстве (M,\rho)окрестностью с центром в точке yназывают множество A=\<x\in M:\rho(x,y)<\epsilon\>» width=»» height=»» />.</p>
<h4>Общая топология</h4>
<ul>
<li>Пусть задано топологическое пространство<img decoding=— произвольное множество, а \mathcal<T>» width=»» height=»» /> — определённая на <img decoding=топология. Множество V \subset Xназывается окрестностью точки x\in X, если существует открытое множествоU\in \mathcal<T>» width=»» height=»» /> такое, что <img decoding=.

  • Аналогично окрестностью множества M \subset Xназывается такое множество V \subset X, что существует открытое множество U\in \mathcal<T>» width=»» height=»» />, для которого выполнено <img decoding=.

Замечания

В Викисловаре есть статья «окрестность»

  • Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность Vбыла открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество U. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. [1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
  • Oкрестностью множества точек Mназывается такое множество V, что Vесть окрестность любой точки x\in M.

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда (-1,2)является открытой окрестностью, а [-1,2]— замкнутой окрестностью точки 0.

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество \dot<V>» width=»» height=»» /> называется <b>проко́лотой окре́стностью</b> (вы́колотой окрестностью) точки <img decoding=, если

\dot<V></p>
<p> = V \setminus \,» width=»» height=»» /></p>
<p>где <img decoding=— окрестность x.

См. также

Примечания

Литература

  • Математическая Энциклопедия. — М .: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
  • У.Рудин Функциональный анализ. — М .: Мир, 1975.

Окрестность точки

Математика

Окре́стность то́чки x x x в топологическом пространстве X X X , множество U ⊂ X U \subset X U ⊂ X , для которого x x x – внутренняя точка. Другими словами, окрестность – множество, которое содержит открытое множество , содержащее x x x (окрестности могут быть замкнутыми, компактными и т. д.); аналогично определяется окрестность множества. Например, окрестность точки на прямой – любой интервал , содержащий эту точку.

Редакция математических наук

Опубликовано 4 августа 2022 г. в 11:17 (GMT+3). Последнее обновление 4 августа 2022 г. в 11:17 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Математика

Области знаний: Теория множеств

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
    выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Окрестность точки

Рассмотрено общее определение окрестности точки на числовой прямой. Определения эпсилон окрестности, левосторонней, правосторонней и проколотых окрестностей конечных и бесконечно удаленных точек. Свойство окрестности. Доказана теорема о равносильности использования эпсилон окрестности и произвольной окрестности в определении предела функции по Коши.

Определение окрестности точки

Окрестность действительной точки Окрестностью действительной точки x 0 называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
.
Здесь ε 1 и ε 2 – произвольные положительные числа.
Эпсилон окрестность точки Эпсилон окрестностью точки x 0 называется множество точек, расстояние от которых до точки x 0 меньше ε :
.
Проколотая окрестность точки Проколотой окрестностью точки x 0 называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x 0 :
.

Окрестности конечных точек

В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1) .
То есть окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу .

Приравняв ε 1 к ε 2 , получим эпсилон — окрестность:
(2) .
Эпсилон — окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ — окрестность, σ — окрестность, и т.д.

В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. теорему ниже ⇓). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон — окрестность точки, определяемую из (2).

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Левосторонняя окрестность действительной точки x 0 – это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x 0 , включая саму точку:
;
.
Правосторонняя окрестность действительной точки x 0 – это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x 0 – это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x 0 .
Проколотая эпсилон окрестность точки x 0 ;
.
Проколотая левосторонняя окрестность ;
.
Проколотая правосторонняя окрестность ;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят понятие окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
.
Но вместо M мы используем , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε , как и для окрестностей конечных точек.

Свойство окрестности

Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε . Приводим более строгие формулировки.

Пусть есть конечная или бесконечно удаленная точка. И пусть .
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
.

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность , так и окрестность с равноудаленными концами .

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Сформулируем первое определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел существуют такие числа , зависящие от и , что для всех , принадлежит соответствующей окрестности точки a :
.

Сформулируем второе определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , зависящее от , что для всех :
.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции и , так что для любых положительных чисел выполняется следующее:
при , где .

Поскольку числа и произвольные, то приравняем их:
.
Тогда имеются такие функции и , так что для любого выполняется следующее:
при , где .

Заметим, что .
Пусть есть наименьшее из положительных чисел и . Тогда, согласно отмеченному выше свойству ⇑,
.
Если , то .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого выполняется следующее:
при , где .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа и . И пусть – наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция , так что для любого положительного числа и для всех , следует, что
.

Но согласно свойству окрестностей ⇑, . Поэтому из того, что следует, что
.

Тогда для любых положительных чисел и , мы нашли два числа , так что для всех :
.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-04-2018

Проколотая окрестность

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие к ней.

Определения

  • Пусть задано топологическое пространство(X,\mathcal<T>)» width=»» height=»» />, где <i>X</i> — произвольное множество, а <img decoding=называется окрестностью точки x\in X, если существует открытое множествоU\in \mathcal<T>» width=»» height=»» /> такое, что <img decoding=.
  • Аналогично окрестностью множества M \subset Xназывается такое множество V \subset X, что существует открытое множество U\in \mathcal<T>» width=»» height=»» />, для которого выполнено <img decoding=.

Замечания

x\in M

  • Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность V была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество U . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако, в каждом случае важно фиксировать терминологию.
  • Прямо из определения следует, что V является окрестностью множества M тогда и только тогда, когда V есть окрестность любой точки .

Проколотая окрестность

Множество \dot<V>» width=»» height=»» /> называется <b>проко́лотой окре́стностью</b> (вы́колотой окрестностью) точки <img decoding=, если

\dot<V></p>
<p> = V \setminus \,» width=»» height=»» /></p>
<p>где <i>V</i> — окрестность <i>x</i> .</p>
<p>Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью в смысле данного выше определения.</p>
<h3>Пример</h3>
<p><img decoding=Whatsapp как выйти со всех устройств

  • Как выровнять две таблицы в ворде между собой
  • Как сделать расстояние между заголовком и текстом
  • Почему трещит блок питания в компьютере
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *