Доказать что n 5 n делится на 30
Перейти к содержимому

Доказать что n 5 n делится на 30

  • автор:

Конечные числовые суммы. Метод математической индукции

Пусть n – произвольное натуральное число. Тогда справедливы следующие формулы, которые называют конечными числовыми суммами :

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии является простейшим примером бесконечной числовой суммы (числового ряда). Ряды изучают в ВУЗовских курсах математики.

Доказательство формул для конечных числовых сумм можно получить с помощью различных методов.

К изложению одного из мощнейших методов доказательства этих, а также подобных формул, – методу (принципу) математической индукции мы сейчас и переходим.

Метод математической индукции

Предположим, что нам требуется доказать, что некоторая формула верна при любом натуральном значении n . Предположим также, что мы:

  1. непосредственно проверили, что формула верна при n = 1 ,
  2. доказали, что из справедливости формулы для некоторого номера n , вытекает её справедливость для номера n + 1 .

Тогда в силу метода (принципа) математической индукции можно утверждать, что формула верна для всех натуральных чисел n .

Для примера дадим доказательство одной из формул, приведенных в предыдущем разделе.

Пример 1 . Доказать, что при всех натуральных n верна формула

Решение . Для доказательства воспользуемся методом математической индукции:

  1. В случае n = 1 формула (1) имеет вид и является верной.
  2. Докажем, что из справедливости равенства (1), вытекает справедливость равенства

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Доказать, что число делится на 30

Доказать, что число делится на 30
23.07.2012, 23:13

Последний раз редактировалось Andrei94 23.07.2012, 23:13, всего редактировалось 1 раз.

Доказать, что $mn(m^4-n^4)$делится на $30$

Есть идея разложить по формуле разности квадратов дважды. Еще попробовать по индукции, но кажется, что это утопично. Как можно еще?

Re: Доказать, что число делится на 30
23.07.2012, 23:18

Заслуженный участник

$30=2\cdot 3\cdot 5$

Re: Доказать, что число делится на 30
23.07.2012, 23:25
Someone в сообщении #598466 писал(а):

$30=2\cdot 3\cdot 5$

Ок, да, можно сначала доказать, что число делится на 2, потом на 3, потом на 5. Тем самым мы докажем, что оно делится на 30. Но как доказать, что оно делится на 2?

Re: Доказать, что число делится на 30
23.07.2012, 23:31

Заслуженный участник

Дык, рассмотрите разные случаи: когда что-то делится на два, когда ничего не делится на два.
Re: Доказать, что число делится на 30
23.07.2012, 23:37

Последний раз редактировалось Andrei94 23.07.2012, 23:41, всего редактировалось 1 раз.

Ок. Когда какое-то из двух чисел четное или оба четные — тогда очевидно, что исходное число делится на 2.

Если оба числа нечетные, то $m=2k-1$, $n=2l-1$

А дальше в таком стиле — можно к чему-то придти?

$mn(m^4-n^4)=(2k-1)(2l-1)((2k-1)^2-(2l-1)^2)((2k-1)^2+(2l-1)^2)$

$((2k-1)^2-(2l-1)^2)$

Ой, а ведь эта скобка всегда четная значит исходное число делится на 2.

А как быть с делимостью на 3? Помню лишь признак, что сумма цифр числа должна делится на 3

Re: Доказать, что число делится на 30
24.07.2012, 00:19
Andrei94 в сообщении #598478 писал(а):
А как быть с делимостью на 3? Помню лишь признак, что сумма цифр числа должна делится на 3

Да так же, как и с делимостью на 2. Рассмотрите остатки от деления на 3 и 5, и посмотрите на остатки 4х степеней.

Re: Доказать, что число делится на 30
24.07.2012, 11:51

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Евгений Машеров 24.07.2012, 14:35, всего редактировалось 1 раз.

$mn(m-n)(m+n)(m^2+n^2)$

Решение старательного шестиклассника.
Запишем выражение, как (про разложение суммы квадратов на уроке говорили, а про четвёртые степени он сам догадался. )
Если число делится на 30, то оно делится на 2, 3 и 5. Верно и обратное (про прямую и обратную теорему тоже только что рассказали).
2:
Если хотя бы одно из m и n делится на 2, всё произведение делится на 2. Если они оба не делятся на 2, то на 2 делится их сумма, а также разность (сомножители 3 и 4).
Следовательно, произведение на 2 делится.
3:
Если хотя бы одно из m и n делится на 3, всё произведение делится на 3. Если они оба не делятся на 3, то каждое из m и n равно 3q+1 или 3p-1. Если m=3p+1, n=3q+1 или m=3p-1, n=3q-1, то их разность делится на 3, а она сомножитель № 3. Если m=3p+1, n=3q-1 или m=3p-1, n=3q+1, то их сумма делится на 3, а она сомножитель № 4.
Следовательно, произведение на 3 делится.
5:
Если хотя бы одно из m и n делится на 5, всё произведение делится на 5. Если они оба не делятся на 5, то каждое из m и n равно чему-то из 5x+1, 5y+2, 5z-1 или 5w-2.
Если остатки от деления на 5 равны, на 5 делится разность m и n, если противоположны — сумма. Следовательно, остаётся рассмотреть варианты, когда один остаток равен по абсолютной величине единице, второй двойке. Возводя их в квадрат, видим, что один квадрат при делении на 5 даст 4, другой даст 1. То есть сумма квадратов m и n будет делиться на 5.
Следовательно, произведение на 5 делится.
Quod erat demonstrandum (шестиклассник и на исторический кружок ходит, как раз про Рим рассказывают. )

Доказать, что при любом целом га значение выражения n^5 — n делится на 30.

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Похожие вопросы

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

  • Все категории
  • экономические 43,679
  • гуманитарные 33,657
  • юридические 17,917
  • школьный раздел 612,703
  • разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

  • Обратная связь
  • Правила сайта

даказать,что n^5-n делится на 30 при любом целом n

n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n^2-1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)
Так как (n-1),n,(n+1) следуют по порядку, то одно из них обязательно кратно 3, и одно из них обязательно кратно 2, то есть их произведение обязательно кратно 3. Оно не будет кратно 5, только, если n=5k+2 или 5k+3. В остальных случаях один из сомножителей n-1,n или n+1 будет кратен 5 и все выражение будет кратно 6*5=30.
Рассмотрим случаи: n=5k+2 и n=5k+3
1)n=5k+2
2n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)-кратно 5-> все выражение кратно 30
2)n=5n+3
n^2+1=(5k+3)=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)-кратно 5->все выражение кратно 30.

Остальные ответы

Похожие вопросы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *