Как подобрать функцию ляпунова
Перейти к содержимому

Как подобрать функцию ляпунова

  • автор:

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Ляпунова функция (нужен алгоритм)

Ляпунова функция (нужен алгоритм)
12.06.2006, 20:46

Есть пару системок вида

$x'= -2y-x^3$
$y'=3x-4y^3$

Нужно исследовать их на устойчивость с помощью функции Ляпунова, подскажите пожалуйста общий алгоритм решения?

12.06.2006, 21:05

Заслуженный участник

Исследуется на устойчивость некоторое решение. Когда не говорится явно, то подразумевают стационарное решение, когда производные нули из системы получаете стационарные решения. Далее разлагая решение как добавка к стационарному и оставляя только линейные члены приходите к исследованию линейного однородного дифференциального уравнения. Если все характеристические числа имеют отрицательную действительную часть система будет устойчивой.

12.06.2006, 21:35
А где функция ляпунова используется?
12.06.2006, 22:34

Заслуженный участник

Можно попробовать подобрать для системы $\frac<<dx>> > = f(x,t)$» /> <br />такую функцию v(x), чтобы v(о)=0 , v(x)>0 при остальных х и <img decoding= Заслуженный участник

В том-то и дело, что нет простых алгоритмов подбора функции Ляпунова. Именно поэтому Руст предлагал Вам исследовать Вашу систему на устойчивость вблизи положения равновесия по первому приближению.Дело в том, что
1) Устойчивость систем с линейной правой частью исследовать проще-все сводится к сравнению вещественных частей собственных значений матрицы в правой части системы с нулем.
2) Если разложить правую часть нелинейной системы вблизи нуля в сумму линейного слагаемого и бесконечно малой порядка выше , чем приращение независимой переменной (например, пользуясь ф-лой Тейлора), то есть теорема, утверждающая, что, при отрицательности вещественных частей собственных значений матрицы линейной компоненты в правой части системы, нулевое решение будет асимптотически устойчиво (о чем Вам уже писал Руст).
Так что попробуйте реализовать этот алгоритм- он общепринят и также считается изучением устойчивости по Ляпунову-просто функция Ляпунова спрятана в нем внутри, и снаружи ее сразу не разглядеть.

24.11.2008, 18:40

Заслуженный участник

Один из способов подбора — выбрать простую положительно определенную функцию (например, квадратичную) и посмотреть на ее производную в силу системы.

$H=\frac<x^2></p>
<p>Здесь подходит +\frac$» /></p>
<p><b>Re: Ляпунова функция (нужен алгоритм)</b><br />
25.11.2008, 13:09<br />
<b>Nitrinka</b> писал(а):</p>
<p>Есть пару системок вида</p>
<p><img decoding=
y'=3x-4y^3

Нужно исследовать их на устойчивость с помощью функции Ляпунова, подскажите пожалуйста общий алгоритм решения?

нет общего алгоритма нахождения функций Ляпунова

Руст в сообщении #23326 писал(а):

Исследуется на устойчивость некоторое решение. Когда не говорится явно, то подразумевают стационарное решение, когда производные нули из системы получаете стационарные решения. Далее разлагая решение как добавка к стационарному и оставляя только линейные члены приходите к исследованию линейного однородного дифференциального уравнения. Если все характеристические числа имеют отрицательную действительную часть система будет устойчивой.

это как раз тот метод, который в данном случае неприменим

Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

7.3. Выбор функций Ляпунова

В общем случае для всякой системы дифференциальных уравнений относительно нетрудно подобрать определенно положительную функцию V(x1,,. xn), которая может служить функцией Ляпунова. Основной проблемой данного метода является то, что не всякая такая функция имеет знакоопределенную или знакопостоянную производную W.

А.М.Ляпунов рекомендовал сначала выбирать отрицательно определенную функцию , а затем определять соответствующую положительную функцию .

Для линейных системa функцию ищут в виде квадратичной формы :

(7.3.1)

Для определения коэффициентов Bij задаются функцией в виде отрицательной квадратичной формы:

(7.3.2)

Предположим, что уравнения, описывающее динамику системы, имеют вид:

(7.3.3)

Тогда из выражения (7.31) с учетом (7.3.3) получим выражение для производной:

(7.3.4)

Приравняв выражения (7.3.4) и (7.3.2), получим:

Затем, сгруппировав и приведя подобные члены, можно приравнять коэффициенты в левой и правой части. В итоге получим уравнения для определения коэффициентов Bij:

(7.3.5)

Полагая величины заданными, можно решить систему (7.3.5) относительно коэффициентов и, получив в результате функцию , производная которой имеет заданный вид.

Коэффициенты при этом назначаются так, чтобы функция была заведомо знакоопределенной. Это можно сделать разными способами, например, принять

Тогда производная имеет определённо отрицательный вид.

В этом случае коэффициенты определяются из системы уравнений:

(7.3.6)

выбор функции Ляпунова для линейной системы второго порядка (n=2).

(7.3.7)

(7.3.8)

Примем

.

Предположим, что уравнения возмущённого движения системы имеют вид:

(7.3.9)

Откуда найдём значения коэффициентов

(7.3.10)

Используя формулы соответствия:

(7.3.11)

(7.3.12)

Учитывая значения коэффициентов (7.3.10):

(7.3.13)

(7.3.15)

и решим систему уравнений

(7.3.16)

(7.3.17)

(7.3.18)

При

В случае нелинейных систем единая методика выбора функции Ляпунова отсутствует, однако для систем отдельных типов имеются рекомендации по выбору функции Ляпунова. Например, для системы вида:

Рис. 7.3.1

с характеристикой (рис.7.3.2) НЭ, удовлетворяющей условиям

f(0)=0,

А.И. Лурье и В.М. Постниковым был предложен следующий подход: функция Ляпунова находится как квадратичная форма от координат системы плюс интеграл от нелинейности

Рис. 7.3.2

β – постоянные коэффициенты (7.3.19)

Можно показать, что поверхности постоянных значений V=const, взятых в такой форме, содержат внутри себя начало координат и имеют значения d, возрастающие по модулю по мере удаления от начала координат. Эти поверхности заполняют все фазовое пространство и при соответствующем выборе значений и могут служить для определения устойчивости равновесия системы в целом (и в «малом», и в «большом»).

Пример: проверить устойчивость равновесия в системе

Линейная часть описывается выражением

.(7.3.20)

О построении функции Ляпунова с заданными свойствами для систем дифференциальных уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Отсутствие общих алгоритмов построения функций Ляпунова затрудняет решение задачи исследования устойчивости динамических систем. Для систем дифференциальных уравнений в плоском случае предлагается метод построения функций Ляпунова с заданными свойствами. Метод предполагает возможность разбиения области определения системы на криволинейные секторы, в которых, включая границу, кроме начала координат, хотя бы одна из функций правых частей системы сохраняет знак. Тогда в каждом секторе можно построить функцию Ляпунова , производная от которой в силу системы будет знакоопределенной функцией.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Степанов Андрей Валерьевич

Производная Дини и обобщение прямого метода Ляпунова
Построение кусочно-линейной функции Ляпунова для динамических систем второго порядка
Асимптотическая устойчивость положения равновесия спутника на круговой орбите
Исследование устойчивости положения равновесия некоторых классов нелинейных разностных систем
Предельные дифференциальные включения и метод функций Ляпунова
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ABOUT CONSTRUCTION OF LYAPUNOV FUNCTION WITH THE SET PROPERTIES FOR SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE SECOND ORDER

The lack of General algorithms for constructing Lyapunov’s functions complicates the problem of investigating the stability of dynamical systems. For systems of differential equations in the flat case, a method for constructing Lyapunov’s functions with desired properties is proposed. The method suggests the possibility of partitioning the domain of definition of the system to a curvilinear sectors, including the boundary, except the origin, at least one of the functions of the right parts of the system preserves the sign. Then, in each sector it can construct a Lyapunov’s function, the derivative of which by virtue of the system will be signdefinite function.

Текст научной работы на тему «О построении функции Ляпунова с заданными свойствами для систем дифференциальных уравнений второго порядка»

О ПОСТРОЕНИИ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

А. В. Степанов, доктор технических наук, профессор;

Академия биоресурсов и природопользования ФГАОУ ВО «КФУ имени В. И. Вернадского»

ABOUT CONSTRUCTION OF LYAPUNOV FUNCTION WITH THE SET PROPERTIES FOR SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE SECOND ORDER

A. V. Stepanov, Doctor of Technical Sciences, Professor;

Academy of Life and Environmental Sciences FSAEI HE «V. I. Vernadsky Crimean Federal University»

Отсутствие общих алгоритмов построения функций Ляпунова затрудняет решение задачи исследования устойчивости динамических систем. Для систем дифференциальных уравнений в плоском случае предлагается метод построения функций Ляпунова с заданными свойствами. Метод предполагает возможность разбиения области определения системы на криволинейные секторы, в которых, включая границу, кроме начала координат, хотя бы одна из функций правых частей системы сохраняет знак. Тогда в каждом секторе можно построить функцию Ляпунова, производная от которой в силу системы будет знакоо-пределенной функцией.

The lack of General algorithms for constructing Lyapunov’s functions complicates the problem of investigating the stability of dynamical systems. For systems of differential equations in the flat case, a method for constructing Lyapunov’s functions with desired properties is proposed. The method suggests the possibility of partitioning the domain of definition of the system to a curvilinear sectors, including the boundary, except the origin, at least one of the functions of the right parts of the system preserves the sign. Then, in each sector it can construct a Lyapunov’s function, the derivative of which by virtue of the system will be signdefinite function.

Ключевые слова: задача устойчивости, динамические системы, функции Ляпунова, свойства знакоопределенности.

Keywords: stability problem, dynamical systems, Lyapunov’s functions, properties of sign-definiteness.

Введение. Известно, что, ввиду отсутствия общих рецептов построения функций Ляпунова для динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, эта задача и в настоящее время не потеряла своей актуальности. При решении задачи устойчивости применяются различные моди-

фикации второго метода Ляпунова, которые в большей степени продиктованы особыми свойствами самой системой дифференциальных уравнений, описывающих динамический процесс.

Задача построения функции Ляпунова для динамических систем на плоскости в некоторой степени упрощается в связи с простотой системы, даже, если она существенно нелинейная. Здесь предлагается использовать идею К. П. Персидского — построения таких функций в частях области определения системы, которые называются секторами [1].

Материал и методы исследований. В некоторой окрестности начала координат: G : х + у

Здесь P и Q непрерывные вместе со своими частными производными функции, которые не обращаются в нуль в области G одновременно. Будем предполагать, что начало координат является единственным положением равновесия системы (1) в рассматриваемой окрестности G .

Поставим задачу: подобрать функции M (х, у) и N (х, у) так, чтобы полная производная функции

в силу системы (1) была знакоопределенной или тождественно равной нулю в области G. Тогда, как следует из теоремы Ляпунова, по виду функции V можно сделать определенный вывод об устойчивости или неустойчивости нулевого решения системы (1).

В точках области G , где P (х, у) Ф 0 функцию M (х, у) будем искать в виде

M ( х, у) = в( х, у)Р( х, у), где в(х, у) — иепрерывно дифференцируемая функция. Воспользуемся известным условием

дР(х,у) , дМ (.т, у) dQ(x,y) , Ж(х,у)

Тогда функцию N (х, у) можно выбрать в виде

Введение

Данная статья не имеет отношения к циклу «Магия тензорной алгебры», но вызвана к жизни публикациями из него. Небрежно щелкая по ссылкам в поисковике набрел на обсуждение одной из своих статей, посвященных эффекту Джанибекова, и обратил внимание на справедливое замечание о том, что исследование устойчивости гайки Джанибекова по первому приближению не дает однозначного ответа на вопрос о том при каких параметрах движение будет устойчивым. Это так, поскольку корни характеристического полинома, при вращении вокруг оси с наименьшим и наибольшим моментом инерции чисто мнимые, их действительная часть равна нулю. При таких условиях нельзя ответить на вопрос будет ли движение устойчивым, не проведя дополнительного исследования.

Интерпретация Мак-Куллага — наверно самое простое объяснение эффекта Джанибекова

Такое исследование можно выполнить используя метод функций Ляпунова (второй или прямой метод Ляпунова). И чтобы окончательно закрыть вопрос с гайкой Джанибекова, я решил написать эту заметку.

1.Дифференциальные уравнения возмущенного движения. Снова.

Пусть имеется система, в общем случае нелинейных дифференциальных уравнений движения некоторой механической системы

где — вектор-столбец переменных состояния системы; — нелинейная вектор функция.

Решение системы (1) дает так называемое невозмущенное движение. По сути это обычный, установившийся режим движения системы под действием приложенных к ней сил. Зададим некоторое возмущение, определяемое вектором отклонений от невозмущенного движения, то есть

Подставляя (3) в (1), получаем

где , и полученное уравнение называется уравнением возмущенного движения, тривиальное решение которого соответствует невозмущенному движению системы.

В нашем случае ограничимся рассмотрением автономной системы, где правая часть явно не зависит от времени

2. Xитрая функция V(x) — кандидат в функции Ляпунова

Рассмотрим некоторую скалярную функцию

определенную в некоторой окрестности начала координат, такой что

где — некоторое, достаточно малое, положительное число.

Функция (6) называется знакоопределенной, если в области (7) она принимает значения только одного знака (только положительные либо только отрицательные), и равна нулю лишь в начале координат (при )

Функция (6) называется знакопостоянной, если в области (7) она принимает значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при .

Вычислим полную производную от функции (6) по времени. Так как , по определению полной производной получаем

что, принимая во внимание уравнение (5), эквивалентно соотношению

Функцию (8) называют полной производной функции (6) по времени, составленной в силу уравнения (5).

3. Теоремы Ляпунова об устойчивости

Два параграфа, что выше, написаны сухим математическим языком определений, и иначе наверное нельзя. Добавим ещё немного формальной математики, сформулировав

Теорема Ляпунова об устойчивости

Если для системы уравнений (5) существует знакоопределённая функция (функция Ляпунова), полная производная по времени которой, составленная в силу системы (5) есть функция знакопостоянная, знака, противоположного V, либо тождественно равная нулю, то точка покоя системы (5) устойчива

Под точкой покоя системы (5) здесь понимается её тривиальное решение, соответствующее невозмущенному движению рассматриваемой механической системы. Грубо говоря, согласно сформулированной теореме, следует подобрать функцию , удовлетворяющую свойствам, указанным в условии теоремы. Если она удовлетворяет данным свойствам, то её называют функцией Ляпунова, и если таковая функция (хотя бы одна!) существует, то установившийся режим движения рассматриваемой механической системы будет устойчивым.

Однако, в данной теореме не идёт речь об асимптотической устойчивости, то есть таком характере движения системы, при котором возмущенное её движение будет стремится к исходному установившемуся режиму. Под устойчивым здесь понимается и такое движение, при котором система будет колебаться в окретсности исходного установившегося режима, но никогда к нему не вернется. Условие асимптотической устойчивости будет более строгим

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Если для системы уравнений (5) существует знакоопределённая функция (функция Ляпунова), полная производная по времени которой, составленная в силу системы (5) есть функция знакоопределенная, знака, противоположного V, то точка покоя системы (5) асимптотически устойчива

Асимптотически устойчивая система, после возмущения, будет стремится вернуться к установившемуся режиму движения, то есть решение системы (5) будет сходится к началу координат .

Эти теоремы дают путь к исследованию устойчивости линейных и нелинейных механических систем, более общий, чем исследование по первому приближению.

Другой вопрос, как найти функцию Ляпунова, удовлетворяющую уравнению (5) и требованиям теорем. Однозначного ответа на этот вопрос математика ещё не знает. Есть ряд работ, всецело посвященных этому вопросу, например книга Е. А. Барабашина «Функции Ляпунова». Для большинства линейных систем можно искать функции Ляпунова в виде квадратичных форм, например, для системы третьего порядка эта функция может быть такой

данная функция — определенно-положительная, причем в сколь угодно большой окрестности точки покоя системы. Или такая функция

будет знакопостоянной, положительной, ибо может быть равна нулю как в точке покоя системы , так и в точке, удовлетворяющей условию .

В случае консервативных механических систем функцией Ляпунова может служить полная механическая энергия системы, которая, при отсутствии диссипации, является константой (знакопостоянна) и ещё производная по времени равная нулю — она ведь константа. И вытекает эта функция из системы уравнений движения, ибо является одним из её интегралов.

В случае с гайкой Джанибекова, в качестве весьма элегантного решения мной взята идея из книги А. П. Маркеева «Теоретическая механика». Это решение несколько переработано и расширено мной, чтобы быть в контексте ранее написанных статей.

4. Интегралы движения гайки Джанибекова

Получим два первых интеграла движения, опираясь на систему уравнений, приведенную в тензорном цикле. Оперировать будем тензорными соотношениями, чтобы не терять хватки. Итак, уравнение вращения гайки вокруг центра масс имеет вид

перейдем в данном уравнении к вектору МКД

Умножим уравнение (10) скалярно на удвоенный вектор МКД

Нетрудно заметить, что во втором слагаемом (11) свертка , а в первом — производная от квадрата модуля МКД. Преобразуем уравнение (11) и проинтегрируем его

Выражение (12) есть первый интеграл движения, выражающий постоянство модуля МКД рассматриваемой нами гайки. Чтобы получить ещё один первый интеграл движения, умножим (9) скалярно на вектор угловой скорости

после чего, внезапно, обнаруживаем во втором слагаемом свертку равную нулю, получая уравнение

Вспомним, ведь что-то похожее мы уже видели ранее. Ведь кинетическая энергия тела в его вращении относительно центра масс равна

и если мы продифференцируем её по времени, что получим

в соответствии с этим, мы можем переписать уравнение (13) и проинтегрировать его

Учитывая, что умножение константы на двойку не меняет её «константности», можно окончательно записать первый интеграл в компонентной форме (учитывая декартов базис!)

Выражение (14) выражает постоянство кинетической энергии вращения гайки вокруг центра масс. Осталось перейти в выражениях (12) и (14) к безразмерным моментам инерции

Полученные уравнения и есть те первые интегралы движения, которые мы используем для построения функции Ляпунова

4. Построение функции Ляпунова из интегралов движения

Метод построения функции Ляпунова из уравнений вида (15) носит название метода интегральных связок Четаева и говорит о том, что означенную функцию можно искать в виде связки интегралов движения вида

где — первые интегралы уравнений возмущенного движения; и — неопределенные константы, подбором которых можно сделать функцию (16) определенно положительной, удовлетворяющей теореме Ляпунова об устойчивости.

Невозмущенное вращение гайки происходит вокруг оси с постоянной угловой скоростью . Возмутим это движение, дав угловой скорости малое приращение , и перепишем выражения (15)

При установившемся вращении гайки с постоянной угловой скоростью, константу можно вычесть из обоих частей получившихся уравнений, получив в их левой части функции

Функция Ляпунова будет иметь вид

Исходя из уравнений (15) понятно, что , значит об асимптотической устойчивости речи не будет. Но, исходя из теоремы Ляпунова, необходимо убедится в том, что функция (18) определенно-положительна. Из выражений (18) и (17) понятно, что её значения положительны при любых , и . Теперь покажем, что (18) обращается в нуль только в точке покоя системы . Выражение (18) равно нулю исключительно в случае

Из первого уравнения системы (19) вычтем второе

Если (момент инерции, вокруг которого вращается гайка наибольший), или же (момент инерции, вокруг которого вращается гайка наименьший), то равенство (20) будет справедливо лишь в случае когда . Учтем данный факт и сложим уравнения (19)

Уравнение (21) справедливо при и при . Но, так как мы полагаем , функция (18) будет равна нулю исключительно в точке покоя системы .

Таким образом, вращение гайки вокруг оси с наименьшим и наибольшим моментом инерции будет устойчивым по Ляпунову.

Однако, спешу заметить, что при , или , то есть когда момент инерции относительно оси, вокруг которой происходит вращение имеет промежуточное между максимальным и минимальным значение, функцию (18) уже нельзя назвать определенной положительно, из-за того что слагаемые в (20) будут иметь разные знаки. Но совершенно нельзя сказать о том, что движение будет неустойчивым. Особенность теорем Ляпунова об устойчивости в том, что они декларируют условие устойчивости, но не декларируют обратного. Неустойчивость движения придется доказывать отдельно.

5. Неустойчивость вращения гайки Джанибекова

Сформулируем определение

Областью будем называть какую либо область окрестности , где для некоторой функции выполняется условие , причем на границе области и точка покоя системы принадлежит этой границе.

Теорема Четаева о неустойчивости

Если дифференциальные уравнения возмущенного движения (5) таковы, что существует функция , такая, что в сколь угодно малой окрестности

существует область , и во всех точках этой области производная в силу уравнений (5) принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.

Функция о которой говорится в теореме называется функцией Четаева. Теперь рассмотрим снова нашу гайку, уравнения вращения которой выглядят так (с учетом работы в связанных с телом декартовых координатах и введенных нами безразмерных моментов инерции)

Учитывая, что изначально вращение происходит с постоянной угловой скоростью вокруг оси , построим уравнения возмущенного движения. Будем считать, что — этого всегда можно добиться выбором осей собственной системы координат.

Построим функцию Четаева

Точка покоя системы лежит на границе , а функция (23) положительна при . Производная по времени от (23) в силу (22) имеет вид

В силу того, что , а так же при условии вращения гайки вокруг среднего момента инерции, так что , то есть , производная (24) положительна в области , а значит движение будет неустойчивым.

Если же, как в рассматриваемом нами изначально случае, , или , то в качестве функции Четаева выберем

Тогда область соответствует условию , точка покоя системы так же лежит на её границе, а производная (25), равная

так же будет положительна. Движение будет неустойчивым.

Заключение

Данная статья — дополнение к статье об устойчивости движения гайки Джанибекова. Основной материал взят из приведенных выше литературных источников, а так же сайта Math Help Planet. Авторский вклад в эту статью — поэтапное подробное рассмотрение второго метода Ляпунова на примере конкретной задачи. Кроме того, чуть более развернуто, чем в книге Маркеева, рассмотрен вопрос о неустойчивости движения применительно к различным вариантам соотношения между моментами инерции гайки.

Таким образом считаю, что я исправил недочет, связанный с неполнотой изложения вопроса о причинах эффекта Джанибекова. А заодно и сам подробнее изучил второй метод Ляпунова.

Благодарю читателей за проявленное внимание!

  • эффект Джанибекова
  • гайка Джанибекова
  • устойчивость
  • второй метод Ляпунова
  • метод функций Ляпунова
  • теорема Четаева
  • функция Ляпунова

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *