Как решать систему неравенств с двумя неизвестными
Перейти к содержимому

Как решать систему неравенств с двумя неизвестными

  • автор:

Системы неравенств с двумя переменными

На входе система: \(\left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
Шаг 1. Построить на координатной плоскости кривую F(x, y) = 0. Заштриховать область F(x, y) < 0.
Шаг 2. Построить на координатной плоскости кривую G(x, y) = 0. Заштриховать область G(x, y) > 0.
Шаг 3. Множество решений данной системы – это пересечение двух заштрихованных областей.
Системы с другими знаками сравнения (≤, ≥ и т.д.), а также системы с любым количеством неравенств решаются аналогично.

Найти на координатной плоскости множество решений системы неравенств: $$ \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. $$ Множество решений – сегмент круга, отсекаемый отрезком AB. Сам отрезок в множество решений не входит.

п.2. Примеры

Пример 1. Найдите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.

Выразим y(x) в явном виде

Строим прямые, заштриховываем области над ними, находим пересечение.

Пример 1 a)

Выразим y(x) в явном виде

Заштриховываем область под первой параболой и над второй параболой.

Пример 1 б)

Выразим y(x) в явном виде

Строим гиперболу и прямую. Заштриховываем области под гиперболой и над прямой.

Пример 1 в)

Заштриховываем области вне первой окружности и внутри второй.

Находим пересечение – кольцо.

Пример 1 г)

Пример 2. Задайте системой неравенств треугольник с вершинами
A(2; 3), B(4; 4), C(3; 0)
Уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника:

Решение систем неравенств с двумя переменными

На этом уроке мы повторим алгоритмы решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными. Рассмотрим несколько видов задач.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта.

2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.

3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Получить доступ

Конспект урока «Решение систем неравенств с двумя переменными»

· повторить алгоритм решения неравенств с двумя переменными;

· повторить алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными.

При х = -3 и у = 0 это неравенство обращается в верное числовое неравенство 19 > 8.

А при x = 2 и y = 10, это неравенство обращается в числовое неравенство -41 > 8. Очевидно, что это неверное числовое неравенство.

То есть мы можем сказать, что пара чисел (-3; 0) является решением данного неравенства, а пара чисел (2; 10) не является решением этого неравенства.

Определение.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Возвращаясь к нашему примеру, мы можем сказать, что пара чисел (-3; 0) является решением данного неравенства.

Очевидно, что это не единственное решение.

Теперь давайте вспомним алгоритм решения неравенств с двумя переменными:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства.

2. Выразить переменную у через х.

3. Построить график полученного уравнения.

4. Выделить часть плоскости, соответствующую знаку неравенства.

Прежде чем перейти к решению систем неравенств с двумя переменными, давайте вспомним определения.

Определение.

Говорят, что задана система двух неравенств с двумя переменными, если требуется найти все значения переменных, при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решением системы неравенств называют такое значение переменной, при котором неравенства системы преобразуются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решить систему неравенств это значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными практически такой же, как и алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

1. Решить каждое из неравенств системы отдельно.

2. Изобразить полученные решения в координатной плоскости.

3. Найти пересечение этих решений.

4. Общая часть этих решений и является решением данной системы неравенств.

Рассмотрим ещё один пример.

Решим ещё одну систему неравенств.

Сегодня на уроке мы повторили алгоритмы решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными. Решили несколько задач.

2.7. Системы линейных неравенств

Что значит решить систему линейных неравенств? Ответ на этот вопрос зависит от количества переменных. У нас их две.

Решить систему линейных неравенств с двумя переменными – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы.

В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат. Вспоминаем «рисунок двоечников», уменьшу его в размерах:
Система неравенств задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например, и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы.

Аналогично:
– система задаёт вторую координатную четверть (левая верхняя);
– система задаёт третью координатную четверть (левая нижняя);
– и система задаёт четвёртую координатную четверть (правая нижняя).

Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: . Совершенно понятно, что «икс» не может быть одновременно больше трёх и меньше двух.

Решением системы неравенств может быть прямая, например: . Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая .

Но самый распространённый случай, это когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы, и это самый популярный вариант:

Задача 92

Решить систему линейных неравенств

Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно.

Решение: и то, что неравенств многовато, пугать не должно, главное придерживаться рационального алгоритма построения области решений:

1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства определяют первую координатную четверть, включая границу из координатных осей. Уже значительно легче, так как область поиска значительно сузилась. На чертеже сразу отмечаем стрелочками соответствующие полуплоскости (красные и синие стрелки)
2) Второе по простоте неравенство – здесь отсутствует «игрек». Во-первых, строим саму прямую , а, во-вторых, после преобразования неравенства к виду , сразу становится понятно, что все «иксы» меньше, чем 6. Отмечаем зелёными стрелками соответствующую полуплоскость.

3) На последнем шаге решаем неравенства «с полным боекомплектом»: . Так как прямые не самые простые, то сначала подбираем и указываем опорные точки для их построения:

Область решений системы представляет собой многоугольник , на чертеже он обведён малиновой линией и заштрихован. В тетради его достаточно либо заштриховать, либо жирнее обвести простым карандашом. Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (можете для интереса проверить).
Хорошим тоном считается найти координаты вершин, здесь они очевидны. Однако не лишним будет составить систему и убедиться, что точка — не фейк

Ответ: многоугольник с вершинами .

Аналогичная задача для самостоятельного решения:

Задача 93

Решить систему и найти координаты вершин полученной области

А вот здесь для нахождения некоторых вершин уже придётся решать системы, поскольку координаты точек не очевидны. И это, кстати, хороший способ проверить правильность чертежа. У вас, скорее всего, будут другие буквенные обозначения, но это не принципиально, главное, правильно определить и построить область.

Не удивляйтесь, что все неравенства нестрогие – именно они часто используются в прикладных задачах, например, в задачах линейного программирования.

Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Системы неравенств с двумя переменными, способы решения

Одним из частных случаев систем неравенств с двумя переменными являются системы линейных неравенств с двумя переменными. Рассмотрим их.

Системы линейных неравенств с двумя переменными

Введем сначала все необходимые понятия.

Определение 1

Неравенства вида $ax+by\le ()c$, где $x\ и\ y$ — неизвестные переменные, а $a,\ b\ и\ c$ — некоторые числа, причем $a\ и\ b$ отличны от нуля называются линейными неравенствами с двумя переменными.

Определение 2

Пара чисел называется решением линейного неравенства с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.

Статья: Системы неравенств с двумя переменными, способы решения

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Определение 3

Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.

Определение 4

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Определение 5

Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.

Рассмотрим решение систем линейных неравенств с двумя переменными на примере.

Решить систему неравенств

Решим для начала оба неравенства отдельно.

  1. $y Изобразим график линейного неравенства (рис. 1). Решение неравенства
  2. $y Изобразим график линейного неравенства (рис. 2).

Рисунок 2. Решение неравенства $y
Изобразим теперь общее решение системы линейных неравенств:

Примеры других неравенств с двумя переменными

Рассмотрим другие примеры систем неравенств с двумя переменными.

Решить систему неравенств

Решение.

Решим для начала два этих неравенства по отдельности

    $x^2+y^2\ge 4$ $x^2+y^2=4$ — окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $2$. Изобразим график неравенства

Рисунок 4.
$x^2+y^2\le 9$ $x^2+y^2=9$ — окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 3. Изобразим график неравенства

Рисунок 5.
Изобразим теперь общее решение:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *