Параллельные прямые это прямые которые не пересекаются
Перейти к содержимому

Параллельные прямые это прямые которые не пересекаются

  • автор:

Параллельные прямые

Параллельные прямые

Паралле́льные прямы́е, прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В евклидовой геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна такая прямая. Это утверждение равносильно Пятому постулату Евклида (о параллельных).

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C C C (рис.) вне данной прямой A B AB A B проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих A B AB A B . Из них параллельными к A B AB A B называются только две. Прямая C E CE CE называется параллельной к прямой A B AB A B в направлении от A A A к B B B , если: 1) точки B B B и E E E лежат по одну сторону от прямой A C AC A C ; 2) прямая C E CE CE не пересекает прямую A B AB A B ; всякий луч, проходящий внутри угла A C E ACE A CE , пересекает луч A B AB A B . Аналогично определяется прямая C F CF CF , параллельная к A B AB A B в направлении от B B B к A A A .

Редакция математических наук

Опубликовано 24 августа 2022 г. в 12:05 (GMT+3). Последнее обновление 24 августа 2022 г. в 12:05 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Параллельные прямые

Области знаний: Планиметрия

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
    выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Параллельные прямые

Параллельными (иногда — равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается.

Свойства

  1. Параллельность — бинарноеотношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  2. Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых минимум две)
  3. 2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости.
  4. При пересечении 2 параллельных прямых третьей, называемой секущей:
    1. Секущая обязательно пересекает обе прямые.
    2. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
      1. Накрест лежащие углы равны.
      2. Соответственные углы равны.
      3. Односторонние углы в сумме составляют 180°.

      В геометрии Лобачевского

      Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые параллельны синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

      В геометрии Лобачевского в плоскости через точку Невозможно разобрать выражение (лексическая ошибка): C вне данной прямой AB

      проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB. Из них параллельными к AB называются только две.

      Прямая CE называется равнобежной (параллельной) прямой AB в направлении от A к B , если:

      1. точки B и E лежат по одну сторону от прямой AC ;
      2. прямая CE не пересекает прямую AB , но всякий луч, проходящий внутри угла ACE , пересекает луч AB .

      Аналогично определяется прямая, равнобежная AB в направлении от B к A .

      Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися.

      См. также

      • Скрещивающиеся прямые
      • Перпендикулярность
      • Ортогональность

      Wikimedia Foundation . 2010 .

      • Скрещивающиеся прямые
      • Нестерихин, Юрий Ефремович

      Полезное

      Смотреть что такое «Параллельные прямые» в других словарях:

      • ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Современная энциклопедия
      • ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Большой Энциклопедический словарь
      • Параллельные прямые — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. … Иллюстрированный энциклопедический словарь
      • Параллельные прямые — в евклидовой геометрии, прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии (См. Абсолютная геометрия) через точку, не лежащую на данной прямой, проходит хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В… … Большая советская энциклопедия
      • параллельные прямые — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости. * * * ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Энциклопедический словарь
      • ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — в евклидовой геометрии прямые, к рые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, проходит хотя бы одна прямая, не пересекающая данную. В евклидовой геометрии существует только одна… … Математическая энциклопедия
      • ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ — непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости … Естествознание. Энциклопедический словарь
      • Параллельные миры в фантастике — Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. У это … Википедия
      • Параллельные миры — Параллельный мир (в фантастике) реальность, существующая каким то образом одновременно с нашей, но независимо от неё. Эта автономная реальность может иметь различные размеры: от небольшой географической области до целой вселенной. В параллельном … Википедия
      • Параллельные — линии Прямые линии называются П., если ни они, ни ихпродолжения взаимно не пересекаются. Весточки одной из таких прямыхнаходятся на одинаковом расстоянии от другой. Однако, принято говорить: две П. прямые пересекаются в бесконечности . Такой… … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона
      • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
      • �� Путешествия

      Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
      WordPress, MODx.

      • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
      • Искать во всех словарях
      • Искать в переводах
      • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

      Параллельные прямые

      Параллельные прямые – подарок судьбы в решении многих задач.

      Они дают тебе множество равных углов! И на них основывается много признаков фигур.

      Что, безусловно, будет очень полезно.

      Читай эту статью – будешь знать о них все!

      И получишь заслуженные баллы на ЕГЭ.

      Параллельные прямые — коротко о главном

      Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали: \( \displaystyle a\parallel b\).

      Секущая – прямая, пересекающая две параллельные прямые: \( \displaystyle c\).

      Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

      \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – внутренние накрест лежащие углы;

      \( \displaystyle \angle 5\) и \( \displaystyle \angle 4\), \( \displaystyle \angle 6\) и \( \displaystyle \angle 3\) – внутренние односторонние углы;

      \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\) – внешние односторонние углы;

      \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\), \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 8\), \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 6\), \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 7\) – соответственные углы.

      Свойства параллельных прямых

      Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

      внутренние накрест лежащие углы равны: \( \displaystyle \angle 3=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 6\);

      соответственные углы равны: \( \displaystyle \angle 1=\angle 5\), \( \displaystyle \angle 4=\angle 8\), \( \displaystyle \angle 2=\angle 6\), \( \displaystyle \angle 3=\angle 7\);

      сумма любых двух внутренних односторонних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle 3+\angle 6=180<>^\circ \), \( \displaystyle \angle 4+\angle 5=180<>^\circ \);

      сумма любых двух внешних односторонних углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle 1+\angle 8=180<>^\circ \), \( \displaystyle \angle 2+\angle 7=180<>^\circ \).

      Признаки параллельных прямых

      Определение параллельных прямых

      Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.

      Принято обозначение:

      \( \displaystyle a//b\) – читается как \( \displaystyle a\) параллельна \( \displaystyle b\).

      Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».

      Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:

      Аксиома параллельных прямых или пятый постулат Евклида

      Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

      Смотри: через любую точку \( \displaystyle A\) проходит только одна прямая \( \displaystyle b\), которая параллельна \( \displaystyle a\), все остальные будут пересекать прямую \( \displaystyle a\).

      Казалось бы: чего проще – ну, одна так одна…

      Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых.

      В конце концов, уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.

      А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.

      Ну вот, а теперь возникает два вопроса:

      1. Если где-то в задаче даны или оказались параллельными две какие-то прямые, то что? Как это использовать?
      2. А как вообще узнать, что какие-то прямые параллельны?

      Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».

      Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.

      Термины: секущая, внутренние и внешние углы

      Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей )

      Получается куча углов. Целых \( \displaystyle 8\) штук.

      Приняты такие названия этих углов:

      \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\) называются внутренними накрест лежащими углами

      \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) – тоже внутренние накрест лежащие углы.

      Название говорит само за себя: \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 6\), так же, как и \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle5\) лежат «накрест» — по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).

      \( \displaystyle \angle 5\) и \( \displaystyle \angle 4\) (а еще \( \displaystyle \angle 6\) и \( \displaystyle \angle 3\)) называются внутренними односторонними углами .

      Они лежат с одной стороны от секущей и «внутри» между прямыми \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).

      \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 8\) (а еще \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 7\)) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)

      И последнее название: соответственные углы.

      • \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\)
      • \( \displaystyle \angle 4\) и \( \displaystyle \angle 8\)
      • \( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 6\)
      • \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 7\)

      Обрати внимание, \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 5\) лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle B\). То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.

      Свойства параллельных прямых

      Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если \( \displaystyle a//b\), то что?

      Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

      • Внутренние накрест лежащие углы равны
      • Соответственные углы равны
      • Сумма любых двух внутренних односторонних равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

      Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.

      А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.

      Признаки параллельных прямых

      То есть, как бы узнать, что прямые параллельны?

      Если две прямые (\( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\)) пересечены третьей и оказалось, что:

      • Какие-нибудь два накрест лежащих угла равны, ИЛИ
      • Какие нибудь два соответственных угла равны, ИЛИ
      • Сумма хоть каких-то двух внутренних односторонних равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), ИЛИ
      • Сумма хоть каких – то двух внешних односторонних равна \( \displaystyle 180<>^\circ \),

      то прямые \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) – параллельны

      Заметь, что для того, чтобы установить параллельность прямых, достаточно выяснить, скажем, равенство всего двух углов (или накрест лежащих, или соответственных), а уже все остальное окажется , так сказать, бонусом.

      Смотри-ка, вот схема:

      Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

      Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника

      Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем

      математика, информатика, физика

      Запишитесь на занятия:

      • сотни моих учеников поступили в лучшие ВУЗы страны
      • автор самого понятного учебника по математике YouClever, по которому учатся десятки тысяч школьников и учителей;
      • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
      • профессиональный репетитор c 2003 года;
      • преподаю как на русском, так и на английском языках, готовлю к международным экзаменам;
      • в 2021 году сдал ЕГЭ на 100 баллов;

      Добавить комментарий Отменить ответ

      Один комментарий

      Александр Кель :

      Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье: Григорий
      09 мая 2018
      спасибо за подробную информацию! Александр (админ)
      09 мая 2018
      Пожалуйста, Григорий! Приходи еще и делись инфой с друзьями! Александр
      27 июня 2018
      Спасибо , очень помогает. Александр (админ)
      27 июня 2018
      Пожалуйста, Александр. Мы рады!)) Елена
      03 июля 2018
      Класс. Всё просто, понятно и наглядно. Легко усвоилось. Спасибо. Очень нужная информация. Александр (админ)
      03 июля 2018
      Отлично, Елена, что так помог наш текст. Делись им с друзьями, окажешь услугу и им и нам! И удачи на экзамене. Алексей
      17 сентября 2018
      очень понятно! Спасибо-о-о-о-о-о-о-о Александр (админ)
      17 сентября 2018
      Очень рады, Алексей! Спасибо и тебе. Никита
      25 декабря 2018
      Спасибо огромное. Кстати мне помогло в школе Александр (админ)
      25 декабря 2018
      Пожалуйста, Никита! Нам очень приятно. Виктор
      09 февраля 2020
      Весь материал полезен , но практически все можно найти в школьном учебнике. А вот это замечание : «…но эти геометрии уже оказываются не геометриями на плоскости, а геметриями на каких-то хитрых поверхностях.» — очень уместно. Сколько приходилось знакомиться с геометрией Лобачевского, везде авторы избегают этого разъяснения, а ведь оно сразу снимает все вопросы, возникающие у дилетанта. Александр (админ)
      09 февраля 2020
      Спасибо, Виктор.

      Определение параллельных прямых в пространстве.

      Такое дело. Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. (*уч. Геомет. 10 класс) Сегодня я спросил у учителя: «Прямые могут быть параллельны, ели они находятся вне плоскости». На что она, как обычно, психанула: «Прямые не могут находится вне плоскости, и плоскость не имеет границ! » Я понял из такого же учебника и википедии, что основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Т. е. плоскость это фигура, а фигура имеет границы. Здесь мне отвечали: «Конечно, прямая может находится вне плоскости», «Да, она бесконечная. Не фигура, а понятие» Кто-нибудь расставит точки над «И»? Офигенное естествознание получается.. . Геометрия — самый ненужный предмет в школе!

      Дополнен 10 лет назад
      Интересно, поможет ли Х2 найти мне ответ?
      Лучший ответ

      Смотри фигура, понятие черт с ним хоть горшком обзови суть не изменится. (сам лично обзываю обычно множеством точек) — на пальцах плоскость — это нечто одназначно определяемое 3 точками не лежащими на одной прямой и имеющее бесконечные размеры (на пальцах, аксиомы я не помню)

      Теперь о вопросе.
      1) Для каждой прямой существует плоскость такая что прямая прнадлежит этой плоскости.
      2) Если для 2 прямых существует, плоскость такая что они принадлежат этой плоскости и не имеют точек пересечения — они называются параллельными
      3) Не для каждой пары прямых существует плоскость такая, что обе этих прямые лежат в ней (если для 2 прямых не существует плоскости, которой они принадлежат обе, их называют скрещивающимися)

      Примеры параллельных и скрещивающихся прямых из жизни:
      паралельные — линейки в тетрадке по русскому) , 2 грани доски.
      скрещивающиеся: фонарный столб и бордюр
      (П. С. к словам прошу по возможности не придираться, если смысл понятен)

      Остальные ответы

      Прямые параллельны если существует проекция, в которой они являются двумя точками с разными координатами.

      Плоскость — это не фигура. Плоскость — это плоскость. Если хочешь — это геометрическое место точек прямой, перемещающейся параллельно самой себе. Кстати, а какие границы имеет прямая? И еще, через две параллельные прямые в пространстве можно провести плоскость и, при том, только одну.

      сформулируем чуть иначе (может быть так будет понятнее)
      параллельными называются именно непересекающиеся прямые, через которые можно провести общую плоскость.

      через любую прямую и точку вне ее можно провести плоскость. берем прямую, берем любую точку на другой прямой, проводим плоскость, если прямые параллельны, то вся вторая прямая окажется лежащей в этой плоскости.

      прямые могут и не лежать в одной плоскости, и бесконечность тут вообще не при чем — называются скрещивающимися.

      посмотри на комнату, на ее ребра — тут есть и параллельные и скрещивающиеся.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *