Что такое нормальная подгруппа
Перейти к содержимому

Что такое нормальная подгруппа

  • автор:

Нормальная подгруппа

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа) — подгруппа особого типа, у которой левый и правый смежные классы совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

Определения

Подгруппа Nгруппы Gназывается нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента nиз Nи любого gиз G, элемент g n g^<-1>» width=»» height=»» /> лежит в <img decoding=:

N \triangleleft G\, \iff\, \forall\, n\in N, g\in G \,gng^<-1>\in» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 1joomlaumnik -->
<script src=

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

  1. Для любого gиз G, gNg^<-1>\sube N» width=»» height=»» />.</li>
<li>Для любого <img decoding=из G, gNg^<-1>= N» width=»» height=»» />.</li>
<li>Множества левых и правых смежных классов<img decoding=в Gсовпадают.
  2. Для любого gиз G, gN = Ng.
  3. N— объединение классов сопряженных элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

Примеры

  • \< e \>» width=»» height=»» /> и <img decoding=— всегда нормальные подгруппы G. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа Gназывается простой.
  • Центр группы — нормальная подгруппа.
  • Коммутант группы — нормальная подгруппа.
  • Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.
  • Все подгруппы Nабелевой группыGнормальны, так как g N = N g. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.
  • Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.
  • В группе кубика Рубика, подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

Свойства

  • Нормальность сохраняется при сюрьективныхгомоморфизмах и взятии обратных образов.
  • Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
  • Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
  • Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
  • Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если p— наименьший простой делитель порядкаG, то любая подгруппа индекса pнормальна.
  • Если N— нормальная подгруппа в G, то на множестве левых (правых) смежных классов G / Nможно ввести групповую структуру по правилу

(g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)NПолученное множество называется факторгруппойGпо N.

  • Nнормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах G / N.

Исторические факты

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

Ссылки

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — М .:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М .: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6
  • Теория групп

Что такое нормальная подгруппа

Лекция 2. Нормальные подгруппы, факторгруппы. Основная теорема о гомоморфизмах

Лекция из курса:

Поделиться:

Лекция 2. Нормальные подгруппы, факторгруппы. Основная теорема о гомоморфизмах

1 / Загрузка

Скачать конспект лекции

Предыдущая лекция

Лекция 1. Начала теории групп: определение, примеры, гомоморфизм

Следующая лекция

Лекция 3. Основная теорема о гомоморфизме. Автоморфизмы групп

Мы в соцсетях:

© 2024 МГУ имени М. В. Ломоносова

Нашли ошибку или баг? Сообщите нам!

Ваши комментарии о найденых ошибках в лекциях, конспектах или о баге

Нормальная подгруппа

[math]xHx^ \subset H[/math] по определению [math]H[/math] . Подставив в предыдущее выражение [math]x^[/math] вместо [math]x[/math] , видим, что [math]x^Hx \subset H[/math] . Следовательно, [math]H = x(x^Hx)x^ \subset xHx^[/math] .

Любая подгруппа абелевой группы — нормальна.

Примеры

  • Подгруппа [math]H =\<(1)[/math] , [math](2[/math] [math]3)\>[/math] группы [math]S_3[/math] группы перестановок множества из трех элементов не является нормальной.

Нормальная подгруппа

В группе теории , A нормальная подгруппа (называемая также отличается подгруппой или инвариантной подгруппой ) Н из группы G является глобально устойчивой подгруппой по действию G на себе конъюгации . Нормальные подгруппы естественным образом вмешиваются в определение фактора группы . Нормальные подгруппы G в точности ядро из морфизмов , определенных на G .

Подгруппы обычно знакомы приложениям в геометрии при изучении действий групп , в алгебраической топологии при классификации покрытий , в теории Галуа в Галуа .

Резюме

  • 1 Определение
  • 2 Свойство
  • 3 Факторная группа
  • 4 Связь с групповыми морфизмами
  • 5 примеров
  • 6 История
  • 7 Примечания и ссылки
  • 8 Статьи по теме

Определение

Мы говорим, что подгруппа группы является нормальной (или выделенной, или инвариантной) в, если она устойчива по сопряжению, т. Е. Если: ЧАС грамм грамм

Затем мы отмечаем . ЧАС ⊴ грамм

Эквивалентный способ определить нормальную подгруппу — сказать, что классы справа и слева от in совпадают, то есть: ЧАС грамм

∀ Икс ∈ грамм , Икс ЧАС знак равно ЧАС Икс .

Недвижимость

Если Х и Y являются два частями группы G , будет обозначены XY всех элементы G вида х с й в X и Y в Y .

Является ли H нормальной подгруппой группы G ? Это следует из соотношения

∀ Икс ∈ грамм , Икс ЧАС знак равно ЧАС Икс

что если X является частью G , то XH = HX . (Пропустить встречи х просмотра X ) . Это особенно справедливо , если Х является подгруппа К (не обязательно нормальная) из G . Легко доказать , что если и Б являются подгруппы группы G , если АВ = ВА , то АВ является подгруппой G и, очевидно , является подгруппой группы G генерируется с помощью A и B . Следовательно :

Если H и K — две подгруппы группы G , если хотя бы одна из этих двух подгрупп нормальна в G , то подгруппа G, порожденная H и K, является множеством HK = KH .

Факторная группа

Нормальные подгруппы важны при изучении фактор-групп в силу следующего факта:

Пусть G группа и H подгруппа группы G ; так что отношение эквивалентности в Gх и у ) хНо = уНы это совместимо с законом G (другими словами, так , что эквивалентность х и у и эквивалентность г и т всегда влекут за собой , что из XZ и YT ), необходимо и достаточно , чтобы подгруппа Н нормальна в G . (Отношение эквивалентности xH = yH также можно записать как Hx = Hy .)

Затем мы можем определить в фактормножестве , соответствующий это отношение эквивалентности один (и только один) закон композиции ✻ такое , что для всех элементов через , Ь из G , мы имеем ( Ah ) ✻ ( Bh ) = ABH . Этот закон композиции — групповой закон; оснащено этим групповой законом, множество фактора называется фактор — группа G по H и отметил G / H .

Связь с групповыми морфизмами

  • Для любого морфизма групп , ж : грамм → грамм ′
    • если это нормальная подгруппа , то прямой образ подгруппа нормальна в (следовательно , в си есть сюръективны ); ЧАС грамм ж ( ЧАС ) ж ( грамм ) грамм ′ ж
    • если — нормальная подгруппа, то подгруппа обратных изображений нормальна в . ЧАС ′ грамм ′ ж — 1 ( ЧАС ′ ) (H ‘)> грамм

    Примеры

    • < Е > и G всегда нормальные подгруппы G . Если они единственные нормальные подгруппы и G не сводится к < e >, то G называется простой .
    • Пересечение семейства непустых подгрупп нормальной группа G является нормальной подгруппой группы G .
    • Подгруппа , порожденная семейством нормальных подгрупп группы G является нормальной подгруппой группы G .
    • Любая абелева группа — дедекиндова группа , т. Е. Все ее подгруппы нормальны.
    • В знакопеременной группеA4 есть нормальная подгруппа K, изоморфная группе Клейна . Три подгруппы порядка 2 из K нормальны в K , но в A4 они сопряжены , поэтому не нормальны. Это показывает, что отношение «является нормальной подгруппой в» не обязательно транзитивно.
    • Если G конечная группа и р является наименьшим делителем первым его порядка, то каждая подгруппа группы G из индексар нормальна в G .

    Демонстрация

    Рассмотрим множество G / H из левых смежных классов в G следующих H . На этом множестве из p элементов H действует сдвигами, по крайней мере, с одной фиксированной точкой (класс eH = H ). Орбита любой нефиксированной точки будет иметь для кардинала делитель порядка H строго больше 1 и, следовательно, больше или равный p , что несовместимо с тем, что было раньше. Таким образом, все точки фиксированы, т.е. для всех элементов g из G и h из H имеем hgH = gH , т.е. g –1 hg∈H , поэтому H нормальна.

    • Любая подгруппа индекса 2 (необязательно конечной группы) нормальна.

    Демонстрация

    Является ли H индекс 2 в G . Для каждого элемента г из G , или г принадлежит Н , а затем Gh и Hg равны Н , или г не в H , а затем Gh и Hg равны дополнении H в G . В обоих случаях, Gh = рт.ст. так GHG -1 = Н .

    • Характеристическая подгруппа из G является стабильной подгруппой под действием всех автоморфизмов G (что не всегда имеет место в предыдущем примере). Такая подгруппа, в частности, устойчива по любому внутреннему автоморфизму , другими словами, это нормальная подгруппа. Например, центр и производная подгруппа группы являются характеристическими подгруппами и, следовательно, нормальными.
      • Центр в G есть подгруппа из элементов G , коммутирующих со всеми остальными.
      • Подгруппа , полученная из G является подгруппой , порожденной с помощью переключателей . Это наименьшая нормальная подгруппа группы G такая, что фактор-группа коммутативна.

      История

      Понятие нормальной подгруппы впервые появляется в этом отрывке из Галуа : «когда группа G содержит другую H , группу G можно разделить на группы, каждая из которых мы получаем, оперируя перестановками H одной и той же подстановки; чтобы

      грамм знак равно ЧАС + ЧАС S + ЧАС S ′ + ⋯ .

      А также он может разбиваться на группы с одинаковыми заменами, так что

      грамм знак равно ЧАС + Т ЧАС + Т ′ ЧАС + ⋯ .

      Эти два типа разложения обычно не совпадают. Когда они совпадают, разложение называется чистым . «

      Примечания и ссылки

      1. ↑ ab и c Ж. Кале, Элементы теории групп , Press Universitaires de France, 1984
      2. ↑ Д. Перрин, Курс алгебры , Эллипсы , 1996 г.
      3. ↑ Внимание! В английском языке выделенная подгруппа означает не нормальную подгруппу, а строго характеристическую подгруппу .
      4. ↑ Жан-Бернар Зубер, « Введение в теорию групп и их представлений»
      5. ↑ Эти два свойства (среди прочих) демонстрируются в этом курсе в Викиверситете .
      6. ↑Н. Бурбаки , Алгебра I, главы с 1 по 3 , Париж, 1970, с. I.35, или (en) WR Scott, Group Theory , Dover , 1987 г. ( 1- е изд. 1964 г.) ( читать строчку ) , с. 29 .
      7. ↑Скотт 1987 , стр. 29.
      8. ^ (Де) Г. Фробениус , «Über endliche Gruppen», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , январь-май 1895 г., стр. 171, для консультации на сайте Internet Archive . (Ссылка на «Фробениус 1895», данное Фабрисом Кастелем, Конечные группы , подготовка к внешней агрегации , Университет Ренна 1 , 2009-2010, стр. 47.)
      9. ↑ (in) Энтони В. Кнапп , Основы алгебры , Vol. 1, Спрингер, 2006 г. ( ISBN978-0-8176-3248-9 , читать онлайн ) , стр. 163 .
      10. ↑Кнапп 2006 , стр. 130.
      11. ↑ Эварист Галуа, «Письмо Огюсту Шевалье », Revue encyclopédique , сентябрь 1832 г .; цитируется (в) Х. Вуссинг , Происхождение группы абстрактных понятий , тр. Англ., 1984, репр. Довер, 2007, с. 115 и 305 в Google Книгах .

      Статьи по Теме

      • Нормализатор
      • Максимальная нормальная подгруппа
      • Минимальная нормальная подгруппа

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *