Что такое пустое множество в математике
Перейти к содержимому

Что такое пустое множество в математике

  • автор:

ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО

— множество, не содержащее элементов. Обозначения: , Л. Иначе, =: х х>, при этом вместо х х в этом определении можно было бы использовать любое всегда ложное утверждение. П. м. является подмножеством любого множества. М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

  • ПУНКТИФОРМНЫЙ НАРОСТ
  • ПУСТЫХ ЯЩИКОВ КРИТЕРИЙ

Смотреть что такое «ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО» в других словарях:

  • ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО — Понятие теории множеств; пустое множество множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается ? или 0. Понятие пустое множество (подобно понятию нуль ) возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также… … Большой Энциклопедический словарь
  • пустое множество — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN empty set … Справочник технического переводчика
  • Пустое множество — Обозначение пустого множества Пустое множество (в математике) множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойс … Википедия
  • пустое множество — понятие теории множеств; пустое множество множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается ø или 0. Понятие пустое множество (подобно понятию «нуль») возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также… … Энциклопедический словарь
  • пустое множество — tuščioji aibė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. empty set vok. Leerensemble, n rus. пустое множество, n pranc. ensemble vide, m … Automatikos terminų žodynas
  • Пустое множество — (математическое) «множество», не содержащее ни одного элемента. Понятие «П. м.» (подобно понятию «нуль»; возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также множеством (см. Множеств теория). Источником… … Большая советская энциклопедия
  • ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО — понятие теории множеств; П. м. множество, не содержащее ни одного элемента; обозначается 0. Понятие П. м. (подобно понятию нуль ) возникает из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также множеством … Естествознание. Энциклопедический словарь
  • Множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Запрос «Целое» перенаправляется сюда; о типе данных в программировании см. Целое (тип данных). Множество одно из ключевых понятий математики, в частности, теории… … Википедия
  • Множество (тип данных) — У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Множество тип и структура данных в информатике, является реализацией математического объекта множество. Данные типа множество позволяют хранить ограниченное число значений… … Википедия
  • Множество (математика) — Множество один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств. «Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» (Г. Кантор). Это не является в полном… … Википедия

Пустое множество

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

\in

-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Обозначения пустого множества

Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: ~ \varnothing, ~ \emptysetи ~ \<\>» width=»» height=»» />.</p>
<p>Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: <img decoding=и ~ \Lambda.

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205, ∅ ).

Символы ~ \varnothingи ~ \emptysetвведены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

~ \varnothing

Символ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите [1] .

Свойства пустого множества

  • Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, ~ \forall a \ (a \notin \varnothing)и, в частности, ~ \varnothing \notin \varnothing.
  • Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \subseteq a)и, в частности, ~ \varnothing \subseteq \varnothing.
  • Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \cup a = a) и, в частности, ~ \varnothing \cup \varnothing = \varnothing.
  • Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \cap a = \varnothing)и, в частности, ~ \varnothing \cap \varnothing = \varnothing.
  • Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ~ \forall a \ (a \setminus \varnothing = a) и, в частности, ~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing.
  • Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \setminus a = \varnothing)и, в частности, ~ \varnothing \setminus \varnothing = \varnothing.
  • Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \triangle a = a \ \land \ a \triangle \varnothing = a)и, в частности, ~ \varnothing \triangle \varnothing = \varnothing
  • Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, ~ \forall a \ (\varnothing \times a = \varnothing \ \land \ a \times \varnothing = \varnothing)и, в частности, ~ \varnothing \times \varnothing = \varnothing.
  • Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, ~ \mathrm(\varnothing), где ~ \mathrm(\varnothing) \Leftrightarrow \forall b \ (b \in \varnothing \to b \subseteq \varnothing).
  • Пустое множество — ординал. Иначе говоря, ~ \mathrm<Ord>(\varnothing)» width=»» height=»» />, где <img decoding=.
  • Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря, ~ \mu(\varnothing) = 0

См. также

  • Аксиома пустого множества
  • Аксиоматика теории множеств

Ссылки

  1. Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (англ.) . — История появления символов теории множеств и логики. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011.Проверено 28 сентября 2010.
  • Теория множеств

Wikimedia Foundation . 2010 .

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Множество пустого множества

Множество пустого множества
24.01.2007, 21:52

Ребята, представим, что существует некое множество B, являющееся множеством пустого множества. Имеется множество C — ни что иное как пустое множество. Вопрос в следующем, можно ли между этими множествами поставить знак «равно»? По сути дела, рассуждая здравой логикой, то принципиально возможно, ведь множество пустых множеств и есть пустое множество. Получается, что кардинальное число (количество элементов состовляющих множество) множества B равно 0, или все же оно синглетон, что будет противоречить выводу выше. Что является истинной — их равенсто или все же их неравенство.

Если возможно, просьба привести ссылки на учебные пособия, где каким-либо образом затронут этот вопрос.

Примногом вам благодарен.

Пустое множество

Математика

Пусто́е мно́жество, множество , не содержащее ни одного элемента, обычно обозначается ∅ \varnothing ∅ . Понятие «пустое множество» возникает (подобно понятию « нуль ») из потребности, чтобы результат всякой операции над множествами был также множеством. Запись A ∩ B = ∅ A\cap B= \varnothing A ∩ B = ∅ , где символ ∩ \cap ∩ обозначает пересечение множеств , означает, что множества A A A и B B B не имеют общих элементов.

Редакция математических наук. Первая публикация: Большая российская энциклопедия, 2015.

Опубликовано 19 апреля 2023 г. в 17:15 (GMT+3). Последнее обновление 19 апреля 2023 г. в 17:15 (GMT+3). Связаться с редакцией

Информация

Математика

Области знаний: Теория множеств

  • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
    Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
    выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
    ISSN: 2949-2076
  • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
    Главный редактор: Кравец С. Л.
    Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
    Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
  • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
  • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
    Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *