Как разложить вектор по базису трех векторов
Перейти к содержимому

Как разложить вектор по базису трех векторов

  • автор:

Как разложить вектор по базису трех векторов

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Разложение вектора по векторам

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a 1, . an , необходимо найти коэффициенты x 1, . xn , при которых линейная комбинация векторов a 1, . an равна вектору b :

x 1 a 1 + . + xn an = b ,

при этом коэффициенты x 1, . xn , называются координатами вектора b в базисе a 1, . an .

Пример задачи на разложение вектора по базисным векторам

Пример 1. Разложить вектор b = < 8; 1 >по базисным векторам p = < 1; 2 >и q = < 3; 1 >.

Решение: Составим векторное уравнение:

которое можно записать в виде системы линейных уравнений

1 x + 3 y = 8
2 x + 1 y = 1

из первого уравнения выражаем x

x = 8 — 3 y
2 x + y = 1

Подставим x во второе уравнение

x = 8 — 3 y
2(8 — 3 y ) + y = 1
x = 8 — 3 y
16 — 6 y + y = 1
x = 8 — 3 y
5 y = 15
x = 8 — 3 y
y = 3
x = 8 — 3·3
y = 3
x = -1
y = 3

Ответ: b = — p + 3 q .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Онлайн калькулятор. Разложение вектора по базису

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложения вектора по базисным векторам

  • Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
  • выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
  • введите значения базисных векторов;
  • введите значения вектора, который нужно разложить по базису;
  • Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Разложение вектора по базису

Линейной комбинацией векторов
a1 , . an с коэффициентами x 1, . xn называется вектор

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1 , . an , необходимо найти коэффициенты x 1, . xn , при которых линейная комбинация векторов a1 , . an равна вектору b .

Коэффициенты x 1, . xn будут координатами вектора b в базисе a1 , . an .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Присоединяйтесь
© 2011-2024 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Разложение вектора по базису векторов: формулировка с примерами решения

Вектор в произвольном линейном пространстве — это некоторый элемент этого пространства.

Замечание 1

Базисом трёхмерного пространства называют некоторые линейно независимые вектора $a, b$ и $c$, если любой вектор $d$ может быть выражен в виде линейной комбинации этих векторов, то есть существуют некоторые вещественные коэффициенты $λ, μ$ и $ν$, причём такие, что будет соблюдаться условие $d= λ \cdot a + μ\cdot b + ν \cdot c \left( 1 \right)$.

Числа $λ, μ$ и $ν$ называются координатами рассматриваемого вектора относительно некоторого базиса $a, b$ и $c$.

В контексте плоскости базисом будет два независимых вектора, лежащих в этой плоскости, а не три, как в объёмном мире.

Любой вектор $d$ имеет лишь единственное разложение по базису векторов, то есть его координаты задаются однозначно через используемый базис.

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Определение 1

Аффинными координатами некоторой точки $M$ в пространстве называются координаты точки относительно базиса пространства $a, b$ и $c$ и некоторой точки $O$, которую принимают за начало координат.

Декартова система координат является примером аффиной системы координат, причём базисные вектора в ней принято обозначать не буквами $a, b$ и $c$, а $i, j$ и $k$, представляющими собой направленные ортогональные между собой отрезки, причём длина каждого равна единице.

Для декартовой системы координат формула разложения выглядит так:

$d = X \cdot \vec + Y \cdot \vec + Z \cdot \vec$

Здесь $X, Y$ и $Z$ — координаты вектора, а $ i, j$ и $k$ — базис.

Через базис декартовой системы координат выражается скалярное произведение векторов, заданных в этом пространстве. Для этого их координаты записываются через специальную матрицу.

Докажите, что вектора, $a_1. a_4$, перечисленные ниже, являются базисом пространства $\mathbb$.

$a_1 = (1; 2; -1: -2)$; $a_2 = (2; 3 0; -1)$; $a_3 = (1; 2; 1; 4)$; $a_4 = (1; 3; -1; 0)$

Решение:

Размерность данного пространства равна 4, а это значит, что для проверки того, являются ли эти вектора базисом, нужно доказать их линейную независимость, то есть доказать, что ранг матрицы, составленной из координат этих векторов как из строчек, равен количеству строк.

Составленная матрица имеет вид:

$A = \begin 1 & 2 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & -1 & 0 \\ \end$

Преобразуем её к треугольной, для краткости описания выполняемых операций строчки будем записывать (n), здесь $n$ — номер строчки.

1) (4) — (1); (3) — (1); (2) — (1) $\cdot 2$:

$\begin 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \end$

$\begin 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 2 & 5 \\ \end$

$\begin 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end$

Приведённая матрица имеет ранг 4, а значит данные вектора образуют базис этого пространства.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *