Как выразить степень из формулы
Перейти к содержимому

Как выразить степень из формулы

  • автор:

Формулы сокращенного умножения:
степень суммы и степень разности

Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:

Степень суммы

Группа формул «Степень суммы» составляет Таблицу 1. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y) 2 = (x + y)(x + y) ,
(x + y) 3 = (x + y) 2 (x + y) ,
(x + y) 4 = (x + y) 3 (x + y)

Группу формул «Степень суммы» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

Таблица 1. – Степень суммы

Название формулы Формула
Квадрат (вторая степень)
суммы
(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Куб (третья степень) суммы (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
Четвертая степень суммы (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4
Пятая степень суммы (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
Шестая степень суммы (x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6

Квадрат (вторая степень) суммы

Куб (третья степень) суммы

Четвертая степень суммы

(x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y +
+ 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4

Пятая степень суммы

(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y +
+ 10x 3 y 2 +
+ 10x 2 y 3 +
+ 5xy 4 + y 5

Шестая степень суммы

(x + y) 6 = x 6 + 6x 5 y +
+ 15x 4 y 2 +
+ 20x 3 y 3 +
+ 15x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6

Общая формула для вычисления суммы

с произвольным натуральным значением n рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Степень разности

Если в формулах из Таблицы 1 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Степень разности» (Таблица 2.):

Таблица 2. – Степень разности

Название формулы Формула
Квадрат (вторая степень)
разности
(xy) 2 = x 2 – 2xy + y 2
Куб (третья степень) разности (xy) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3
Четвертая степень разности (xy) 4 = x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4
Пятая степень разности (xy) 5 = x 5 – 5x 4 y + 10x 3 y 2 – 10x 2 y 3 + 5xy 4 – y 5
Шестая степень разности (xy) 6 = x 6 – 6x 5 y + 15x 4 y 2 – 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6

Квадрат (вторая степень) разности

Куб (третья степень) разности

Четвертая степень разности

(xy) 4 = x 4 – 4x 3 y +
+ 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4

Пятая степень разности

(xy) 5 = x 5 – 5x 4 y +
+ 10x 3 y 2 –
– 10x 2 y 3 +
+ 5xy 4 – y 5

Шестая степень разности

(xy) 6 = x 6 – 6x 5 y +
+ 15x 4 y 2 –
– 20x 3 y 3 +
+ 15x 2 y 4 – 6xy 5 + y 6

Квадрат многочлена

Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена» :

Словами эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всевозможных удвоенных произведений его членов».

Куб трехчлена

Следующая формула называется «Куб трехчлена» :

(x + y + z) 3 =
= x 3 + y 3 + z 3 + 3x 2 y +
+ 3x 2 z + 3xy 2 +
+ 3xz 2 +
+ 3y 2 z + 3yz 2 + 6xyz .

Другие формулы сокращенного умножения приведены в разделе «Формулы сокращенного умножения: сумма степеней, разность степеней» нашего справочника.

До ЕГЭ по математике осталось
дней часов минут секунд

a=b ⁿ, как выразить n (степень числа)?

Допустим, уравнение вида a=b ⁿ;
Как отсюда возможно вывести степень числа?

a и b — известны, нужно найти n, нужна именно формула, если таковая существует.

Лучший ответ

a и b — известны, нужно найти n, нужна именно формула, если таковая существует — конечно существует с начала 16 века и называется ЛОГАРИФМОМ (в переводе с греческого — «число, изменяющее отношение»). Логарифм числа a по основанию b определяется как показатель степени, в которую надо возвести число b, чтобы получить число a (логарифм существует только у положительных чисел)

Степень: Свойства, формулы, упрощения

Степенью называется выражение вида $a^n$ $a$ — основание степени. $n$ — показатель степени.

Основанием степени может быть любое число , а также числовое или алгебраическое выражение.

Показателем степени могут быть натуральные и дробные числа, а также любые алгебраические выражения.

Степени c натуральным показателем Натуральной n- ой степенью a-числа называется

$a^n=a\cdot a\cdot. \cdot a$ произведение на самого себя $n$ — раз.

$a^0=1$ число в нулевой степени равно 1 . $a^1=a$ число в первой степени равняется самому себе.

$a^2=a\cdot a$ число, выражение во второй степени — это число, помноженное само на себя: Квадрат числа.

$a^3=a\cdot a\cdot a$ число, выражение в третьей степени — это число, помноженное само на себя $3$ раза: Куб числа.

$a^7=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$ $7$ раз помноженное само на себя , получим 7-ую степень числа: «a в 7-ой степени» ..

Степень — удобная запись произведения нескольких одинаковых множителей. Также, как произведение = сумма одинаковых.

Пример 1: Вычислить степени, упростить .

Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

Задание. Вычислить $\log _ \frac+\log _ 25$

Решение. Перепишем данное выражение — сначала воспользуемся свойством логарифма степени и вынесем все степени за знак логарифма, затем используем равенство $\log _ a=1$:

$\log _ \frac+\log _ 25=\log _ 2^+\log _ 5^=-3 \cdot \log _ 2+2 \cdot \log _ 5=$

Ответ. $\log _ \frac+\log _ 25=-1$

Верно и обратное:

Коэффициент перед логарифмом можно вносить в степень подлогарифмической функции.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *