Что такое гамма функция
Перейти к содержимому

Что такое гамма функция

  • автор:

Гамма-функция

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона >.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается .

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Определение

Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

На всю комплексную плоскость функция распространяется через тождество

Альтернативное определение

Следующее бесконечное произведение служит альтернативным определением Гамма-функции. Оно верно для всех комплексных , за исключением 0 и отрицательных целых

Замечания

  • Интеграл выше сходится абсолютно, если вещественная часть комплексного числа положительна.
  • Применяя интегрирование по частям можно показать, что тождество
  • А поскольку , для всех натуральных чисел

Связанные определения

  • В интеграле выше, определяющем гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. В неполной гамма-функции допускается, чтобы верхний либо нижний предел интегрирования был переменным. Неполную гамма-функцию часто обозначают как гамма-функцию от двух аргументов: .

Свойства

  • формула дополнения .
  • формула, полученная Гауссом: .
  • Основное свойство, которое может быть полученно из предельного определения: .
  • Гамма-функция дифференцируема бесконечное число раз, и , где часто называют «пси-функцией» или дигамма-функцией.
  • Гамма-функция и бета-функция связаны следующим соотношением: .

Вероятностные распределения, в которых используется гамма-функция

  • Распределение Вейбулла (http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Вейбулла)
  • Гамма-распределение (http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма-распределение)
  • Распределение Стьюдента (http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Стьюдента)
  • Распределение хи-квадрат (http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_хи-квадрат)
  • Бета-распределение сводится к представляению через гамма-функцию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Бета-распределение)

Что такое гамма функция

Могут быть полезными следующие уравнения, включающие гамма-функцию:
◦ Γ(z + 1) = z · Γ(z)
◦ Γ(z)·Γ(1 − z) = π · csc(π · z)

• Функция Γ(a, x) — возвращает значение неполной гамма-функции от x с параметром a . Γ(a, 0) = Γ(a) .

• Функция lnΓ(z) — возвращает значение натурального логарифма гамма-функции Эйлера, вычисленный в z .

Чтобы ввести Γ , нажмите клавиши G, Ctrl+G.
Используйте функцию lnΓ для возвращения малых результатов, затем масштабируйте их.
• Psi(y) : возвращает производную натурального логарифма функции Γ(y) .

• z — безразмерный вещественный или комплексный скаляр, значение которого не определено для z = 0, −1, −2.

Для функции Γ(z) только аргументы со значениями −10 7 ≤ Re(z) ≤ 171 и −10 6 ≤ Im(z) ≤ 10 6 могут быть вычислены без числового переполнения. Для комплексных параметров z , Γ(z) существует аналитическое продолжение вещественной функции.

Гамма-функция и ее свойства

Гамма функция находит очень широкое применение в прикладном анализе. С гамма-функцией связаны функции Бесселя используемые при синтезе фильтров и спектральном анализе, а также другие специальные функции: бета-функция, К-функции, G-функции. В статистике широко используется гамма-распределение, частными случаями которого являются экспоненциальное распределение и распределение хи-квадрат. В данной статье введено понятие гамма-функции, приведены ее основные свойства, а также показан алгоритм ее численного расчета.

Определение гамма-функции

В математике вводится понятие факториала для натурального числа:

При этом можно заметить, что

Гамма-функция , распространяет понятие факториала на дробные, отрицательные и даже комплексные значения аргумента . Гамма функция не выражается через элементарные функции, но может быть представлена как интеграл вида:

Для натуральных значений аргумента гамма функция совпадает со значением факториала:

При этом для любых комплексных значений справедливо равенство:

Данное рекуррентное соотношение является очень важным и используется при расчете гамма-функции. Приведем также формулу дополнения:

Можно заметить, что при отрицательных значениях , , при этом гамма-функция для отрицательного аргумента может быть вычислена по формуле:

Необходимо отметить, что при целых ,

и гамма-функция претерпевает разрыв. График гамма-функции для вещественного аргумента представлен на рисунке 1.

Рисунок 1: График гамма-функции вещественного аргумента

Некоторые значения гамма-функции

Рассмотрим некоторые значения гамма-функции. Из выражения (4) следует, что:

Рассмотрим , для этого воспользуемся выражением (6):

Рассмотрим

, для этого воспользуемся выражением (5):

Рассмотрим

, для этого воспользуемся выражением (7):

Расчет гамма-функции

Теперь рассмотрим очень важный вопрос, касающийся расчета гамма-функции. Для этого рассмотрим несколько возможных интервалов аргумента .

Пусть , тогда в соответствии с (5) можно вычислить:

где , другими словами значение гамма функции при может быть вычилено через значения гамма функции при .

Пусть , тогда можно снова воспользоваться выражением (5), которое можно переписать к виду:

При этом , и если продолжать, то можно свести к вычислению гамма-функции в интервале .

Рассмотрим на примере:

То есть опять свели к вычислению гамма-функции в интервале .

Пусть теперь , тогда при вычислении по формуле (7) можно рекуррентно вычислять путем сведения к гамма-функции в интервале .

Теперь для вычисления гамма-функции необходимо получить алгоритм ее расчета при . На практике для этого производят аппроксимацию гамма функции на данном интервале в виде:

где и — полиномы 8 степени:

Коэффициенты полиномов аппроксимации подобраны так, чтобы обеспечивать наименьшую ошибку аппроксимации. Значения коэффициентов полиномов приведены в таблице:

1 2 3 4 5 6 7 8
6.65e+4 -3.61e+4 -3.14e+4 866.97 629.33 -379.8 24.77 -1.716
-1.15e+5 -1.35e+5 4.76e+3 2.25e+4 -3107.8 -1015.2 315.35 -30.84

Таким образом, используя полиномиальную аппроксимацию и рекуррентные соотношения можно вычислить значения гамма-функции для любого вещественного аргумента. Программная реализация функции расчета гамма-функции на C приведена ниже.

При численном расчете гамма-функции необходимо соблюдать осторожность, так как скорость роста гамма-функции как у факториала и при 32 битной разрядности процессора вычислять гамма-функцию без переполнения разрядности можно только для аргумента меньшего 170. Например, значение гамма-функции для аргумента 50 равно 6e+62.

Таким образом в данной статье мы ввели понятие гамма-функции, рассмотрели ее свойства и привели алгоритм численного расчета гамма-функции на основе полиномиальной аппроксимации. В конце приведен пример программной реализации гамма-функции

Программная реализациия гамма-функции

Следующая программа использует рекуррентные соотношения для расчета гамма-функции.

 #include #include #define _USE_MATH_DEFINES #include //*************************************************** // аппроксимация гамма-функции в интервале от 1 до 2 // отношением полиномов 8 степени double gammaapprox(double x) < double p[]=; double q[]=; double z = x - 1.0; double a = 0.0; double b = 1.0; int i; for(i = 0; i < 8; i++) < a =(a + p[i]) * z; b = b * z + q[i]; >return (a / b + 1.0); > //*************************************************** // Гамма-функция вещественного агрумента // возвращает значение гамма-функции аргумента z double gamma(double z) < // рекурентное соотношение для 0 if((z>0.0)&&(z<1.0)) return gamma(z+1.0)/z; // рекурентное соотношение для z>2 if(z>2) return (z-1)*gamma(z-1); // рекурентное соотношение для z //*************************************************** // Основная программа для рассчета значения // гамма-функции вещественного аргумента int main()

Последнее изменение страницы: 20.01.2024 (19:26:38)
Страница создана Latex to HTML translator ver. 5.20.11.14

© Бахурин Сергей 2015 — 2024. Все права защищены.
Копирование материалов сайта без разрешения автора запрещено.

ГАММА (функция ГАММА)

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ГАММА в приложении Microsoft Excel.

Описание

Возвращает значение гамма-функции.

Синтаксис

Аргументы функции ГАММА указаны ниже.

  • Число Обязательный. Возвращает число.

Замечания

Уравнение гамма-функции

  • Формула функции ГАММА имеет следующий вид:

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу Enter. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Возвращает значение гамма-функции числа 2,5 (1,329).

Возвращает значение гамма-функции числа -3,75 (0,268).

Возвращает #NUM! значение ошибки, так как 0 не является допустимым аргументом.

Возвращает #NUM! значение ошибки, так как отрицательное целое число не является допустимым аргументом.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *