Что такое характеристическая функция
Перейти к содержимому

Что такое характеристическая функция

  • автор:

Характеристическая функция случайной величины

Для случайной величины $\xi$ характеристическая функция (ХФ) определяется следующим образом:

Для дискретной случайной величины с законом вида $(x_k,p_k)$ характеристическая функция выражается как

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения $f(x)$:

Характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

По известной характеристической функции можно вычислять моменты случайной величины по формуле:

Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины. ХФ суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций (это свойство используется для доказательства композиционной устойчивости, например в примере 3 для нормального распределения). ХФ существует всегда, непрерывна, ограничена ($|\phi_<\xi>(t)| \le 1$), в нуле равна единице.

В этом разделе вы найдете примеры нахождения характеристической функции и моментов для разных законов распределения.

Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Примеры решений: характеристическая функция

Задача 1. По заданному закону или плотности распределения случайной величины $\xi$ найти характеристическую функцию $\phi(t)$.
Закон Пуассона: $$P(\xi=k)=a^k/k!\cdot e^, k=1,2. a=0.38$$

Задача 2. По заданному закону распределения найти характеристическую функцию $\phi(t)$, кумулянтную функцию $\gamma(t)$ и первые четыре семиинварианта этого распределения.
Биномиальный закон (Бернулли)

$$P(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^, 0 \lt p \lt 1, k=0,1,2. n.$$

Задача 3. С помощью характеристических функций, доказать, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Указать параметры этого распределения.

Задача 4. Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины Х, подчиняющейся закон распределения Паскаля $P(X=m)=a^m/(1+a)^ (a\gt 0)$. По ней найти $M[X]$ и $D[X]$.

Задача 5. Найти характеристическую функцию непрерывной случайной величины, имеющей плотность распределения $p_<\xi>(x)=e^<-|x|>/2.$

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ , ма­те­ма­тич. ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $e^$ . Т. о., $$f_X(t)=\mathsfe^,$$ где $i$ – мни­мая еди­ни­ца, а $t$ (ар­гу­мент Х. ф. $f_X(t)$ ) – про­из­воль­ное дей­ст­ви­тель­ное чис­ло. Х. ф. лю­бой слу­чай­ной ве­ли­чи­ны $X$ мож­но вы­чис­лить, ис­поль­зуя её функ­цию рас­пре­де­ле­ния $F_X(x)=F(x)$ (см. Рас­пре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­стей): $$f_x(t)=\int_<-\infty>^<\infty>e^dF(x),$$ где ин­те­грал по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле Стил­ть­е­са. По­это­му мож­но ска­зать, что Х. ф. слу­чай­ной ве­ли­чи­ны есть пре­об­ра­зо­ва­ние Фу­рье – Стил­ть­е­са её функ­ции рас­пре­де­ле­ния.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

дискретная случайная величина / характеристическая функция случайной величины и случайного вектора / комплекснозначная функция действительного аргумента. / discrete random variable / characteristic function of a random variable and a random vector / complex-valued function of a real argument .

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кулжанов Уткир Неъматович, Уралова Озода Бурибоевна, Каримов Ислом Тоштемирович

в этой статье рассматривается характеристическая функция случайной величины и случайного вектора . Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). Приводятся три теоремы и их доказательства. Характеристические функции очень удобны для исследования свойства сумм случайных величин. Перечислены важнейшие свойства характеристических функций. Кроме того, приведен пример на нахождения характеристической функции дискретной случайной величины данным законом распределения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кулжанов Уткир Неъматович, Уралова Озода Бурибоевна, Каримов Ислом Тоштемирович

СЛУЧAЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ФУНКЦИИ РAСПРЕДЕЛЕНИЯ
О преобразованиях Лукача характеристических функций случайных величин
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Случайные величины и их законы распределения
Формула обращения для рациональных характеристических функций вероятностных распределений
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

CHARACTERISTIC FUNCTION OF RANDOM VALUE

this article discusses the characteristic function of a random variable and a random vector . The characteristic function of a random variable is one of the ways to define a distribution. Characteristic functions can be more convenient in cases where, for example, the density or distribution function has a very complex form. Also, characteristic functions are a convenient tool for studying issues of weak convergence (convergence in distribution). Three theorems and their proofs are presented. Characteristic functions are very convenient for studying the properties of sums of random variables. The most important properties of the characteristic functions are listed. In addition, an example is given of finding the characteristic function of a discrete random variable by a given distribution law.

Текст научной работы на тему «ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ»

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Кулжанов У.Н.1, Уралова О.Б.2, Каримов И.Т.3

1Кулжанов Уткир Неъматович — доцент, доктор философии по физико-математическим наукам, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет; 2Уралова Озода Бурибоевна — преподаватель, кафедра точных наук, академический лицей Самаркандский ветеринарно-медицинский институт; 3Каримов Ислом Тоштемирович — магистрант, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой статье рассматривается характеристическая функция случайной величины и случайного вектора. Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). Приводятся три теоремы и их доказательства. Характеристические функции очень удобны для исследования свойства сумм случайных величин. Перечислены важнейшие свойства характеристических функций. Кроме того, приведен пример на нахождения характеристической функции дискретной случайной величины данным законом распределения.

Ключевые слова: дискретная случайная величина, характеристическая функция случайной величины и случайного вектора, комплекснозначная функция действительного аргумента.

CHARACTERISTIC FUNCTION OF RANDOM VALUE Kulzhanov U.N.1, Uralova O.B.2, Karimov I.T.3

1Kulzhanov Utkir Nematovich — Associate Professor, Doctor of Philosophy in Physics and Mathematics, DEPARTMENT OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS,

SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 2Uralova Ozoda Buriboevna — Lecturer, DEPARTMENT OF EXACT SCIENCES, ACADEMIC LYCEUM SAMARKAND VETERINARY MEDICAL INSTITUTE; 3Karimov Islom Toshtemirovich — Master’s Student, DEPARTMENT OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS,

SAMARKAND STATE UNIVERSITY, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: this article discusses the characteristic function of a random variable and a random vector. The characteristic function of a random variable is one of the ways to define a distribution. Characteristic functions can be more convenient in cases where, for example, the density or distribution function has a very complex form. Also, characteristic functions are a convenient tool for studying issues of weak convergence (convergence in distribution). Three theorems and their proofs are presented. Characteristic functions are very convenient for studying the properties of sums of random variables. The most important properties of the characteristic functions are listed. In addition, an example is given of finding the characteristic function of a discrete random variable by a given distribution law.

Keywords: discrete random variable, characteristic function of a random variable and a random vector, complex-valued function of a real argument.

Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).

Определение. Характеристической функцией вещественной случайной величины X называется комплекснозначная функция действительного аргумента t Е Ш:

ср(t) = Meitx = J eitxdP(x)= J eitxdFx(x),

где интеграл справа называется интегралом Стилтьеса.

Замечание 1. Заметим, что характеристическая функция существует для любой случайной величины X,

Замечание 2. Если случайная величина X имеет дискретное распределение, то

Рх(1) = ^еих*Р(Х = хк) = ^еих*рк, (1)

где х1,х2. -не более чем счётный набор значений, которые принимает случайная величина X. Замечание 3. Если случайная величина X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью р(х), то

то есть характеристическая функция есть (обратное) преобразование Фурье функция р(х).

Из определения характеристической функции случайной величины видно, что она однозначно определяется функцией распределения случайной величины. Оказывается, верно и обратное.

Теорема 1. (Теорема единственности). Характеристическая функция р(х) случайной величины X однозначно определяет её функцию распределения Рх(х). Кроме того, верна формула обращения: для любых точек непрерывности х и у функции Рх (х) выполняется

Доказательство. Доказательство теоремы 1 приведено в [1].

Характеристические функции очень удобны для исследования свойства сумм случайных величин. Перечислим важнейшие свойства характеристических функций.

2. р„х+а(1) = еиарх(Ы),где а,Ь е К.

3. Если X1,X2, . ^п —независимые случайные величины, то характеристическая функция суммы Бп = X1+. +Xп равна

4. Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой.

Теорема 2 (Теорема Бохнера-Хинчина). Для того чтобы непрерывная функция р(ь), обладающая свойством р(0) = 1, была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой, т.е. чтобы для любого п еШ для любых действительных Ь1, . Ьп и любых комплексных чиселЛ1, . Лп выполнялось

Доказательство. Необходимость этого условия доказывается быстро:

£р(1к — Ъ)ХкЬ, = м] £ еК*к-])х^ > = к,] = 1 к,] = 1 ) к = 1

Доказательство достаточности можно прочитать в [2].

Теорема 3 (теорема непрерывности). Пусть рп&) = йРп(х) есть последовательность

a) р (ь) является характеристической функцией,

b) р (О непрерывна в точке Ь = 0,

c) существует такая функция распределения Р(х), что во всех её точках непрерывности Рп(х) ^ Р(х) при п^

Рассмотрим примеры. Следующие примеры даны для нахождения характеристической функции дискретной и непрерывной случайной величины

Пример 1. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:

Решение. При решении этого примера используем формулу (1):

(p(t) = Meltx = 0,25e-4lt + 0,5e-4l° + 0,25e4lt =—.

Пример 2. Дана плотная функция непрерывной случайной величины X:

Найти характеристическую функцию X.

Решение. При решении этого примера можно использовать формулу (2), так как данная случайная величина является непрерывной:

(eltx 1 ., „ 1 ., sint mx(t)= I -dx = —eLtxl1-1 =—(elt-e-lt) =-.

J 2 2it 1 1 2ity 1 t

Список литературы /References

1. Боровков A.A. Курс теории вероятностей. М.: «Наука». Главное издательство Физико-математической литературы, 1972. 288 с. 4-е изд. М., 1999.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: «Наука». Главное издательство Физико-математической литературы, 1988. 6-е изд. М.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник и практикум для академического бакалавриата / Н.Ш. Кремер.5-е изд., перераб. и доп. Москва Издательство Юрайт, 2019. 538 с.

4. Мятлев В.Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели: учебник для академического бакалавриата / В.Д. Мятлев, Л.А. Панченко, Г.Ю. Ризниченко, А.Т. Терехин. 2-е изд., испр. и доп. Москва: Издательство Юрайт, 2019. 321 с.

5. Малугин В.А. Теория вероятностей: учебное пособие для бакалавриата и магистратуры / В.А. Малугин. Москва Издательство Юрайт, 2019. 266 с.

Лекция 14: Характеристические функции

Аннотация: Определение характеристической функции и примеры вычисления. Свойства характеристических функций. Теорема непрерывности для характеристических функций. Доказательство центральной предельной теоремы и закона больших чисел в форме Хинчина

Определение и примеры

В этой лекции i=\sqrt<-1>» /> — мнимая единица , <img decoding=— вещественная переменная , e^<it>=\cos t+i\sin t» /> — формула Эйлера, <img decoding=, если математические ожидания ее действительной ( \eta) и мнимой ( \zeta) частей существуют.

Как всегда, модулем комплексного числа z=x+iyназывается положительное число |z|=\sqrt<x^2+y^2>» />, так что <img decoding=называется характеристической функцией случайной величины \xi.

Пример 73. Пусть случайная величина \xiимеет распределение Бернулли с параметром p. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)=<\mathsf E\,></p>
<p>e^<it\xi>=e^\,\Prob(\xi=0)+ e^\,\Prob(\xi=1)=1-p + pe^.» /></p>
<p><b>Пример 74</b>. Пусть случайная величина <img decoding=имеет биномиальное распределение с параметрами nи p. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)&=&<\mathsf E\,></p>
<p>e^<it\xi>=\sum\limits_^n e^\,\Prob(\xi=k) =\sum\limits_^n e^\,C_n^k\,p^k\,^=\\ &=&\sum\limits_^n C_n^k\,<\left(pe^<it>\right)>^k\,^= <\left(1-p + pe^<it>\right)>^n.» /></p><div class='code-block code-block-14' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 14joomlaumnik -->
<script src=

Последнее равенство есть бином Ньютона .

Пример 75. Пусть случайная величина \xiимеет распределение Пуассона с параметром \lambda. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)&=&<\mathsf E\,></p>
<p>e^<it\xi>=\sum\limits_^ <\infty>e^\,\Prob(\xi=k)= \sum\limits_^ <\infty>e^\,\frac<\lambda^k>\,e^<-\lambda>=\\ &=&e^<-\lambda>\sum\limits_^ <\infty>\frac<<\left(\lambda \textstyle e^<it>\right)>^k>= e^<-\lambda>e^<\lambda \textstyle e^<it>>= \exp\<\lambda \left(e^<it>-1\right)\>.» /></p>
<p><b>Пример 76</b>. Пусть случайная величина <img decoding=имеет гамма-распределение с параметрами \alphaи \lambda. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)&=&<\mathsf E\,></p>
<p>e^<it\xi>=\int\limits_^ <\infty>e^\,f_\xi(x)\,dx= \int\limits_^ <\infty>e^\,\frac<\alpha^\lambda><\Gamma(\lambda)>\, x^<\lambda-1>\,e^\, dx= \\ &=&\frac<\alpha^\lambda><\Gamma(\lambda)>\,\int\limits_^ <\infty>x^<\lambda-1>\, e^\, dx= <\left(\frac\right)>^<\lambda>= <\left(1-\frac<it>\right)>^<-\lambda>.» /></p>
<p><img decoding=

Интеграл мы вычислили с помощью гамма-функции: замена дает

\int\limits_</p>
<p>^ <\infty>x^<\lambda-1>\, e^\, dx= \frac^\lambda>\int\limits_^ <\infty>^<\lambda-1>\, e^\, dy= \frac<\Gamma(\lambda)>^\lambda>.» /></p><div class='code-block code-block-16' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 16joomlaumnik -->
<script src=

В качестве следствия получим, что для случайной величины \xiс показательным распределением <\mathrm E>_\alpha=\Gamma_» /> характеристическая функция равна <img decoding=

Пример 77. Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Ее характеристическая функция равна

\phi_\xi(t)&=& \frac</p>
<p><\sqrt<2\pi>> \int\limits_<-\infty>^ <\infty>e^\,e^\,dx =\frac<\sqrt<2\pi>> \int\limits_<-\infty>^<\infty>\,e^ \, e^^2/2>\,dx= \\ &=& e^ \frac<\sqrt<2\pi>> \int\limits_<-\infty>^ <\infty>\, e^^2/2>\,d(x-it)\;=\; e^.» /></p>
<p>При интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экспоненты и вспомнили, что интеграл по <img decoding=от функции \frac<1><\smash<\sqrt<2\pi>>>\,e^» /> равен единице.</p>
<h4>Свойства характеристических функций</h4>
<p>(Ф1). Характеристическая функция всегда существует:</p>
<p><img decoding=связана с характеристической функцией случайной величины \xiравенством

\phi_<a+b\xi></p>
<p>(t)= <\mathsf E\,>e^<it(a+b\xi)>=e^ <\mathsf E\,>e^<i(tb)\xi>=e^\,\phi_\xi(tb).» /></p>
<div class='yarpp yarpp-related yarpp-related-website yarpp-template-list'>
<!-- YARPP List -->
<div>Похожие публикации:</div><ol>
<li><a href=Как настроить стиль следующего абзаца css

  • Как решить уравнение 14x 8x 3x 1512
  • Как сделать крестики нолики на python
  • Почему не работает формула в excel
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *