Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую
Перейти к содержимому

Доказать что скользящая симметрия имеет единственную инвариантную прямую

  • автор:

§26 Признаки движений.

Теорема 26.1: Движение первого рода, имеющее инвариантные точки, является поворотом.

Доказательство: (методом «от противного»)

Допустим, что такое движение не является поворотом, тогда на основании следствия (2) оно является переносом, а перенос инвариантных точек не имеет, а значит, получили противоречие с условием. Что и требовалось доказать.

Теорема 26.2: Движение первого рода, не имеющее инвариантных точек, является переносом.

Доказательство: (аналогично (26.1)).

Теорема 26.3: Движение второго рода, имеющее хотя бы одну инвариантную точку, является осевой симметрией.

Теорема 26.4: Движение второго рода, не имеющее инвариантных точек, является скользящей симметрией.

§27 Гомотетия и ее свойства.

Определение 27.1: Гомотетией с центром в точке S и коэффициентом называется такое преобразование плоскости на себя, при котором , что .

1) Способы задания:

Из определения (27.1) следует, что однозначно определяется заданием и , или и .

3) Выясним, как изменяется расстояние между точками в гомотетии:

, , ,

Вывод: в гомотетии расстояние между любыми двумя точками изменяется на одно и то же число, равное .

4) Взаимное расположение прямых.

Доказательство: (методом координат)

Вывод: — прямая, т.е. прямая в гомотетии переходит в прямую ( и они параллельны).

5) Инвариантные точки:

Гомотетия имеет единственную инвариантную точку- центр гомотетии.

§28 Подобие.

Определение 28.1: Подобие – такое преобразование плоскости, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в .

Теорема 28.1: Любое подобие можно представить в виде композиции гомотетии с тем же коэффициентом и движения.

(по свойству гомотетии §27)

(определение 28.1)

Следствие 1: В подобии прямая, луч, отрезок переходят соответственно в прямую, луч, отрезок.

Следствие 2: В подобии угол переходит в равный ему угол.

Следствие 3: Подобие однозначно определяется заданием двух ортонормированных реперов , , таких, что | .

Следствие 4: Подобие однозначно определяется двумя подобными треугольниками (или тремя парами соответствующих точек, таких, что , , ).

Определение 28.2: Подобие, представимое композицией гомотетии и движением первого рода, называется подобием первого рода , а движением второго рода- подобием второго рода .

Из определения 28.2 и свойств движения следует теорема 28.2:

Теорема 28.2: Подобие первого рода равно композиции гомотетии и поворота с общим центром

Теорема 28.3: Подобие второго рода равно композиции гомотетии и осевой симметрии

Теорема 28.4: Множество подобий плоскости образует группу

На основании идеи Феликса Клейна, предметом изучения евклидовой геометрии является множество свойств, сохраняющихся при образовании групп подобия. Такие свойства, как равенство углов, понятие подобия треугольников, подобия фигур, равенства фигур, понятие биссектрисы, медианы, высоты треугольника являются понятиями евклидовой геометрии.

Направление практического использования подобия: в задачах на доказательство подобия; в которых рассматриваются подобные фигуры; в задачах на нахождение угла между прямыми.

§19 Движения первого и второго рода. Теорема о задании движения, род которого известен.

Теорема 19.1: Если даны точки и , , то существует единственное движение первого рода и существует единственное движение второго рода, в каждом из которых:

Если существует , то (18.5)

Таким образом, доказательство существования движения первого рода и его единственности сведется к решению системы (18.5) относительно .

Таким образом, доказательство сводится к доказательству существования единственности решения системы (18.5).

Решение системы (18.5) сводится к решению системы двух линейных уравнений.

§20 Параллельный перенос.

Определение 20.1: Параллельным переносом (или просто переносом) называется такое преобразование плоскости на себя, при котором , так, что , где — фиксированный вектор, называющийся вектором переноса.

1) однозначно определяется заданием вектора переноса или парой соответствующих точек и .

2) Координатное задание :

3) Перенос- это движение.

Пусть — произвольные точки плоскости.

. Доказательство проведем методом координат.

Сравнивая формулы (20.1) и (18.3) делаем вывод, что перенос- движение первого рода.

4) Взаимное расположение соответствующих прямых .

Выясним взаимное расположение и (исследование методом координат).

Пусть задан как в свойстве 3), а , тогда 

Сравнивая уравнения и => т.к. , ,

=> .

Вывод: в переносе прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.

5) Наличие инвариантных точек ( двойных, неподвижных, переходящих в себя). Исследование вопроса о наличии инвариантных точек сводится к решению системы:

Вывод: если , то он не имеет инвариантных точек.

6) Множество — группа.

Из (6.1) и (6.2) => — группа.

7) Практическое использование :

Из свойств 1-6 следует возможность использования переноса в задачах: на доказательство равенства фигур, на доказательство параллельности прямых, в задачах, в которых рассматриваются параллельные прямые, на построение, сводящихся к построению отрезков заданного направления и заданной длины.

Вывод: Этапы, положенные в основу , определяют общий подход к изучению любого конкретного вида ГПП:

1) конструктивное определение ГПП.

2) выявление способов задания.

3) нахождение координатных формул.

4) выявление, является ли преобразование движением.

5) установление взаимного расположения прямой и ее образа.

6) нахождение инвариантных точек.

7) определение, является ли множество преобразования группой.

8) выявление направлений практического использования ГПП.

§21 Поворот.

Определение 21.1: Поворотом с центром в точке на угол называется такое ГПП, при котором каждая точка переходит в ( ), что , , .

1) Способы задания.

Из определения 21.1 следует, что определяется центром и углом или центром и точками и .

3) Выясним, является ли движением:

Сравнивая (21.1) и (18.3) делаем вывод, что — движение первого рода.

4) Взаимное расположение соответствующих прямых.

=> (0,0)- единственное решение.

Вывод: поворот имеет единственную инвариантную точку- центр поворота.

Из 6.1 и 6.2 следует, что — группа.

7) Практическое использование :

Из свойств 1-6 и определения 21.1 следует, что поворот может быть использован в задачах на доказательство равенства фигур; в которых рассматриваются правильные n- угольники; на доказательство того, что треугольник правильный, четырехугольник- квадрат, многоугольник- правильный; в которых рассматривается окружность; на построения, сводящихся к построению равнобедренного треугольника с заданным углом при вершине.

Изложение темы «Геометрические преобразования» в различных учебных пособиях

1. Актуальность темы . Геометрические преобразования – одна из фундаментальных тем элементарной геометрии. Различные фрагменты этой темы входят в школьный курс геометрии. Изучение данной темы предусмотрено образовательным стандартом высшего профессионального образования от 31.01.2005 г. (номер государственной регистрации № 692 пед/сп) для студентов, обучающихся по специальности 050201 – «математика с дополнительной специальностью информатика».

2. Интересным представляется вопрос о различных подходах к изложению данной темы, причем не только в современных учебных пособиях. Мы проследили развитие темы в ее историческом аспекте, начиная с 1940 г., на страницах журнала «Математика в школе».

Работа имеет две самостоятельные цели.

1. Обзор учебно-методической литературы по теме «Геометрические преобразования»

2. Проведение различными способами классификации преобразований евклидовой плоскости.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1) проведен обзор изложения темы «Геометрические преобразования» в учебных пособиях для школьников и учителей математики;

2) проведен обзор изложения темы «Геометрические преобразования» в научно-методических статьях журнала «Математика в школе» с 1940 по 2009 гг.

3) проведена классификация преобразований первого рода евклидовой плоскости при построении геометрической теории на основе аксиом Гильберта и при построении евклидовой геометрии на основе геометрии проективной.

4) Подготовлен тематический план элективного курса по теме «Геометрические преобразования» и план-конспект одного урока этого курса.

3. Работа состоит из введения, трех частей, списка использованных источников и приложения.

Первая часть «Изложение темы «Геометрические преобразования» в различных учебных пособиях» содержит описание того, как тема «Геометрические преобразования» объясняется в различных школьных учебниках и в пособии для учителей. Для этого были просмотрены следующие учебные пособия: «Геометрия 7-11 классы» Бевза Г.П., Бевза В.Г., Владимировой Н.Г., «Геометрия 7-9 классы» Киселева А.П., Рыбкина Н.А., «Геометрия 7-9 классы» Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др., «Элементарная геометрия» Киселева А.П.

Во второй части работы представлен обзор статей журнала «Математика в школе» по теме «Геометрические преобразования».

Третья часть посвящена классификации геометрических преобразований различными способами: с точки зрения проективной геометрии и синтетическим методом при построении геометрии на основе аксиом Гильберта. Проведение классификации с точки зрения проективной геометрии выполнено самостоятельно.

Список использованных источников содержит тридцать наименований.

В приложении представлены тематическое планирование элективного курса для восьмого класса по теме «Геометрические преобразования» и дан подробный план-конспект одного из уроков.

4. Апробация. Отдельные результаты работы доложены на занятиях по курсу «Избранные вопросы по геометрии. Часть II», проведенному для студентов 561 группы механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

1. Изложение темы «Геометрические преобразования» в различных учебных пособиях.

1.1 Тема «Геометрические преобразования» в пособии «Геометрия 7-11 классы» Бевза Г.П., Бевза В.Г., Владимировой Н.Г.

Тема «Геометрические преобразования» включена в курс геометрии 8 класса. Этой теме посвящена глава VI , которая состоит из восьми параграфов.

Объяснение темы начинается с введения определения геометрического преобразования с помощью рисунка. Потом говорят о параллельном переносе как о примере геометрического преобразования. Для того, чтобы проще понять тему, автор приводит примеры из жизни, в которых используется метод параллельного переноса.

В §22 приводится теорема с доказательством: «Если при параллельном переносе фигуры ее точки и , то расстояния и равны».

После доказательства теоремы приводится ее краткая формулировка: «При параллельном переносе сохраняются расстояния между точками».

О движении говорится в следующем параграфе: «Геометрические преобразования, сохраняющие расстояние между точками, называют движениями». Хотя первые упоминания о движении приведены раньше, еще в параграфе 9 главы III «Треугольники», при определении равных фигур: «Две фигуры называются равными, если движением их можно совместить». Заметим, что в параграфе 23 идет не обобщение, а дублирование материала (из 9 параграфа). О параллельном переносе говорят как о примере движения. По-моему, это не очень удачный порядок введения определений. Сначала следует определиться с тем, что такое движение, а уж потом рассматривать по очереди преобразования. В этом же параграфе доказывается теорема об общих свойствах движения: «Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения». Позже формулируется общее определение равенства геометрических фигур: «Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Из этого определения следует, что:

1. Каждая фигура равна самой себе.

2. Если фигура равна , то и фигура равна .

3. Если фигура равна , а фигура равна , то фигуры и равны ».

Следующим геометрическим преобразованием рассматривается поворот. Его введение проводится с помощью рисунка. После доказывается теорема: «При повороте расстояния между точками сохраняются», из которой делается вывод, что поворот является движением, и что при повороте любая фигура переходит в равную ей фигуру.

В этом же параграфе рассматривается следующее преобразование – симметрия относительно точки. Его также как и параллельный перенос, и поворот, рассматривают сначала с помощью рисунка. Затем говорят, что симметрию относительно точки можно определить как поворот на 180°, следовательно, центральная симметрия тоже является движением. Следом вводятся понятия центрально-симметричной фигуры и центра симметрии: «Если симметрия относительно точки отображает фигуру на себя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка – ее центром симметрии».

В §25 вводится симметрия относительно прямой, также с использованием рисунка.

Доказывается теорема: «Симметрия относительно прямой является движением». После этой теоремы говорится, что при симметрии относительно прямой любая фигура переходит в равную ей фигуру.

Понятия симметричной относительно прямой фигуры и оси симметрии вводятся в конце параграфа: «Если симметрия относительно прямой отображает фигуру на эту же фигуру, то данная фигура называется симметричной относительно прямой, а прямая – ее осью симметрии».

В отличие от предыдущих параграфов в §26 предлагаются вниманию учащихся преобразования фигур, которые не являются движениями: гомотетия и подобие фигур.

Гомотетия аналогично рассматривается на рисунке.

Также с помощью рисунка доказывается, что гомотетия не является движением. В итоге говорится, что гомотетия, изменяя размеры фигур, не изменяет ее формы.

Подобие фигур здесь представляется как композиция гомотетии и движения: «Две фигуры называют подобными, если с помощью композиции гомотетии и движения одну из них можно отобразить на другую». Утверждение иллюстрируется на рисунке.

В конце параграфа делается вывод, что гомотетия и движение являются частными случаями преобразования подобия. Соотношения между всеми этими видами геометрических преобразований представляется в виде схемы:

Применение ранее изученных преобразований описываются в последних трех темах главы VI «Признаки подобия треугольников», «Применение свойств подобия» и «Теорема Пифагора».

1.2 Тема «Геометрические преобразования» в учебном пособии «Геометрия 7-9 классы» Киселева А.П., Рыбкина Н.А.

В отличие от предыдущего учебника в этом учебном пособии материал по геометрическим преобразованиям не систематизирован. Отдельными фрагментами материал по преобразованиям входит в состав разных тем. Первой рассматривается симметрия относительно оси. Данное преобразование входит в состав темы «Треугольники» после введения понятий многоугольника и треугольника и перед свойствами равнобедренного треугольника.

В самом начале параграфа говорится, что при изучении свойств треугольников, многоугольников и других геометрических фигур часто встречается случай особого расположения на плоскости двух равных фигур или двух равных отрезков, или двух точек по отношению к какой-либо прямой.

Далее на рисунке объясняется понятие симметричных фигур относительно прямой: «Две фигуры (или две части одной и той же фигуры) называются симметричными относительно прямой , если каждой точке одной фигуры (или одной части фигуры) соответствуют симметричные точки другой фигуры (или другой части фигуры), и обратно». Затем говорится, что если при вращении фигуры накладываются друг на друга, то эти фигуры симметричны относительно оси вращения, из чего делается вывод, что всякие две фигуры, симметричные относительно какой-либо оси, равны между собой. Обратим внимание на то, что автор использует термин «равны», хотя еще не было введено его точное определение. Понятие равенства фигур впервые встречается только при определении равных углов на странице 11 учебника, которое вводится с использованием наложения: «Два угла считаются равными, если при наложении они могут совместиться». Причем в данном случае понятие наложение не является математическим, а подразумевает, что учащиеся имеют какие-то обыденные представления о наложении. Поэтому понятие наложения здесь можно было бы вообще и не использовать.

В конце параграфа с помощью рисунка объясняется замечание: «Хотя симметричные фигуры вращением вокруг оси симметрии могут быть приведены в совмещение, однако они, вообще говоря, не тождественны в своем расположении на плоскости. Это нужно понимать в следующем смысле: чтобы совместить две симметричные фигуры, необходимо одну из них перевернуть другой стороной и, следовательно, на время вывести ее из плоскости. Если же не выводить фигуры из плоскости, то, вообще говоря, никаким перемещением в этой плоскости нельзя привести ее к совпадению с фигурой, ей симметричной относительно оси».

Центральная симметрия является заключающим параграфом в пятой теме «Параллельные прямые». Объяснение опирается на ранее изученные симметрию относительно прямой и свойства параллельных прямых с использованием рисунка.

Следом доказывается теорема: «Если для двух точек ( и ) какой-либо прямой ( ) построить симметричные им точки ( и ) относительно некоторой точки , то:

1) прямая, соединяющая точки и , будет параллельна данной прямой ( ), причем отрезок ( ) равен отрезку ( );

2) каждой точке данной прямой ( ) соответствует симметричная ей точка на построенной прямой ( )».

Следом вводится понятие симметричных фигур: «Две фигуры называются симметричными относительно данной точки , если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная ей точка другой фигуры». Позже говорится, что каждую фигуру можно совместить с фигурой, ей симметричной, путем вращения ее вокруг центра симметрии. После чего автор обращает внимание учеников на следующий факт: «При вращении, которое мы произвели для совмещения треугольников и , треугольник скользил по плоскости. Таким образом, фигуры, симметричные относительно центра, можно совместить, не выводя их из плоскости».

Преобразованию подобия отведена часть главы III «Подобные фигуры». Сначала говорится о подобии треугольников, вводятся понятия сходственных сторон, дается определение двух подобных треугольников и доказывается лемма о существовании подобных треугольников: «Прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному».

Далее представлены темы «Три признака подобия треугольников» и «Признаки подобия прямоугольных треугольников», после которых введена тема «Подобия многоугольников». В рамках этой темы дается определение подобных многоугольников, доказывается теорема о разложении подобных многоугольников на подобные треугольники: «Подобные многоугольники можно разложить на одинаковое число подобных и одинаково расположенных треугольников» и теорема об отношении периметров подобных многоугольников: «Периметры подобных многоугольников относятся, как сходственные стороны». Тут же объясняется подобное преобразование многоугольников и вводится понятие центра подобия.

Интересная тема «Подобие фигур произвольного вида» представлена в качестве дополнительного материала.

Позже подобие фигур упоминается в главе V в теме «Отношение площадей подобных фигур».

1.3 Тема «Геометрические преобразования» в учебном пособии «Геометрия 7-9 классы» Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др.

В этом учебнике интересующей нас теме отведена последняя глава XIII «Движения», следовательно, предназначена для изучения в 9 классе. Изучение начинается с ведения понятия отображения плоскости на себя: «Представим себе, что каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят, что дано отображение плоскости на себя». Затем обращаются к ранее изученной, еще в главе V «Четырехугольники», осевой симметрии. После чего дается подробное доказательство того, что осевая симметрия представляет собой отображение плоскости на себя. А вот с центральной симметрией предлагают разобраться самостоятельно.

В следующем пункте первого параграфа вводится понятие движения и доказывается следующая теорема: «При движении отрезок отображается на отрезок», из которой вытекает следствие: «При движении треугольник отображается на равный ему треугольник».

В следующем параграфе говорится о наложении: «Наложение – это отображение плоскости на себя». На мой взгляд, понятие наложения здесь лишнее, так как понятия наложение и движение есть слова синонимы. По ходу изложения материала доказывается, что при наложении различные точки отображаются в различные точки. И после доказательства, утверждают и доказывают, что «отрезок отображается на равный ему отрезок». После чего говорят: «Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние, т.е. любое наложение является движением плоскости». Тут же доказывается теорема: «Любое движение является наложением». Заканчивается параграф вытекающим из теоремы следствием, утверждающим, что при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Параллельному переносу и повороту посвящен следующий параграф. Хоть он и небольшой по объему, но в нем довольно подробно и доступно введены понятия параллельного переноса и поворота: «Пусть –данный вектор. Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка отображается в такую точку , что вектор равен вектору . Параллельный перенос является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. … Поворотом плоскости вокруг точки на угол называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка отображается в такую точку , что и угол равен углу ». После определения поворота доказывается утверждение: «Поворот является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния». И даже приведены доказательства того факта, что эти преобразования являются движениями.

1.4 Тема «Геометрические преобразования» в учебном пособии «Элементарная геометрия» Киселева А.П.

Как и в учебнике Киселева «Геометрия 7-9» по теме «Геометрические преобразования» материал не систематизирован.

Центральная симметрия входит в 95 пункт «Центр симметрии» главы IX «Параллелограммы и трапеции», отдела 1 «Прямая линия».

Точного определения фигур, симметричных относительно точки, нет. Об этом говорится следующим образом: «Если через точку пересечения (через точку O на рисунке) диагоналей параллелограмма проведем какую-нибудь прямую ( MN ), то эта прямая пересечет контур параллелограмма в двух таких точках, которые, во-первых, лежат по разные стороны от точки О и, во-вторых, на равных расстояниях от этой точки».

Это автор называет свойством и говорит: «Если в какой-нибудь фигуре существует точка, обладающая указанным свойством, то такая точка называется центром симметрии этой фигуры; значит в параллелограмме пересечение его диагоналей есть центр симметрии»

О самом преобразовании осевой симметрии говорится только в конце пункта: «Симметрия относительно центра называется центральной симметрией в отличие от симметрии относительно оси, называемой осевой симметрией». И в заключение говорится об осевой симметрии, что ее мы увидим в следующих параграфах. И как раз в пункте 96 говорится: «Прямоугольник имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, в чем можно убедиться из рассмотрения чертежа». Позже рассказывается, что у квадрата четыре оси симметрии.

Параллельному переносу отведен пункт 104 «Параллельное перенесение». Изучение начинается как в учебнике Бевза с рассмотрения фигуры F (например, треугольника).

На ней взяты две точки А и В. Эта фигура движется в направлении, указанном стрелкой. После говорится, что такой процесс можно наблюдать, когда для проведения перпендикулярной или параллельной прямой заставляем чертежный треугольник скользить одним своим катетом по краю линейки, удерживаемой неподвижно. После чего делается замечание, что «при таком движении фигуры F все ее точки двигаются в одном направлении по прямым, параллельным той неподвижной прямой, по которой производится скольжение, и при этом проходят путь одинаковой длины.»

Ниже дается определение: «Такое движение фигуры F , при котором все ее точки перемещаются по прямым, параллельным некоторой неподвижной прямой (по которой производится скольжение, называется параллельным перенесением)».

В конце пункта решается задача на построение с помощью параллельного перенесения.

Повороту посвящен пункт 125 «Вращение вокруг точки» IV главы «Отношение положения двух окружностей» второго отдела учебника.

Объяснение тоже начинается с рисунка. Они рассматривают треугольник АВС, вращают его вокруг точки О и получают треугольник A ’ B ’ C ’. После чего дается определение: «Такое перемещение неизменной фигуры в ее плоскости называется вращением вокруг точки, а сама точка О, вокруг которой совершается вращение, называется центром вращения».

В следующих двух пунктах доказываются две теоремы о вращении.

«Теорема 1. Центральные углы, соответствующие концентрическим дугам, описываемым в одинаковое время различными точками вращающейся фигуры, равны между собой.

Теорема 2. Всякое перемещение неизменной фигуры в ее плоскости может быть произведено либо параллельным перенесением, либо вращением вокруг точки».

2. Геометрические преобразования на страницах журнала «Математика в школе»

1. № 4, 5, 6, 1940 г., С.7-13.

А.Фетисов «Геометрические преобразования»

Школьные учебники довоенного периода систематического изложения темы «Преобразования плоскости» не содержали. В работе [8] старший научный сотрудник Института школ РСФСР А. Фетисов пишет: «Ввиду того, что в имеющейся учебной литературе по геометрии нет систематического изложения геометрии с точки зрения преобразований, мы решили дать ряд статей, посвященных этому вопросу». С таких слов автор начинает серию работ, посвященных геометрическим преобразованиям.

Во введении к данной серии автор отмечает, что «в целях наибольшего упрощения изложения» оно не доведено до максимальной строгости. Например, понятие конгруэнтности фигур введено не строго аксиоматически, а определено как совпадение фигур при наложении, что соответствует принятому в те годы школьному курсу геометрии. Заранее оговаривается, что некоторые определения и предложения будут считаться известными.

Далее выделена глава первая, которая посвящена осевой симметрии и понятию конгруэнтности фигур. Дается определение симметричных точек, затем симметричных фигур. После рассматриваются следствия из определения осевой симметрии, некоторые с доказательством, доказывается несколько теорем о свойствах симметрии. И на основе данных свойств приводят несколько вариантов важных геометрических построений. Очень интересны методические рекомендации автора по введению осевой симметрии: «…совершенно очевидно, что такое фундаментальное понятие, как осевая симметрия, должно быть сделано совершенно наглядным и закреплено в сознании учащихся путем показа большого числа примеров из жизни и демонстрации соответствующих моделей. Осевая симметрия дает для этого обильный и интересный материал: тут можно использовать и симметрию тел природы (листья, цветы, бабочки, кристаллы и т. д.), и симметрию в искусстве и технике (архитектурные формы, орнаменты, детали конструкций и т. д.) Аналогичный подход должен быть применен и к изложению всех остальных видов геометрических преобразований».

Уровень строгости в приведенном материале по геометрическим преобразованиям действительно невысок. Для примера воспроизведем введение понятия осевой симметрии, предложенное автором. «Проведем в плоскости некоторую прямую l и представим себе, что мы плоскость сгибаем по этой прямой и совмещаем одну полуплоскость с другой. Тогда каждая точка одной полуплоскости совпадает с одной, и только с одной, точкой другой полуплоскости. Такую пару точек мы будем называть симметричными по отношению к прямой l , а саму прямую будем называть осью симметрии или симметралью этих точек.

Две фигуры, все точки которых попарно симметричны по отношению к одной и той же оси, мы будем называть симметричными.

Если точка А осью l преобразуется в симметричную точку А’, то это мы будем записывать так: l ( A ) = A ’.»

Несмотря на отсутствие строгости в определении понятий, автор приводит доказательства большого числа сложных и интересных свойств симметрии. С использованием осевой симметрии решает задачи на построение, в том числе и достаточно сложные. Например, следующие две задачи.

1. Построить четырехугольник по четырем сторонам, зная, что одна его диагональ служит биссектрисой одного из его углов.

2. Внутри угла дана точка Р. найти на сторонах угла такие точки А и В, чтобы периметр треугольника АВР был наименьшим.

Очевидно, что для решения данных задач требуется более геометрическая интуиция, нежели освоение формализованного геометрического материала.

Во второй главе (второй статье) [9] автор раскрывает понятие центральной симметрии, и через свойства центральной симметрии определяет понятие параллельности прямых. Отметим, что центральная симметрия вводится несколько непривычно, как последовательное применение двух осевых симметрий относительно взаимно перпендикулярных осей. В статье доказано 19 теорем, приведены задачи, решение которых предполагает использование свойств центральной симметрии и параллельности. Приведем некоторые из них.

1. На прямоугольном биллиарде лежит шар. Как толкнуть этот шар, чтобы он после четырехкратного отражения от четырех стенок биллиарда вернулся в свое первоначальное положение.

2. Через точку, данную между двумя окружностями, провести прямую так, чтобы отрезок между окружностями делился этой точкой пополам.

Заметим, что в формулировке второй задачи мы встречаемся с использованием неопределенного понятия: «точка между окружностями».

Третья статья [10] содержит материал о параллельном перенесении (трансляции). Которое также определено через осевую симметрию. Дословно: «Если произведем последовательно две осевые симметрии по отношению к двум взаимно-параллельным, то получим преобразование, которое называется параллельным перенесением, или трансляцией».

Интересно отметить, что понятие параллельного перенесения в данной работе приводит к определению (при указанном уровне строгости) такого фундаментального в математике понятия как вектор. Проследим логику введения этого понятия. Непосредственно после определения параллельного перенесения доказано его свойство.

«Теорема. При параллельном перенесении все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении и на одну и ту же длину, равную удвоенному расстоянию между осями. (Доказательство теоремы опущено)

Из доказанной теоремы мы видим, что параллельное перенесение вполне определяется, если дать величину и направление отрезка, на который смещаются все точки плоскости.

Определение. Отрезок, на котором установлено определенное направление, называется вектором».

И в очередной раз встречаем неопределенное понятие: «направление отрезка».

Неожиданным является и тот факт, что на примере параллельного перенесения А. Фетисов знакомит читателя с важнейшим понятием группы: «На примере трансляции мы можем подтвердить основную мысль Ф.Клейна, утверждавшего, что геометрию можно рассматривать как науку, изучающую некоторые группы преобразований».

Третья часть серии также содержит большое количество теорем и в конце разбирается несколько примеров, среди которых есть задачи и на вычисления, и на построение: «…приведенный материал дает исчерпывающее изложение первых глав геометрии (по параллельности). Это изложение должно сопровождаться решением большого числа задач на построение и доказательство». Автор считает: «Установленные нами свойства трансляции могут быть широко использованы для решения различных геометрических проблем».

2. № 1, 1971г., С.75-79.

Г.И.Саранцев (п. Сосновоборск Пензенской обл.)

«Изучение осевой и центральной симметрий на внеклассных занятиях»

Данная статья помещена в рубрику «Внеклассная работа».

Автор о своей статье говорит так: «В предлагаемой статье освещается опыт изучения осевой и центральной симметрий на внеклассных занятиях с учащимися шестых классов.

Задачи, решаемые при изучении осевой и центральной симметрий, мы делим на две группы:

1) задачи, формирующие идеи и методы изучаемых геометрических преобразований;

2) задачи, решаемые методами преобразований».

Статья состоит из двух частей. Первая посвящена рассмотрению осевой симметрии. Изучать осевую симметрию предлагают начать с рассмотрения конкретных фигур: «Сопоставляя различные симметричные и несимметричные фигуры, учащиеся сделали вывод, что каждую симметричную фигуру можно сложить, сгибая лист бумаги, на котором вычерчена фигура, по оси симметрии так, что обе половины сольются в одну»

Потом учащимся предлагается решить, например, такие задачи: «1. Нарисуйте прямоугольник. Проверьте, будет ли диагональ прямоугольника являться его осью симметрии» и «9. Достройте фигуру, изображенную на чертеже так, чтобы прямая была ее осью симметрии»

Это были задачи на достраивание фигур, после которых идут задачи на установление некоторых свойств осевой симметрии: «12. Точка симметрична сама себе. Как расположена эта точка относительно оси симметрии?», «14. Имеет ли угол ось симметрии?».

Затем предлагаются задачи на построение фигур, симметричных данным: «25. Постройте углы, симметричные данным относительно прямой » После этой задачи делается замечание: «При построении углов, симметричных данным относительно прямой, внимание учащихся обращалось на ориентацию углов: симметричные относительно оси углы противоположно ориентированы. Это справедливо для всех фигур, симметричных относительно оси. Чтобы учащиеся уяснили это свойство симметричных фигур, им предлагались такие задачи. 26.а) Луч симметричен лучу ВС относительно прямой . Постройте угол, симметричный углу АВС с помощью транспортира»

Также представлены задачи на формирование у учащихся понимания осевой симметрии как точечного преобразования, в результате которого устанавливается соответствие между точками данной и преобразованной фигур, и задачи на использование изученных свойств осевой симметрии. После этих задач автор делает замечание: «При этом особое внимание уделялось усвоению следующего свойства осевой симметрии: если точка принадлежит некоторому геометрическому образу, то симметричная ей точка относительно прямой принадлежит образу, симметричному данному относительно той же прямой».

После приводится группа задача на формирование у учащихся «понимания осевой симметрии как точечного преобразования, в результате которого устанавливается соответствие между точками всей плоскости, а не только между точками фигур».

В конце первой части представлены задачи, решаемые с использованием симметрии, к которым также отнесли задачи на нахождение максимума и минимума, вызвавшие по словам автора особый интерес у учащихся: «Впишите в данный угол треугольник наименьшего периметра, чтобы две его вершины были на сторонах угла, а третья – в данной точке ».

Во второй части вводится понятие центральной симметрии, которому предшествует определение точек, симметричных относительно некоторой точки , и фигуры, симметричной относительно данной точки и доказывается теорема.

«Для получения свойств центральной симметрии мы доказали теорему: «Если точки центрально симметричны друг другу относительно точки , то их можно получить одну из другой последовательным отражением одной из них от двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр симметрии».

Первая группа задач вырабатывает у учащихся представления о центральной симметрии как точечном преобразовании.

Далее идут задачи, дающие учащимся представления о центральной симметрии как соответствие между точками всей плоскости, и задачи для формирования у учащихся умения строить соответственные элементы на произвольных образах.

И заканчивается статья рассмотрением задач, решенных с использованием метода центральной симметрии.

3. № 4, 1971 г., С.75-79.

Г.И.Саранцев (п. Сосновоборск Пензенской обл.)

«Изучение параллельного переноса и поворота»

Статья аналогична предыдущей. Задачи также поделены на четыре блока:

1) задачи на построение образов фигур;

2) задачи на построение соответственных точек с использованием данных соответственных образов;

3) задачи на построение элементов, определяющих преобразование;

4) задачи на нахождение в заданном преобразовании соответствующих точек на произвольных фигурах.

Сначала предлагаются вниманию учащихся задачи на овладение умением выполнить параллельный перенос фигур в данном направлении на данное расстояние, производить поворот фигур вокруг данной точки на заданный угол и на установление свойств преобразований.

Второй блок состоит из задач. Обращают внимание учащихся на то, что в результате переноса и поворота, так же как и в результате симметрий устанавливается соответствие не только между точками данной фигуры и получаемой, но и между точками всей плоскости.

При решении задач третьего блока у учащихся вырабатывается умение строить центр поворота, указывать элементы, определяющие параллельный перенос (направление и расстояние).

Четвертый блок задач направлен на овладение учащимися умений строить соответственные в указанном преобразовании точки на заданных произвольных фигурах.

И конце автор делает замечание и предлагает решить следующие задачи: «При решении задач второй группы учащиеся используют свойства параллельного переноса и поворота для получения различных закономерностей. Приведенные ниже задачи располагаются следующим образом: сначала приводятся задачи, методы которых почти очевидны; затем располагаются задачи, методы решений которых неочевидны.

38. Даны две окружности и прямая . Проведите параллельно прямую так, чтобы окружности высекали на ней хорды равной длины.

51. На продолжении катетов и прямоугольного треугольника отложены отрезки и , равные соответственно и . Докажите, что продолжение медианы перпендикулярно отрезку »

4. № 6, 1971 г., С.45-51.

В.И. Мишин (Москва)

«Матрицы и преобразования в средней школе»

Статья включена в рубрику «Материалы для факультативных занятий»

Весь материал поделен на четыре темы. Каждая тема начинается с примера решения конкретной задачи, а в конце предлагается 2-4 задачи для самостоятельного решения. Вследствие того, что меня больше интересуют преобразования плоскости, я мысленно для себя поделила статью на 2 части: 1) о матрицах вообще, и 2) рассмотрение преобразований плоскости, характеризуемых матрицами.

Сначала естественно вводится понятие матрицы. Затем рассматривается единичная и нулевая матрицы. После чего идет тема «Умножение матриц». В отличие от предыдущих двух тем эта подробнее объясняется и для решения предлагается большее количество задач.

Четвертая тема «Матрицы и движения на координатной плоскости» имеет семь небольших тем, каждая из которых посвящена конкретному преобразованию и начинается обязательно с теоремы о нахождении соответствующей матрицы. Например, «Симметрия относительно оси ординат»: «Воспользуемся теоремой: две точки и симметричны относительно оси ординат тогда и только тогда, когда их координаты связаны соответствием , , следовательно, данное преобразование можно задать матрицей вида:

В конце статьи приводятся упражнения для решения.

5. № 1, 1972 г., С.19-26.

«Конгруэнтность фигур и перемещений»

Рубрика «Методический отдел». Данная статья является сокращенным изложением соответствующего параграфа из учебного пособия «В помощь учителю VI класса», составленного коллективом автором под редакцией А.Н.Колмогорова.

Статья имеет характер краткого методического пособия по математике. Здесь рассмотрены темы «Отображения фигур», «Конгруэнтные фигуры», «Измерение углов», «Поворот плоскости вокруг точки», «Центральная симметрия», «Осевая симметрия», «Расстояние от точки до прямой» и «Общие свойства перемещений». В каждой теме указывается, сколько часов необходимо отвести на нее, о чем лучше рассказать в начале урока, о чем в конце, как лучше ее преподнести, какие упражнения выполнить у доски, какие решить самостоятельно на местах, какие задать на дом. И приведены некоторые примеры с решением и подробным объяснением.

6. № 3, 1972 г., С.69-72.

«К понятию симметрии относительно оси»

Рубрика «Внеклассная работа»

Открывают статью такие слова: «В настоящей статье приводится один из вариантов изложения раздела «Симметрия точек относительно оси». Материал статьи можно использовать на факультативных занятиях по математике в VI — VIII классах при работе по ныне действующей программы».

Статья состоит из следующих тем: «Точки, симметричные относительно прямой», «Свойства точек, симметричных относительно оси», «Построение точек, симметричных относительно оси».

Каждая тема начинается с объяснения, в ходе которого даются определения, доказываются теоремы, предложения, решаются конкретные задачи, для наглядности используется большое количество рисунков. В конце темы делается вывод. Заканчивается статья упражнениями, предложенными для самостоятельного решения.

7. № 1, 1973 г., С.24-29.

А.Н.Колмогоров, А.Ф.Семенович, Р.С.Черкасов

«К методам изучения темы «Параллельность и параллельный перенос в курсе геометрии VI класса»

Рубрика «Методический отдел»

Статья является дополнением к книге «Геометрия в VI классе. В помощь учителю» (авторы: В.А.Гусев, Г.Г.Маслова, Ф.Ф.Нагибин, А.Ф.Семенович, Р.С.Черкасов), которая по словам авторов статьи имеет дефекты. «К сожалению, спешность состояния этой книги привела к тому, что изложенные в ней вопросы, относящиеся к теме «Параллельность и параллельный перенос» страдают некоторыми существенными дефектами».

В целом статья представляет собой отрывок методического пособия для учителей.

8. № 4, 1973 г., С.31-34.

Л.М. Лоповок (Ворошиловград)

«Задачи к теме параллельность и параллельный перенос»

Рубрика «Методический отдел. В помощь учителю в восьмилетней школе»

Статья состоит из перечня задач по темам «Параллельные прямые», «Сумма углов треугольника», «Внешний угол треугольника», «Параллельные перенос», «Теорема Фалеса». Какие из перечисленных задач рассмотреть в классе, а какие во внеклассной работе или предложить более сильным учащимся предлагается решать учителю с учетом конкретной обстановки. Более трудные задачи помечены звездочками (*).

9. № 4, 1973 г., С.34-35.

«О понятии осевой симметрии»

Здесь проводится логический и дидактический анализ двух определений осевой симметрии:

1) привычного на тот момент времени: « . Осевой симметрией с осью называется такое перемещение, при котором точки прямой остается на месте, а каждая не лежащая на оси точка плоскости переходит в точку , такую, что точки и лежат по разные стороны от оси , на одном перпендикуляре к оси и на равном расстоянии от нее»;

2) и из нового на тот момент времени учебника «А.Н.Колмогоров, А.Ф.Семенович, Ф.Ф.Нагибин, Р.С.Черкасов, Геометрия 6. Учебное пособие. М., «Просвещение», 1972, стр.42»: « . Осевой симметрией с осью называется такое перемещение, при котором: а) точки прямой остаются на месте; б) полуплоскости с границей отображается одна на другую».

Анализ решили провести из-за того, что некоторым учителям новое определение казалось сложнее старого. Но в конце после проведения доказательства это опровергается:

«Проведенный анализ показывает, как «велика сила привычки». Более сложное, но привычное определение осевой симметрии кажется более простым, чем более простое, но непривычное определение.

Новая трактовка осевой симметрии – лишь один из многих примеров более простого и рационального толкования геометрических понятий, достигнутого на базе общих теоретико-множественных идей в новом учебнике геометрии».

10. № 5, 1975 г., С. 31-34.

Г.И.Саранцев (г. Саранск)

«Некоторые свойства центра поворота»

В основном статья состоит из доказательства теорем о свойствах центра поворота. И в конце приводятся решения задач на использование доказанных свойств. По объему она сравнительно небольшая, но по содержанию очень насыщенная: доказывается в ней шесть теорем и решается четыре задачи.

Начинается статья словами: «Успех в решении различных геометрических задач методом поворота часто зависит от умения правильно указывать его центр. Использование рассмотренных ниже теорем дает некоторые практические приемы построения центра поворота»

Теоремы 1, 2, 4, 5 и 6 описывают связь между свойствами центра поворота и свойствами движений.

Третья теорема говорит нам о положении центра: «Пусть , и , причем точка не совпадает ни с одной из точек , , , . Тогда центр принадлежит обеим окружностям, содержащим соответственно точки , , и , , ».

После доказательства теорем решаются четыре задачи: одна задача на построение и три задачи с доказательством с использованием доказанных теорем.

11. № 6, 1975 г., С.53-58.

К вопросу о геометрических преобразованиях в курсе V класса

Данный материал является открывающим в рубрике «Эксперимент». Достаточно большая по содержанию статья состоит из 7 частей.

«В данной статье показаны результаты эксперимента, целью которого было доказательство возможности и целесообразности углубленного изучения вопросов, связанных с перемещениями, в курсе математики V класса».

В первой части говорится о том, что в пятом классе предусмотрено знакомство с перемещениями фигур, а в шестом вводится новая точка зрения: рассматривается отображение всей плоскости на ту же плоскость, но считается, что понятие отображения плоскости на себя пятикласснику непосильно. Поэтому здесь приводят методический прием, с помощью которого может быть организовано знакомство с понятием параллельного переноса: «На разграфленной на клетки части плоскости (удобнее всего, чтобы клетки были нанесены на часть классной доски) предлагается выполнить 4-5 заданий следующего типа. Учитель отмечает точку и точку , указывая при этом, что – первоначальное, – новое положение точки. Формулируется правило, по которому отыскивается новое положение точки. Например, новое положение точки получается, если переместиться на две клетки вправо и одну вверх. Подчеркивается, что по тому правилу может быть найдено положение любой другой точки плоскости. Предлагается отыскать новые положения точек и т.д.» Затем переходят к объяснению следующей группы задач, связанной с отысканием нового положения геометрических фигур. «Аналогично проводится работа по нахождению нового положения отрезка, луча, угла и т.д.»

Во второй части аналогичным образом знакомят пятиклассников с понятием параллельного переноса, демонстрируя с помощью листов бумаги перемещение плоскости: «Будем представлять себе плоскость в виде двух наложенных один на другой листов (пусть, например, верхний прозрачен). На обоих листах «отпечатана одна и та же фигура. Переместив прозрачный лист на новое положение, мы увидим как первоначальное положение фигуры (нанесенное на нижнем листе), так и новое ее положение (на прозрачном листе)», «… полезно систематически пользоваться тем же методическим приемом: рассматривать не только точки изображенных на таблицах фигур, но и произвольные точки плоскости. Наблюдения показывают, что такая работа существенно помогает в дальнейшем: происходит уточнение и углубление изученного, а не переучивание».

Третья часть является продолжением второй. В ней рассматриваются еще и другие возможности использования предложенной модели с прозрачным листом.

Здесь показывается, как можно продемонстрировать симметрию относительно оси, поворот с использованием выше рассмотренной модели с прозрачным листом бумаги, но автор делает замечание: «Следует отметить, что листы прозрачного материала (калька, полиэтилен ит.д.) удобно использовать лишь при индивидуальной работе, … целесообразно пользоваться специальными приспособлениями…»

Четвертая часть показывает подробнее, как описанная выше модель осевой симметрии может обеспечить знакомство со свойствами симметричных относительно оси точек. Рассматриваются несколько групп задач: «Цель таких задач – обратить внимание учащихся на интересующие нас соотношения». Аналогично изучается свойство перпендикулярности оси симметрии двух точек и прямой, на которой лежат симметричные точки.

Часть пятая содержит систему задач, которая предлагается для работы во время закрепления рассмотренных выше свойств.

В шестой части говорится о том, что нельзя использовать только один метод, необходимо использование различных методов.

И в итоге в седьмой части объясняется, как можно сэкономить время и найти пару лишних часов для реализации выше описанной модели.

12. № 3, 1976 г., С.53-60.

Н.Н. Шоластер (г. Коломна)

«Задачи на геометрические преобразования»

Работа отнесена к рубрике «Факультативные занятия»

Статья довольно объемная по содержанию. Состоит из небольшого введения, в котором описано краткое содержание статьи, говорится о новой программе по математике. Еще в ее состав входят 4 главы.

Сам автор говорит о своей работе такие слова: «Данная статья содержит материал, который можно использовать на факультативных занятиях по геометрии после изучения темы «Симметрия».

В учебном пособии для седьмого класса дается понятие о композиции произвольных перемещений и преобразования подобия как композиции гомотетии и перемещения, но не весь этот материал носит обязательный для изучения характер. Очевидно, его целесообразно использовать для факультативных занятий по геометрии в старших классах»

Создавая этот материал, автор, видимо, обращался к учебнику Нагибина. Это видно из слов: «Будем считать известным материал о перемещениях в объеме статьи Ф.Ф.Нагибина (Нагибин Ф.Ф. Скользящая симметрия. «Математика в школе», 1974, №4, с.66 – 72)»

Первая глава носит название «Задачи на отыскание композиции перемещений», и в ней приведены задачи, о которых автор говорит: «В задачах, рассмотренных ниже требуется по данным двум перемещениям и найти их композицию ( – первое перемещение, а – второе)».

В начале статьи приводится таблица, в которой отражены все возможные случаи композиций, и каждый случай объявляется как задача. В итоге предлагается решить 25 задач. Некоторые задачи решены в школьных учебниках (Фетисов А.И., Геометрия. М., Изд-во АПН РСФСР, 1963. и Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия (Краткий курс для студентов-заочников пединститута) М., Учпедгиз,1959.) и статье Нагибина.

Несколько задач подробно описаны с решениями, и в конце говорится, что остальные задачи решаются аналогичными способами.

Во второй главе рассматривается композиция осевых симметрий, оси которых пересекаются в одной точке.

Вначале идет небольшое объяснение, в котором говорится: «Если прямые и пересекаются в точке , то композиция представляет осевую симметрию с осью , проходящей через ту же точку , и .»

Затем рассматриваются пять задач на доказательство, три из которых приведены с решением.

Глава третья называется «Композиция центральных симметрий». С самого начала предлагается доказать, что , где точка определяется условием: .

Ниже перечислены три свойства композиций центральных симметрий и даны с решением пять задач. Например, «Задача 5. Пусть даны точки . Кроме того, взяты точки и так, что Построены параллелограммы и . Доказать, что точки и симметричны относительно точки »

И последняя четвертая глава называется «Скользящая симметрия и задачи на минимум».

Сразу же формулируется одно из известных свойств скользящей симметрии и затем даны две задачи, которые как говорится в статье, решены с использованием выше указанных других свойств скользящей симметрии.

В статье используется большое количество рисунков, что позволяет сделать факультативное занятия по данной теме более интересным, насыщенным и наглядным.

13. № 3, 1979 г., С.62-67.

Я.П. Понарин (г. Запорожье)

«Преобразования подобия плоскости»

Статья относится к рубрике «В помощь самообразованию учителей»

По содержанию статья достаточно большая. Рассмотрено много теорем с доказательством, объяснение вводится подробно с использованием рисунков, объясняя практически каждый шаг решения.

Состоит статья из четырех параграфов. Первый параграф «Общие свойства подобия плоскости» является повторением изученного, в нем напоминаются основные определения и теоремы.

Второй параграф «Подобия первого и второго рода. Угол подобия» состоит из двух частей. В первой проводится классификация подобий на два рода по направлению ориентации. В конце доказана теорема, показывающая связь подобий первого и второго рода и перемещений: «Всякое подобие второго рода представимо композицией осевой симметрии с наперед заданной осью и некоторого подобия первого рода».

Вторая часть посвящена углу подобия, и начинается она такими словами: «Всякое подобие плоскости характеризуется не только коэффициентом, но и некоторым углом». По ходу доказывается небольшая теорема.

В третьем параграфе рассказывается понятие о композиции гомотетии и перемещений. В рамках этого параграфа рассмотрены четыре композиции: «Композиция гомотетии и переноса», «Композиция двух гомотетий», «Композиция гомотетии и осевой симметрии» и «Композиция гомотетии и поворота», каждая из которых имеет подробное объяснение. Доказывается несколько теорем.

И, наконец, рассмотрим четвертый параграф «Классификация подобий плоскости». В параграфе доказаны две теоремы: «Множество различных видов подобий первого рода невелико, что и следует из теоремы.

Теорема. Всякое подобие первого рода плоскости, отличное от переноса, является гомотетическим поворотом.

Подобия второго рода сводятся к гомотетическим симметриям и переносным симметриям.

Теорема. Всякое подобие второго рода, отличное от перемещения является гомотетической симметрией».

В конце рассматривается следствие и дана таблица классификации подобий плоскости.

И в заключение рассмотрен вопрос о неподвижных точках и двойных прямых подобий плоскости к теме «Центр и двойные прямые подобий»

14. № 4, 1980 г., С.29-31.

И.Е. Макаревич (г. Клинцы Брянской области)

«Центр симметрии в пятом классе»

Статья относится к рубрике «Методические рекомендации». Отрывают ее такие слова:

«Системное изучение геометрии начинается с шестого класса. В связи с тем, что курс шестого класса предполагает формирование большого числа понятий, новых способов рассуждений, необходимо уже в пятом классе начинать готовить учащихся к его восприятию. Одна из таких возможностей предоставляется у учителя при рассмотрении тем «Центральная симметрия» и «Осевая симметрия».

Статья основана на советах учителю, как нужно ввести в пятом классе тему «Центральная симметрия»: «В процессе изучения центральной симметрии уже в пятом классе у учащихся должны быть сформированы определенные знания и умения. … В процессе изучения центральной симметрии пятиклассники на конкретных примерах знакомятся со свойством равенства центрально-симметричных фигур. … После изучения свойств центральной симметрии и способов построения центрально-симметричных фигур может быть проведен математический диктант, цель которого – проверить умение правильно выполнять построения с помощью циркуля, линейки, транспортира, а также строить точки на координатной прямой по их координатам». И далее перечислены задания для математического диктанта с некоторыми комментариями: «… пятиклассники должны уметь определять, являются ли две фигуры центрально-симметричными».

В конце статьи предложены задачи на закрепление по данной теме.

Как мы заметили, в статье рассматривается только центральная симметрия, а об осевой симметрии сказано лишь в последних словах статьи: «Аналогичная работа в пятом классе может быть проведена учителем и при изучении темы «Осевая симметрия».

15. № 4, 1981 г., С.62-63.

Т.И. Акритиди (Ташкент)

«Применение геометрических преобразований для вычисления площади фигуры с помощью интеграла»

Материал предназначен для дополнительного изучения, поэтому входит в раздел «Внеклассная работа».

Открывают статью такие слова: «Решение некоторых задач на вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, можно упростить, если данную фигуру заменить конгруэнтной фигурой и, получающуюся из данной с помощью симметрии относительно прямых или или поворота на углы с центром в начале координат».

Статья по объему небольшая, но в ней решены четыре задачи с помощью четырех рисунков.

В первой задаче используют симметрию относительно прямой . Вторую решают с помощью поворота фигуры на угол вокруг точки . В третьей задаче строят фигуру, симметричную данной относительно прямой .

Решение этих задач без использования преобразований, на мой взгляд, было бы намного сложнее. И чтобы это понять предлагаю рассмотреть четвертую задачу подробно:

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , , , . Задача решается с помощью поворота на угол с центром в точке (рис):

16. № 4, 2000 г., С.8-10.

В.К. Володин, С.В. Фролова (Орел)

«Несколько задач на движение плоскости»

Материал предлагается для проведения открытого урока, поэтому статья опубликована в рубрике «Открытый урок».

Статья состоит из введения, в котором говорится о ее содержании и напоминаются определения движения в школьном курсе и утверждение «При движении пересечение фигур отображается на пересечение их образов», иллюстрируется на примере: «при симметрии относительно точки две пересекающиеся прямые отображаются на две прямые тоже пересекающиеся».

Далее приведены пять задач с решениями и доказательствами для повторения по данной теме.

В первой задаче используется осевая симметрия, вторая, четвертая и пятая решены с помощью поворота: в четвертой – на , в пятой – на . В третьей задаче при доказательстве используется центральная симметрия.

17. № 3, 2002 г., С.28-30.

Н.А. Бородина (с. Бала-Четырман Республика Башкортостан)

«Обобщенный урок по теме «Движения»

Статья относится к рубрике «Открытый урок»

Предлагается проведение урока по теме «Движение»: «Тема «Движение», представленная в учебнике А.В.Погорелова «Геометрия 7 – 11 кл.», содержит немного задач на применение преобразований фигур. Однако по данной теме можно найти интересные геометрические задачи».

Сначала предлагается повторить с учащимися основные определения и построения, относящиеся к центральной симметрии, осевой симметрии, повороту, параллельному переносу. После чего рассматриваются четыре задачи на построение, каждая из которых решается в четыре этапа.

3. Доказательство правильности построения.

4. Исследование различных вариантов построения.

Первые три задачи решены полностью, а в четвертой описан только анализ, а остальные этапы предлагается оставить учащимся для домашней работы.

18. № 3, 2006 г., С.54-58.

Е.Ф. Недошивкин, Д.Е. Недошивкин (Курск)

«Исследование в задачах на преобразование фигур»

Работа помещена в раздел журнала «Методический семинар».

Авторы статьи считают: «В школе, говоря о преобразовании геометрической фигуры, внимание учащихся обращают только на ее начальное и конечное состояния, причем последнее является результатом построения соответствующих точек другой фигуры (образа) на основе свойств указанного преобразования».

В статье приводится очень хорошие методические рекомендации учителям. Говоря о том, что при решении задач требуется выявить и свойства фигур, и сам процесс преобразования, но этого нельзя наблюдать непосредственно. Для этого на уроках геометрии предлагается использовать механические модели (шарнирные, раздвижные и т.п.).

Здесь решены десять задач – задачи на исследование, в которых требуется выяснить, при какой величине одного из элементов некоторой фигуры другая величина принимает экстремальное (наименьшее или наибольшее) значение. Такие задачи легче решать с помощью рисунка.

Авторами делается методическое замечание: «Рассмотрение учащимися таких задач способствует пропедевтике усвоения таких важных понятий начал анализа, как предел, производная, интеграл и др.» Рассмотрим одну из таких задач: «На гипотенузе прямоугольного треугольника . Найдите точку , из которой виден:

а) под наибольшим углом;

б) под наименьшим углом».

3. Различные подходы к классификации преобразований евклидовой плоскости

Одним из наиболее важных вопросов при изучении преобразований является вопрос их классификации. В школьном курсе геометрии этот вопрос не рассматривается, но при подготовке учителей математики именно этому вопросу необходимо уделить особое внимание, так как понимание этого вопроса является надежным условием глубокого освоения всей темы «Геометрические преобразования». Учитывая, что существующие учебные пособия по геометрии для студентов-математиков педагогических специальностей содержат только один из возможных подходов к классификации преобразований (синтетическим методом проведена классификация преобразований евклидовой плоскости в пособии [1]), приведем различные варианты изложения данной темы.

Классификация преобразований евклидовой плоскости при ее рассмотрении с проективной точки зрения

Предварительно приведем краткий исторический обзор по проективной геометрии [2]. Проективная геометрия возникла в первой половине XIX века. Ее возникновение связано с именем известного французского математика Понселе (1788 – 1867). Он выделил объект изучения некоторые особые свойства геометрических фигур, которые названы им проективными. Эти свойства связаны с понятием центрального проектирования, которое будет введено ниже в работе.

В начале своего возникновения проективная геометрия имела довольно ограниченную область приложений, связанную, главным образом, с теорией проектирования фигур в евклидовом пространстве. Несмотря на это, она привлекла к себе внимание многих геометров. Серьезный вклад в эту теорию, помимо Понселе, внесли Шаль (1793 — 1880) и Штейнер (1793 — 1863). По мере накопления фактов эта ветвь геометрии постепенно освободилась от метрических понятий и превратилась в самостоятельную дисциплину. При этом существенную роль сыграли работы Штаудта (1798 — 1867). В конце XIX века исследования по основаниям геометрии объединились с исследованиями по проективной геометрии, и в рамках последней возникла глубокая теория, включающая в единую схему геометрии Евклида, Лобачевского и Римана. Основные работы по формированию единой точки зрения на геометрии как совокупности свойств фигур, инвариантных относительно некоторой подгруппы группы проективных преобразований проективной плоскости, принадлежат англичанину А.Кэли [29] и немецкому математику Ф.Клейну [29].

3.1 Определение проективной плоскости

Рассмотрим в евклидовом пространстве две плоскости и и точку , не лежащую в этих плоскостях. (рис.1).

Пусть – произвольная точка плоскости . Точка пересечения прямой с плоскостью называется проекцией точки на плоскость (из центра ). Точке плоскости поставим в соответствие ее проекцию на плоскость из центра . Таким образом, устанавливается соответствие между точками плоскостей и , которое называется центральным проектированием плоскости на плоскость из точки .

Если – произвольная фигура плоскости , то множество проекций всех точек фигуры на плоскость является фигурой плоскости , которая называется проекцией фигуры .

Пусть – центральное проектирование на плоскость из точки . Если плоскости и параллельны, то – взаимно однозначное отображение плоскости на плоскость . Если же плоскости и не параллельны, то – не взаимно однозначно. В самом деле, на плоскости имеются точки, которые не имеют образов на плоскости (например, точка на рис.2, где ), и на плоскости имеются точки, которые не имеют прообразов на плоскости (например, точка на рис.2, где ). Более точно на плоскостях и имеются по одной прямой (прямые и на рис.2), из-за которых нарушается взаимная однозначность отображения .

Чтобы превратить центральное проектирование во взаимно однозначное отображение можно поступить так. Дополним пространство новыми точками, а именно ко всем обычным точкам каждой прямой мысленно добавим еще одну, так называемую несобственную точку. При этом будем считать, что две непараллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку, а непараллельные прямые имеют различные несобственные точки. Будем считать, что все несобственные точки лежат на одной прямой. Эту прямую назовем бесконечно удаленной. Обычные точки будем называть собственными точками. Прямую, дополненную несобственной точкой, назовем расширенной прямой.

Теперь на евклидовой плоскости появились новые бесконечно удаленные элементы (точка и прямая, содержащая эти точки). Такую плоскость назовем расширенной евклидовой плоскостью.

Если «стереть» различие между собственными и бесконечно удаленными элементами, то расширенная плоскость становится проективной плоскостью.

Пусть – векторное пространство измерений над полем вещественных чисел, а – множество всех ненулевых векторов этого пространства. Непустое множество называется проективным пространством измерений (порожденным векторным пространством ), если задано отображение , удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам проективного пространства):

1. Отображение суръективно, то есть любой элемент из имеет хотя бы один прообраз.

2. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные.

Пусть – проективная плоскость. Упорядоченную систему точек , не лежащих на одной прямой плоскости называют проективным репером или проективной системой координат на плоскости и обозначают . Точки называют вершинами, точку единичной точкой репера, а прямые – координатными прямыми.

Пусть – произвольная точка плоскости , на которой задан проективный репер . Рассмотрим какой-нибудь вектор , порождающий точку , и си c тему векторов , согласованную относительно репера . Примем векторы , за базис трехмерного пространства , порождающего плоскость , и разложим вектор по этому базису:

Числа называются проективными координатами точки в репере , причем называется первой координатой этой точки, – второй координатой, а – третьей координатой. Так как , то все координаты точки одновременно не равны нулю.

На проективной плоскости рассмотрим два проективных репера и и допустим, что вершина репера в репере имеют координаты:

назовем матрицей перехода от репера к реперу .

Столбцы этой матрицы согласованы.

Следовательно, формулы преобразования примут вид:

Полученные формулы образуют группу проективных преобразований. Пусть – некоторая подгруппа группы , тогда относительно инвариантна фигура . Рассмотрим множество , тогда является группой преобразований множества .

Для множества фигура инвариантная относительно всех преобразований множества , называется абсолютом.

3.1.2 Абсолют и фундаментальная группа преобразований евклидовой плоскости

Примером абсолюта на проективной плоскости является бесконечно удаленная прямая. Рассмотрим бесконечно удаленную прямую , имеющую уравнение . Зафиксируем на этой прямой две мнимо-сопряженные точки и с координатами и соответственно. Существует два вида преобразований:

1) преобразования I -го рода, при которых , ;

2) преобразования II -го рода, при котором .

Группа всех проективных преобразований может быть задана матрицей вида:

Выделим из этой группы подгруппу – преобразований первого рода. Применим к координатам точки формулы преобразования (1):

Умножим первое уравнение на , получим

Рассмотрим применим формулы (1) к координатам точки :

Аналогично, умножим второе уравнение из (4) на :

Из уравнений (3), (4) и (5) вытекают следующие условия:

Следовательно, матрица всех проективных преобразований для подгруппы преобразований I -го рода примет вид:

Аналогичным образом выделим подгруппу преобразований II -го рода. После подобных рассуждений получаем матрицу преобразований II -го рода:

Из матриц преобразований (6) и (7) получаем матрицу фундаментальной группы преобразований евклидовой плоскости

которая при задает преобразования I -го рода, а при – преобразования II -го рода.

3.1.3 Классификация преобразований первого рода евклидовой плоскости

Проведем классификацию преобразований по наличию двойных элементов (точек и прямых).

Пусть точка инвариантная точка преобразования, тогда координаты , , то есть, применив к точке матрицу преобразований , получим

Ненулевые решения данной системы существуют тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Для преобразований I -го рода выражение в квадратных скобках примет вид:

Решим полученное квадратное уравнение относительно .

Каждому из полученных корней соответствует какой-то двойной элемент.

Существует несколько случаев относительно данных корней, в зависимости от которых получаются различные виды преобразований плоскости.

Рассмотрим подробно все случаи.

. Все три корня различны

а) Если ранг системы уравнений равен 2 ( ), то получим единственную двойную точку преобразования

Получили две пропорции. Из первой получаем уравнение , а из второй – уравнение

Из этих уравнений вытекают два условия и =0, при которых получается бесконечное множество инвариантных точек на одной бесконечно удаленной прямой .

В общем случае получаем – инвариантную точку.

В общем случае получаем – двойственная точка.

Итак, получили – три инвариантные точки, из них единственная собственная точка . Получили пару инвариантных мнимо-сопряженных прямых, пересекающихся в действительной точке .

. Один корень двукратный

Априори имеют место три случая:

Первый и второй случаи невозможны, так как при этих условиях все корни совпадут.

Из третьего условия следует, что коэффициент , тогда матрица преобразований примет вид:

Посчитаем определитель полученной матрицы:

то есть преобразование существует.

Рассмотрим теперь третий корень и, используя условие , получим:

Каждое уравнение последней системы определяет прямую на проективной плоскости. Если , то получаем две различные прямые, пересекающиеся в точке . Точка является инвариантной и собственной, так как ее третья координата не равна нулю.

Обратимся снова к первым двум корням, которые являются двукратными:

Получили бесконечное множество двойных точек (вся прямая поточечно инвариантна).

Получим в итоге следующую матрицу преобразований данного вида:

. Три корня совпадают

Система уравнений определяет инвариантные точки преобразования. То есть в преобразовании данного вида каждая точка прямой инвариантна.

Матрица преобразований примет вид:

Может оказаться, что , тогда инвариантна любая точка плоскости.

Получим следующую матрицу преобразований:

Результаты классификации преобразований приведем в форме таблицы.

Изображения неподвижных элементов

Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Жуков К. Г., Рябов Д. С., Чечин Г. М.

Понятие о бушах нормальных мод, как о некоторых новых типах нелинейных возбуждений в динамических системах с дискретной симметрией, было введено в работе [ДАН, т.330, с.308 (1993)], а их общая теория разработана в [Physica D 117, p.43 (1998)]. Буши мод представляют собой инвариантные многообразия, соответствующие подгруппам группы симметрии Гамильтониана исследуемой физической системы. В известном смысле, их можно рассматривать как некоторое обобщение понятия нормальных мод для случая нелинейных систем с дискретной симметрией. Настоящая статья является первой частью серии работ посвященных изучению бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама (FPU) с периодическими граничными условиями. В ней предложен простой кристаллографический метод вывода бушей мод для произвольных моноатомных цепочек и проведена их классификация по подгруппам группы диэдра. Обсуждается построение бушей мод в конфигурационном и модальном пространствах, а также вывод соответствующих им динамических уравнений.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Жуков К. Г., Рябов Д. С., Чечин Г. М.

Исследование устойчивости одномерных и двумерных бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама

Исследование устойчивости нелинейных нормальных мод в электрических цепях

Теоретико-групповые методы при анализе устойчивости динамических режимов в нелинейных системах с дискретной симметрией

Дискретные бизеры и квазибизеры в нелинейных цепочках
Дискретные бризеры в скалярных динамических моделях на плоской квадратной решетке
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Construction of bushes of modes for the nonlinear monoatomic chains

The concept «bushes of normal modes» was introduced in [Dokl. Akad. Nauk 330 (1993) 308], and the general theory of these new types of nonlinear excitations in dynamical systems with discrete symmetry was developed in [Physica D 117 (1998) 43]. Every bush represents an invariant manifold associated with a certain subgroup of the symmetry group of the Hamiltonian of the considered physical system. In some sense, bushes can be regarded as a certain generalization of the concept of normal modes for the case of nonlinear systems with discrete symmetries. This work is the first part of a series of papers devoted to studying bushes of vibrational modes in the Fermi-Pasta-Ulam chains with periodic boundary conditions. We develop a simple crystallographic method for finding bushes of modes for arbitrary monoatomic chains and give the classification of these bushes according to the subgroups of the dihedral symmetry group. The forms of bushes in the configuration and modal spaces, as well as their dynamical equations, are discussed.

Текст научной работы на тему «Построение бушей мод для нелинейных моноатомных цепочек»

Построение бушей мод для нелинейных моноатомных

Жуков К.Г., Рябов Д.С., Чечин Г.М. (chechin@phis.rsu.ru)

Ростовский Государственный Университет

Понятие о бушах нормальных мод, как о некоторых новых типах нелинейных возбуждений в динамических системах с дискретной симметрией, было введено в работе [ДАН, т.330, №3, с.308 (1993)], а их общая теория разработана в [Physica D 117, p.43 (1998)]. Буши мод представляют собой инвариантные многообразия, соответствующие подгруппам группы симметрии Гамильтониана исследуемой физической системы. В известном смысле, их можно рассматривать как некоторое обобщение понятия нормальных мод для случая нелинейных систем с дискретной симметрией. Настоящая статья является первой частью серии работ посвященных изучению бушей колебательных мод для цепочек Ферми-Пасты-Улама (FPU) с периодическими граничными условиями. В ней предложен простой кристаллографический метод вывода бушей мод для произвольных моноатомных цепочек и проведена их классификация по подгруппам группы диэдра. Обсуждается построение бушей мод в конфигурационном и модальном пространствах, а также вывод соответствующих им динамических уравнений.

Понятие о бушах (кустах) мод для нелинейных гамильтоновых систем с дискретной симметрией было введено в работе [1]. В зависимости от типа рассматриваемой системы моды могут иметь различный физический смысл. При исследовании колебательных режимов ^-частичных механических систем, к которым относятся рассматриваемые нами сейчас цепочки Ферми-Пасты-Улама, под термином мода (или колебательная мода) можно иметь в виду обычные нормальные моды (НМ), которые вводятся хорошо известным способом в рамках гармонического приближения1. Буши именно таких мод и будут рассматриваться в настоящей работе.

1 Заметим, что обычно удобнее говорить о бушах симметрических мод, которые строятся на основе базисных векторов неприводимых представлений соответствующих групп симметрии, поскольку построение таких мод не требует знания конкретных взаимодействий между частицами системы.

Наиболее просто к идее буша мод можно прийти следующим образом. Нормальные моды являются невзаимодействующими только в гармоническом приближении. При учете же в гамильтониане исследуемой системы ангармонических членов разного вида, НМ перестают быть независимыми друг от друга: возбуждение от одной первоначально возбужденной моды (мы будем в дальнейшем называть ее «корневой» модой) передается и некоторому числу других — «вторичных» — нормальных мод. При этом принципиально важно, что существуют некоторые правила отбора для передачи возбуждения между модами различной симметрии [1], в силу чего возбужденными, в конце концов, оказываются не все моды данной системы, а лишь некоторый вполне определенный их набор. Этот набор, состоящий из корневой моды и всех соответствующих ей вторичных мод, и был назван в [1] бушем мод.

Каждому бушу мод В [С] соответствует некоторая группа симметрии О, которая является подгруппой исходной группы симметрии О0 рассматриваемой системы в состоянии

равновесия. При описанном выше способе возбуждения буша, группа его симметрии О определяется симметрией корневой моды. Можно показать, что независимо от типа нелинейных взаимодействий между атомами системы (и, стало быть, независимо от характера взаимодействий между модами), группы собственной симметрии О>- всех

вторичных мод данного буша В [О] не могут быть ниже группы симметрии его корневой моды О>- ^ О . В работе [1] был описан теоретико-групповой метод нахождения бушей мод,

соответствующих всем подгруппам О исходной группы симметрии О0 . Этот метод является

обобщением аналогичного метода построения так называемого «полного конденсата» первичных и вторичных параметров порядка в теории фазовых переходов, который был развит в работе [2] (см. также [3]).

На буш В[О] можно смотреть как на некоторый динамический объект. Действительно, он представляет собой линейную комбинацию всех входящих в него мод с коэффициентами /л^ (^) (в дальнейшем мы будем называть их «амплитудами» соответствующих мод), которые

явным образом зависят от времени. Если известен гамильтониан системы, для этих амплитуд (^) можно написать систему дифференциальных уравнений, которые определяют

динамику рассматриваемого буша. Таким образом, буш В[О] представляет собой некоторую динамическую систему, размерность которой (т.е., число входящих в данный буш мод / (^) )

во многих случаях оказывается существенно меньше полной размерности исходной физической системы.

Заметим, что одна и та же система дифференциальных уравнений (с точностью до числовых значений входящих в них коэффициентов) может реализоваться как система динамических уравнений бушей мод в самых разнообразных по своей природе физических системах и для самых разнообразных групп симметрии G0. Эта особенность бушей мод

лежит в основе их классификации по некоторым «классам динамической универсальности» [1, 4].

Одним из важнейших свойств буша является то, что энергия первоначального возбуждения оказывается локализованной в данном буше, т. е. она не может передаваться модам ему не принадлежащим. Это является просто следствием определения буша как совокупности всех мод системы, которые будут возбуждены в результате первоначального возбуждения только одной корневой моды.

В строгом математическом смысле, буш мод представляет собой некоторое инвариантное многообразие, определенное из симметрийных соображений и разложенное по базисным векторам неприводимых представлений группы симметрии G0 исходной

нелинейной системы. Физической причиной того, что буш является единым динамическим объектом является то, что его моды связаны друг с другом силовыми взаимодействиями, в то время как со всеми другими модами системы они связаны параметрическими взаимодействиями (см. [5]).

Следует иметь в виду, что, говоря о бушах мод, мы на самом деле подразумеваем симметрийно определенные буши, т.е. такие инвариантные многообразия, которые выделены лишь симметрийными условиями, а не конкретным типом взаимодействий в исходной физической системе. С другой стороны, учет специфики гамильтониана, которая обусловлена не симметрией системы, может привести к дополнительным правилам отбора для передачи возбуждения между различными модами, и, как следствие, к уменьшению размерности данного буша, что будет далее продемонстрировано на примере цепочек FPU. Детальное описание теории бушей мод дано в работе [5]. В ней, в частности, сформулирован и доказан ряд теорем о структуре этих динамических объектов.

Итак, каждый буш мод B[G] представляет собой некоторый точный нелинейный динамический режим, которому соответствует вполне определенная группа симметрии G ^ G0, в силу чего ясно, что различные динамические режимы нелинейной физической

системы можно классифицировать по подгруппам группы симметрии ее равновесного состояния (или группы симметрии ее гамильтониана).

Как уже говорилось, полный комплект мод буша сохраняется во времени (в то время как их амплитуды изменяются). Фактически это является следствием того, что в

соответствие с принципом детерминизма классической механики, симметрия динамической системы не может самопроизвольно понизиться в процессе ее временной эволюции [1, 5]. Тем не менее, при определенных условиях рассматриваемый буш может потерять устойчивость, в результате чего он расширяется до буша большей размерности, и как следствие этого явления, выходящего за рамки классического детерминизма и являющегося аналогом фазового перехода, происходит спонтанное понижение симметрии динамического состояния рассматриваемой физической системы. Этот вопрос подробно исследуется в следующей статье настоящего цикла работ, посвященного колебательным бушам в цепочках FPU.

Принципиальная возможность применения теории бушей мод при исследовании различных физических явлений кратко обсуждалась в [5]. В последующих работах нами были найдены все возможные буши мод малой размерности для широких классов физических систем с точечной и пространственной симметрией. Упомянем здесь нахождение бушей мод для всех возможных систем с точечной кристаллографической симметрией [6, 7], для фуллерена C60 [8], нахождение «неприводимых» бушей мод (и, как следствие этого, так называемых нелинейных нормальных мод Розенберга) для всех 230 пространственных групп [9].

Независимо от развиваемой в вышеуказанных работах теории бушей мод, Погги и Руффо провели исследование динамики цепочки FPU-P, результаты которой были опубликованы в работе [10]. Они обнаружили некоторые «подмножества нормальных мод, в которых энергия возбуждения оказывается локализованной при соответствующем выборе начальных условий» (авторы называют их «подмножествами I-типа»).

В отличие от нашего подхода, проведенное в работе [10] исследование базируется не на симметрийных принципах, а на анализе специфики межатомных взаимодействий в цепочке FPU-p. При этом авторы нашли лишь некоторое число одномерных и двумерных совокупностей мод «I-типа». В работе [11] было показано, что найденные Погги и Руффо совокупности мод являются ничем иным, как бушами мод. Там же с помощью общего теоретико-группового метода, развитого нами в предыдущих работах, были найдены все возможные буши мод для произвольных нелинейных моноатомных цепочек при их классификации по группе трансляций T, а также частично обсуждены буши мод, полученные при классификации по более полной для таких цепочек группе симметрии — группе диэдра D.

Недавно появилась работа Боба Ринка [12], в которой обсуждается симметрийный метод построения инвариантных многообразий для нелинейных моноатомных цепочек. Несмотря на то, что эта работа выполнена совершенно независимо от вышеизложенного

подхода, основанного на концепции бушей мод, и написана в существенно более математизированном стиле по сравнению с аналогичной нашей работой [11], основные идеи, теоретико-групповой метод и результаты, приведенные в работах [11] и [12], оказались весьма близкими друг к другу (напомним, что буши мод представляют собой инвариантные многообразия, разложенные по базисным векторам неприводимых представлений группы симметрии рассматриваемой системы). Ограничившись здесь только этим коротким замечанием, мы вернемся к более подробному сравнению двух вышеуказанных работ в последующих статьях.

В соответствие с математической терминологией, большинство цитированных выше работ посвящено проблеме существования бушей мод. Однако очевидно, что для того, чтобы буши мод можно было рассматривать как реальные физические объекты, необходимо исследовать проблему их устойчивости и способы их возбуждения. Заметим, что если проблема существования бушей мод может быть решена с помощью лишь теоретико-групповых методов независимо от конкретных сил взаимодействия между частицами рассматриваемой физической системы, то проблема исследования их устойчивости уже существенным образом должна опираться на знание таких взаимодействий.

Устойчивость бушей мод в простейших октаэдрических механических системах с потенциалом Леннарда-Джонса была изучена в [13], а в цепочке FPU-a — в работе [11]. Тем не менее, несмотря на результаты, полученные в работах [10] и [11], ряд вопросов устойчивости бушей мод в цепочках Ферми-Пасты-Улама остался неизученным.

В настоящем цикле работ, посвященном цепочкам FPU и состоящим из четырех отдельных статей, представлены результаты исследования устойчивости бушей мод при «идеальных» и «неидеальных» условиях (в частности, при наличии тепловых колебаний, примесей и т.д.) и способы их возбуждения.

2. Буши колебательных мод для моноатомных цепочек

Данная работа является прямым продолжением работы [11], в силу чего мы будем использовать здесь ту же самую терминологию и те же самые обозначения.

2.1. Теоретико-групповые методы построения бушей мод

Рассмотрим произвольную гамильтонову систему с N степенями свободы, которой в ее состоянии равновесия соответствует группа дискретной (точечной или пространственной) симметрии (0. Пусть ^мерный вектор

Как уже говорилось, данному бушу мод В[(] отвечает некоторая подгруппа G исходной пространственной группы симметрии (0 (( ^ (0). Каждому элементу симметрии

g е (0, действующему в трехмерном евклидовом пространстве, можно общепринятым

образом сопоставить оператор действующий в пространстве ^мерных векторов (1):

В силу этого, любой подгруппе G ^ G0 соответствует изоморфная ей группа операторов G:

В вышеприведенных обозначениях, условие инвариантности «конфигурационного» вектора Х((), соответствующего рассматриваемому бушу В[(], относительно группы ( можно записать в форме ) = Х(() для всех g е ( или в более удобной эквивалентной форме:

Первый и самый непосредственный способ построения буша В[(] состоит в решении системы линейных алгебраических уравнений (3). В дальнейшем мы будем называть такой метод «прямым» (см. [5], а также [3, 14]). Заметим, что аналогичный метод был использован в [11] для построения базисных векторов неприводимых представлений группы симметрии (0 = Т . Для столь простой механической системы, каковой является моноатомная цепочка,

прямой метод достаточно легко дает явный вид искомого буша мод с группой симметрии ( (именно такой метод, правда в несколько иных терминах, был использован в работе Боба Ринка [12]). При построении бушей мод для достаточно сложных физических систем, например, для кристаллов, у которых в примитивной ячейке имеется большое число атомов

разных сортов, вышеуказанный метод может оказаться весьма сложным. Поэтому вместо него в работе [14] был предложен метод «расслоения орбит» исходной пространственной группы симметрии G0, которое происходит в результате понижения симметрии G0 ^ G

(подробное описание этого метода можно найти в [3]). Наконец, третий метод, в отличие от двух вышеупомянутых, имеющих чисто кристаллографический характер, основан на использовании разложения конфигурационного вектора X(t) по базисным векторам неприводимых представлений группы G0. Именно этот метод в сложных случаях является

наиболее эффективным, и он использовался нами наиболее часто (см. [1, 4-9, 11, 13].

Несмотря на то, что все три вышеупомянутых метода являются эквивалентными друг другу в геометрическом смысле, последний из них дает, вообще говоря, дополнительную физическую информацию. Действительно, представление буша в форме суммы вкладов от индивидуальных неприводимых представлений, позволяет тем самым выделить его составляющие (моды), которые обладают разными трансформационными свойствами по отношению к преобразованиям группы симметрии G0 . Но, как известно, при рассмотрении

конкретных физических явлений эти составляющие могут играть существенно различную роль. Например, одни из них могут быть активными в экспериментах с инфракрасным излучением, другие при комбинационном рассеянии света, а многие оказываются вообще неактивными в каких-либо оптических экспериментах, но проявляются при нейтронографических экспериментах и т.д. Мы вернемся к рассмотрению этого вопроса в третьей части настоящего цикла работ при обсуждении способов физического возбуждения бушей мод в цепочках FPU. Метод построения бушей мод на основе анализа неприводимых представлений исходной группы симметрии подробно описан в работе [5] для самого общего случая, а в работе [11] — для моноатомных цепочек. В связи с этим ограничимся здесь лишь несколькими краткими замечаниями, необходимыми для дальнейшего изложения.

Поскольку полный набор базисных векторов неприводимых представлений, построенных на атомных смещениях, образует базис механического (колебательного) представления, то можно сначала найти соответствующий данному бушу B[G] конфигурационный вектор X(() (например, с помощью прямого метода или метода расслоения орбит), после чего уже разложить этот вектор по базисным векторам (модам) индивидуальных НП группы симметрии G0 . В случае моноатомной цепочки мы приходим, таким образом, к формуле (14) из работы [11]:

X(() = ((Урк =Z V ((Vk . (4)

В зависимости от удобства, мы можем использовать либо разложение вектора Х(г) по комплексным модам рк, либо по действительным модам у/к (к = 0, 1, . N-1). Явный вид базисных векторов рк и у/к приведен в [11].

Заметим, что в третьем из упомянутых методов построения бушей мод делается как раз наоборот: сначала находятся отдельные составляющие буша (в случае моноатомной цепочки это просто отдельные слагаемые в формуле (4)), относящиеся к различным НП, а уже после этого по ним восстанавливается конфигурационный вектор Х(г).

В силу простоты рассматриваемой сейчас механической системы — моноатомной цепочки — в данной работе мы будем находить векторы Х(г) для бушей мод с помощью простого геометрического метода, после чего делать их разложение по базисным векторам неприводимых представлений группы трансляций Т в соответствие с формулой (4), что равносильно разложению Х(() по обычным нормальным координатам.

2.2. Построение бушей мод для нелинейной моноатомной цепочки

Мы будем рассматривать состоящие из N одинаковых атомов цепочки с периодическими граничными условиями, полагая тем самым, что в любой момент времени

В состоянии равновесия такая цепочка инвариантна относительно группы трансляционной симметрии Т. Генератором этой группы является оператор сдвига а на постоянную а одномерной решетки, образованной атомами рассматриваемой цепочки:

Здесь Е — единичный элемент, а N — порядок группы Т, который, очевидно, равен числу атомов цепочки.

Оператор а генерирует циклическую перестановку всех частиц цепочки, в силу чего его действие на ^мерный конфигурационный вектор Х(г) имеет вид

Полная группа симметрии моноатомной цепочки содержит также инверсию € по отношению к ее центру

а следовательно, и все возможные произведения целых трансляций € (к = 1, 2, . #-1)

на инверсию Эту так называемую группу диэдра Б можно записать в виде прямой суммы двух классов смежности по ее подгруппе целых трансляций Т:

Таким образом, неабелева группа Б порождается двумя генераторами и € и может быть полностью задана следующими тремя определяющими соотношениями:

Как и в работе [11], мы рассмотрим прежде всего частный случай N = 12, имея в виду, что на этом примере можно проиллюстрировать все наиболее существенные моменты построения и анализа бушей колебательных мод.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию элементов группы Б. Прежде всего заметим, что в одномерном случае действие инверсии эквивалентно отражению & в плоскости перпендикулярной к цепочке. Воспользуемся известной теоремой кристаллографии, которая утверждает, что плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция на величину А порождают новую («вставленную») плоскость симметрии2, параллельную исходной плоскости и отстоящую от нее на расстояние А/2. Тогда легко

видеть, что произведение = &к & при нечетных значениях к порождает плоскости отражения, проходящие через атомы, а при четных к — плоскости, проходящие между атомами’. На рисунке 1 показан фрагмент цепочки около ее середины. Вертикальными отрезками изображены плоскости отражения а€к&, которые и определяют положения инверсионных элементов $$ (для упрощения рисунка шляпки над операторами опущены).

Из определяющих соотношений (10) имеем = $6Тк = -к, в силу чего легко видеть, что элементы симметрии располагаются справа от центра цепочки, а элементы — слева от него.

2 Для случая трехмерных кристаллов, фигурирующие в этой теореме плоскости симметрии могут быть не только плоскостями зеркального отражения, но и плоскостями скольжения разного типа.

3 Это утверждение соответствует четному значению N. В случае нечетности N будет наоборот.

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1 62 5 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/137.pdf 33

Рис.1. Расположение элементов симметрии группы диэдра Б для моноатомной цепочки с

N = 12 (фрагмент около середины цепочки).

Рассмотрим теперь все возможные подгруппы группы симметрии диэдра G0 = Б для

случая N = 12. Каждой из этих 32 подгрупп 0>. отвечает свой буш колебательных мод ],

и все они выписаны в первом столбце Таблицы 1. Каждая из подгрупп определяется набором своих генераторов4, которые записаны в квадратных скобках, причем есть подгруппы, которые задаются одним и двумя генераторами.

Например, запись В [а4] определяет буш с циклической группой третьего порядка,

которая состоит из трех чисто трансляционных элементов: Да4,а8 (с учетом того, что

а12 = Е). Наличие такой симметрии у колебательного состояния цепочки означает, что полный набор двенадцати атомных смещений можно разбить на три идентичных «блока», каждый из которых в кристаллографии принято называть расширенной элементарной ячейкой (РЭЯ). Таким образом, в нашем примере размер РЭЯ (4а) в четыре раза превышает размер элементарной ячейки (а) для цепочки в состоянии равновесия и, следовательно, в этой РЭЯ находятся 4 атома. Поскольку никаких других симметрийных ограничений на возможный набор атомных смещений нет, то колебательное состояние для случая N = 12, которое и определяет буш с группой симметрии G = , в любой момент времени I можно записать в форме

4 Имеется в виду описание группы с помощью минимально возможного количества порождающих элементов —

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Буши колебательных мод для моноатомных цепочек с N = 12 в терминах атомных

Буш Атомные смещения Размерность буша

В[Е] * Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7, Х^, Х9, Х10, Хц, Х12 11

В[а3] * Х1, Х2, Х3 | 2

В[а3,/] * 1 Х1, 0, -Х1 | 1

В[а ,т] | 0, Х1, -х1 | 1

В[а3,а2/] Х1, -Х1, 0 1

В[а4] * Х1, Х2, Х3, Х4 3

В[а4,/] * | Х1, Х2, -Х2, -Х1 | 2

В[а4,а2/] Х1, -Х1, Х2, -Х2 2

В[а4,а/] * | 0, Х1, 0, -Х1 | 1

В[а4,а3/] Х1, 0, -Х1, 0 1

В[а6] * Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6 5

В[а6,а/] * | 0, Х1, Х2, 0, -Х2, -Х1 | 2

В[а6,а3/] | ХЬ 0, -Х1, Х2, 0, -Х2 | 2

В[а6,а5/] Х1, Х2, 0, -Х2, -Х1, 0 2

В[а6,/] * | Х1, Х2, Хз, -Хз, -Х2, -Х1 | 3

В[а6,а2/] | Х1, -Х1, Х2, Хз, -Хз, -Х2 | 3

В[а6,а4/] Х1, Х2, -Х2, -Х1, Х3, -Х3 3

В[а/] * | 0, x1, x2, x3, Х4:> Х5:> 0, -Х5, -x4, -x3, -x2, -Х1 | 5

В[а3/] | Х1, 0, -Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, 0, -Х5, -Х4, -Х3, -Х2 | 5

В[а5/] x1, x2, 0, -x2, -x1, x3, x4, Х5:> ° -Х5, -x4, -Х3 5

В[а7/] | Х1, Х2, Х3, 0, -Х3, -Х2, -Х1, Х4, Х5, 0, -Х5, -Х4 | 5

В[а9/] | Х1, Х2, Х3, Х4, 0, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1, Х5, 0, -Х5 | 5

В[а11/] Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, 0, -Х5, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1, 0 5

В[7] * | Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, -Х6, -Х5, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1 | 6

В[а2/] ХЬ -Х1, x2, x3, x4, Х5:> x6, -x6, -Х5, -x4, -x3, -Х2 6

В[а4/] | Х1, Х2, -Х2, -Х1, Х3, Х4, Х5, Х6, -Х6, -Х5, -Х4, -Х3 | 6

В^6/] | Х1, Х2, Х3, -Х3, -Х2, -Х1, Х4, Х5, Х6, -Х6, -Х5, -Х4 | 6

В[а8/] | Х1, Х2, Х3, Х4, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1, Х5, Х6, -Х6, -Х5 | 6

В[а10/] Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, -Х5, -Х4, -Х3, -Х2, -Х1, Х6, -Х6 6

Примечание: Размерность бушей мод указана с учетом исключения составляющей движения системы как целого. В частности бушу В [а] отвечает одновременное смещение всей цепочки на расстояние х1, в силу чего он исключается из числа колебательных бушей (его размерность равна нулю).

Для краткости, в Таблице 1 мы ограничиваемся записью атомных смещений только в пределах одной РЭЯ и не указываем в явной форме зависимость этих смещений от времени. Размерность найденного буша (11) равна 4, поскольку соответствующий ему динамический режим полностью характеризуется четырьмя динамическими переменными x1 ((), X2 (г), X,, (() и X 4 (().

Четыре последующие подгруппы из Таблицы 1 — , О4,а€>, и —

имеют тот же самый трансляционный генератор а4 и, следовательно, такой же размер РЭЯ -4а. Однако, наличие второго генератора, из-за чего она становится группой шестого порядка, приводит к некоторым дополнительным ограничениям на допустимые атомные смещения x1 ((), x2(), X,. () и x4(г) в пределах РЭЯ (см. формулу (11)). В результате размерность

соответствующих им бушей мод уменьшается по сравнению с размерностью 4 буша (11). Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Группа состоит из следующих шести элементов:

Е, а4, а8, а4 а8 € — Ш4.

Соответствующая ей диаграмма элементов симметрии, аналогичная той, которая изображена на Рис. 1 для полной группы диэдра, имеет вид:

Рис.2. Колебательный буш, соответствующий подгруппе

Элементы симметрии, расположенные на концах РЭЯ (Ю4 и очевидно, не дают

никаких дополнительных ограничений на набор атомных смещений внутри РЭЯ, поскольку связывают между собой смещения в соседних расширенных элементарных ячейках5. С

5 Равенство же одноименных смещений в соседних РЭЯ и без этого обеспечивается наличием трансляционного

другой стороны, наличие инверсии (€) в середине РЭЯ означает требование равенства по величине и противоположности по направлению смещений атомов, которые расположены симметрично относительно центра РЭЯ:

1(()=- x 4 ( ), x 2(() = — Xз ().

В результате набор атомных смещений, соответствующих подгруппе 6 = , имеет

Поскольку соотношения (12) сохраняются в любой момент времени, мы здесь и далее будем опускать аргумент I при записи формул типа (11) и (13), и говорить, что в Х-пространстве колебательный буш, отвечающий подгруппе имеет вид | x1, x2, — x2, x1 |. В Табл. 1 каждый буш описывается лишь набором соответствующих ему

атомных смещений в пределах одной РЭЯ. Аналогично, для буша с подгруппой

Е, а4, а8, а€, а5 Я- ¡а7, а9 € — №

мы получим диаграмму, изображенную на Рис. 3.

Рис.3. Колебательный буш, соответствующий подгруппе 6 =

В связи с наличием двух элементов симметрии Ш3 и О^, которые проходят через первый и третий атомы, ясно, что этим атомам должны соответствовать нулевые смещения: x1 — 0, x3 — 0. Кроме того, из этой же диаграммы видно, что атомы 2 и 4, расположены

симметрично относительно позиции элемента О6 (эквивалентного по своему действию

отражению в соответствующей плоскости симметрии!) и, следовательно, есть еще одно ограничение на возможные атомные смещения: X2 — -X4 .

Из вышесказанного ясно, что мы имеем в рассматриваемом случае следующий одномерный буш:

где x(t) есть его единственная динамическая переменная. В краткой записи, приведенной в Таблице 1, этот буш имеет вид:

Диаграмма для буша, соответствующего подгруппе

6=- Д а4, а8; 0€2¡€ аб€- ¡О6, а10€- ¡О2

приведена на Рис. 4.

Рис.4. Колебательный буш, соответствующий подгруппе 6 = .

В силу наличия инверсионных элементов (плоскостей отражения) между двумя первыми и двумя последними атомами в РЭЯ, смещения атомов удовлетворяют следующим соотношениям:

X (()=- x 2 ( ), x 4 (() = — xз().

В результате мы приходим к двумерному бушу вида:

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1630 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/137.pdf

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

которому соответствуют две динамические переменные Х1 (V) и Х3 (V). В Таблице 1 этому бушу отвечает запись6:

И наконец, для буша, соответствующего подгруппе

имеем диаграмму, приведенную на Рис.5.

Рис.5. Колебательный буш, соответствующий подгруппе

Наличие двух плоскостей, которые проходят через второй и четвертый атомы РЭЯ, приводит к условию неподвижности этих атомов: Х2 (V ) = 0, Х4 (V ) = 0.

Атомы же с номерами 1 и 3, расположенные симметрично относительно первой плоскости отражения (элемент симметрии гй), могут иметь только одинаковые по величине, но противоположные по направлению смещения Х1 (V) = — Х3 (V).

Таким образом, соответствующий подгруппе буш является одномерным и

а в Таблице 1 ему отвечает запись | х, 0, — х, 0 |.

Итак, мы рассмотрели вывод бушей мод для всех пяти подгрупп О группы О0 = Б, у

которых размер РЭЯ равен 4а. Заметим, что других подгрупп с той же самой РЭЯ в рассматриваемом нами случае N = 12 не может быть в силу того, что второй генератор имеет

6 Очевидно, изменение нумерации динамических переменных является несущественным.

вид ак€ с показателем к в интервале 0 < к < 4. Действительно, любая степень к >4 может быть приведена к этому интервалу добавлением или вычитанием заведомо целой трансляции О4, которая является первым генератором этих подгрупп.

Совершенно аналогичным образом, исходя из чисто симметрийных соображений, были найдены и все другие буши из Таблицы 1. Эта таблица содержит колебательные буши, отвечающие всем 32 подгруппам группы диэдра для N = 12, в частности, и те, которые являются эквивалентными друг другу в динамическом смысле (мы называем их «динамическими доменами» по аналогии с соответствующим термином из теории фазовых переходов). Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Все перечисленные в Таблице 1 подгруппы О группы диэдра Б являются различными в кристаллографическом смысле, но среди них есть взаимносопряженные, а согласно общей теории бушей мод именно таким подгруппам и отвечают динамические домены. Напомним, что две подгруппы 61 и 62 группы 60 называются сопряженными друг другу, если в группе

О0 найдется хотя бы один элемент g0, который переводит их друг в друга в результате

О2 = g0-(1 g0 ((0 е О). (17)

Мы будем записывать условие сопряженности (17) в форме О2 ~ О1.

Из рассмотренных нами выше четырех подгрупп шестого порядка вида попарно сопряженными оказываются те подгруппы, у которых показатели к, входящие во второй генератор, имеют одинаковую четность:

Проверим первое из этих соотношений. Для него в формуле (17) можно положить = О и, таким образом, нужно доказать справедливость равенства

( = Д, а4, а8, а€, а5€, а9 Я, 62 = = Д, а4,а8,а3 а7 ап€

В результате преобразования (17) с учетом определяющих соотношений = О О12 = Д (см. формулу (10)), получим

С- (&5€)& = С4 €€ = С4 а-1€ = &3€, (21)

С-1 (&€ €)& = с€ Й€ = С8 &-1€ = С7 €

Из этих соотношений с учетом того факта, что С-1 €т& = € для любого значения т, ясно, что полный набор элементов группы Ог в результате преобразования с€-1О1 & переходит в полный набор элементов группы О 2, ч.т.д.

Сравним теперь буши мод, соответствующие этой паре взаимно сопряженных подгрупп, т.е. формулы (14) и (16). Видно, что если сдвинуть на единицу нумерацию атомов и учесть периодические граничные условия, то набор атомных смещений (14) перейдет в набор атомных смещений (16). Соответственно, явный вид динамических уравнений для любой моноатомной цепочки для бушей (14) и (16) будут иметь совершенно одинаковый вид. Именно такие буши мы и называем доменами одного и того же буша.

Совершенно аналогично, динамическими доменами являются и двумерные буши (13) и (15), соответствующие взаимно сопряженным подгруппам &4, €> и . В Таблице 1 есть много разных динамических доменов, например, буши, отвечающие подгруппам , , , , и являются доменами одного и того же шестимерного буша, а буши, отвечающие подгруппам , , , , и суть домены одного и того же пятимерного буша. Разумеется, при исследовании динамических свойств бушей мод, в частности, их устойчивости, достаточно рассмотреть только один из доменов этого буша.

Согласно Таблице 1, для нелинейных моноатомных цепочек с N = 12 имеется 12 существенно различных бушей колебательных мод: они помечены в первом столбце этой таблицы значком * после символа буша. В их число входит и тривиальный 12-мерный буш, симметрия которого определяется лишь одним тождественным элементом (и которая не накладывает никаких ограничений на 12 возможных атомных смещений.

Заметим, что, в принципе, не всем подгруппам группы симметрии исходной физической системы могут соответствовать колебательные буши. В случае моноатомных цепочек таким

исключением являются подгруппа , которая требует неподвижности обоих атомов в

РЭЯ размером 2а, поскольку через них проходят плоскости отражения (инверсионные

В заключение подчеркнем еще раз, что каждый буш получается из соответствующего «чисто трансляционного» буша с группой симметрии О€к (к = 1, 2, 3, 4, 6, 12 = 0)7 наложением дополнительных ограничений на атомные смещения в пределах РЭЯ размером ка, которые возникают за счет наличия некоторых инверсионных элементов из класса

смежности Т •€ в формуле (9). Отсюда ясно, что любой буш с трансляционной симметрией Ок>, найденный для случая N = 12, автоматически является бушем и для всех других значений N для которых число к является делителем. На этой идее основан способ нахождения бушей мод малой размерности для моноатомных цепочек, состоящих из произвольного числа атомов.

В дальнейшем мы будем говорить о бушах колебательных мод из Таблицы 1 как о бушах, заданных в Х-пространстве, поскольку они определены явным образом через наборы смещений всех атомов цепочки в произвольный момент времени. С другой стороны, называя эти объекты термином «буши мод» мы имеем в виду, что их можно представить в виде суперпозиции некоторого числа нормальных мод для рассматриваемых нами моноатомных цепочек. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

В работе [11] мы использовали нормальные моды как в комплексной ((рк), так и

действительной (\ук ) форме, причем, последняя форма была полностью идентичной таковой из работы [10]:

Здесь индекс k (k = 0, 1, 2, . N-1) есть номер моды, а индекс N — номер атома. В настоящей работе используются лишь действительные нормальные моды \ук .

Фактически, формула (22) определяет лишь базисные векторы соответствующих неприводимых представлений (НП) группы диэдра, а истинные нормальные моды получаются из них умножением на временные множители sin(cokt + Sk) , где cok — частота

k-й нормальной моды, а Sk — начальная фаза. Поскольку полный набор векторов у/к (k = 0, 1, 2, . N-1) образует базис в пространстве всех возможных атомных смещений, конфигурационный вектор X(() для любого динамического режима рассматриваемой

7 Возможные значения к являются делителями числа атомов в цепочке (Ы). Таким образом, для случая простых N существует только один тривиальный буш с симметрией (см. [11]), размерность которого равна N.

нелинейной цепочки можно разложить по этому базису с зависящими от времени коэффициентами /ик (():

В связи с этим мы будем в дальнейшем понимать под термином «моды» произведения базисных векторов у/к на зависящие от времени функции /ик (V), для которых далее получим соответствующие системы динамических уравнений. Лишь в частном случае чисто гармонических колебаний функция /ик (V) может оказаться равной фигурирующему в

определении нормальной моды «временному» множителю ът(ак1 + 5к ).

Более того, для краткости мы часто называем модой не только произведение /ик (V ?к,

но и сами временные множители /ик (V), которые становятся новыми динамическими

переменными после преобразования (23).

В соответствие с вышесказанным, буш можно определить не набором соответствующих ему атомных смещений хг (V), а набором функций /ик ((). В последнем

случае мы будем говорить о буше, определенном в модальном пространстве.

В качестве примера рассмотрим модальное представление для буша, который в терминах атомных смещений имеет вид (13).

Поскольку для него размер РЭЯ равен 4а, очевидно, что в разложении соответствующих ему атомных смещений по полному набору из 12 базисных векторов (напомним, что мы рассматриваем случай N = 12) будут участвовать только те из них, которым отвечает РЭЯ того же самого размера. Таким образом, нам заведомо достаточно учитывать только базисные векторы с трансляционной симметрией С€, и С4, поскольку для всех них можно выбрать общую РЭЯ размером 4а. Иными словами, для реализации вышеуказанной цели можно рассмотреть лишь «приведенную» моноатомную цепочку из четырех атомов. Она порождает три идентичных блока смещений (РЭЯ), из которых построен набор атомных смещений для буша В[&4,€] в полной цепочке из 12 атомов. Зная явный вид базисных векторов (22), нетрудно получить следующий результат:

Динамический домен этого буша В[&4, € €] имеет следующее модальное представление:

в[а4, €] = ((^ 2 + ~ (( Ут^ 4.

Таким образом, в разложении этого двумерного буша из N базисных векторов входят только два вектора

ТN2 (-1,1, -1,1, -1,1, -1,1, -1,1, -1,1 )

ТN4 (-1, -1,1,1, -1, -1,1,1, -1, -1,1,1 )

Очевидно, что запись буша В[О4,€] в форме (24), (25) является справедливой не только для N = 12, но и для любой другой моноатомной цепочки, у которой количество атомов N является числом кратным четырем.

Как уже говорилось, все вторичные моды буша В [С] имеют симметрию не ниже симметрии С корневой моды. В этом смысле можно утверждать, что корневая мода имеет минимальную симметрию из всех мод рассматриваемого буша. Выбор корневой моды буша может оказаться неоднозначным в том случае, если среди его мод есть несколько разных мод, имеющих одну и ту же минимальную симметрию. Более того, существуют случаи, когда среди мод буша В [С] нет ни одной моды, симметрия которой характеризуется группой С. Для возбуждения такого буша необходимо в начальный момент времени возбудить уже не одну, а две или более мод, таких, что пересечение групп их собственной симметрии равно группе С рассматриваемого буша.

В случае буша В[О4, £] корневой является мода у(), поскольку трансляционная

симметрия соответствующего ей базисного вектора равна О4, а моде ) отвечает базисный

вектор с более высокой трансляционной симметрией О2, что непосредственно видно из формул (25).

В Таблице 2 для случая N = 12 приведен явный вид всех колебательных бушей в модальном пространстве. Фактически, Таблицы 1 и 2 дают геометрическое описание бушей мод. Для того, чтобы составить о них представление как о некоторых динамических

объектах, необходимо записать уравнения движения для соответствующих динамических переменных (в обычном или в модальном пространстве). Наиболее просто это сделать с помощью уравнений Лагранжа второго рода (см. [13]).

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Буши колебательных мод для моноатомных цепочек с N = 12 в модальном

Буш Разложение буша по базисным векторам (нормальным координатам)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *