Докажите что корень из 5 иррациональное число
Перейти к содержимому

Докажите что корень из 5 иррациональное число

  • автор:

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Доказательство иррациональности суммы корней

Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 09:54

1)Можно доказать, что сумма двух корней (квадратных) — все иррациональное число. (Ситуация когда от корня можно избавиться не считается).
От противного. Предположим, что это иррациональное число.
$\sqrt<x>+\sqrt=r$» /><br /><img decoding=
$\sqrt=r_2$

2)Аналогично для трех корней:
$\sqrt<x>+ \sqrt + \sqrt = r$» /><br /> <img decoding=

Но если корней больше трех, то возведение в квадрат не избавляет от них. Можно это как-то доказать не прибегая к высшей математики? Вообще верно, ли это утверждение?

Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 10:48

Заслуженный участник

Только вчера разбирали подобное. В случае нескольких корней из взаимнопростых чисел возводим выражение в квадрат несколько раз. При этом с помощью линейных комбинаций избавляемся поочерёдно по одному корню, пока не останется ровно один. И всё. Слева рациональное число, справа корень из неквадрата.

Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 10:52

Заслуженный участник

gris в сообщении #456412 писал(а):

При этом с помощью линейных комбинаций избавляемся поочерёдно по одному корню, пока не останется ровно один. И всё.

А вдруг при избавлении всегда будет оставаться больше трёх корней или ни одного?
Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 10:59

Заслуженный участник

Согласен. Я привёл только идею, метод уменьшения числа корней. А вот всегда ли он сработает и можно ли из множества линейных комбинаций подобрать такие, у которых ранг матрицы. ну и так далее.
Ну так далеко я не могу задумываться

Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 11:27

Заслуженный участник

Andrey173 в сообщении #456403 писал(а):

Но если корней больше трех, то возведение в квадрат не избавляет от них. Можно это как-то доказать не прибегая к высшей математики? Вообще верно, ли это утверждение?

По поводу элементарного доказательства см. статью в «Кванте», опубликованную ещё в начале 70-х годов. Если немного знать теорию конечных алгебраических расширений, то всё упрощается, хотя рассуждение по индукции остаётся. Для квадратных радикалов можно привлечь и теорию Галуа, но это уже роскошь.

Re: Доказательство иррациональности суммы корней
10.06.2011, 13:42

Заслуженный участник

И в самом деле, как «по-школьному» доказать иррациональность числа $x=\sqrt<2>+\sqrt+\sqrt+\sqrt$» />? Вручную разворачивать произведение 16-и скобок и затем доказывать отсутствие рациональных корней у получившегося довольно жуткого многочлена 16-й степени было бы безумием. Попробуем всё-таки повозводить в квадрат. Положим <img decoding=, $a_2=3$, $a_3=5$, $a_4=7$и пусть
$ \begin f_0=\sqrt+\sqrt+\sqrt,\\ f_1=\sqrt+\sqrt+\sqrt,\\ f_2=a_2\sqrt+a_3\sqrt+a_1\sqrt,\\ f_3=a_1a_2a_3f_1. \end $
Заметим, что
$ \begin f_0^2=a_1+a_2+a_3+2f_1=10+2f_1,\\ f_1^2=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1+2f_2=31+2f_2,\\ f_2^2=a_2^2a_3a_1+a_3^2a_1a_2+a_1^2a_2a_3+2f_3=300+2f_3. \end $
Предположим теперь, что $x=f_0+\sqrt\in \mathbb$. Имеем
$ f_0=g_0(x)+h_0(x)\sqrt, $
где $g_0(x)=-x$, $h_0(x)=1$. Возводя в квадрат и упрощая, получим
$ f_1=g_1(x)+h_1(x)\sqrt, $
где $g_1(x)=(x^2-3)/2$, $h_1(x)=-x$. Аналогичным образом приходим к равенствам
$ f_2=g_2(x)+h_2(x)\sqrt, \quad f_3=g_3(x)+h_3(x)\sqrt, $
где $g_2(x)=(x^4+22x^2-115)/8$, $h_2(x)=(-x^3+3x)/2$и $h_3(x)=g_2(x)h_2(x)$. Поскольку $f_3=30f_1$, то, в частности, должно быть
$ h_3(x)=30h_1(x). $
После сокращения на $x$получается довольно скромное уравнение $x^6+19x^4-181x^2-135=0$, которое легко и вручную исследуется на предмет наличия рациональных корней.

Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]
Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Докажите что корень из 5 иррациональное число

Докажите, что число + + + + + + иррационально.

Подсказка

Для решения этой задачи удобнее доказать более общее утверждение: если b 1 , . b n — ненулевые целые числа, a 1 , . a n — натуральные числа, свободные от квадратов, то

b 1 +. + b n 0. (13.5)

Выбирая здесь a 1 = 1, получаем иррациональность суммы радикалов +. + . Для доказательства соотношения 13.5 проведите индукцию по числу простых p 1 , . p m , входящих в разложения чисел a 1 , . a n на множители.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 5
Название Числа, дроби, системы счисления
Тема Системы счисления
параграф
Номер 1
Название Рациональные и иррациональные числа
Тема Дроби
задача
Номер 05.025

Проект осуществляется при поддержке и .

Иррациональные числа

Иррациональные числа можно определить как действительные числа, которые не являются рациональными. Зачем же вводятся иррациональные числа, если все бухгалтерские расчеты, да и не только они: все вычисления на калькуляторах, и т. д. делаются с применением только конечных десятичных дробей?

Дело в том, что взяв, например , мы в одной задаче получим требуемую точность, а в другой нет. Кстати доказательство иррациональности того или иного числа не всегда просто. Древних греков (математиков) очень удручал тот факт, что длина диагонали квадрата со стороной равной единице есть иррациональное число. Покажем это.

Пример 1 Доказать, что есть число иррациональное.

Предположим противное, то есть — несократимая дробь. Из этого равенства следует, что . Это равенство противоречиво, так как множитель в правой части равенства будет в нечетной степени, а в левой части равенства – в четной.

Подобный прием используется для решения более сложных по виду задач.

Пример 2 Доказать, что есть число иррациональное.

Аналогично примеру 1 можно было бы доказать, что иррациональное число. Но сумма двух иррациональных чисел не обязательно иррациональна, как следует из примера пример.png. Поэтому будем действовать по алгоритму с суммой чисел.

Итак, предположим противное: . Возведем равенство в квадрат и преобразуем:

квадрат.png

То есть — рациональное число. Из этого равенства, возведением в квадрат опять получаем противоречивое равенство: , из которого следует, что простые множители и входят в левую часть в нечетной степени, а в правую – в четной.

Пример 3 Показать, что число — основание натуральных логарифмов является иррациональным.

Чтобы это показать, воспользуемся представлением числа через ряд

ряд.png

Из этого представления следует формула:

формула.png, где .

Из этого равенства выведем, что число — иррационально. Предположим противное, пусть . Запишем равенство и умножим обе части этого равенства на . Получим:

умножение.png

Это равенство противоречиво, так как справа стоит целое число, а слева сумма целого числа и не целого. Следовательно, предположение о рациональности числа — не верно.

А вот доказательство иррациональности числа довольно сложное и использует достаточно тонкие рассуждения, а также аппарат интегралов зависящих от параметра.

Что касается десятичных представлений иррациональных чисел. То тут следует запомнить следующее. Действительные числа суть конечные или бесконечные десятичные дроби. Если у десятичной дроби после запятой ничего нет, то это целое число. Если десятичная дробь конечная или бесконечная периодическая: , то это рациональное число. И, наконец, бесконечная непериодическая десятичная дробь определяет иррациональное число.

Пример 4 Числа или являются иррациональными.

Пример 5 Доказать равенство .

Здесь, не мудрствуя, возведем обе части равенства в третью степень:

Получили тождество. Следовательно, и исходное равенство было верным.

представление.png

Пример 6 Найти значение числового выражения: .

Эта задача сложнее предыдущей задачи, потому что не очень понятно как решать. Разберемся с первым корнем. Попробуем представить подкоренное выражение в виде квадрата

.

Получили систему уравнений относительно и : . Отсюда и . Искомое представление . Точно так же . А теперь извлекаем квадратные корни помня, что :

ответ.png

Пример 7 Может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным числом?

Эту задачу вообще непонятно как делать. Однако она имеет очень оригинальное и главное короткое решение.

Рассмотрим число . Если это число рациональное, то ответ на вопрос задачи: может. Если это число иррациональное, то возведем его в иррациональную степень :

и в этом случае ответ: может.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Решение.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Как доказать, что корень из 5 это иррациональное число?

Допустим, что оно рациональное, то есть существует рациональная дробь х/у такая, что (х/у) ^2 = 5. Будем считать дробь несократимой (если бы она была сократимой, мы могли бы сначала сократить общие множители, а потом продолжить рассуждение) . Из равенства (х/у) ^2 = 5 следует, что
х^2 = 5 * y^2. Отсюда вытекает, что х^2 делится на 5. Но тогда и х должно делиться на 5, то есть х можно записать в виде x = 5 * z, где z — целое число. Подставив это в равенство х^2 = 5 * y^2, получаем
(5 * z)^2 = 5 * y^2,
то есть 5 * z^2 = y^2. Отсюда следует, что y^2 делится на 5, а следовательно, и у делится на 5. Но ведь мы предполагали, что х/у — несократимая дробь, а получили, что и х, и у делятся на 5. Это противоречие показывает, что исходное предположение было неверным. Следовательно, не существует рациональной дроби, квадрат которой равен 5.

Дмитрий ИЗнаток (261) 4 года назад

«Но тогда и х должно делиться на 5, то есть х можно записать в виде x = 5 * z, где z — целое число» — почему? Не могу допетрить до доказательства: в чем эти рассуждения поменяются, если по тому же принципу попытаться доказать иррациональность рациональных чисел, например, корень из 49 или корень из 9/16?
На примере: (3/4)^2 = 9/16 -> 3^2 = 4^2*9/16.. дальше у меня облом;
(7/1)^2 = 49 -> 7^2 = 49*1^2. То же, 7^2 нацело делится на 49, но 7 — нет. Нельзя записать в виде «7 = 49*z, где z — целое число»
Но везде вижу подобное доказательство. Сижу и туплю. Что упускаю?

Excelsior Просветленный (43612) Разница между 49 и 7 заключается в том, что 7 — простое число, а 49 — нет. Вот это вы и упускаете. Подумайте. Поняли?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *