Что такое ядро матрицы
Перейти к содержимому

Что такое ядро матрицы

  • автор:

Ядро линейного отображения

В различных разделах математики ядром отображения \ f : A \rightarrow Bназывается некоторое множество kerf , в некотором смысле характеризующее отличие f от инъективного отображения. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения f множество kerf всегда должно быть тривиально. Если множества A и B обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то kerf также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ \mathrm<Im>\,f» width=»» height=»» /> и фактормножество <i>A</i> / ker<i>f</i> .</p>
<h3>Ядро линейного отображения</h3>
<p><img decoding=

Ядром линейного отображения называется прообраз нулевого элемента пространства U :

\ker f = \< x\in A: f(x) = 0 \></p>
<p>» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 1joomlaumnik -->
<script src=

kerf является подпространством в V . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства V . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ f изоморфен фактору пространства V по ядру f :

\mathrm<Im></p>
<p>\,f \simeq V / \ker f.» width=»» height=»» /></p>
<p>Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность V конечна:</p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 2joomlaumnik -->
<script src=

\dim\ker f + \dim\mathrm<Im></p>
<p>\,f = \dim V,» width=»» height=»» /></p>
<p>а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:</p>
<p><img decoding=

(u) = v_0 + \ker f, $ f(v_0) = u, $ v_0\in V, ~ u\in U.» width=»» height=»» />

Теория матриц

Любую прямоугольную матрицу G размера m \times n, содержащий элементы поля K (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор g: \mathbb^n \rightarrow \mathbb^m умножения векторов слева на матрицу:

g(v) = G v,$ v \in \mathbb<K></p><div class='code-block code-block-4' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 4joomlaumnik -->
<script src=

^n» width=»» height=»» />

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с n неизвестными

\left\< \begin</p>
<p> a_ x_1 + \ldots + a_ x_n = b_1; \\ \ldots ~~ \ldots ~~ \ldots ~~ \\ a_ x_1 + \ldots + a_ x_n = b_m. \end\right.» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-5' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 5joomlaumnik -->
<script src=

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора \mathbf<b>= (b_1,\;\ldots,\;b_m)» width=»» height=»» />, а задача о решении однородной системы уравнений (<img decoding=

Пусть f будет линейным отображением и:

f(\vec<x></p><div class='code-block code-block-6' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 6joomlaumnik -->
<script src=

)= \begin1&amp;0&amp;0\\0&amp;1&amp;0\\0&amp;0&amp;0\end\begin x_1\\x_2\\ x_3\end = \begin x_1\\x_2\\ 0\end.» width=»» height=»» />

Тогда его ядро является векторным подпространством:

\ker f = \left\< \begin</p>
<p>0\\0\\\lambda \end \in \mathbb R^3 \mid \lambda \in \mathbb R \right\>.» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-7' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 7joomlaumnik -->
<script src=

Гомоморфизм групп

Если f — гомоморфизм между группами, то kerf образует нормальную подгруппу A .

Гомоморфизм колец

Если f — гомоморфизм между кольцами, то kerf образует идеал кольца A .

Литература

Ядро и образ линейного оператора

Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейных пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math] соответственно.

[math]\dim Ker\mathcal + \dim Im\mathcal = n = \dim X[/math]

Дополним [math]\_^[/math] до базиса [math]X[/math] , получим базис [math]\_^[/math] , где [math]n = \dim X[/math]

Рассмотрим [math]x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ . \ + \xi^n e_n[/math]

Докажем от противного.

Пусть [math]z = \alpha_e_ +\ . \ + \alpha_e_n[/math]

Ядро и образ линейного оператора

Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейных пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math] соответственно.

[math]\dim Ker\mathcal + \dim Im\mathcal = n = \dim X[/math]

Дополним [math]\_^[/math] до базиса [math]X[/math] , получим базис [math]\_^[/math] , где [math]n = \dim X[/math]

Рассмотрим [math]x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ . \ + \xi^n e_n[/math]

Докажем от противного.

Пусть [math]z = \alpha_e_ +\ . \ + \alpha_e_n[/math]

§3. Ядро и образ линейного оператора

С каждым оператором  связаны два важных множества векторов из V. Первое, называемое ядром оператора (обозначается Ker ), состоит из множества всех векторов, отображаемых в нулевой вектор 0:

Второе, называемое образом оператора (обозначается Im ), состоит из множества всех образов векторов пространства V:

Для любого линейного оператора  ядро Ker   , т.к. обязательно содержит нулевой вектор: 0  Ker . Действительно, возьмем произволь­ный вектор a V и запишем:

0 = 0a; (0) = (0a) = 0(a) = 0. Из равенства (0) = 0 следует, что и образ линейного оператора  (Im ) также непуст: 0  Im .

Проверим, что ядро и образ являются линейными подпространст­вами V, т.е. подмножествами, замкнутыми относительно линейных опера­ций в пространстве V.

Пусть x, y  Ker , т.е (x) = (y) = 0; x + y – линейная комбина­ция рассматриваемых векторов.

(x + y) = (x) + (y) = 0, т.е. x + y  Ker .

Если же x, y  Im , то x = (a), y = (b), т.е. x и y – образы каких-то век­торов a и b. Рассмотрим вектор a + b – линейную комбинацию векторов a и b – и найдем его образ:

(a + b) = (a) + (b) = x + y.

Вектор x + y является образом вектора a + b и, следовательно, при­надлежит образу оператора Im .

1.  – нулевой оператор в R 3 .

Ker  = R 3 , Im  =0>.

Ker  = 0>, Im  = R 3 .

3. Поворот на некоторый угол в R 2 .

Ker  = 0>, Im  = R 2 .

4.  – проекция в R 3 на плоскость OXY.

Ker  = k> – ось OZ, Im  = i, j> – линейная оболочка векторов i и j, т.е. плоскость OXY.

5.  – дифференцирование в P3 [x].

Ker  = = , Im  = x, x 2 > = P2 [x], т.е. множество мно­гочленов степени не выше 2.

Найдем Ker  и Im  для произвольного оператора , который в фик­сированном базисе есть оператор умножения на матрицу А.

Ker  – это такие векторы x = , для которых

Следовательно, ядро оператора совпадает с V(Â) – множеством всех решений однородной системы

Для определения размерности ядра мы можем воспользоваться формулой: dim Ker  = dim V(Â) = n r, где n – размерность пространства V, а r – ранг матрицы А.

Если V(Â) = 0>, то Ker  = 0> и любой ненулевой вектор x перехо­дит под действием оператора  в ненулевой вектор. В этом случае, если x1x2, то (x1)  (x2). Действительно, рассмотрим вектор x = x1x20. Из сказанного выше следует, что (x)  0, но (x) = (x1x2) = (x1) – – (x2), т.е. (x1)  (x2).

Такие отображения , для которых образы различных векторов раз­личны, называются инъективными.

Если ядро оператора Ker  состоит не только из 0, то отображение  не является инъективным. Действительно, пусть x0 и пусть x  Ker , тогда (x) = (0) = 0. Образ x и образ 0 совпадают.

Рассмотрим произвольный вектор xV и разложим его по базису e1, …, en: x = . Применим к вектору x линейный оператор :

(x) = ( ) = (ei).

Так как любой вектор из Im  имеет вид (x), то любой вектор y   Im  является линейной комбинацией векторов (e1), …, (en).

Рассмотрим L = <(e1), …, (en)> – линейную оболочку образов ба­зисных векторов, т.е. множество всевозможных линейных комбинаций вида 1(e1) + … + n(en). Очевидно, что Im   L. Однако верно и обрат­ное включение, т.е. L  Im .

Для доказательства этого рассмотрим произвольную линейную ком­бинацию векторов (e1), …, (en): 1(e1) + … + n(en) = y и покажем, что существует вектор xV, для которого  (x) = y.

Это вектор x = . Действительно, в силу линейности оператора 

(x) = ( ) = (ei) = y.

Следовательно, L = Im  и dim Im  = dim <(e1), …, (en)>. Но размер­ность линейной оболочки векторов совпадает с максимальным числом ли­нейно независимых векторов в системе векторов (e1), …, (en). Это число совпадает с rang A = r, т.к. столбцы матрицы А – это векторы (e1), …, (en).

Итак: если r = n = dimV, то Im  = V и отображение  сюръективно. С другой стороны, в этом случае Ker  =0> и, как мы отметили выше, ото­бражение  инъективно. Таким образом,  является биективным, т.е. вза­имно однозначным отображением пространства V на себя.

Биективное линейное отображение называется изоморфизмом.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *