Что такое непериодическая функция
Перейти к содержимому

Что такое непериодическая функция

  • автор:

Непериодическая функция.

Для непериодической функции спектр становится непрерывным.

При устремлении периода в бесконечность, ряд Фурье переходит в интеграл Фурье, а коэффициенты Фурье переходят в преобразование Фурье по следующей формуле:

(21)

Интеграл Фурье следует понимать, как разложение Фурье x(t) по непрерывным частотам.

Теперь, наконец, покажем, что имеется важнейшая связь между непрерывным спектром (преобразованием Фурье) и преобразованием Лапласа, лежащая в основе известной подстановки p=j. В самом деле, так как x(t)0 при t < 0 (функия является оригиналом для преобразования Лапласа), то:

Вывод: Подстановка p=j в изображение по Лапласу произвольной функции (оригинала) превращает преобразование Лапласа в спектр или, что есть то же самое, в преобразование Фурье. Поэтому от передаточной функции переходим к спектрам входного и выходного сигналов.

Y(p)=W(p)U(p) при подстановке p=j:

W(j) явно описывает изменение спектра при прохождении через блок с передаточной функцией W(p). Формула (23) справедлива для любого входного сигнала. Но, так как произвольный сигнал модет быть разложен по гармоническим составляющим (в ряд или интеграл Фурье, в зависимости от периодичности), особенно важно знать, как преобразуется простейший гармонический сигнал при прохождении через блок с ПФ W(p). Известно, что при поступлении на вход линейного блока с любой передаточной функцией гармонического сигнала после окончания переходного процесса на выходе устанавливается гармонический сигнал той же частоты. Конечно, требуется, чтобы переходный процесс заканчивался, то есть, чтобы решение однородного уравнения в формуле (24) стремилось к 0.

(24)

Из (24) следует, что при подаче на вход блока простого гармонического сигнала u(t)=sin t, выходной сигнал в установившемся режиме будет гармоническим с изменившимися амплитудой и фазой. Воспользуемся комплексным методом для определения амплитуды и фазы y(t). u(t)=Im(e j  t ); y(t)= L -1 W(p)L; Но оператор Лапласа и его обратный переставимы с операцией взятия Im-мнимой части. Поэтому: y(t)=Im(L -1 W(p)L); Соответственно: Y(p)=Im(W(p)L);

Сделаем подстановку p=j: Y(j)=A()L=Im(W(j)L); A()L=A()e j  (  ) L< e j  t >; Теперь можно вычислить АФЧХ:

W(j) = Y(j)/U(j)= A()e j  (  ) e j  t / e j  t = A()e j  (  ) — АФЧХ;

W(j) = |W(j)| e i arg W(j  ) =|W(j)| e i  (  ) ; (25)

Где: |W(j)| — АЧХ — Амплитудно–частотная характеристика;

()=arg W(j) — ФЧХ — Фазочастотная характеристика.

ImW(j)

Частотные характеристики показывают

амплитуду и фазу установившегося

 ReW(j) гармонического сигнала на выходе при

поступлении на вход гармонического

() =0 сигнала единичной амплитуды.

A() АФЧХ удобно изображать в виде

годографа (греч. hodos — путь + «граф»)

 * на комплексной плоскости с координатами ReW() и ImW().

Параметром на кривой годографа является частота, изменяющаяся в интервале от 0 до . Для произвольной частоты  * радиус вектор в точке W( * ) показывает амплитуду выходного сигнала, а угол ( * ) — сдвиг фазы между выходным и входным сигналом. Иногда ещё W(j) называют комплексным коэффициентом передачи, подразумевая, что АФЧХ является обобщением обычного коэффициента усиления К на случай его зависимости от частоты и имеющийся фазовый сдвиг, также зависящий от частоты.

В инженерной практике иногда используются (однако, гораздо реже) графики отдельно АЧХ и ФЧХ (25). В этом случае проще проследить конкретную зависимость от частоты, так как частота является координатой этих графиков. Но чаще всего используют логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), то есть графики ЛАЧХ и ФЧХ в логарифмических координатах. Удобство их применения станет понятным далее.

ЛАЧХ: L() (дб) = 20lg|W(j)|

ФЧХ:  () = arg W(j) (26)

Представление непериодической функции рядом Фурье.

1) Пусть у = f (x) непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, т. к. сумма ряда Фурье есть функция периодическая и следовательно не может быть равна f(x) для любого х.

Однако непериодическую функцию f (x) можно представить в виде ряда Фурье на любом конечном отрезке [a; b], на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для этого можно поместить начало координат в середину [a; b] и построить функцию f1 (x) периода Т = 2, такую, что f1 (x) = f (x) при х∈ [-ℓ; ]. Вне промежутка [-ℓ; ] сумма ряда и f (x) являются совершенно различными функциями.

2) Пусть f (x) – непериодическая функция. Требуется разложить ее в ряд Фурье на [0; ] (Это частный случай п. 1: начало координат перенесено в точку х = а отрезка [a; b]; область определения f (x) будет иметь вид [0; ], где =ba|).

Такую функцию можно произвольным образом доопределить на [ ; 0], а потом осуществить ее периодическое продолжение с Т = 2. Разложив в ряд Фурье на [— ℓ; ] полученную таким образом функцию f1 (x), получим искомый ряд для f (x) при х ∈ [0; ].

В частности, f (x) можно доопределить на [ ; 0] четным образом. В этом случае f (x) разлагается в ряд по косинусам.

Е сли же f (x) продолжить на [ ; 0] нечетным образом, то она разложится в ряд по синусам.

Ряд косинусов и ряд синусов для функции f (x) заданной на [0; ] имеет одну и ту же сумму. Если х0 – точка разрыва функции f (x), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же числу .

Замечание. Все, что было сказано о разложении в ряд Фурье функции f(x) на [0; ] переносится практически без изменения на случай, когда f (x) задана на [0; π].

Примеры решения практических задач

Пример 14.1. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. Заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле и

может быть разложена в ряд Фурье. На интервале функция – нечетная. Следоватнльно, ряд Фурье этой функции содержит только синусы (при косинусах все коэффициенты , n = 0, 1, 2, 3, …).

Коэффициенты bn определим по формуле

в которую вместо надо подставить x.

Доказательства непериодичности функций

Математика, решение онлайн.

Доказательства непериодичности функций

В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ является периодической, достаточно просто отметить, что произведение $T=4\times7\times 2\pi$ является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа $2\pi$, которые «съест» сам синус.

Но доказательство непериодичности той или иной функции непосредственно по определению периодической функции может оказаться совсем не простым. Так, для доказательства непериодичности рассмотренной выше функции $y=\sin x^2$ можно выписать равенство $sin(x+T)^2=\sin x^2$, но не решать по привычке это тригонометрическое уравнение, а догадаться подставить в него х=0, после чего дальнейшее получится почти автоматически: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, где k — некоторое целое число, большее 0, т.е. $T=\sqrt $, а если теперь догадаться подставить в него $x=\sqrt <\pi>$, то получится, что $\sin(\sqrt<\pi>+\sqrt)=0$, откуда $\sqrt<\pi>+\sqrt=n\pi$, $1+\sqrt=n\sqrt<\pi>$, $1+k+2\sqrt=n^2\pi$, $2\sqrt=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4<\pi>^2+2mn^2x+m^2$, и таким образом, число р является корнем уравнения $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, т.е. является алгебраическим, что неверно: $\pi$ является, как мы знаем, трансцендентным, т.е. не является корнем никакого алгебраич­ской уравнения с целыми коэффициентами. Впрочем, в будущем мы получим гораздо более простое доказательство этого утверждения — но уже с помощью средств математического анализа.

При доказательстве непериодичности функций часто помогает элементарный логический трюк: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она, естественно, не является периодической. Так, периодическая функция всякое свое значение принимает бесконечно много раз, и поэтому, например, функция $y=\frac$ не является периодической, так как значение 7 она принимает только в двух точках. Часто для доказательства непериодичности удобно использовать особенности ее области определения, а для нахождения нужного свойства периодических функций иногда приходится проявлять определенную фантазию.

Заметим еще, что очень часто на вопрос, что же такое непериодическая функция, приходится слышать ответ в стиле, о котором мы говорили в связи с четными и нечетными функциями, — это когда $f(x+T)\neq f(x)$, что, конечно же, недопустимо.

А правильный ответ зависит от конкретного определения периодической функции, и, исходя из данного выше определения, можно, конечно, сказать, что функция является непериодической, если она не имеет ни одного периода, но это будет «плохое» определение, которое не дает направления доказательства непериодичности. А если его расшифровать далее, описав, что значит предложение «функция f не имеет ни одного периода», или, что то же самое, «никакое число $T \neq 0$ не является периодом функции f», то получим, что функция f не является периодической в том и только в том случае, когда для всякого $T \neq 0$ существует число $x\in D(f)$ такое, что либо хотя бы одно из чисел $x+T$ и $x-T$ не принадлежит D(f), либо $f(x+T)\neq f(x)$.

Можно сказать и иначе: «Существует число $x\in D(f)$ такое, что равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется» — это равенство может не выполняться по двум причинам: или оно не имеет смысла, т.е. одна из его частей не оп­ределена, или — в противном случае, быть неверным. Для интереса добавим, что языковой эффект, о котором мы говорили выше, здесь проявляется тоже: для равенства «не быть верным» и «быть неверным» — не одно и то же — равенство еще может не иметь смысла.

Детальное выяснение причин и последствий этого языкового эффекта в действительности является предметом не математики, а теории языка, лингвистики, точнее, ее особого раздела: семантики — науки о смысле, где, впрочем, эти вопросы являются весьма сложными и не имеют однозначного решения. А математика, в том числе и школьная, вынуждена мириться с этими трудностями и преодолевать языковые «неурядицы» — пока и поскольку она использует, наряду с символическим, и естественный язык.

Материалы по теме:

  • Периодические функции
  • Симметрии графиков функций
  • Функции четные и нечетные
  • Нигде не определенная функция

Свойства функций. График функции

Обозначим буквой X некоторое множество чисел, входящих в область определения D ( f ) функции y = f (x) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцию y = f (x) называют ограниченной сверху на множестве X , если существует такое число a , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию y = f (x) называют ограниченной снизу на множестве X , если существует такое число b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функцию y = f (x) называют ограниченной на множестве X , если существуют такие числа a и b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функцию y = f (x) называют неограниченной сверху на множестве X , если для любого числа a существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функцию y = f (x) называют неограниченной снизу на множестве X , если для любого числа b существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Функцию y = f (x) называют неограниченной на множестве X , если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

ПРИМЕР 1. Функция y = x 2 (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

ПРИМЕР 2. Функция y = – x 2 (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

ПРИМЕР 3. Функция y = x (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

ПРИМЕР 4. Функция y = arctg x (рис. 4) ограничена на множестве

свойства функции ограниченная функция неограниченная функция ограниченная снизу функция ограниченная сверху функция примеры

Монотонные и строго монотонные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Функцию y = f (x) называют возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Функцию y = f (x) называют убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Функцию y = f (x) называют строго возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функцию y = f (x) называют строго убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x1 < x2 , выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными, строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

ПРИМЕР 5. Функция y = x 2 (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве

ПРИМЕР 6. Функция y = – x 2 (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве

ПРИМЕР 7. Функция y = x (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве

ПРИМЕР 8. Функция y = arctg x (рис. 4) является строго возрастающей на множестве

Четные и нечетные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют четной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют нечетной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

ПРИМЕР 9. Функции y = x 2 и y = – x 2 являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции y = x и y = arctg x являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

ПРИМЕР 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Любую функцию y = f (x) , определенную на симметричном относительно точки x = 0 множестве X , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две функции:

свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус примерысвойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус примеры

сумма которых равна f (x) , и заметим, что функция g1 (x) является четной функцией, а функция g2 (x) является нечетной функцией. Действительно,

что и завершает доказательство утверждения.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Раскладывая функцию y = e x в сумму четной и нечетной функций, получаем:

свойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус примерысвойства функции четная функция нечетная функция разложение функции в сумму четной и нечетной функций гиперболический синус гиперболический косинус примеры

Функцию g1 (x) называют гиперболическим косинусом и обозначают ch x :

Функцию g2 (x) называют гиперболическим синусом и обозначают sh x :

Таким образом, справедливо равенство

Периодические и непериодические функции. Период функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Число свойства функции периодическая функция непериодическая функция период примерыназывают периодом функции y = f (x) , если для любого числа свойства функции периодическая функция непериодическая функция период примерычисла x + T и x – T также принадлежат области определения D ( f ) и справедливы равенства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если число T является периодом некоторой функции, то и число kT , где k – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

ПРИМЕР 11. Функции y = sin x и y = cos x являются периодическими функциями с периодом 2π , функции y = tg x и y = ctg x являются периодическими функциями с периодом π .

ПРИМЕР 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат Oxy .

график функции примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Графиком функции y = f (x) называют множество всех точек, координаты которых имеют вид (x; f (x)) , где .

ЗАМЕЧАНИЕ 6 . График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом T , достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс Ox длины T , а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния nT , где n – любое натуральное число.

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными со свойствами функций и их пределами, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *