Что такое полное метрическое пространство
Перейти к содержимому

Что такое полное метрическое пространство

  • автор:

Полное пространство

Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство X=(X,\rho)можно вложить в полное пространство Yтаким образом, что метрика Yпродолжает метрику X, а подпространство Xвсюду плотно в Y. Такое пространство Yназывается пополнением Xи обычно обозначается \bar X.

Построение

Для метрического пространства X=(X,\rho), на множестве фундаментальных последовательностей в Xможно ввести отношение эквивалентности

(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_<n></p>
<p>, y_n)=0.» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 2joomlaumnik -->
<script src=

\bar X

Множество классов эквивалентности с метрикой, определённой

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_<n></p>
<p>, y_n),» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-4' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 4joomlaumnik -->
<script src=

является метрическим пространством. Само пространство (X,\rho)изометрически вкладывается в него следующим образом: точке x\in Xсоответствует класс постоянной последовательности x_n=x. Получившееся пространство (\bar X,\bar \rho)и будет пополнением X.

Свойства

M

  • Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
  • Пополнение метрического пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
  • Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
  • Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
  • Критерий компактности метрического пространства: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
  • Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.

Примеры

Полные пространства

  • » width=»» height=»» /> — пример полного числового метрического пространства, в смысле стандартной метрики, введённой на множестве вещественных (действительных чисел). Критерий полноты метрического пространства в случае » width=»» height=»» /> носит особое название .
  • Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
  • Любое банахово пространство, в частности гильбертово пространство, полно по определению.
  1. В частности, полным является банахово пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой.

Неполные пространства

  • Рациональные числа \mathbb<Q>» width=»» height=»» /> со стандартным расстоянием <img decoding=являются неполным метрического пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел \mathbb<R>» width=»» height=»» />.</li>
<li>Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел<img decoding=.
  • Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

X

  • Если имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература

  • Зорич В.А. «Математический анализ», т.2, гл.IX, §5.
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Полное метрическое пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) d\colon M\times M\to \mathbb<R>» width=»» height=»» /> (где <img decoding=

  1. d(x,y) = 0\Leftrightarrow x=y(аксиома тождества).
  2. d(x,y) = d(y,x) (аксиома симметрии).
  3. d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)(аксиома треугольника или неравенство треугольника).

d(x,y)\geqslant 0

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x ) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .

Обозначения

Обычно расстояние между точками x и y в метрическом пространстве M обозначается

Примеры

D(x,y)=\inf\<r\mid\quad \forall x\in X~\exist y\in Y: d(x,y)&lt;r,\quad\forall y\in Y~\exists x\in X: d(x,y)&lt;r \>» width=»» height=»» /></p>
<ul>
<li>Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.</li>
</ul>
<h3>Связанные определения</h3>
<ul>
<li>Метрическое пространство называется <b>полным</b>, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.</li>
<li>Метрика <i>d</i> на <i>M</i> называется внутренней, если любые две точки <i>x</i> и <i>y</i> в <i>M</i> можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к <i>d</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) .</li>
<li>Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество <b>открытых шаров</b>, т.е. множеств следующего типа:</li>
</ul>
<p><img decoding=найдётся положительное число r , такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O .

d(x,S)=\inf\<d(x,s)\mid s\in S\>» width=»» height=»» /> Тогда <i>d</i>(<i>x</i>,<i>S</i>) = 0 , только если <i>x</i> принадлежит замыканию<i>S</i> .</p>
<h3>Свойства</h3>
<ul>
<li>Метрическое пространство <b>компактно</b> тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).</li>
<li>Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
<ul>
<li>Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.</li>
<li>Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — <b>точечно-счётная база</b> (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).</li>
</ul>
<h3>Вариации и обобщения</h3>
<p>Для данного множества <img decoding=, функция d\colon M\times M\to \mathbb<R>» width=»» height=»» /> называется <b>псевдометрикой</b> или <b>полуметрикой</b> на <img decoding=если для любых точек ~x,y,zиз ~Mона удовлетворяет следующим условиям:

  1. ~d(x,x)=0;
  2. ~d(x,y)=d(y,x)(симметрия);
  3. d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)(неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в ~Mмогут находится на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве M/\!\simгде x\sim y \Leftrightarrow d(x,\,y)=0.

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех ~x, ~yи ~zв ~Md(x,z)\leqslant\max(d(x,y),d(y,z)).

Иногда рассматривают метрики со значениями [0;\infty], соответствующие пространства называются \infty-метрическими пространствами. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику dили ~d. Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства [2] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

  1. К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Определение 11.2
  2. M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74,

Метрическое пространство

Математика

Метри́ческое простра́нство, множество , наделённое некоторой метрикой , т. е. множество X X X , для любой пары элементов x , y x,y x , y которого определено расстояние d ( x , y ) d(x,y) d ( x , y ) . Метрическое пространство X X X с метрикой d d d обычно обозначается ( X , d ) (X,d) ( X , d ) . Понятие метрического пространства, наряду с понятиями топологического пространства , банахова пространства и гильбертова пространства , является одним из важнейших понятий современного функционального анализа . Первые метрические пространства рассматривались в работе М. Фреше (1906), где было введено расстояние между функциями.

Примером метрического пространства может служить евклидово n n n -мерное пространство R n >^n R n размерности n ⩾ 1 n⩾1 n ⩾ 1 с обычной евклидовой метрикой. Другой пример даёт пространство B [ a , b ] B[a,b] B [ a , b ] ограниченных на отрезке [ a , b ] [a,b] [ a , b ] функций с метрикой d ( f , g ) = sup ⁡ a ⩽ x ⩽ b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ d(f,g)=\sup_|f(x)-g(x)| d ( f , g ) = a ⩽ x ⩽ b sup ​ ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ (отрезок [ a , b ] [a,b] [ a , b ] можно заменить произвольным множеством Ω Ω Ω , если верхнюю грань брать по всем x ∈ Ω x∈Ω x ∈ Ω ). Ещё одним примером является пространство ℓ p \ell_p ℓ p ​ , p ⩾ 1 p⩾1 p ⩾ 1 , которое состоит из последовательностей ξ = < ξ 1 , ξ 2 , … >ξ= \ <ξ_1,ξ_2,\ldots\>ξ = < ξ 1 ​ , ξ 2 ​ , … > комплексных чисел , удовлетворяющих условию ∑ k = 1 ∞ ∣ ξ k ∣ p < ∞ \displaystyle\sum_^∞||^p<∞ k = 1 ∑ ∞ ​ ∣ ξ k ​ ∣ p < ∞ , с метрикой d ( ξ , ζ ) = ( ∑ k = 1 ∞ ∣ ξ k − ζ k ∣ p ) 1 / p . d(ξ,ζ)=\left ( \sum_^∞|ξ_k-ζ_k|^p\right ) ^. d ( ξ , ζ ) = ( k = 1 ∑ ∞ ​ ∣ ξ k ​ − ζ k ​ ∣ p ) 1/ p . В метрическом пространстве естественным образом определяются понятия сходящейся и фундаментальной последовательностей . Последовательность < x k >k ⩾ 1 \_ < x k ​ >k ⩾ 1 ​ элементов из метрического пространства ( X , d ) (X,d) ( X , d ) сходится, если существует такой элемент x ∈ X x∈X x ∈ X , что d ( x k , x ) → 0 d(x_k,x)→0 d ( x k ​ , x ) → 0 при k → ∞ k→∞ k → ∞ . Последовательность < x k >k ⩾ 1 \_ < x k ​ >k ⩾ 1 ​ называется фундаментальной, если для любого ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 найдётся такой номер N = N ( ε ) N=N(\varepsilon) N = N ( ε ) , что d ( x k , x m ) < ε d(x_k,x_m)N k,m>N k , m > N . Важнейшим свойством метрических пространств является полнота. Метрическое пространство ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится. Указанные выше пространства R n >^n R n , B [ a , b ] B[a,b] B [ a , b ] и ℓ p \ell_p ℓ p ​ полны. Примером неполного метрического пространства служит множество рациональных чисел с метрикой d ( x , y ) = ∣ x − y ∣ d(x,y) = |x-y| d ( x , y ) = ∣ x − y ∣ . Другим нетривиальным примером неполного метрического пространства служит множество непрерывных на отрезке [ a , b ] [a,b] [ a , b ] действительных (или комплекснозначных) функций с интегральной метрикой d ( f , g ) = ( ∫ a b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ p ) 1 / p d(f,g)=\left ( \int \limits_a^b |f(x)-g(x)|^p \right ) ^ d ( f , g ) =

​ a ∫ b ​ ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ p

​ 1/ p при некотором p ⩾ 1 p⩾1 p ⩾ 1 . Задача об описании пополнения такого метрического пространства приводит к конструкции интеграла Лебега .

В метрическом пространстве естественным образом можно ввести топологию, т. е. задать систему открытых множеств. Открытым шаром радиуса r r r с центром в точке x 0 x_0 x 0 ​ метрического пространства ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется множество B ( x 0 , r ) = < x ∈ X : d ( x , x 0 ) < r >B(x_0,r)=\\> B ( x 0 ​ , r ) = < x ∈ X : d ( x , x 0 ​ ) < r >. Открытыми в ( X , d ) (X,d) ( X , d ) объявляются множества, которые можно представить в виде объединения открытых шаров, а замкнутыми множествами – дополнения к открытым. Тем самым метрическое пространство можно рассматривать как топологическое пространство с топологией, порождаемой метрикой.

Важной характеристикой метрических пространств является сепарабельность. Метрическое пространство ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется сепарабельным, если в нём найдётся множество F F F , состоящее из конечного или счётного множества элементов такое, что замыкание F F F совпадает с X X X . Замыканием множества F ⊂ X F⊂X F ⊂ X называется наименьшее (по включению) замкнутое в X X X множество, содержащее F F F (т. е. пересечение всех замкнутых множеств, содержащих F F F ). В рассмотренных выше примерах пространства R n >^n R n и ℓ p \ell_p ℓ p ​ сепарабельны, а пространство B [ a , b ] B[a,b] B [ a , b ] несепарабельно. Пространство C [ a , b ] C[a,b] C [ a , b ] , состоящее из всех непрерывных на [ a , b ] [a,b] [ a , b ] функций, с метрикой, определённой так же, как в B [ a , b ] B[a,b] B [ a , b ] , является полным и сепарабельным. Согласно теореме Банаха – Мазура пространство C [ a , b ] C[a,b] C [ a , b ] является универсальным, т. е. любое сепарабельное метрическое пространство изометрично некоторому подпространству в C [ a , b ] C[a,b] C [ a , b ] .

Фундаментальным является понятие компактности метрических пространств. В частности, важную роль играют теоремы о непрерывных отображениях компактных пространств. Компактность метрического пространства ( X , d ) (X,d) ( X , d ) равносильна выполнению одного из следующих условий (это не так за пределами класса метрических пространств): из любого покрытия ( X , d ) (X,d) ( X , d ) открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие; из любого счётного покрытия ( X , d ) (X,d) ( X , d ) открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие; любая последовательность элементов в ( X , d ) (X,d) ( X , d ) содержит подпоследовательность, которая сходится . Всякое компактное метрическое пространство полно . Компактное метрическое пространство необходимо ограничено, т. е. содержится в некотором шаре, однако полное и ограниченное метрическое пространство может быть некомпактным (в качестве примеров можно взять замкнутые единичные шары в пространствах C [ a , b ] C[a,b] C [ a , b ] или ℓ p \ell_p ℓ p ​ ).

Для получения критерия компактности метрического пространства полезным оказывается свойство полной ограниченности. Множество F F F в метрическом пространстве ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется ε \varepsilon ε -сетью, если для любой точки x ∈ X x∈X x ∈ X найдётся такая точка f ∈ F f∈F f ∈ F , что d ( x , f ) ⩽ ε d(x,f)⩽\varepsilon d ( x , f ) ⩽ ε . Метрическое пространство ( X , d ) (X,d) ( X , d ) называется вполне ограниченным, если для любого ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 в нём существует конечная ε \varepsilon ε -сеть. Справедлива следующая теорема: метрическое пространство ( X , d ) (X,d) ( X , d ) компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Вполне ограниченные метрические пространства называют предкомпактными. Одной из задач функционального анализа является нахождение критериев предкомпактности конкретных метрических пространств или их подмножеств (которые являются метрическими пространствами с той же метрикой). Важную роль в теории метрических пространств играет теорема Бэра , которую можно сформулировать следующим образом: пусть ( X , d ) (X,d) ( X , d ) – полное метрическое пространство, причём X = ⋃ n = 1 ∞ X n \displaystyle X=\bigcup_^<\infty>X_n X = n = 1 ⋃ ∞ ​ X n ​ , где множества X n X_n X n ​ замкнуты. Тогда хотя бы одно из множеств X n X_n X n ​ содержит открытый шар положительного радиуса.

Опубликовано 21 мая 2022 г. в 12:00 (GMT+3). Последнее обновление 21 мая 2022 г. в 12:00 (GMT+3). Связаться с редакцией

Полное метрическое пространство метрическое пространство в котором каждая фундаментальная последовательность сходится к

Полное метрическое пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу того же пространства).

В большинстве случаев рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение Править

Всякое метрическое пространство можно вложить в полное пространство таким образом, что метрика продолжает метрику , а подпространство всюду плотно в . Такое пространство называется пополнением и обычно обозначается .

Построение Править

Для метрического пространства , на множестве фундаментальных последовательностей в можно ввести отношение эквивалентности

Множество классов эквивалентности с метрикой, определённой

является метрическим пространством. Само пространство изометрически вкладывается в него следующим образом: точке соответствует класс постоянной последовательности . Получившееся пространство и будет пополнением .

Свойства Править

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *