Что такое выколотая точка на графике функции 7 класс
Перейти к содержимому

Что такое выколотая точка на графике функции 7 класс

  • автор:

Что такое выколотая точка на графике функции 7 класс

  • slide3

Рассмотрим интересный вид кусочно-заданных функций. Определение Целой частью [x][x] числа xx называется наибольшее целое число, не превосходящее xx. Например, [1]=1[1] = 1, [0,7]=0[0,7] = 0, а [−0,7]=−1[−0,7].

Автор
Стонякин Федор Сергеевич 170 статей

Построение графиков целой и дробной части числа

Рассмотрим интересный вид кусочно-заданных функций.

Определение

Целой частью [ x ] [x] числа x x называется наибольшее целое число, не превосходящее x x .

Например, [ 1 ] = 1 [1] = 1 , [ 0,7 ] = 0 [0,7] = 0 , а [ − 0,7 ] = − 1 [−0,7] = −1 . Функцию f ( x ) = [ x ] f(x) = [x] легко можно задать на промежутках между парами соседних целых чисел:

Поэтому график этой функции имеет следующий вид (рис. 16).

Рассмотрим более трудный пример.

Построить график функции f ( x ) = [ 2 x + 3,5 ] f(x) = [2x + 3,5] .

Ясно, что [ 2 x + 3,5 ] = [ 2 x + 0,5 ] + 3 [2x + 3,5]= [2x + 0,5] + 3 . Далее,

из определения целой части числа следует такое представление:

для всякого целого n n (рис. 17).

Рассмотрим ещё такой пример.

Изобразим на координатной плоскости x O y xOy множество точек ( x , y ) (x,y) , для которых [ x ] = [ y ] [x] = [y] .

С целой частью числа тесно связана такая кусочно-линейная функция.

Определение

Дробной частью < x >\\ числа x x называется число x = x − [ x ] \left\=x-\lbrack x\rbrack .

К примеру, < 1 >= 0 \ = 0 , < 0,7 >= 0,7 \ = 0,7 , а < − 0,7 >= 0,3 \ = 0,3 .

Построим график функции f ( x ) = < x >f(x) = \ . Ясно, что

f ( x ) = x − [ x ] = x − n f(x) = x − [x] = x − n при n ≤ x < n + 1 n ≤ x < n + 1 (рис. 19).

I. Сколько пересечений у $y=f\left(x\right)$ с $y=m$ или $y=kx$

pexels-sergey-meshkov-8482062.jpg

pexels-sergey-meshkov-8482062.jpg

Постройте график функции . Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Задача 1: Дан график функции $y=\frac$ . При каком $m$ этот график не пересекается с графиком $y=m$ . При каком $k> 0$ это график пересекается с графиком $y=kx$ ровно один раз.

  • $m$ какое то число. Поэтому, график функции $y=m$ горизонтальная линия, проходящая в точке $(0;m)$, на ординате $m$.
  • Какая горизонтальная прямая пересекается с нашим графиком ровно один раз? Посмотрим график функции $y=\frac$.
  • Визуально видно, что горизонтальная прямая $y=m$, не пересекающая наш график, должен «протиснуться» в выколотой точке $(5;0,1)$ или .
  • $m=0$ тоже ни разу не персекает, т.к. она горизонтальная асимптота! Внимание: для всех остальных $y=m$ хотя бы раз пересекает.
  • Понятно, что в выколотой точке $(5;0,1)$ проходит если только $m=0,1$. ответ: $m=0$ или $m=0,1$.
  • Прямые $y=kx$ «крутятся» вокруг начала координат $(0;0)$. Если $k> 0$ то, эти прямые находятся в I-ой III-ей четвертях.
  • Какой из них только раз пересекается с графиком $y=\frac$ ? Тут две гиперболы. Прямая должна пройти в выколотой точке.
  • Прямая $y=kx$, проходящая в точке $(5;0,1)$ должен иметь такое $k$, чтобы $0,1=k\cdot5$ $\Rightarrow$ ответ: $k=0,02$

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда пересекает параболу в двух точках, одна из которых — выколотая.

Прямая линия $y=kx$ — вращается вокруг начало координат $(0;0)$. $k$ коэффициент наклона

Прямая линия $y=m$ — движется горизонтально, параллельно абсциссе, на уровне «ордината $= m$.»

  • Когда, при каком значении параметра, прямая проходит точку $(-5;-3)$ ?
  • вращающаяся $y=kx$: проходит $(-5;-3)$ ? $\Rightarrow$ $-3=k \cdot (-5)$ .
  • горизонтальная $y=m$: проходит $(-5;-3)$ ? $\Rightarrow$ $-3=m$
  • При каких значения параметра прямая пересекает график функции $y=f\left(x\right)$ два раза?
  • $y=kx$ вращаем вокруг $(0;0)$ . Ищем ситуации «пересекает 2 раза». С учетом «дыр, выколотых точек».
  • $y=m$ двигаем горизонтально и ищем «пересекает 2 раза». Уточняем значения параметров в нужных ситуациях.

Вопросы одинакового смысла — эквивалентные утверждения:

  • При каком значении параметра $k$ графики $y=\frac$ и $y=kx$ имеют две общие точки?
  • При каком значении параметра $k$ прямая $y=kx$ пересекает график $y=\frac$ два раза?
  • При каком значении параметра $k$ уравнение $\frac=kx$ имеет два различных решения?
  • Одно и то же: «Нет общих точек» = «Нет пересечений графиков» = «Нет решений уравнения»

Алгоритм: Квадратичная функция $y=ax^2+bx+c$. Ее график — Парабола.

  • 1-ая точка графика: Вершина параболы находится при $x=-\frac$. Там $min/ max$ ! Координаты вершины $\left(-\frac;\frac\right)$.
  • Ось симметрии параболы — вертикальная линия через Вершину . Еще точка $(0;c)$ даст пересечение с осью $Y$.
  • Вычислим функцию еще в двух-четырех точках, на одинаковом расстоянии от вершины $x=-\frac\pm3$ или $x=-\frac\pm4$ .

II. Кусочные функции, . параметры

  • Особые точки сломов-склеиваний кусков функции:. $x=-2$ $x=-1$
  • Строим график $y=x-0,5$. Оставляем ее часть на интервале $(-\infty;-2)$. остальное стираем за ненадобностью.
  • Строим $y=-2x-6,5$ и оставляем из интервала $-2\le x\le-1$. Прямую $y=x-3,5$ оставляем лишь на $x>-1$.
  • Склеиваем три куска , каждое на своем интервале. Получим график Кусочной функции.
  • Двигаем горизонтальные $y=m$: Смотрим разные $m=-7$, $m=-4,5$, $m=-3$, $m=-2,5$, $m=-1$, $m=2$, $m=5$.
  • При конктретном $m=?$ главный вопрос: сколько пересечений с графиком, сколько общих точек?

  • 2-ая функция: склеивание в точке $(-2;-3)$. Слева кусок прямой, справо кусок — часть параболы.
  • Парабола имеет вершину в точке $(-1;-2)$. Формула вершины параболы: $x=-\frac$
  • 3-ая функция: слева гипербола и справа парабола склеиваются в «сломе» $(-1;5)$
  • Два пересечения с $y=c$, два корня получаются лишь при прохождении «слома», т.е. $c=5$.
  • 4-ая функция: имеет «сломы» при $\left|x\right|=1$. Т.е. при $x=-1$ и $x=1$
  • На интервале $-1
  • При этом для $x=1$ надо брать значение от гиперболы, из-за условий функций. Поэтому, там разрыв!
  • 4-ая функция: Из-за ОДЗ радикала выпадает интервал $(0;2)$. В нем функция не существует!
  • Поэтому, часть гиперболы на интервале $(0;2)$ должно быть вычеркнуто. Там нет функции.
  • Когда вращающаяся $y=kx$: пересекает один раз полученный график?
  • Как раз там, где он пересекал бы вычеркнутый кусок гиперболы!:
  • Надо понять где этом момент начинается: — при каком $k$ прямая $y=kx$ проходит точку $(2;0,5)?$

III. Графики функций с модулями, . параметры

Модуль $\left|A\right|=A$ выражения $A>0$ равен $\left|A\right|=A$ если $A\ge0$ ; $\left|A\right|=-A$ если $A

  • Т.е. модуль где-то равен «+» подмодульному , а в других местах «-» подмодульному
  • В зависимости от знака подмодульного выражения . Поэтому важно узнать при каких $x=?$ подмодульное обнуляется
  • Составить уравнение подмодульное = 0 ,решить его и получить интервалы для раскрытия модуля.

Как и на каких интервалах раскрывать модули для функции с модулями? По критическим точкам!

  • Функция с модулями на одних интервалах равна одной функции, на других — другой. В зависмости где как раскрывается модуль.
  • Для верного раскрытия модулей надо установить все критические точки функции (КТ):
  • Для каждого модуля составляем уравнение подмодульное = 0 и его решения дадут КТ.
  • Для каждой дроби составляем уравнение знаменатель = 0 и его решения будут КТ.
  • Для каждого квадратного радикала составляем уравнение подрадикальное = 0 и его решения дадут КТ.
  • Расположим все полученные критические точки в порядке возрастания. Получим разбиение числовой оси на интервалы.
  • На каждом интервале путем вычисления пробной точки выясняем знак подмодульного и с этим знаком раскрываем модуль!
  • Как построить график 2-ой функции: с модулем $y=x^2-\left|8x+3\right|$ ?
  • Слом там, где подмодульное выражение обнуляется: $8x+3=0$ $\Rightarrow$ точка слома $x=-\frac$.
  • Левее от $x=-\frac$ модуль раскрывается со знаком «-« , а правее от нее модуль = () со знаком «+»
  • Функция с модулем превращается в кусочную из двух склеивающихся парабол.
  • Важные, особые точки: слом и вершины парабол, $x=-\frac$, $x=-4$, $x=-4$. Вычислим значения функции в них!
  • 3-ая функция: имеет критическую точку $x=3$. Левее от нее модуль раскрывается с знаком «-«, т.е. $\left|x-3\right|=-(x-3)$
  • Для 1-ой функции еще проще: модуль левее слома $x=0$ равен $-(x)$, а правее $+(x)$

  • Для 4-ой функции: составляем критические уравнения: $\frac-\frac=0$ и $x=0$. Получим точки $-3,5
  • На интервалах $(-\infty;-3,5)$ и $(0;3,5)$ подмодульное отрицательно, поэтому модуль раскрывается как «-«. Гипербола!
  • На интервалах $(-3,5;0)$ и $(3,5;+\infty)$ подмодульное положительно, раскрытие «+». Итоговая функция — линейная.
  • Строим графики: гиперболу $\frac$ и прямую $\frac$. Но оставляем куски лишь «своих интервалов».
  • Важно: четко вычислить координаты всех особых точек! «слома», «склеивания», «переходов», «обнуления под . «

IV. Графики с выколотыми точками, сокращения, ОДЗ. . параметры

Как построить график дробной функции с сокращением, «выколотыми точками»

  • Для 1-ой функции: $y=\frac<\left(x-3\right)\left(x+2\right)>$ проведем «процедуру безопасного сокращения»:
  • Самое главное, ОДЗ: $x-3\ne0$, $x+2\ne0$. В функции, в уравнениях точки $x=3$, $x=-2$ под запретом!
  • Для сокращений используем формулы разложения: Виета $ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ сокращенное умножение $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$
  • Биквадратное $x^4-13x^2+36=t^2-13t+36=(t-9)(t-4)=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)$.
  • Теперь, видим в числителе и знаменателе одинаковые $(x-3)$ и $(x+2)$ , можем сократить . Помним ОДЗ!
  • Наша функция стала новой $y=(x+3)(x-2)$, но без учета выколотых точек $x\ne3$, $x\ne-2$ из-за ОДЗ.
  • Факт: Функции и $y=\frac<\left(x-3\right)\left(x+2\right)>$ , $y=(x+3)(x-2)$ и их графики совпадают всюду, кроме двух точек $x=3$, $x=-2$.
  • При пересечении графика с прямыми типа $y=m$ или $y=kx$ учытиваем прохождение через выколотые точки!

  • 2-ая функция: совпадает с простой $y=x-3$ всюду кроме . вычислим $x-3$ в них . получим выколотые $(-3;-6)$ и $(9;6)$.
  • Вращающаяся $y=kx$ ни разу не пересекает график либо проскакивая через выколотые, либо когда параллельно! При каком $k$?
  • 3-ая функция: после сокращения превращается в параболу $-x^2-2$ за исключением точек $0$ и $1$. Вычилислим в них!
  • 4-ая функция: равна гиперболе с выколотыми! При каком $k$ прямая $y=kx$ пройдет через выколотое?

V. Прочие функции, задачи

Задача 2: Найдите $c$ и постройте график функции $y=x^2+c$ , если известно, что прямая $y=4x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

  • Графики имеют одну общую точку $\Leftrightarrow$ уравнение $x^2+c=4x$ имеет одно решение $\Leftrightarrow$ дискриминант = 0 ?

Задача 3: Найдите наименьшее значение выражения $\left(5x-4y+3\right)^2+\left(3x-y-1\right)^2$ и значения $x$ и $y$, при которых оно достигается.

  • Сложение квадратов? наименьшее значение тогда, когда оба обнуляются! Решаем систему $5x-4y+3=0$ и $3x-y-1=0$.

Задача 4: При каких значениях p вершины парабол $y=x^2+4px-1$ и $y=-x^2+6px-p$ расположены по разные стороны от оси $x$?

  • Вершина первой по формуле $x=-\frac$ $x=-\frac=-2p$. Значение в нем $y=(-2p)^2+4p(-2p)-1=-4p^2-1$
  • Вершина второй параболы $x=-\frac=3p$ , значение $y=-(3p)^2+6p(3p)-p=9p^2-p$
  • Вершины будут по разные стороны от оси $x$ $\Leftrightarrow$ эти значения разного знака $\Leftrightarrow$ $(-4p^2-1)(9p^2-p)>0$
  • Решим неравенство. Учтем $-4p^2-1$ всегда отрицательно. Уберем. Получим $9p^2-p\right)>0$

Задача 5: Первая прямая проходит через точки $(0; 4,5)$ и $(3; 6)$. Вторая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(-4; 7)$. Найдите координаты общей точки этих двух прямых.

  • 1-ая прямая, проходящая через точки $(0; 4,5)$ и $(3; 6)$ имеет уравнение $\frac=\frac$
  • 2-ая прямая проходит через точки $(1; 2)$ и $(-4; 7)$, ее уравнение $\frac=\frac$
  • Упростим оба: $2y-9=x$ $y-2=1-x$ . Чтоб найти общую точку, надо решить систему из двух неизвестных.

Если прямая проходит через две точки с координатами $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$

то уравнение прямой составляется так: $\frac=\frac$

Задача 6: Прямая $y = 2x + b$ касается окружности $x^2+y^2=5$ в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

  • В точка касания $(x;y)$ должна удовлетворять оба равенства, т.е. систему $y = 2x + b$ и $x^2+y^2=5$. При этом $x>0$
  • Подставим первое во второе: $x^2+(2x+b)^2=5$. Полученное уравнение должно иметь единственное решение.
  • Квадратное уравнение имеет единственное решение, если только дискриминант равен нулю!
  • $5x^2+4xb+b^2-5=0$ его дискриминант $16b^2-4\cdot5\cdot\left(b^2-5\right)=0$ $\Rightarrow$ $-4b^2+100=0$ $\Rightarrow$ $b=5$ и $b=-5$
  • При $b=5$ найдем $x$ из $5x^2+4xb+b^2-5=0$: $5x^2+20x+20=0$ $\Rightarrow$ $x=-2$. нет $x>0$ !
  • При $b=-5$ найдем $x$ из $5x^2+4xb+b^2-5=0$: $5x^2-20x+20=0$ $\Rightarrow$ $x=2$. есть $x>0$ !
  • Условию с положительной абсциссой $x>0$ удовлетворяет пара $b=-5$ и $x=2$. Тогда $y=2x + b=4-5$. Касание $(2;-1)$

VI. Сведения о графиках функций, свойства, построения

Прямоугольная система координат: положение точки определяется двумя её координатами — абcциссой и ординатой . (А) Система координат: Абсцисса — ось $x$. Ордината — ось $y$. (В) Точка $(2;-3)$: пересечение линий: горизонтальная линия $y = -3$ ; (С) вертикальная линия $x = 2$ (Д) Точка с координатами $(x;y)$ например, $(2;-3)$ : наносим точку, справа на 2 единицы, вниз на 3 единицы.

Алгоритм: детальное построение графика заданной функции: (А) вычислить значения функции: различные $x$ — числа подставить в выражение функции и найти свои $y$ — значения. (В) составить таблицу: список точек ($x$; $y$ ), пары соответствующих $x$ — чисел и его $y$ — значений абсциссы и ординаты. (С) нанести эти точки из списка на координатную плоскость в соответствии с координатами точек. (Д) построить график: линию, проходящую через все нанесенные точки. Аккуратно, красиво! (Е) при необходимости, дополнить список новыми точками: подобрать $x$ — числа для коррекции, уточнения графика.

Функция $y=f\left(x\right)$ — это правило, по которому $x$ — аргументам соответствуют у — значения. (А) переменная $x$ называется аргументом функции. (В) $y$ переменная — значение функции при определенном аргументе. (С) $f\left(x\right)$ — Правило, или закон функции — по которому вычисляются значения функции.

Линейная функция и ее график

Линейной функцией называется функция вида $y=kx+b$ , где коэффициенты $k$ и $b$ — заданные числа. Графиком линейной функции является прямая линия. Т.к прямая определяется двумя её точками, то для построения графика функции достаточно построить две точки этого графика.

Пример 1: Построить график функции $y=-2x+7$

  • правило функции $f\left(x\right)=-2x+7$. Вычислим несколько значений для различных $x$ — аргументов:
  • $f\left(0\right)=7$ $f\left(1\right)=-2+7=5$ $f\left(2\right)=-4+7=3$ $f\left(6\right)=-12+7=-5$ Таблица значений: $(0;7)$ $(1;5)$ $(2;3)$ $(6;-5)$ $(5;-3)$ $(-3;13)$ $(-1;5)$
  • Получили список точек, их координат. Таблица значений. Отметим точки на координатной плоскости. Проведем график.

Пример 2: Построить график функции $y=5x+10$

  • правило функции $f\left(x\right)=5x+10$. $f\left(-2\right)=0$ $f\left(-1,5\right)=-7,5+10=2,5$ $f\left(0\right)=10$ $f\left(1\right)=5+10=15$
  • Таблица значений: $(-2;0)$ $(-1,5;2,5)$ $(-1;5)$ $(0;10)$ $(1;15)$ . Проведем график.

Cвойства графика функции $y=kx + b$

  • При $b=0$ линейная функция имеет вид $y=kx$. Прямая проходит через начало координат.
  • вид $y=kx$. Прямая проходит через начало координат: $x=0$ ; $y=0$
  • При $b=0$ линейная функция имеет вид $y=kx$. Прямая проходит через начало координат: $x=0$ ; $y=0$
  • при $k > 0$ функция $y=kx$ возрастает на всей числовой оси. (наклон прямой вправо)
  • при $k < 0$ функция $y=kx$ убывает на всей числовой оси. (наклон прямой влево)
  • График функции $y=kx+b$ получается сдвигом графика функции $y=kx$ на $b$ единиц вдоль оси ординат.
  • Графиками функций $y=kx+b$ и $y=kx$ являются параллельные прямые.
  • Замечание: для построения графика удобно находить точки пересечения с осями координат.
  • Наклон графика определяется $k$ — коэффициентом функции $y=kx+a$ при $x$. чем меньше $k$ — коэффициент, тем «горизонтальнее».
  • Параллельность: линейные функции $y=kx+a$ и $y=kx+b$ имеют одинаковые $k$ — коэффициент наклона, то их графики — прямые параллельны.
  • Перпендикулярность: графики прямых $y=kx+a$ и $y=-\fracx+b$ взаимоперпендикулярны, произведение коэффициентов наклона равен $-1$.

Графическое решение уравнений

Пример 3: Решить уравнение $-2x+7=0,5x-5,5$ графическим способом.

  • Построим прямые $y=-2x+7$ и $y=0,5x-5,5$. По чертежу найдем точку пересечения графиков
  • $\left(5;-3\right)$. абсцисса этой точки является корнем данного уравнения,
  • потому что, именно для этого $x$ значения
  • графиков, а значит и функций, значения левой и правой частей выравниваются. ответ: $x=5$.

Пример 4: Решить систему уравнений

  • Преобразуем первое уравнение системы к виду $y=3-2x$, второе уравнение системы к виду $y=5x+10$
  • по чертежу найдем точку пересечения графиков: $\left(-1;5\right)$. Координаты этой точки и являются решением системы.
  • При таких $x$ и $y$ оба уравнения системы выравниваются, значит такое решение удовлетворяет уравнение.
  • ответ: $x=-1$ ; $y=5$

Пример 5: Найти $b$, если известно, что график $y=\fracx+b$ проходит через точку $\left(-9;-3\right)$

  • Какое число $b=?$, если при аргументе $x=-9$ функция имеет значение $y=-3$ ? Запишем это в виде условия.
  • Координаты заданной точки $x=-9$ , $y=-3$. Подставим в уравнение функции эти значения:
  • $-3=\frac\left(-9\right)+b$ получим $-3+7=b$ $\Rightarrow$ $b=4$ ответ: $b=4$ , линейная функция $y=\fracx+4$.

Линейная функция и ее график. Правила.

Линейное уравнение имеет вид $ax + by + c = 0$ . Линейная функция имеет вид $y=kx+m$

  • Например: $5x–4y+6=0$ . Выразим $y$: $4y=5x+6$ разделим на $4$ : $y=\frac$ $\Rightarrow$ $y=1,25x+1,5$ .
  • Полученное уравнение, равносильно первому, имеет вид $y=kx+m$ , где: $k$ и $m$ — коэффициенты (параметры).
  • $x$ — независимая переменная — аргумент функции; $y$ — зависимая переменная — значение функции;

График Дробной функции

Вертикальная асимптота: $x=5$, проходит в полюсе, точке разрыва функции. Точка обнуления знаменателя. Параллельно $OY$.

Горизонтальная асисмптота: $y=2$, линия, на которую «ложится» график при значениях $x$ около $+-\infty$. Параллельно $OX$.

Гипербола — график простой дроби, две асимптоты делят на 4 четверти, ветви гиперболы «зажаты — прижаты» к асимптотическим линиям .

Пример 6: Построить график функции $y=\frac$

  • Если выражение функции упрощается, то следует это сделать. Ибо получится функция проще, легче вычисляемая и рисуемая.
  • Тождественное преобразование, сокращение $\frac=\frac=\frac$. Так, что график $y=\frac$ ?
  • Не спеши! Мы сократили на $x-5$ , которое незаконно для $x=5$. Нарушается О.Д.З — в исходной функции нет места $x=5$.
  • Значит: можем строить гиперболу $y=\frac$ взамен нашей $y=\frac$, но «без точки $x=5$».
  • Точка $x=5$ разрывает «гладкий» график гиперболы. Она называется выколотая точка с координатами $\left(5;0,1\right)$».

Важно уметь исследовать функцию — график около точек разрыва. + / — поблизости. Куда тянется?

  • Исследуем около $x=-5$. Возьмем «близкие» точки $-5,01$ и $-4,99$. Вычислим приближенные значения.
  • Чуть левее . $f\left(-5,01\right)=\frac\approx -100$. Чуть правее . $f\left(-4,99\right)=\frac\approx 100$.
  • Прямая $x=-5$ — вертикальная асимптота. Ветвь слева прижимается «вниз», к $-\infty$ . А справа поднимается вверх к $+\infty$.
  • Около $x=5$. Чуть левее $f\left(4,99\right)=\frac\approx0,101$. $f\left(5,01\right)=\frac\approx0,099$.
  • Значит, $x=5$ точка разрыва, на графике выколотая точка $\left(5;0,1\right)$. Т.к. в ней $y=\frac=0,1$.
  • «О нулях»: при $x=0$ $y=0,2$ . Но функция нигде не обнуляется, $y\ne0$. Прямая $y=0$ — горизонтальная асимптота.

Пример 7: Построить график функции $y=\frac$

  • О.Д.З функции $x\ne-4$. Оговорив это, со спокойной совестью сократим $y=\frac=x-4$.
  • График нащей функции — прямая линия $y=x-4$ с выколотой точкой $\left(-4;-8\right)$ при $x=-4$.
  • «Близко чуть левее»: $x=-4,01$ значение $f\left(-4,01\right)=\frac=-8,01$. Ближе? . Предел $\approx-8$.
  • «О нулях». при $x=0$ $y=-4$ . Обнуление функции $y=0$ при $x=4$ — пересечение с $x$ — осью.

График Дробно — Рациональной Функции.

  • Определение: дробно-рациональной порядка $\left(n;m\right)$ называется функция вида $y=\frac$
  • Числитель — многочлен степени $n$ , знаменатель — многочлен степени $m$ . Общий вид: $y=\frac$
  • Нули функции — корни числителя $P\left(x\right)=0$ , Асимптоты (полюсы) — корни знаменателя $Q\left(x\right)=0$.

Система уравнений

Пример 8: Найти общие точки графиков $\left(x-3\right)^2+\left(2-y\right)^2=50$ и $y=3-2x$

  • «Общие точки» означает: пересечение графиков, значит выполнение обеих равенств.
  • Значит, надо решить систему уравнений: найти все такие пары $(x;y)$ , которые выравнивают оба равенства системы.
  • Стандартный метод: (I). Из какого-либо уравнения выразить одно неизвестное через другое. (II). Подставить во второе уравнение. (III). Решить уравнение от 1 неизвестного. (IV). Для каждого полученного значения найти его пару .
  • $y=3-2x$ подставим в первое уравнение $\left(x-3\right)^2+\left(2-\left(3-2x\right)\right)^2=50$ и решим.
  • $\left(x-3\right)^2+\left(2x-1\right)^2=50$ $\Rightarrow$ $x^2-6x+9+4x^2-4x+1=50$ $\Rightarrow$ $5x^2-10x-40=0$
  • $x^2-6x+9+4x^2-4x+1=50$
  • $x^2-2x-8=0$ квадратное уравнение, корни $x_1=-2$ $x_2=4$
  • $x_1=-2$ соответствует значение $y_1=3-2(-2)=7$. $x_2=4$ соответствует значение $y_2=3-2(4)=-1$
  • Ответ: Точки пересечений графиков $(-2;7)$ $(4;-1)$. Меньшая абсцисса $x=-2$.

IX. Задания, Задачи, Упражнения, Примеры:

Что такое «выколотая» точка в графике функций?

выколоть значить нанести на график тут точку которая не входит в решение неравенства. она обозначается не закрашенным кружочком. например xє(-бесконечности до 3) объединяется (3 до +бесконечности).. тоесть 3 на графике выколоть. она не входит в решение

Остальные ответы

это окрестность входит, а точка нет))

В этой точки у функции либо нулевое значение, либо оно отсутствует

в этой точке функция не существует

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Кусочные функции. Как построить график кусочной функции

Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.

линейно-кусочная функция

кусочная функция прямая+парабола

То есть, графики кусочных функций выглядят как «франкенштейны» — разные части берут у разных функций и «слепляют» вместе.

пример кусочной функции

Как построить графики кусочных функций?

Очень просто. Нужно каждый кусочек функции построить на выделенном для него участке, не залезая на соседние. При этом неважно каким именно способом строятся эти кусочки – можно с помощью элементарных преобразований , можно по точкам .

Пример. Построить график кусочной функции \(y=\begin-\frac, & x≤-1\\x^2-4x,& x>-1\end\)

1) Построим первую функцию на области \(x∈(-∞;-1]\). Для этого найдем несколько точек из этого участка, одна из которых — граничная точка с \(x=-1\).

Отметим их на координатной плоскости:

точки на координатной плоскости

\(y=-\) \(\frac\) — гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку \((-1;5)\).

соединяем точки

2) Построим вторую функцию на области \(x∈(-1;∞)\).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции \(y=x^2-4x\) в точке \(-1\):
\(y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.

\(y=x^2-4x\) – квадратичная функция , график этой функции — парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:

Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.

строим второй кусочек функции

Найдем значение в точке \(1\) и \(0\):
\(y(1)=1^2-4\cdot 1=1-4=-3\)
\(y(0)=0^2-4\cdot 0=0\)
Отметим точки \((1;-3)\), \((0;0)\) и симметричные им на координатной плоскости.

добавляем точек

Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.

кусочная функция 9.png

Готово. График кусочной функции построен.

Как не должна выглядеть кусочная функция:

как не должна выглядеть кусочная функция

Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.

Кусочная функция с разрывом

В рассмотренном выше примере функция не имела разрыва в граничной точке (то есть, значения при \(x=-1\) были одинаковы и слева, и справа). Но так бывает не всегда.
Например, у функции \(y=\beginx+1,& при & x<0\\-x^2+2x+3, & при & x≥0\end\) есть разрыв в точке \(0\), потому что значение кусочков этой функции в граничной точке \(0\) не совпадает:
при \(x=0\) в первом кусочке, \(y(0)=0+1=1\);
при \(x=0\) во втором кусочке \(y(0)=-0^2+2\cdot 0+3=3\).
На графике это выглядит так:

кусочная функция прямая+парабола

Заметьте, что \(x=0\) включен во вторую часть функции (ведь ее область «икс больше или равен нулю), но не включен в первую (так как там «строго меньше нуля»). Поэтому граничную точку параболы мы закрашиваем, а линейной — выкалываем.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *