Пенсионный фонд владеет ценными бумагами которые стоят
Перейти к содержимому

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами которые стоят

  • автор:

Задача 16868 Пенсионный фонд владеет ценными.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят [b]10t[/b] тыс. рублей в конце года t (t = 1;2;3;. ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях r это возможно?

математика 10-11 класс 24160

Решение

В конце года t пенсионные бумаги стоят 10t тыс. руб. (t=1;2;3;. )

Это значит, что за год t ценные бумаги увеличиваются в цене в
10t/10(t-1)=t/(t-1) раз
.
При t=11 получим 11/10 и соответственно при t=12 получим 12/11

По условию бумаги следует продать в конце 11-го года, потому что за 11-ый год прирост стоимости ценных бумаг будет больше, чем (1+r), а в конце 12-го года — меньше (1+r)

При t=11 получим 11/10 и соответственно при t=12 получим 12/11

Система двух неравенств:
1+r
Записываем в виде двойного неравенства
12/11 < 1+r < 11/10
(12/11)-1 < r < (11/10)-1
1/11 < r < 1/10

Вопросы к решению (1)
Спрашивает: u10925259130

Откуда 12/11 и 11/10?

Написано [b]По условию бумаги следует продать в конце 11–го года, за год t ценные бумаги увеличиваются в цене в 10t/10(t–1)=t/(t–1) раз [/b]. При t=11 получим 11/10 и соответственно при t=12 получим 12/11

Пенсионный фонд. t^2 тыс. конце года t (t = 1; 2;. ).

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t 2 тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2;. ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Решение:

За год ценные бумаги увеличиваются в цене в

Видно, что относительное увеличение стоимости замедляется с каждым годом. Продавать бумаги и класть деньги в банк имеет смысл в том случае, когда в банке прирост за год (а, значит, и за все последующие годы) станет больше. По условию, продавать бумаги нужно в конце 21-го года, значит, за 21-ый год прирост стоимости ценных бумаг еще больше банковского процента, а в 22-м году – уже нет. Записываем:

Задачи на оптимизацию: пенсионный фонд

Пример 1. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t² тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

Пример 2. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; . ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться на 24%. В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счёте была наибольшей?

Пример 3. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; 3; . ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Пенсионный фонд и ценные бумаги: расчёт наиболее выгодного срока для продажи

Просто переходите по ссылке, бот сам вас добавит в notcoin squad «Элитный трейдер». Notcoin скоро наконец-то выйдет Реклама Продолжаем цикл статей, посвящённых решению экономических задач ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задача на тему продажи ценных бумаг наиболее выгодным способом при имеющихся условиях была впервые предложена на ЕГЭ по математике профильного уровня 2017 года. Разберём две задачи, связанные с пенсионным фондом и ценными бумагами.

Задачи для разбора взяты из реальных вариантов ЕГЭ прошлых лет, которые размещены на популярном среди школьников и учителей сайте РЕШУ ЕГЭ.

Задача 1. Рассчитать процент r, при котором ценные бумаги можно будет продать в конце определённого года для получения наибольшей прибыли.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t2 тыс. руб. в конце года t (t = l, 2, . ). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце 25-го года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце 21-го года. При каких положительных значениях r это возможно?

I способ. В конце года стоимость ценных бумаг растёт по заданному правилу. Будем считать, что одно и то же количество бумаг стоит в конце 1-го, 2-го, . 25-го годов соответственно (тыс. руб.):

12, 22, . 202, 212, 222, 232, 242, 252

Рассчитаем доход при продаже ценных бумаг в конце любого года, кроме последнего, и размещении этих денежных средств в банке под r процентов годовых. Размещённая сумма до 25-го года будет увеличиваться в 1 + r раз ежегодно и составит соответственно:

1-й год: 12 * (1 + r)24

2-й год: 22 * (1 + r)23

20-й год: 202 * (1 + r)5

21-й год: 212 * (1 + r)4

22-й год: 222 * (1 + r)3

23-й год: 232 * (1 + r)2

24-й год: 242 * (1 + r)

По условию задачи сумма в конце 25-го года будет наибольшей, если продажа состоялась в 21-м году, то есть наибольшая сумма равна 212 * (1 + r)4. Сравним эту сумму с соседними членами последовательности, получим два неравенства:

Пенсионный фонд и ценные бумаги: расчёт наиболее выгодного срока для продажи

Внимание! Из того, что доход при продаже бумаг в конце 21-го года больше, чем доход при их продаже в конце 20-го и 22-го годов, не следует, что этот доход больше, чем при продаже в любой другой год, а именно это оговорено в условии. Поэтому решение следует дополнить.

Определим, во сколько раз увеличивается стоимость ценных бумаг по сравнению с их стоимостью в предыдущий год, если фонд не продаёт ценные бумаги, а хранит их:

Полученное отношение убывает с ростом k, поэтому если фонд хранит ценные бумаги, не продавая их, с течением лет прирост дохода падает, приближаясь к единице. В силу этого, если момент продажи наступил в конце 21-го года, то он не мог наступить ни раньше, ни позже.

II способ. В случае продажи пенсионным фондом ценных бумаг в конце года k в конце 25-го года на его счёте будет:

По условию задачи продавать бумаги следует в конце 21-го года. Следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21-го года, больше, чем при их продаже в конце 20-го и 22-го года.

Согласно монотонности функции, S(k): S(21) > S(20) и S(21) < S(22), что гарантирует выполнение условия S(21) >S(k) для всех k, отличных от 21.

Необходимо и достаточно решить систему неравенств:

Задача 2. Рассчитать, в конце какого года надо продать акции, чтобы прибыль была максимальной

Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (то есть к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и так далее), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

I способ. Пусть акции проданы в конце года t-го за t2 тыс. руб. Вырученная при этом сумма положена в банк на оставшиеся (20 − t) лет под 25% годовых.

Точка максимума лежит в интервале (8; 10).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *