Показать что функция является решением дифференциального уравнения
Перейти к содержимому

Показать что функция является решением дифференциального уравнения

  • автор:

Показать, что функция является решением дифференциального уравнения

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

показать что функция y=C/cosx является решением дифф.уравнения y’-y*tgx=0?

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Показать, что функция является решением уравнения
2) Показать, что функция y(x+lnx)=1-y является решением уравнения x^+y=^lnx где, можно.

Проверить, является ли функция y=x^3 решением дифференциального уравнения y»-2y’=0
Возможно для кого-то покажется простым, но я засыпался на этом на экзамене. Помогите пожалуйста.

Проверить подстановкой, является ли функция решением дифференциального уравнения
Проверить (подстановкой), является ли функция x = ϕ(t) решением данного дифференциального.

Проверить, является ли функция решением ДУ
Помогите решить первых 2 пожалуйста. Вообще не знаю ДУ(

11. Дифференциальные уравнения

,

где — независимая переменная,— искомая функция,— ее производная называется обыкновеннымдифференциальным уравнением первого порядка.

Если это уравнение можно разрешить относительно , то оно принимает вид

(11.1)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция ,  , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

при , (11.2)

при которых функция принимает заданное значениев заданной точке, называютначальным условием.

Общим решением уравнения(11.1) в некоторой областиплоскостиназывается функция, зависящая оти произвольной постояннойи обладающая следующими свойствами:

      1. она является решением уравнения (11.1) при любом значении постоянной ;
      2. при любых начальных условиях (11.2) таких, что , существует единственное значение постояннойтакое, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением уравнения(11.1) в областиназывается функция, которая получается из общего решенияпри определенном значении постоянной. Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию (11.2), называется задачей Коши. Пример 1. Показать, что функцияудовлетворяет уравнению. Решение.Имеем . Подставим ив левую часть уравнения: . Получили тождество . Следовательно, функцияявляется решением данного уравнения. Пример 2. Показать, что функцияслужит решением дифференциального уравнения второго порядка. Решение.Находим,.подставив выражение дляив данное уравнение, получим , т.е. функция действительно является решением данного дифференциального уравнения. Пример 3. Проверить, что функция, определяемая уравнением, является решением дифференциального уравнения. Решение.Продифференцируем обе части равенствапо переменнойс учетом того, что; тогда получим , или , откуда. Пример 4. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей. Решение.Дифференцируя данное выражение, получаем, откуда. Исключаем теперь произвольную постоянную. Для этого из последнего уравнения находим, подставляя его в данное уравнение, получим . Это и есть дифференциальное уравнение данного семейства окружностей. Дифференциальное уравнение вида , (11.3) где ,,,— непрерывные функции, называетсядифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций ,,,тождественно не равна нулю, то в результате деления уравнения (11.3) наоно приводится к виду . Почленное интегрирование этого уравнения приводит к соотношению , которое и определяет (в неявной форме) решение уравнения (11.3)  . Пример 5. Найти общее решение уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через точку . Решение.Данное уравнение можно переписать в виде или . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при — функция только от, коэффициент при— функция только от). Интегрируя, получим общее решение . Полагая в нем ,, находим. Таким образом, частное решение, проходящее через точку. Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение.Вынося общие множители за скобки, данное уравнение можно записать так: , откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение , получим . Интегрируя это уравнение, находим или , откуда получаем общее решение: . Уравнение вида . называется однородным. С помощью подстановки , где— новая неизвестная функция, оно преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными. Уравнение , (11.4) для которого преобразованием где постоянные инаходятся из системы уравнений сводится к однородному уравнению. При преобразованиемуравнение (11.4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение.Разделим числитель и знаменатель правой части данного уравнения на, получим: . Делаем подстановку , где— новая неизвестная функция. Тогдаи уравнение приводится к виду или . Разделяем переменные: . Интегрируя, получаем 2 arctg z — 3 ln(1+ z2 )= ln + C. Заменяя на, получим общее решение данного уравнения: или . Пример 8. Найти общее решение уравнения . Решение.Это уравнение вида (11.4): , при этом . Вводим новые переменные ,, где идолжны удовлетворять системе уравнений Решая эти уравнения, находим ,. Таким образом, ,;,. Исходное уравнение преобразуется к виду или . В полученном однородном уравнении положим , откуда; приходим к уравнению с разделяющимися переменными: . Преобразуем последнее уравнение: . Разделяя переменные, получим . Пользуясь формулой , из последнего уравнения находим или . Отсюда . Подставляя сюда , получим или . Перейдем к переменным ипо формулам,: . Раскрыв скобки и заменив полученную в уравнении константу на , получим общее решение исходного уравнения: . Уравнение вида , (11.5) где и— непрерывные функции, называетсялинейным дифференциальным уравнением первого порядка(ивходят в первых степенях, не перемножаясь между собой). Если , то уравнение (11.5) называется линейнымоднороднымуравнением. Если, то уравнение (11.5) называется линейнымнеоднороднымуравнением. Общее решение линейного однородного уравнения (11.4) легко получается разделением переменных: ; ;, или, наконец, , где — произвольная постоянная. Решение линейного неоднородного уравнения ищется методом Бернуллив виде . Подстановка выражений для ив уравнение (11.5) приводит его к виду . В качестве выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению , тогда функция определяется из уравнения . Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа или методом вариации постоянных, полагая , где — некоторая дифференцируемая функция от. Для нахождения нужно подставитьв исходное уравнение (11.5), что приводит к уравнению . Отсюда , где — произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид . Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида , (11.6) где — действительное число. В случае,уравнение (11.6) является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному с помощью подстановки . Пример 9. Найти общее решение уравнения . Выделить решение, удовлетворяющее условию . Решение.Разделим переменные в данном уравнении: . Интегрируя, получим или . Решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию, имеет вид ; ;. Пример 10. Решить уравнение . Решение.Разделив левую и правую части данного уравнения на, приходим к линейному неоднородному уравнению: . Применим метод Бернулли. Пусть , тогдаи уравнение примет вид . Положим или . Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при и . При этом данное уравнение обратится в уравнение или . Решая это уравнение, получим . Таким образом, окончательно имеем . Пример 11. Решить уравнение при начальном условии . Решение.Соответствующее однородное уравнение имеет вид . Разделив переменные, получим , ,. Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде , где — неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнениеи, придем к уравнению или откуда . Интегрируя по частям при ,и,, получим . Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения . Используя начальное условие , получим, откуда. Следовательно, искомое решение задачи Коши. Пример 12. Найти общее решение уравнения . Решение.Преобразовав уравнение к виду , убеждаемся, что это уравнение Бернулли с . С помощью подстановки , , данное уравнение приводится к линейному . Решая однородное уравнение , ,, получаем . Ищем решение неоднородного уравнения в виде , . Подставляем в уравнение или . Разделяя переменные и интегрируя, получаем , . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид , или, после замены , . Уравнение вида , (11.7) где левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции в некоторой области, называетсяуравнением в полных дифференциалах. Его можно записать в виде , где — такая функция, что. Отсюда следует, что общее решение уравнения (11.7) имеет вид. Решение сводится к отысканию функции. Для того чтобы уравнение (11.7) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области , в которой функциииопределены, непрерывны и имеют непрерывные частные производныеи, было выполнено условие . (11.8) В том случае, когда условие (11.8) выполнено, общий интеграл уравнения (11.7) можно записать в виде или , (11.9) где — произвольная фиксированная точка области. Если условие (11.8) не выполнено, то уравнение (11.7) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию , которая называетсяинтегрирующим множителем. Интегрирующий множитель легко находится, когда он зависит только от , т.е., или только от, т.е.. Первый из этих случаев имеет место, если соотношение является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле (11.10) Второй случай имеет место, если соотношение является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле . (11.11) Пример 13. Найти общее решение уравнения . Решение.Здесь,,,; таким образом, условие (11.8) выполнено, т.е. данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем общее решение по формуле (11.9), взяв ,: или . Подставляя пределы, находим или , где . Пример 14. Найти общее решение уравнения . Решение.Здесь ,, так что,, т.е. условие (11.8) не выполняется. Проверим, существует ли дляданного уравнения интегрирующий множитель. Поскольку , то интегрирующий множитель вычисляется по формуле (11.10): . Умножив обе части исходного уравнения на , получаем уравнение , которое, как нетрудно проверить, является уравнением в полных дифференциалах. Решим это уравнение. Полагая ,и используя формулу (11.9), имеем , т.е. или . Это и есть общее решение данного уравнения.

Понятие о дифференциальном уравнении

Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Определение 2. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид

F(x,y,y ‘,y», …, y (n) )=0.

Определение 3. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если неизвестная функция и все ее производные входят в него в первой степени. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

a 0 (x)y (n) + a1(x)y (n-1) + . + an-1(x)y (1) + an(x)y = f(x). (1)

Определение 4. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным, если f(x) º 0, и неоднородным — в противном случае.

Примеры дифференциальных уравнений:

y» — sin x y’ + ( cos x) y = tg x — линейное ,

sin y’ — cos y = ctg x — нелинейное ,

y»’ — y’ = 0 — линейное,

(y IV ) 2 — 3 y»’ + y = 1 — нелинейное.

Определение 5. Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j (x) , при подстановке которой в уравнение будет получено тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, график решения называют интегральной кривой.

Пример 1 . y’ — f(x) = 0 , Пример 2. y» = 0,

y = ò f(x)dx + C. y = C 1 x + C 2 .

Определение 6 . Решение дифференциального уравнения n-го порядка, содержащее n произвольных постоянных, называется общим решением дифференциального уравнения.

Определение 7. Если в результате интегрирования дифференциального уравнения получена зависимость между y и x, из которой не удается явно выразить y через x (т.е. неизвестная функция задана неявно), то данную зависимость называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение 8. Решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример . y» + y = 0.

y = C 1 cos x + C 2 sin x — общее решение.

у 1 = 3 cos x — 2 sin x — частное решение.

Дана функция Показать, что данная функция является решением дифференциального уравнения в частных производных.

Показать, что данная функция является решением дифференциального уравнения в частных производных.

Найдем необходимые частные производные

Что-то не так с работой?

Сводка по ответу

  • Загружено студентом
  • Проверено экспертом
  • Использовано для обучения ИИ
  • Доступно по подписке Кампус+

Купи подписку Кампус+ и изучай ответы

Миллион решенных задач от 299 руб

Купить подписку

Похожие работы

Найти неопределённый интеграл

Кампус Библиотека

  • Материалы со всех ВУЗов страны
  • 1 000 000+ полезных материалов
  • Это примеры на которых можно разобраться
  • Учись на отлично с библиотекой

Экосистема Кампус

Набор самых полезных инструментов, работающих на искусственном интеллекте для студентов всего мира.

Экосистема сервисов для учебы в удовольствие

Твой второй пилот в учебе, быстрые ответы на основе ИИ-шки

ТОП-эксперты помогут решить и объяснят тебе любой вопрос по учебе онлайн

Сообщество, где ты найдешь знакомства и получишь помощь

Мультифункциональный умный бот, который всегда под рукой

База знаний из 1 000 000+ материалов для учебы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *