Доказать что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства
Перейти к содержимому

Доказать что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства

  • автор:

Матрица линейного оператора.

Рассмотрим линейный оператор A:C®C (линейное преобразование пространства C). Пусть векторы образуют базис пространства C. Подействуем оператором А на базисные векторы. В результате получим векторы . Так как вектор , то его можно разложить по базису:

В результате получаем матрицу:

i- ый столбец которой есть вектор-столбец из координат вектора в базисе . Матрица называется матрицей линейного оператора в заданном базисе .

Пусть теперь — произвольный вектор из C, а — его образ при линейном преобразовании А. Тогда координаты векторов и связаны соотношением:

Таким образом, действие линейного оператора на вектор сводится к преобразованию его координат с помощью матрицы линейного оператора. Задание матрицы линейного оператора является наиболее удобным способом определения оператора действующего в конечномерном пространстве.

Пусть С- матрица перехода от базиса к базису ,а и — матрицы оператора в первом и втором базисе соответственно. Тогда имеют место соотношения:

Матрицы и , связанные между собой данными соотношениями, называются подобными матрицами.

Действиям над линейными операторами соответствуют точно такие же действия над их матрицами. Если А и В линейные операторы, действующие в Х и , — матрицы этих операторов в одном и том же базисе, то:

1. Оператору А+В соответствует матрица .

2. Оператору соответствует матрица .

3. Оператору АВ соответствует матрица .

4.Если оператор В=А -1 , то матрица .

Пример 1. Вычислим матрицу тождественного оператора Е. По определению . Пусть базис в Х. Тогда вектор . Поэтому тождественному оператору соответствует единичная матрица:

Пример 2. Покажем, что поворот плоскости на угол a вокруг начала координат является линейным преобразованием, и найдем матрицу этого преобразования в любом ортонормированном базисе. Предполагается, что положительное направление отсчета углов совпадает с направлением кратчайшего поворота, переводящего базисный вектор во второй вектор базиса . Покажем, во-первых, что данный оператор является линейным. Пусть — радиус-вектор произвольной точки плоскости. Обозначим его координаты , модуль через r, угол с базисным вектором через j. Тогда

Образ вектора вектор будет равен

Рассмотрим теперь сумму двух векторов

Тогда образ суммы

т. е. выполняется свойство аддитивности линейного оператора. Аналогично можно проверить выполнение свойства однородности . Найдем теперь матрицу оператора в базисе , . Так как базис ортонормированный, то и . Тогда образы базисных векторов равны и . Откуда матрица оператора имеет вид

Пример 3. Линейный оператор А в базисе , , ,

Необходимо найти матрицу этого оператора в базисе , , , .

Векторы двух базисов «старого» и «нового» связаны соотношениями . Поэтому матрица перехода С от базиса к базису имеет вид:

Тогда матрица оператора А в «новом» базисе

Задачи

1. Пусть А и В- линейные операторы, действующие из Х в U. Показать, что оператор С=А+В является линейным.

2. Показать, что сложение операторов обладает следующими свойствами:

3. Пусть А и В- линейные операторы. Показать, что оператор С=АВ является линейным.

4. Выяснить, какие из следующих операторов А, определенных путем задания координат вектора как функций координат вектора , являются линейными, и найти их матрицы в том же базисе, в котором заданы координаты вектора :

5. Доказать, что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства, переводящее векторы соответственно в и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором заданы координаты всех векторов:

6. Линейное преобразование j в базисе , , имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе , , .

7. Пусть оператор А в базисе имеет матрицу , оператор В в базисе имеет матрицу . Найти матрицу оператора А+В в базисе .

8. Доказать, что любое линейное преобразование А одномерного пространства сводится к умножению всех векторов на одно и то же число, т.е. .

9. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе поменять местами векторы и ?

§ 7. Обобщающие примеры по теме: «Линейные преобразования»

Набор обобщающих примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Линейные преобразования». Эти примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих примерах.

Пример 11442: Пусть задан вектор=(x1,x2,x3) линейного пространства. Записано преобразование пространства:=(x1, x2+1, x3+2). Выяснить, является ли оно линейным. Если преобразование линейное, найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторыи.

1). Запишем базис пространства: =(1,0,0), =(0,1,0),=(0,0,1). Это значит, что произвольный вектор линейного пространства может быть записан в виде:=x1+x2+x3.

2). Пусть заданы два произвольных вектора и , принадлежащие . В соответствии с определением операций суммы векторов:=+=(x1+y1,x2+y2,x3+y3) и=(x1,x2,x3).

3). Запишем векторы-образы для векторов, участвующих в доказательстве линейности :

= (y1, y2+1, y3+2) и =(x1,x2+1, x3+2);

== (+,+ y2+1, x3+y3+2).

4). Из представленных записей следует: требование +— выполняется, требование— выполняется → преобразование — не является линейным.

Ответ: не является линейным преобразованием.

Пример 21445: Пусть имеем совокупность векторов :=(2,3,5),=(0,1,2),=(1,0,0), и совокупность векторов:=(1,1,1),=(1,1,-1),=(2,1,2). Доказать, что существует единственное линейное преобразование, переводящее совокупность векторовв совокупность. Найти матрицу этого преобразования в той же базе, в которой заданы все векторы.

Замечание: обозначим базу, в которой записаны все векторы, и в которой должно определиться искомое линейное преобразование, как совокупность векторов: i=(, , ).

Общая схема решения задачи:

R 1 – имеем выражения:=·,=·;,,— матрицы-столбцы.

R 2 –ищем матрицу перехода от совокупности векторов к совокупности векторов, определяемую выражением:=·; это выражение по форме соответствует определению линейного преобразования, задаваемого матрицейв базе.

R 3 – в задании указано, что матрица преобразования, должна быть определена в базе; это значит, что нужно матрицуподвергнуть трансформированию матрицейперехода от базык базе, то есть:=·.

R 4 –определяем алгоритм расчётов:=·=, где:=и=.

1). Из координат векторов составим матрицы: =и=. Определители матриц: ||≠0 и||≠0 → матрицыи невырожденные → матрица не вырожденной, являясь произведением невырожденных матриц.

2). Так как совокупности векторов имогут использоваться в качестве баз рассматриваемого векторного пространства, то матрица перехода от базы к базе — невырожденная. Это обеспечивает единственность представления матрицы линейного преобразования.

3). В главе 9 показано, что матрицу перехода от базы к базедля варианта-1, необходимо вычислять, применяя выражение:=·.

4). Используем выражение =. Так как в нашем случае d = 1, то =.

5) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

*Выделим миноры:к элементу;к элементу;к элементу:

1.3. Задачи

1. Пусть А и В- линейные операторы, действующие из Х в . Показать, что оператор С=А+В является линейным.

2. Показать, что сложение операторов обладает следующими свойствами:

3. Пусть А и В- линейные операторы. Показать, что оператор С=АВ является линейным.

4. Выяснить, какие из следующих операторов А, определенных путем задания координат вектора как функций координат вектора , являются линейными, и найти их матрицы в том же базисе, в котором заданы координаты вектора :

5. Доказать, что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства, переводящее векторы соответственно в и найти матрицу этого преобразования в том же базисе, в котором заданы координаты всех векторов:

6. Линейное преобразование  в базисе , , имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе , , .

7. Пусть оператор А в базисе имеет матрицу , оператор В в базисе имеет матрицу . Найти матрицу оператора А+В в базисе .

8. Доказать, что любое линейное преобразование А одномерного пространства сводится к умножению всех векторов на одно и то же число, т.е. .

9. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе поменять местами векторы и ?

Образ и ядро линейного оператора

Определение 1. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов , представимых в виде , где .

Образ линейного оператора А является линейным подпространством пространства . Его размерность называется рангом оператора А.

Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех векторов , для которых .

Ядро является линейным подпространством пространства Х. Его размерность называется дефектом оператора А.

Если оператор А действует в ¤ -мерном пространстве Х, то справедливо следующее соотношение + = .

Оператор А называется невырожденным, если его ядро . Ранг невырожденного оператора равен размерности пространства Х.

Пусть — матрица линейного преобразования А пространства Х в некотором базисе, тогда координаты образа и прообраза связаны соотношением

Поэтому координаты любого вектора удовлетворяют системе уравнений

Отсюда следует, что ядро линейного оператора является линейной оболочкой фундаментальной системы решений данной системы.

2.1. Задачи

1. Доказать, что ранг оператора равен рангу его матрицы в произвольном базисе.

Вычислить ядра линейных операторов, заданных в некотором базисе пространства Х следующими матрицами:

Вычислить ранг и дефект операторов, заданных следующими матрицами:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор А, действующий в — мерном пространстве Х.

Определение. Число  называется собственным значением оператора А, если , такой, что . При этом вектор называется собственным вектором оператора А.

Важнейшим свойством собственных векторов линейного оператора является то, что собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям линейно независимы.

Если — матрица линейного оператора А в базисе пространства Х, то собственные значения  и собственные векторы оператора А определяются следующим образом:

1. Собственные значения находят как корни характеристического уравнения (алгебраического уравнения -ой степени):

2. Координаты всех линейно независимых собственных векторов , соответствующих каждому отдельному собственному значению , получают, решая систему однородных линейных уравнений:

матрица которой имеет ранг . Фундаментальные решения этой системы являются вектор – столбцами из координат собственных векторов.

Корни характеристического уравнения называют также собственными значениями матрицы , а решения системы — собственными векторами матрицы .

Пример. Найти собственные векторы и собственные значения оператора А, заданного в некотором базисе матрицей

1. Для определения собственных значений составляем и решаем характеристическое уравнение :

Отсюда собственное значение , его кратность .

2. Для определения собственных векторов составляем и решаем систему уравнений :

Эквивалентная система базисных уравнений имеет вид

Поэтому всякий собственный вектор представляет собой вектор-столбец , где с – произвольная константа.

Доказать что существует единственное линейное преобразование трехмерного пространства

Решение задач и выполнение научно-исследовательских разработок: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
математика, IT, информатика, программирование, статистика, биостатистика, экономика, психология
Пришлите по e-mail: irina@bodrenko.org описание вашего задания, срок выполнения, стоимость Группы преобразований Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

§ 2. Группы преобразований

В этом параграфе изучаются группы невырожденных линейных преобразований линейного, и в частности евклидова, пространства.
1. Невырожденные линейные преобразования. В п. 1 § 1 гл. 5 было введено понятие линейного оператора. Напомним, что линейным оператором А называлось такое отображение линейного пространства V в линейное пространство W, при котором образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента.
Мы будем рассматривать так называемые невырожденные линей н ые операторы, отображающие данное конечномерное линейное пространство V в это же пространство. При этом линейный оператор А называется невырожденным, если det А ≠ 0 ( н апомним, что det А был введен в п. 2 § 2 гл. 5 как определитель матрицы линейного оператора в данном базисе. Там же было доказано, что значение det А не зависит от выбора базиса).
Отметим следующее важное свойство невырожденных операторов: каждый такой оператор отображает пространство V на себя взаимно однозначно.
Иными словами, если А — невырожденный оператор, то каждому элементу х Î V соответствует только один элемент у Î V, который может быть найден по формуле

и если у — любой фиксированный элемент пространства V, то существует только один элемент х такой, что у = Ах.
Для доказательства второй части сформулированного утверждения обратимся к матричной записи действия линейного оператора. Итак, если А = (a j k) — матрица оператора А в данном базисе и элементы х и у имеют соответственно координаты x 1 . х n и у 1 . у n , то, согласно формуле (5.14) (см. п. 1 §2 гл.5), соотношение (9.10) перепишется в виде

и поэтому координаты x k можно рассматривать как неизвестные при заданных координатах у j . Так как оператор А невырожденный, т. е. det А ≠ 0, система уравнений (9.11) имеет единственное решение для неизвестных х k . Это и означает, что для каждого фиксированного элемента у Î V существует только один элемент х такой, что у = Ах.
Итак, результат действия невырожденного линейного оператора можно рассматривать как отображение линейного пространства V на себя.
Поэтому при заданном невырожденном операторе мы можем говорить о невырожденном линейном преобразовании пространства V, или, короче, о линейном преобразовании пространства V.
2. Группа линейных преобразований. Пусть V — n-мерное линейное пространство с элементами х, у, z, . и GL(n) — множество всех невырожденных линейных преобразований этого пространства.
Определим в GL(n) закон композиции, который в дальнейшем будем называть умножением. Мы определим умножение линейных преобразований из GL(n) так же, как было определено в п. 2 § 1 гл.5 умножение линейных операторов.
Именно, произведением АВ линейных преобразований А и В из множества GL(n) мы назовем линейный оператор, действующий по правилу

Отметим, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА.
Для того чтобы указанное произведение действительно было законом композиции (см. п. 1 § 1 этой главы), достаточно доказать, что преобразование АВ является невырожденным, а это следует из того, что матрица линейного преобразования АВ равна произведению матриц преобразований А и В, а следовательно, det (АВ) = det A ´ det B ≠ 0, ибо det А ≠ 0 и det В ≠ 0.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 9.8. Множество GL(n) невырожденных линейных преобразований линейного n-мерного пространства V с введенной выше операцией умножения представляет собой группу (называемую группой линейных преобразований линейного пространства V).
Доказательство. Проверим требования 1°, 2°, 3° определения 2 группы (см. п. 2 § 1 этой главы).
1°. Ассоциативность умножения, т.е. равенство

справедливо, поскольку, согласно (6.12), произведение линейных преобразований заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные преобразования А(ВС) и (АВ)С совпадают с линейным преобразованием ABC и, следовательно, тождественны.
2°. Существование единицы. Обозначим символом I тождественное преобразование. Это преобразование невырожденное, так как det I = 1. Очевидно, для любого преобразования А из GL(n) справедливо равенство AI = IA = А.
Следовательно, линейное преобразование I играет роль единицы.
3°. Существование обратного элемента. Пусть А — любое фиксированное невырожденное линейное преобразование. Обратимся к координатной записи (9.11) этого преобразования. Так как det А ≠ 0, то из системы (9.11) можно по заданному у (по заданным координатам y j ) единственным образом определить х (координаты х k ). Следовательно,
определено обратное преобразование А -1 , которое, очевидно, будет линейным (это следует из (9.11)); кроме того, по самому определению А -1 А = I. Поэтому линейный оператор А -1 играет роль обратного элемента для А.
Итак, для операции умножения элементов из GL(n) выполнены требования 1°, 2°, 3° определения 2 группы. Поэтому GL(n) — группа. Теорема доказана.
3. Сходимость элементов в группе GL(n). Подгруппы группы GL(n). В этом и дальнейших пунктах этого параграфа мы будем рассматривать группу GL(n) в n-мерном евклидовом пространстве V.
Введем понятие сходимости в группе GL(n).
Определение. Последовательность элементов n> из GL(n) называется сходящейся к элементу А Î GL(n), если для любого х из V последовательность nх> сходится к Ах ( п оследовательность nх> представляет собой последовательность точек пространства V. Поэтому сходимость последовательности nх> понимается в обычном смысле) .
Понятие сходимости в GL(n) мы используем ниже при введении так называемых компактных групп.
Рассмотрим следующие типы подгрупп группы GL(n).
1°. Конечные подгруппы, т.е. подгруппы, содержащие конечное число элементов.
Примером конечной подгруппы может служить подгруппа отражений относительно начала координат, содержащая два элемента — тождественное преобразование и отражение относительно начала (см. пример 7 п. 2 § 1 этой главы).
2°. Дискретные подгруппы, т. е. подгруппы, содержащие счетное число элементов.
Примером такой подгруппы может служить подгруппа поворотов плоскости около начала координат на углы k φ , k = 0, ±1,±2. где φ — угол, несоизмеримый с π .
3°. Непрерывные подгруппы, т. е. подгруппы, содержащие более чем счетное число элементов.
Подгруппа всех поворотов трехмерного пространства вокруг фиксированной оси представляет собой пример непрерывной подгруппы.
Среди непрерывных подгрупп группы GL(n) выделяются так называемые компактные подгруппы, т. е. подгруппы, у которых из любого бесконечного множества ее элементов можно выделить последовательность, сходящуюся к элементу этой подгруппы.
4. Группа ортогональных преобразований. В группе GL(n) выделяется специальная подгруппа так называемых ортогональных преобразований. Эти преобразования, рассматриваемые как отдельное множество, образуют группу, называемую ортогональной группой.
Введем понятие ортогональных преобразований.
Напомним, что мы рассматриваем невырожденные линейные преобразования. Понятие такого преобразования равнозначно понятию невырожденного оператора, т. е. оператора А, для которого det А ≠ 0.
Напомним теперь введенное в §9 гл.5 понятие ортогонального оператора, действующего в вещественном евклидовом пространстве V.
Именно, линейный оператор Р мы назвали ортогональным, если для любых х и у из V справедливо соотношение

Результат действия ортогонального оператора Р будем называть ортогональным преобразованием Р.
В теореме 5.36 было доказано, что оператор Р является ортогональным тогда и только тогда, когда существует обратный оператор Р -1 и выполняется равенство

В этом равенстве Р* — оператор, сопряженный к Р.
Таким образом, если преобразование Р является ортогональным, то у этого преобразования есть обратное Р -1 . Отсюда следует, что каждое ортогональное преобразование является невырожденным. Действительно, поскольку РР -1 = I, где I — тождественное преобразование, то

detP · detР -1 = det I = 1,

т.е. det P ≠ 0. Следовательно, ортогональное преобразование Р невырожденное.
Отметим следующее важное свойство ортогональных преобразований.
Теорема 9.9. Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства V с обычной операцией умножения линейных преобразований образует группу, называемую ортогональной группой и обозначаемую символом О(n).
Доказательство. Достаточно доказать, что произведение ортогональных преобразований представляет собой ортогональное преобразование. Существование обратного преобразования (обратного элемента) для данного ортогонального преобразования доказано в теореме 5.36 (см. также только что сделанное замечание).
Итак, пусть P1 и P2 — ортогональные преобразования. Рассмотрим произведение P1P2. Согласно теореме 5.36 нам достаточно доказать соотношение

В п. 1 §5 гл.5 (см. свойство 5° сопряженных операторов) мы установили, что (P1P2)* = P*2P*1. Используя это соотношение и ортогональность преобразований P1 и P2, получим

Таким образом, соотношение (9.15) доказано. Теорема доказана.
Замечание 1. Очевидно, ортогональная группа является подгруппой группы GL(n).
Замечание 2. Значение определителя det P ортогонального преобразования Р удовлетворяет соотношению

Для доказательства (9.16) заметим, что для матрицы Р преобразования Р справедливо соотношение

где Р’ — транспонированная матрица, полученная из Р перестановкой строк и столбцов, а I — единичная матрица.
Так как det Р = det P’ (при перестановке строк и столбцов определитель не меняется) и det I = 1, то из соотношения (9.18) следует, что (det P) 2 = 1, т.е. det P = ± 1. Поскольку, по определению, det P вводится как определитель матрицы Р в любом базисе, то соотношения (9.16) и (9.17) доказаны.
Соотношение (9.17) для определителя ортогонального преобразования служит основой для разделения всех таких преобразований на два класса.
В первый класс мы отнесем все ортогональные преобразования, для которых det P = +1. Эти преобразования в дальнейшем будем называть собственными.
Во второй класс отнесем все ортогональные преобразования, для которых det Р = — 1. Такие преобразования будем называть несобственными.
Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, называемую собственной ортогональной группой. Эта группа обозначается символом SO(n).
Можно доказать, что каждая группа SO(n) компактна.
5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы. В этом пункте мы не будем стремиться к полноте изложения. На отдельных примерах мы постараемся выяснить характеристики некоторых подгрупп ортогональной группы.
Отметим, что конечные и дискретные подгруппы группы O(3) имеют важное значение в кристаллографии.
1°. Рассмотрим двумерную ортогональную группу O(2). В этой группе можно выделить дискретную подгруппу поворотов на угол k φ , k = 0,±1,±2, .
Обозначим буквой а элемент этой подгруппы, отвечающий значению k = +1. Тогда, очевидно, элемент аk, отвечающий повороту на угол k φ при k > 0 равен . Это соотношение можно сокращенно записать в следующей форме:

Если обозначить символом а -1 элемент, обратный элементу а (а -1 — элемент, отвечающий повороту на угол — φ ), и единицу рассматриваемой подгруппы обозначить а0, то очевидно, любой элемент ak при отрицательном, положительном и нулевом значении k можно записать в виде

аk = а k , k = 0, ±1, ±2, . (9.19)

Группы, элементы аk которых могут быть представлены в виде (9.19), называются циклическими.
Очевидно, что циклические группы являются дискретными.
Отметим два типа циклических подгрупп поворотов:
1) если φ ≠ 2 π р / q, где р и q — целые числа (т. е. угол несоизмерим с π ), то все элементы аk различны;
2) если φ = 2 π р / q, где р и q — взаимно простые числа, то справедливо соотношение ak+q = аk, т.е. a q = а 0 .
Группы, для которых выполняется последнее соотношение, называются циклическими группами порядка q.
2°. Обратимся теперь к так называемым подгруппам зеркальной симметрии.
Каждая подгруппа зеркальной симметрии состоит из двух элементов: единица (тождественное преобразование) и отражение либо относительно какой-либо плоскости, либо относительно начала координат.
Убедиться в том, что тождественное преобразование и отражение образуют группу, весьма просто — достаточно заметить, что два последовательных отражения дают тождественное преобразование (см. пример 7 п. 2 § 1 этой главы).
Рассмотрим, например, подгруппу группы O(3), состоящую из единицы I и отражения Р трехмерного пространства относительно начала координат. В ортонормированием базисе матрица Р этого преобразования имеет вид .
Так как определитель det P = -1, то подгруппа является несобственной. В примере 7 п. 2 § 1 этой главы отмечалось, что подгруппа изоморфна группе Z2 вычетов по модулю 2.
Докажем следующее утверждение.
Рассматриваемая подгруппа представляет собой нормальный делитель группы O(3).
Нам требуется доказать, что для любого элемента а из O(3) справедливы соотношения

aI = Ia, aP = Ра (9.20)

(эти соотношения показывают, что левый и правый смежные классы подгруппы совпадают, что является признаком нормального делителя).
Первое из соотношений (9.20) очевидно.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующими очевидными свойствами отражения Р:

PP = I, РаР = а, a Î O(3).

Умножая соотношение РаР слева на Р и пользуясь равенством РР = I, получим второе соотношение (9.20).
Докажем теперь следующее утверждение.
Подгруппа SO(3) собственных ортогональных преобразований группы O(3) изоморфна фактор-группе группы O(3) по нормальному делителю .
Доказательство. Смежный класс элемента а Î SO(3) по подгруппе имеет вид , причем Ра — несобственное преобразование (произведение собственного преобразования а и несобственного преобразования Р дает несобственное преобразование).
Если а’ — несобственное преобразование, то смежный класс приводится к виду , где а = Ра’ — собственное преобразование и Ра = Р(Ра’) = (РР)а’ = а’.
Таким образом, фактор-группа O(3 / ) состоит из смежных классов вида , где а — собственное преобразование. Очевидно, что соответствие а ↔ есть изоморфизм между группами SO(3) и O(3 / . Утверждение доказано.
6. Группа Лоренца. В п. 1 §4 гл.8 мы ввели понятие псевдоевклидова пространства Е n (p, q), т.е. линейного пространства, в котором задано скалярное произведение (х, у), равное невырожденной симметричной билинейной форме A(х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме A(х, х):

В п.2 §4 гл.8 было отмечено, что в так называемой галилеевой системе координат квадрат интервала

(так обычно называется квадрат длины вектора х с координатами (х1, x2, . хn)) имеет вид

Введем понятие преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства Е n (p, q).
Определение. Линейное преобразование Р псевдоевклидова пространства Е n (p, q) называется преобразованием Лоренца, если для любых х и у из Е n (p, q) справедливо соотношение

где (х, у) — скалярное произведение, определенное соотношением (9.21).
Равенство (9.24) называется условием лоренцовости преобразования.
Отметим, что при преобразовании Лоренца сохраняется квадрат интервала s 2 (x), определенный соотношением (9.22) (или (9.23)).
Так же, как в п. 4 этого параграфа, можно доказать, что определитель detP преобразования Лоренца отличен от нуля, и поэтому для каждого преобразования Лоренца Р существует обратное преобразование Р -1 .
Кроме того, по самому смыслу определения преобразования Лоренца, произведение таких преобразований дает в результате преобразование Лоренца. Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Множество всех преобразований Лоренца псевдоевклидова пространства Е n (p, q) с обычной операцией умножения линейных преобразований (линейных операторов) образует группу, называемую общей группой Лоренца псевдоевклидова пространства Е n (p, q) и обозначаемую символом L(n; р, q).
Мы выделим специальный класс псевдоевклидовых пространств Е n (1, n-1) (сюда включается интересное с физической точки зрения пространство Е 4 (1, 3))
Группа Лоренца для пространств Е n (1, n-1) обозначается через L(n).
В п. 1 §4 гл.8 (формула (8.69)) было введено понятие длины σ (х) вектора х, которая вычисляется по формуле

С помощью этой формулы все ненулевые векторы псевдоевклидова пространства разделяются на времениподобные ( σ (х) > 0), пространственноподобные ( σ (х) < 0) и изотропные ( σ (х) = 0). Было доказано, что множество концов времениподобных (пространственноподобных, изотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой, образует конус Т (конус пространственноподобных векторов обозначается буквой S). Конус Т по соглашению ( в п. 2 §4 гл.8 для пространства Минковского Е 4 (1, 3) указано, как разделяется конус Т на связные компоненты Т + и Т — , и дается физическая интерпретация этих компонент) разделяется на две связные компоненты Т + и Т — (конус будущего и конус прошлого) так, что каждая из этих компонент вместе с вектором х содержит любой вектор λ х, где λ > 0.
Описанное разделение векторов в псевдоевклидовом пространстве дает возможность выделить из группы Лоренца L(n) некоторые подгруппы.
Именно, подгруппа группы L(n), преобразования которой переводят любой времениподобный вектор снова во времениподобный вектор, называется полной группой Лоренца. Для нее используется обозначение L (n).
Выделяется еще одна подгруппа группы L(n). В эту подгруппу входят преобразования, определитель матрицы которых положителен. Эта подгруппа обозначается L+ (n) и называется собственной группой Лоренца.
Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат подгруппе L (n), также образуют подгруппу. Ее часто называют группой Лоренца и обозначают символом .
В заключение этого пункта мы отметим, что группы Лоренца, в отличие от ортогональных групп, некомпактны ( в п. 3 этого параграфа было введено понятие сходимости элементов в группу GL(n) в n-мерном евклидовом пространстве и связанное с понятием сходимости понятие компактной группы. Эти понятия легко переносятся на случай группы в произвольном конечномерном линейном пространстве V. Сначала вводится понятие сходимости точек в V (например, можно выбрать в V систему координат и рассматривать сходимость последовательности векторов m> как сходимость последовательностей координат этих векторов). После этого в полной аналогии с определением сходимости в случае группы GL(n) в евклидовом пространстве вводится понятие сходимости в группе, заданной в линейном пространстве, и определяется понятие компактной группы в таком пространстве).
Для примера докажем некомпактность группы .
В п.3 §4 гл.8 мы полностью описали эту группу. Напомним, что если в Е 2 (1, 1) введена система координат (х, у) так, что квадрат интервала задается формулой

s 2 = х 2 — у 2 , (9.25)

то преобразования Лоренца из группы пространства Е 2 (1, 1) задаются формулами

Рассмотрим в плоскости (х, у) вектор х с координатами (0, 1). По формуле (9.26) этот вектор перейдет в вектор х β с координатами

Обратимся теперь к последовательности преобразований Лоренца (9.26), определяемой значениями βn из соотношения

Согласно (9.27) и (9.28) вектор х перейдет при действии указанной последовательности преобразований Лоренца в следующую последовательность векторов n> с координатами

Таким образом, из бесконечной последовательности преобразований Лоренца в группе , определенной соотношениями (9.26), для значений β из равенств (9.28) нельзя выделить сходящуюся последовательность (напомним, что последовательность элементов Аn группы называется сходящейся к элементу А, если для любого х последовательность пх> сходится к Ах), ибо последовательность (9.29) неограниченная.
Геометрическая иллюстрация некомпактности группы заключается в следующем.
Согласно (9.25) окружность единичного радиуса в псевдоевклидовой плоскости будет гиперболой х 2 — у 2 = 1, являющейся некомпактным множеством. При действии рассмотренной выше последовательности преобразований из группы заданная точка на этой окружности преобразуется в бесконечно большую последовательность точек на указанной выше гиперболе, а из бесконечно большой последовательности точек нельзя выделить сходящуюся последовательность.
7. Унитарные группы. В этом пункте мы обратимся к комплексному линейному пространству. В полной аналогии с п. 2 этого параграфа можно рассматривать группы линейных преобразований такого пространства. Так как комплексное число определяется двумя вещественными числами (действительной и мнимой частью), то полная линейная группа GL(n) преобразований n-мерного комплексного линейного пространства изоморфна полной линейной группе преобразований вещественного 2n-мерного пространства GL(2n) (вместо этого символа часто пишут GL(2n, R), подчеркивая тем самым, что речь идет о группе преобразований вещественного пространства).
В полной линейной группе преобразований комплексного евклидова пространства по аналогии с вещественным евклидовым пространством рассматриваются так называемые унитарные группы U (n), являющиеся аналогом ортогональных групп (напомним, что в §7 гл.5 унитарные преобразования (унитарные операторы) определялись как линейные преобразования, сохраняющие скалярное произведение; таким же образом в вещественном случае определялись и ортогональные преобразования).
Как и в вещественном случае, в группе U (n) унитарных преобразований выделяется подгруппа SU (n), для которой определители унитарных преобразований равны единице.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *