Как найти площадь пластины
Перейти к содержимому

Как найти площадь пластины

  • автор:

1.3. Как найти площадь плоской фигуры
с помощью двойного интеграла?

Двойной интеграл численно равен площади плоской фигуры (области интегрирования). Сначала рассмотрим задачу в общем виде.

А именно вычислим площадь фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что на отрезке .

Площадь заштрихованной фигуры численно равна , и сейчас мы «раскрутим» тему.

Таким образом:
И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую «чайникам», да и не только им. Потому что это удобно.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат первого пункта нужно подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью обычного определённого интеграла!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла!

Пример 9

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: изобразим область на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход, т.к. выше были приведены очень подробные разъяснения.
Таким образом:

Как уже отмечалось, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала разбираемся с внутренним интегралом:

Здесь мы ВМЕСТО «игрек» сначала подставили верхний предел интегрирования , а затем – нижний: . Если вы запамятовали формулу Ньютона-Лейбница, обязательно найдите её в приложениях! На всякий случай я приложил к данному курсу Справку по интегралам и Справку по производным.

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – это фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла. Обо всех тонкостях решения этой задачи (а их немало) можно ознакомиться по ссылке выше либо в курсе Определённые и несобственные интегралы. Это китайское напоминание.

Ответ:

Несмотря на то, что эту задачу мы неоднократно решали ранее, здесь ещё есть о чём поговорить.

Любопытное задание для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,

Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.

В двух предыдущих примерах значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в заключение курса молодого «ботана» рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:

Пример 11

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,

Решение: нас с нетерпением ждут две параболы, которые «лежат на боку». Улыбаться не нужно, похожие вещи в кратных интегралах встречаются частенько.

Представим параболу в виде двух функций:
– верхняя ветвь и – нижняя ветвь.
Аналогично, представим параболу в виде верхней и нижней ветвей.

Графики строим поточечно, причём, по причине симметрии, вычислений у нас в два раза меньше. В результате получается вот такая причудливая фигура:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых, данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину: (следим по чертежу. ). Интегралы, конечно, не «убийственные», но… есть старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:

Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без всяких там веток, корней и прочего дерева.

И, согласно второму способу, обход области будет следующим:

Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним интегралом:

Результат подставляем во внешний интеграл:

Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней. Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Что добавить…. Всё!

Ответ:

Для проверки своей техники интегрирования можете попробовать вычислить . Ответ должен получиться точно таким же.

Пример 12

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных интегралов. Бывает и такое.

Итак, начальный мастер-класс подошёл к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень. Обязательно с хорошим настроением! – оранжевым настроением – прямо как сейчас у меня, а почему оно такое, я объясню чуть позже:

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

© mathprofi.ru / com, 2010-2024, Высшая математика – просто и доступно!

Калькулятор для расчета площади

Данный онлайн-калькулятор позволяет рассчитать площадь различных геометрических фигур, таких как:

Для удобства расчетов вы можете выбрать единицу измерения (миллиметр, сантиметр, метр, километр, фут, ярд, дюйм, миля). Также полученный результат можно конвертировать в другую единицу измерения путем выбора её из выпадающего списка.

Расчет площади прямоугольника

a= Расчет площади прямоугольника (рисунок)ы
b=

Билет №23. Измерение площади картонной пластинки неправильной формы с помощью рычажных весов

Цель: Экспериментально определить площадь картонной пластины неправильной формы.

Оборудование: рычажные весы с разновесами, картонная пластинка произвольной формы, картонная пластина квадратной формы.

Порядок выполнения работы:

  1. Измерить массу квадратной картонной пластины.
  2. Измерить массу картонной пластины неправильной формы.
  3. Измерить площадь квадратной картонной пластины (длину умножить на ширину).
  4. Рассчитать площадь картонной пластины неправильной формы.

Вывод расчетной формулы:

, поскольку обе пластины вырезаны из одного и того же картона, то их плотности и толщина h одинаковы. Значит , откуда .

Вывод: Мы измерили площадь картонки неправильной формы с помощью рычажных весов.

Билет №24. Определение оптической силы собирающей линзы

Цель: Экспериментально определить оптическую силу собирающей линзы.

Оборудование: собирающая линза, линейка, экран.

Теория вопроса: Оптическая сила выпуклой линзы определяется по формуле тонкой линзы , где d-расстояние от предмета до линзы, а fрасстояние от линзы до изображения.

Если предмет можно считать бесконечно удаленным от линзы

тогда расчетная формула будет выглядеть так:

Это соотношение можно объяснить иначе: пучок параллельных лучей пересекается в фокусе, т.е. , а значит .

Порядок выполнения работы:

  1. Установить экран напротив окна.
  2. Установить линзу напротив экрана таким образом, чтобы изображение окна было наиболее четким.
  3. Измерить расстояние между центром линзы и изображением (f=0,04м).

Подставить полученное значение f в ранее выведенную формулу:

Вывод: Экспериментальным путем мы определили оптическую силу собирающей линзы.

Билет №25. Проверка выполнимости «золотого правила механики» для рычагов

Цель: Экспериментально подтвердить выполнение «золотого правила механики» для рычага.

Оборудование: рычаг на штативе, динамометр, груз, линейка.

Порядок выполнения работы:

  1. Измерить вес груза Р динамометром .
  2. Справа от точки подвеса к рычагу прикрепить динамометр, а слева груз.
  3. Равномерно перемещать динамометр вниз, при этом рычаг перейдёт в горизонтальное положение, а груз поднимется вверх. Фиксируем показания динамометра ( .
  4. Измеряем пути пройденные точками крепления груза h2 и динамометра h1( , .
  5. Вычисляем и сравниваем работы совершённые силой упругости пружины и силой тяжести груза, численно равной весу Р.

Вывод: Работа силы упругости пружины динамометра и работа сила тяжести груза практически совпали – это значит, что рычаг не даёт выигрыша в работе, или выигрыш в силе даёт проигрыш в расстоянии. Это доказывает «золотое правило механики», сформулированное еще Архимедом.

Билет №26. Измерение равнодействующей двух сил, направленных под углом друг к другу

Ц ель: Определить равнодействующую двух сил, направленных под углом друг к другу.

Оборудование: Три динамометра, нитка, металлическое кольцо, штатив, транспортир.

Порядок выполнения работы:

  1. Привязать один динамометр к штативу. С помощью металлического кольца присоединить два других динамометра так, чтобы они образовали три угла по 120° (для упрощения расчетов).
  2. Плавно потянуть за динамометры 2 и 3 так, чтобы пружины растянулись на 30-50% своей длины.
  3. Определить модуль равнодействующей двух сил F2 и F3 и сравнить его с показанием первого динамометра F1.

Масса пластины

Масса тела — это его объем V, умноженный на плотность его материала rho(см. таблицы плотностей):
m~=~V~*~rho
Объем пластины — это ее площадь S, умноженная на ее толщину T:
V~=~S~*~T
Поэтому вычисление массы пластины сводится к вычислению ее площади.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.

Рассмотрим несколько простых форм.

1. Масса прямоугольной пластины

Прямоугольная пластинаПлощадь прямоугольника: S~=~L~*~W, где L— длина пластины, W— ширина пластины. Тогда масса:

m~=~<<L~*~W~*~T></p>
<p>/1000>~*~rho» /></p>
<h6>2. Масса треугольной пластины</h6>
<p><img decoding=Площадь треугольника: S~=~<A~*~H>/2″ />, где <img decoding=— основание треугольника, H— высота треугольника. Тогда масса:

m~=~<<A~*~H~*~T></p>
<p>/2000>~*~rho» /></p>
<h6>3. Масса круглой пластины</h6>
<p> Площадь круга: <img decoding=, где pi~=~3,14, D— диаметр круга.
Тогда масса:

m~=~<<pi~*~D^2~*~T></p>
<p>/4000>~*~rho» /></p>
<h6>4. Масса эллиптической пластины</h6>
<p><img decoding=Площадь эллипса: S~=~pi~*~<L~*~W>/4″ />, где <img decoding=, L— длина эллипса, W— ширина эллипса. Тогда масса:

m~=~<<pi~*~L~*~W~*~T></p>
<p>/4000>~*~rho» /></p>
<p>Масса пластины более сложной формы может быть вычислена как сумма (или разность) масс пластин простой формы. Примеры:</p>
<h6>5. Масса овальной пластины</h6>
<p><img loading=Овал — это круг, разрезанный пополам и раздвинутый вставленным в него прямоугольником. Площадь круга: S1~=~pi~*~W^2/4; площадь прямоугольника: S2~=~(L~-~W)~*~W
Тогда масса овальной пластины:

m~=~<(S1~+~S2)~*~T></p>
<p>/1000~*~rho» /></p>
<h6>7. Масса пластины в форме флажка</h6>
<p><img loading=Это прямоугольник, из которого вырезан треугольник. Площадь прямоугольника: S1~=~L~*~W; площадь треугольника: S2~=~<W~*~H>/2″ />. <br />Тогда масса этой пластины:</p>
<p><img decoding=Как вернуть текст который удалил в браузере

  • Как найти точку пересечения биссектрис треугольника
  • Ошибка explorer exe windows 10 как исправить
  • Что обозначает дел в информатике
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *