Трехзначные числа которые делятся на 7
Перейти к содержимому

Трехзначные числа которые делятся на 7

  • автор:

Признаки делимости на 7

Этот признак можно применять к числу рекурсивно несколько раз подряд, пока число не станет достаточно маленьким. Поэтому этот признак называется рекурсивным признаком делимости на 7.

Пример. Проверить, делится ли на 7 число а) 364 б) 411 в) 31815

Решение: а) 364. Число 364 без последней цифры — 36, удвоенная последняя цифра 4 2 = 8. Разность 36 − 8 = 28, а число 28, как мы знаем, делится на 7. Поэтому и число 364 делится на 7.

б) 411. Число 411 без последней цифры — 41, удвоенная последняя цифра — 2. Разность 41 − 2 = 39, а число 39 на 7 не делится. Поэтому 411 не делится на 7.

в) 31815. Так как число большое, то в этом примере придётся применять правило несколько раз:

  • 3181 − 10 = 3171
  • 317 − 2 = 315
  • 31 − 10 = 21

Применив рекурсивно правило три раза, получили число 21. Число 21 делится на 7, поэтому и число 31815 делится на 7.

Доказательство. Пусть — число, которое мы хотим проверить на делимость на 7. Покажем, что если делится на 7, то и выражение

делится на 7. В этом выражении — операция взятия остатка от деления.

Распишем выражение выше:

Число 10 в знаменателе на 7 не делится, поэтому будем рассматривать только числитель. Так как слагаемое в числителе делится на 7 (число 21 делится на 7), то всё выражение делится на 7 тогда и только тогда, когда число делится на 7.

Признак делимости на 7 по сумме граней

Определение. Трёхзначные грани числа — это числа, которые получены разбиением исходного числа на трёхзначные числа. Например, разбиение числа 1234567890 на трёхзначные грани выглядит так: 1|234|567|890 (разбиение числа начинается с его конца). Числа 1, 234, 567, 890 являются трёхзначными гранями числа 1234567890.

Признак делимости на 7. Число делится на 7, если знакочередующаяся сумма его трёхзначных граней делится на 7.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Пример. Проверить, делится ли на 7 число а) 626647 б) 23013 в) 99148

Решение: а) 626647. Разбиение этого числа на трёхзначные грани выглядит так: 626|647. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа равна 626 − 647 = −21. Так как −21 делится на 7, то и число 626647 делится на 7. Ответ: делится.

б) 23013. Разбиваем число на трёхзначные грани: 23|013. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа есть 23 − 13 = 10. Число 10 на 7 не делится, поэтому число 23013 не делится на 7. Ответ: не делится.

в) 99148. Разбиваем число на трёхзначные грани: 99|148. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа равна 99 − 148 = −49. Число −49 делится на 7, поэтому и число 99148 делится на 7. Ответ: делится.

Доказательство этого признака смотрите в большой статье про признаки делимости.

Научный форум dxdy

Сколько трехзначных натуральных чисел делится на 7

Сколько трехзначных натуральных чисел делится на 7
13.04.2009, 13:43

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачку:
Сколько трехзначных натуральных чисел делится на 7?

$\overline<xyz>= 100x + 10y + z$» /> — вот так я представил трехзначные числа, <br /> <img decoding=— а вот один из признаков делимости на 7.

Подскажите пожалуйста, как можно её решать?

13.04.2009, 14:09

Супермодератор

Проще представить все числа, которые делятся на 7, а виде $n=7k$и посмотреть, при каком наименьшем и наибольшем значениях $k$число $n$получается трехзначным.

13.04.2009, 14:18
спасибо большое!

Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]
Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Как узнать, делится ли число без остатка на 7 и 8?

Когда я учился в школе и решал задачки по математике, очень часто хотелось узнать, делится одно число на другое (предполагается, что делитель меньше 10) или нет без остатка. Обычно при решении таких примеров учителя запрещали пользоваться калькулятором, а вычисления в «столбик» были относительно длительны. Я нередко ошибался и получал несуразные результаты. А знание того, что число заведомо разделится без остатка, было бы здесь совсем не лишним.

Lightspring, Shutterstock.com

Потом, не помню в каком классе, нам рассказали о некоторых признаках делимости. Давайте вместе вспомним их. (Предупреждение: я не являюсь ни учителем математики, ни аспирантом математических наук, поэтому буду излагать не научно правильно, а как умею. Учителям математики просьба — не придираться по этому поводу).

Число без остатка делится на 2, если делится на 2 его последняя цифра. То есть если последняя цифра — четная. Объясняется это просто. Число 10 — четное. Сколько десятков к четной цифре ни добавляй, оно все равно останется четным.

По-другому с тройкой. Число без остатка делится на 3, если делится на 3 сумма всех его цифр. Например, 327. Сумма его цифр: 3+2+7=12. 12 делится на 3 без остатка, значит, и число 327 делится на 3 без остатка. (327: 3 = 109).

Далее. Число без остатка делится на 4, если делится на 4 число из двух последних его цифр. Число 100 делится без остатка на 4, и, следовательно, сколько сотен ни добавляй, оно все равно будет делиться на 4. Если двухзначное число выходит за таблицу умножения, то от него следует отнять 40 и узнать, делится ли полученное число на 4.

Например, 56. Вы, допустим, затрудняетесь сказать, делится ли оно на 4. Тогда от его нужно отнять 40. Получается 16, а оно делится на 4. Следовательно, и 56 делится на 4. А также 156, 356, 756, 1556, 3756 — все они будут делиться на 4. Значение имеют лишь две последние цифры числа.

Очень простой признак делимости на 5. Число без остатка делится на 5, если оно заканчивается цифрой 5, либо цифрой 0. Здесь, я думаю, комментарии не требуются.

Про признак делимости на 6 в школе не рассказывают. Однако любой ученик с более-менее живым умом легко до него додумается. Поскольку 6 = 2×3, то для того, чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться и на 2, и на 3. А признаки делимости на эти числа нам уже известны. Число без остатка делится на 6, если оно четное и если его сумма цифр делится на 3.

Важно! Я в школьные годы очень часто делал ошибки, думая, что если сумма цифр числа делится на 6, то и само число будет делиться на 6. Это не так. Например, 123. Сумма его чисел равна 6. Но оно не делится на 6, так как является нечетным (123: 6 = 20,5).

Ну и еще в школе рассказывают про признак делимости на 9. Он полностью аналогичен признаку делимости на 3. Число без остатка делится на 9, если делится на 9 сумма всех его цифр.

Как видим, в этом списке нет признаков делимости на 7 и 8. Недавно я, пораскинув мозгами на досуге, сумел найти эти признаки.

Начнем с числа 8 — это проще. Число 100 не делится без остатка на 8 (100: 8 = 12,5). И, следовательно, такой финт, как с четверкой, не пройдет. Например, 332. Число из двух последних цифр делится на 8, но 332: 8 = 41,5. Однако на 8 делится без остатка число 1000 (1000: 8 = 125). Таким образом, если трехзначное число, например 256, делится на 8, то к нему можно прибавить тысячу (которая тоже делится на 8), и оно по-прежнему будет делиться на 8.

256: 8 = 32.
1256: 8 = 157.

Далее: 2256, 5256, 15256, 27256 — все они будут делиться на 8. Таким образом, число без остатка делится на 8, если делится на 8 число из трех последних его цифр.

Здесь, наверно, у многих возникнет ехидная усмешка. Мол, спасибо, ты нам сильно помог. Как же мы узнаем, делится ли на 8 трехзначное число? Не волнуйтесь, есть способ.

Поскольку 8 = 2×4, то чтобы число делилось на 8, требуется, чтобы оно делилось и на 4. Это условие необходимое, но не достаточное. Далее можно поступить по аналогии с тысячей. Мы уже выяснили, что 100 не делится на 8 без остатка. Однако число 200 делится — 200: 8 = 25. Таким образом, если в трехзначном числе число из двух последних цифр делится на 8, а первая цифра четная, то и само трехзначное число разделится на 8. Если же первая цифра нечетная, то число из двух последних цифр должно делиться на 4, но не делиться на 8.

Подытожим все сказанное. Число без остатка делится на 8, если делится на 8 трехзначное число из трех последних цифр числа. Трехзначное число без остатка делится на 8, если:

1) его первая цифра четная, а число из двух последних цифр делится на 8;
2) его первая цифра нечетная, а число из двух последних цифр делится на 4, но не делится на 8.

Звучит это, возможно, грозно, однако ничего сложного здесь нет. Потренируйтесь, и вы быстро научитесь.

Ну и осталось у нас число 7. Раньше я думал, что для него признак делимости найти невозможно. Но оказалось, это не так. Случайно я заметил, что без остатка на 7 делится число 1001 (1001: 7 = 143). Соответственно, на 7 будут делиться 2002, 3002,7007 , если к какому-либо трехзначному числу, кратному семи, прибавить что-то подобное, то оно тоже будет делиться на 7.

Значит, чтобы узнать, что число делится на 7, нужно от трехзначного числа, образованного тремя последними цифрами исходного, отнять число тысяч. Если полученное число делится на 7, то и исходное будет делиться на 7. Например, 3752. Здесь трехзначное число, образованное последними цифрами — 752, число тысяч — 3. Вычитаем: 752 — 3 = 749. Таким образом, задача свелась к отысканию делимости трехзначного числа 749.

Здесь у многих опять возникнет ехидная усмешка. Мол, как же узнать, делится ли это число на 7? Сразу скажу, способ есть. Подробно расписывать не буду, предлагаю читателям самим додуматься. Скажу лишь основную предпосылку: на 7 без остатка делится число 105 (105: 7 = 15).

Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 7, нужно число сотен умножить на 5 и полученное число отнять от двухзначного числа, образованного двумя последними цифрами. Так в числе 749 число сотен — 7; 7×5 = 35; 49 — 35 = 14, а 14 делится на семь. Следовательно, и 749, и 3752 делятся на 7 без остатка.

749: 7 = 107.
3752: 7 = 536.

Сформулируем признак делимости на 7. Число больше трехзначного без остатка делится на 7, если делится на 7 трехзначное число, равное разности между числом, образованным тремя последними цифрами исходного и количеством тысяч в числе. Трехзначное число без остатка делится на 7, если делится на 7 число, равное разности между числом, образованным двумя последними цифрами исходного и количеством сотен в числе, умноженным на 5.

Формулировка довольно сложная, поэтому разберем пример. Возьмем число 17 969. На первом этапе надо от трехзначного числа, образованного тремя последними цифрами (969), отнять количество тысяч в числе (17). Получим 969 — 17 = 952. Таким образом, наша задача свелась к отысканию делимости на 7 этого числа. В этом состоит второй этап. Для этого нужно от числа, образованного двумя последними цифрами (52), отнять число сотен (9), умноженное на 5 (9×5 = 45); 52 — 45 =7. Семь без остатка делится на 7, значит, делятся на 7 и 952 (952: 7 = 136), и 17 969 (17 969: 7 = 2 567).

На этом у меня все. Если есть вопросы, задавайте.

Выдайте все трехзначные числа, которые делятся на 7, и у которых при этом сумма цифр также делится на 7 [закрыт]

Закрыт. Данный вопрос необходимо конкретизировать. Ответы на него в данный момент не принимаются.

Хотите улучшить этот вопрос? Переформулируйте вопрос так, чтобы он был сосредоточен только на одной проблеме.

Закрыт 8 лет назад .

Выдайте все трехзначные числа, которые делятся на 7, и у которых при этом сумма цифр также делится на 7. Входных данных у этого алгоритма нет. Подскажите, как вписать входные данные, если их нет. По-моему, число нужно обозначить переменной, выделить из него цифры из разряда сотен, десятков и единиц. Далее их просуммировать и через условие «сумма кратна 7 и само число кратно 7» вывести ответ. Вот только с входными данными проблема

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *