Что такое inf в математике
Перейти к содержимому

Что такое inf в математике

  • автор:

Верхняя и нижняя грань множества. Верхний и нижний предел последовательности

Скачать Содержание

Число называется точной верхней гранью числового множества X , если

1) ∀ xXx

2) ∀ ε > 0 ∃ xεX: x > − ε

Обозначение = sup X

Def.

Число называется точной нижней гранью числового X , если

1) ∀xXx

2) ∀ε > 0 ∃ xεX: x < + ε

Обозначение = inf X

Факт 1

Любое ограниченное числовое множество X имеет sup X и inf X .

Пусть B — множество предельных точек последовательности an>

Def.

Верхним пределом an> , обозначение называют число, равное sup B

Математический анализ — лекции ( )

Определение 2. Множество вещественных чисел x > называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что x £ M ( x ³ m ).

Число M называется верхней гранью числового множества x >. Аналогично, число m называется нижней гранью числового множества < x >.

Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m ), есть также верхняя (нижняя) грань.

Определение 3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества x > (обозначение sup x >).

Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества x > (обозначение inf x >).

Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:

Заметим, что sup x > и inf x > могут как принадлежать, так и не принадлежать числовому множеству x > .

Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.

Если числовое множество < x > не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup x >.

Если числовое множество < x > не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf x >.

1.2 Последовательности

Определение 1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение xn >.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c × < xn > – это последовательность с элементами < c × xn >, то есть

2. Сложение и вычитание последовательностей.

или, более подробно,

3. Умножение последовательностей.

4. Деление последовательностей.

Естественно, предполагается, что в этом случае все yn ¹ 0.

Определение 2.

Последовательность < xn > называется ограниченной сверху, если .

Последовательность xn > называется ограниченной снизу, если .

Последовательность xn > называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

1.3 Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности < xn > при n стремящимся к бесконечности, если

Для этого факта используют следующие обозначения:

Подчеркнем, что N зависит от e .

Варианты определения.

Говорят, что , если .

Говорят, что , если .

Последовательность < xn > называется бесконечно большой, если (то есть, если ).

1.4 Бесконечно малые последовательности.

Оределение. Последовательность < xn > называется бесконечно малой, если , то есть если .

Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Если xn > – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N , определена последовательность xn >, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если xn > – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то xn > есть бесконечно большая последовательность.

1.5 Сходящиеся последовательности.

Определение. Если существует конечный предел , то последовательность xn > называется сходящейся.

Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.

1. Сходящаяся последовательность ограничена.

1.6 Предельный переход в неравенствах.

Теорема 1. Если, начиная с некоторого N , все xn ³ b , то .

Следствие. Если, начиная с некоторого N , все xn ³ yn , то .

Важное замечание. Заметьте, что если, начиная с некоторого N , все xn > b , то , то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое.

Теорема 2. («Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N , выполнены следующие свойства

1.7 Предел монотонной последовательности.

Последовательность xn > называется монотонно возрастающей, если для любого n xn +1 ³ xn .

Последовательность xn > называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn +1 > xn .

Оба этих случая объединяют символом xn ­ .

Последовательность xn > называется монотонно убывающей, если для любого n xn +1 £ xn .

Последовательность xn > называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn +1 < xn .

Оба этих случая объединяют символом xn ¯ .

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность xn > монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup xn > ( inf xn > ).

2 Если последовательность < xn > монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный + ¥ ( — ¥ ).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

1.8 Подпоследовательности

Пусть имеется некоторая последовательность xn >= x 1, x 2, x 3, . >. Рассмотрим последовательность n 1 , n2, n3, . , где

а) все ni целые положительные числа;

и рассмотрим последовательность . Она называется подпоследовательностью последовательности xn >.

Если последовательность xn > сходится и ее предел равен a , то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если xn > – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Лемма Больцано- Вейерштрасса.

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов –

Признак сходимости Больцано-Коши.

Для того, чтобы у последовательности xn > существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.

1.9 Предел функции

Основное определение. Число b называется предельным значением (пределом) функции f ( x ) при x стремящимся к a (обозначение или ), если

Варианты определения.

Число b называется предельным значением (пределом) функции f ( x ) при x стремящимся к + ¥ (обозначение ), если

Говорят, что функция f ( x ) стремится к + ¥ при x стремящимся к a (обозначение ), если

Односторонние пределы. Число b есть предел слева (справа) функции f ( x ) при x стремящимся к a , если

Если ,то существует . Верно и обратное утверждение.

Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.

Для того, чтобы существовал необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности < xn >, у которой существовал

Свойства предельных значений.

Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:

1.10 Предел монотонной функции

Функция f ( x ) называется

монотонно возрастающей, если из x 1> x 2 следует f ( x 1) ³ f ( x 2);

строго монотонно возрастающей, если из x 1> x 2 следует f ( x 1)> f ( x 2).

Оба эти случая объединяют символом f ( x ) ­ .

Функция f ( x ) называется

монотонно убывающей, если из x 1> x 2 следует f ( x 1) £ f ( x 2);

строго монотонно возрастающей, если из x 1> x 2 следует f ( x 1) f ( x 2).

Оба эти случая объединяют символом f ( x ) ¯ .

Аналогичные формулировки имеют место и для монотонно убывающей функции.

1.11 Признак Больцано-Коши существования предела функции.

Теорема. Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный , необходимо и достаточно, чтобы

Эта теорема является одной из важнейших теорем теории пределов.

1.12 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин

Определение. Функция f ( x ) называется бесконечно малой при x ® a , если .

Пусть a ( x ) и b ( x ) – две бесконечно малые при x ® a . Тогда

1. Если существует и , ¸ то говорят, что a ( x ) и b ( x ) – бесконечно малые одного порядка.

Обозначение: a = O ( b ) или b = O ( a ).

2. Если (или, что то же самое, ), то говорят, что a ( x ) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем b ( x ).

Обозначение a = o ( b ).

3. Если не существует, то говорят, что a ( x ) и b ( x ) несравнимы.

Имеется стандартная бесконечно малая величина b ( x )= x – a . Тогда, если существует , то говорят, что a ( x ) является бесконечно малой k -го порядка, и обозначают это так

Слагаемое называется главной частью a ( x ).

Определение. Функция f ( x ) называется бесконечно большой при x ® a , если .

Пусть A ( x ) и B ( x ) – две бесконечно большие при x ® a . Тогда

1. Если существует и , ¸ то говорят, что A ( x ) и B ( x ) – бесконечно большие одного порядка.

2. Если (или, что то же самое, ), то говорят, что A ( x ) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B ( x ).

3. Если не существует, то говорят, что A ( x ) и B ( x ) несравнимы.

Имеется стандартная бесконечно большая величина . Тогда, если существует и , ¸ то говорят, что A ( x ) есть бесконечно большая k -го порядка и записывают это следующим образом:

(Знак ~ читается «асимптотически равно»).

Хотите публиковаться на портале? Присылайте свои предложения, книги, статьи на info@allmath.ru.

Инфимум и супремум — Infimum and supremum

Набор T действительных чисел (полые и темные кружки), подмножество S из T (заполненные кружки) и точная нижняя грань of S. Обратите внимание, что для конечных полностью упорядоченных множеств нижняя грань и минимум равны. Множество A действительных чисел (синие кружки), набор верхних границ A (красный ромб и кружки), и наименьшая такая верхняя грань, то есть верхняя грань A (красный ромб).

В математике, infimum (сокращенно inf ; множественное число infima ) из подмножества S из частично упорядоченного набора T — это наибольший элемент в T, который меньше или равны всем элементам S, если такой элемент существует. Следовательно, термин наибольшая нижняя граница (сокращенно GLB) также широко используется.

supremum (сокращенно sup ; множественное число suprema ) подмножества S частично упорядоченного множества T является наименьшим элементом в T, который больше или равен всем элементам S, если такой элемент существует. Следовательно, верхняя грань также называется наименьшей верхней границей (или LUB).

Нижняя грань в точном смысле двойственна концепции супремума. Инфима и верхняя граница действительных чисел являются частными частными случаями, которые важны в анализе и особенно в интеграции Лебега. Однако общие определения остаются в силе в более абстрактном контексте теории порядка, где рассматриваются произвольные частично упорядоченные множества.

Понятия инфимума и супремума аналогичны минимум и максимум, но более полезны при анализе, поскольку они лучше характеризуют специальные наборы, которые могут не иметь минимума или максимума.. Например, положительные действительные числа ℝ (не включая 0) не имеют минимума, потому что любой заданный элемент ℝ можно просто разделить пополам, что приведет к меньшему числу, которое все еще находится в ℝ. Однако существует ровно одна нижняя грань положительных действительных чисел: 0, которая меньше всех положительных действительных чисел и больше любого другого действительного числа, которое может использоваться в качестве нижней границы.

  • 1 Формальное определение
  • 2 Существование и уникальность
  • 3 Отношение к максимальным и минимальным элементам
    • 3.1 Минимальные верхние границы
    • 3.2 Свойство наименьшей верхней границы
    • 4.1 Свойства
    • 6.1 Infima
    • 6.2 Верхняя часть

    Формальные определение

    supremum = наименьшая верхняя граница

    Нижняя граница подмножества S частично упорядоченного множества (P, ≤) — это элемент a из P такой, что

    • a ≤ x для всех x в S.

    Нижняя граница a для S называется точной нижней гранью (или точной нижней границей, или встречей) для S, если

    • для всех нижних границ y для S в P, y ≤ a (a больше или равно любой другой нижняя граница).

    Аналогично, верхняя граница подмножества S частично упорядоченного множества (P, ≤) — это элемент b из P такой, что

    • b ≥ x для всех x в S.

    An верхняя граница b для S называется супремумом (или точной верхней границей, или соединением) для S, если

    • для всех верхних границ z для S в P, z ≥ b (b меньше th любая другая верхняя граница).

    Существование и уникальность

    Инфима и верхняя граница не обязательно существуют. Существование нижней грани подмножества S из P может потерпеть неудачу, если S вообще не имеет нижней границы или если набор нижних границ не содержит наибольшего элемента. Однако, если нижняя грань или супремум существует, она уникальна.

    Следовательно, особенно интересны частично упорядоченные множества, для которых известно, что существует определенная инфима. Например, решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все непустые конечные подмножества имеют как верхнюю, так и нижнюю границу, а полная решетка — это частично упорядоченное множество, в котором все подмножества имеют и супремум, и инфимум. Дополнительную информацию о различных классах частично упорядоченных множеств, которые возникают из таких соображений, можно найти в статье о свойствах полноты.

    . Если супремум подмножества S существует, он уникален. Если S содержит наибольший элемент, то этот элемент является супремумом; в противном случае супремум не принадлежит S (или не существует). Точно так же, если нижняя грань существует, она уникальна. Если S содержит наименьший элемент, то этот элемент является точным; в противном случае нижняя грань не принадлежит S (или не существует).

    Отношение к максимальному и минимальному элементам

    Точная нижняя грань подмножества S частично упорядоченного множества P, при условии, что оно существует, не обязательно принадлежит S. Если да, то это минимальный или наименьший элемент из S. Подобным образом, если верхняя грань S принадлежит S, это максимальный или наибольший элемент из S.

    Например, рассмотрим набор отрицательных действительных чисел (исключая ноль). В этом наборе нет наибольшего элемента, поскольку для каждого элемента набора есть другой, более крупный элемент. Например, для любого отрицательного действительного числа x существует другое отрицательное действительное число x 2 >> , которое больше. С другой стороны, каждое действительное число, большее или равное нулю, безусловно, является верхней границей этого множества. Следовательно, 0 является наименьшей верхней границей отрицательных вещественных чисел, поэтому супремум равен 0. Это множество имеет супремум, но не имеет наибольшего элемента.

    Однако определение максимального и минимального элементов является более общим. В частности, в наборе может быть много максимальных и минимальных элементов, а нижняя и верхняя границы уникальны.

    В то время как максимумы и минимумы должны быть членами рассматриваемого подмножества, точная нижняя грань и верхняя грань подмножества не обязательно должны быть членами этого подмножества.

    Минимальные верхние границы

    Наконец, частично упорядоченный набор может иметь много минимальных верхних границ без наименьшей верхней границы. Минимальные верхние границы — это те верхние границы, для которых не существует строго меньшего элемента, который также является верхней границей. Это не означает, что каждая минимальная верхняя граница меньше всех других верхних оценок, это просто не больше. Различие между «минимальным» и «минимальным» возможно только тогда, когда данный заказ не является общим. В полностью упорядоченном наборе, как и в реальных числах, концепции те же.

    В качестве примера пусть S — множество всех конечных подмножеств натуральных чисел, и рассмотрим частично упорядоченное множество, полученное путем взятия всех множеств из S вместе с множеством целых чисел ℤ и набор положительных действительных чисел ℝ, упорядоченный по включению подмножества, как указано выше. Тогда ясно, что и ℤ, и ℝ больше всех конечных множеств натуральных чисел. Тем не менее, ни не меньше, ни обратное: оба набора являются минимальными верхними границами, но ни одно из них не является супремумом.

    Свойство наименьшей верхней границы

    Свойство наименьшей верхней границы является примером вышеупомянутых свойств полноты, которые типичны для набора действительных чисел. Это свойство иногда называют дедекиндовской полнотой.

    Если упорядоченное множество S имеет свойство, заключающееся в том, что каждое непустое подмножество S, имеющее верхнюю границу, также имеет наименьшую верхнюю границу, то говорят, что S имеет свойство наименьшей верхней границы. Как отмечалось выше, множество ℝ всех действительных чисел имеет свойство наименьшей верхней границы. Аналогично, множество integ целых чисел обладает свойством наименьшей верхней границы; если S — непустое подмножество ℤ и существует некоторое число n такое, что каждый элемент s из S меньше или равен n, то существует точная верхняя граница u для S, целое число, которое является верхней границей для S и меньше или равно любой другой верхней границе для S. Хорошо упорядоченный набор также имеет свойство наименьшей верхней границы, а пустое подмножество также имеет наименьшую верхнюю границу: минимум всего задавать.

    • Если λ ≥ 0, то inf (λ · A) = λ · (inf A) и sup (λ · A) = λ · (sup A). ​​
    • Если λ ≤ 0, то inf (λ · A) = λ · (sup A) и sup (λ · A) = λ · (inf A).
    • inf (A + B) = (inf A) + (inf B) и sup (A + B) = (sup A) + (sup B).
    • Если A, B — непустые множества положительных действительных чисел, то inf (A · B) = (inf A) · (inf B); аналогично для супремы.

    Двойственность

    Если обозначить через P частично упорядоченное множество P с отношением противоположного порядка, то есть

    • x ≤ y в P тогда и только тогда, когда x ≥ y в P,

    тогда точная нижняя грань подмножества S в P равна верхней грани S в P, и наоборот.

    Для подмножеств действительных чисел имеет место другой вид двойственности: inf S = −sup (−S), где −S = .

    Примеры

    Infima

    • Нижняя грань набора чисел равна 2. Число 1 является нижней границей, но не максимальной нижней границей, и следовательно, не точная нижняя грань.
    • В более общем случае, если набор имеет наименьший элемент, то наименьший элемент является нижним пределом для набора. В этом случае он также называется минимум набора.
    • inf = 1. = 1.>
    • inf
    • inf 2> = 2 3. \ mid x ^ >2 \ right \> = <\ sqrt [] >.>
    • inf <(- 1) n + 1 n ∣ n = 1, 2, 3,…>= — 1. + > \ mid n = 1,2,3, \ ldots \ right \> = — 1.>
    • Если x n — убывающая последовательность с пределом x, тогда inf x n = x.

    Suprema

    • Верхняя грань набора чисел равна 3. Число 4 равно верхняя граница, но это не наименьшая верхняя граница и, следовательно, не супремум.
    • sup
    • sup <(- 1) n - 1 n ∣ n = 1, 2, 3,…>= 1. — > \ mid n = 1,2,3, \ ldots \ right \ > = 1.>
    • sup = sup A + sup B. = \ sup A + \ sup B.>
    • sup

    В последнем примере супремум множества рациональные числа являются иррациональными, что означает, что рациональные числа неполны.

    Одно из основных свойств супремума:

    для любых функционалов f и g.

    Верхняя грань подмножества S из (ℕ, |), где | обозначает «делит », является наименьшим общим кратным элементов S.

    Верхняя грань подмножества S из (P, ⊆), где P — набор мощности некоторого набора, является супремумом по отношению к set (подмножество) подмножества S из P, является объединением элементов S.

    См. Также

    Викискладе есть медиафайлы, относящиеся к Infimum и supremum .
    • Essential supremum и Essential infimum
    • Наибольший элемент и наименьший элемент
    • Максимальные и минимальные элементы
    • Limit superior и limit inferior (предел infimum)
    • Верхняя и нижняя границы

    Ссылки

    Внешние ссылки

    • , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
    • Брайтенбах, Джером Р. и Вайсштейн, Эрик У. «Infimum and supremum». MathWorld. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )

    Инфимум и супремум

    Математика

    И́нфимум и супре́мум (лат. infimum, буквально – самое нижнее; supremum, буквально – наивысшее) (непустого) числового множества , точная нижняя и точная верхняя грани этого множества. Если множество A A A ограничено снизу, то существует число m m m , наибольшее из чисел, ограничивающее A A A снизу. Это число называют точной нижней гранью множества A A A , обозначают inf ⁡ A \inf A in f A и пишут m = inf ⁡ f < x : x ∈ A >m =\inf \,f\ m = in f f < x : x ∈ A >. Если множество A A A не ограничено снизу, то полагают inf ⁡ A = – ∞ \inf A= –\infty in f A = –∞ . Аналогично определяется точная верхняя грань множества A A A . Если множество A A A ограничено сверху, то sup ⁡ A \sup A sup A – наименьшее из чисел, ограничивающих A A A сверху, а если A A A не ограничено сверху, то sup ⁡ F = + ∞ \sup F=+\infty sup F = + ∞ .

    Точные нижняя и верхняя грани могут как достигаться, так и не достигаться. Например, если A A A – множество чисел x x x таких, что a ⩽ x < b a⩽ a ⩽ x < b , где a a a и b b b , a < b aa < b , – некоторые числа, inf ⁡ A = a \inf A=a in f A = a и точная нижняя грань достигается на числе a a a и sup ⁡ A = b \sup A=b sup A = b , но точная верхняя грань не достигается. В любом случае существуют последовательности x 1 , x 2 , … x_1,\,x_2,\ldots x 1 ​ , x 2 ​ , … и y 1 , y 2 , … y_1,\,y_2,\ldots y 1 ​ , y 2 ​ , … чисел из множества A A A такие, что lim ⁡ n → ∞ x n = inf ⁡ A , lim ⁡ n → ∞ y n = sup ⁡ A . \lim_ x_n =\inf A, \, \, \, \lim_ y_n=\sup A. n → ∞ lim ​ x n ​ = in f A , n → ∞ lim ​ y n ​ = sup A . Если точная нижняя грань достигается, то вместо inf ⁡ A \inf A in f A пишут min ⁡ A \min A min A . Если точная верхняя грань достигается, то вместо sup ⁡ A \sup A sup A пишут max ⁡ A \max A max A .

    Редакция математических наук

    Опубликовано 27 января 2023 г. в 14:26 (GMT+3). Последнее обновление 27 января 2023 г. в 14:26 (GMT+3). Связаться с редакцией

    Информация

    Математика

    Области знаний: Основы математического анализа

    • Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»
      Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198,
      выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.
      ISSN: 2949-2076
    • Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»
      Главный редактор: Кравец С. Л.
      Телефон редакции: +7 (495) 917 90 00
      Эл. почта редакции: secretar@greatbook.ru
    • © АНО БРЭ, 2022 — 2024. Все права защищены.
    • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
      Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
    • Условия использования информации. Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.
      Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *