Что такое спектральная плотность сигнала
Перейти к содержимому

Что такое спектральная плотность сигнала

  • автор:

Энергетические характеристики сигналов. Спектральная плотность энергии

Пусть дан некоторый сигнал , который характеризует изменение напряжения или силы тока во времени. Тогда будет определять мгновенную мощность, выделяемую на сопротивлении 1 Ом.

Проинтегрируем мгновенную мощность на некотором интервале времени и получим энергию сигнала на данном интервале:

Тогда средняя мощность сигнала на данном интервале времени равна:

Если сигнал является периодическим, то среднюю мощность можно получить путем усреднения на одном периоде повторения сигнала. В случае абсолютно-интегрируемого непериодического сигнала , интервал интегрирования может быть расширен на всю ось времени:

Можно заметить, что средняя мощность абсолютно-интегрируемого непериодического сигнала равна нулю при усреднении на бесконечном интервале времени. Аналогично, энергия периодического сигнала на всей оси времени равна бесконечности.

Таким образом, периодические сигналы, повторяющиеся на всей оси времени мы можем характеризовать конечной средней мощностью , поскольку их энергия бесконечна. Непериодические сигналы характеризуются конечной энергией , потому что их средняя мощность на всей оси времени равна нулю.

Выражения (1)–(3) справедливы и для комплексного сигнала . В этом случае, мгновенную мощность можно определить как .

Скалярное произведение сигналов. Обобщенная формула Рэлея

Пусть даны два сигнала и , в общем случае комплексные. Скалярным произведением сигналов называется величина равная:

Интеграл (4) возвращает одно число (скаляр), в общем случае комплексное.

Заметим, что скалярное произведение сигнала с самим собой возвращает энергию данного сигнала:

Тогда скалярное произведение (4) можно трактовать как величину взаимной энергии сигналов и , т.е. степень взаимного влияния одного сигнала на другой. Если два сигнала и имеют нулевое скалярное произведение, то говорят, что они ортогональны.

Подставим в (4) вместо обратное преобразование Фурье его спектральной плотности . Тогда:

Поменяем в (6) порядок интегрирования:

Можно сделать вывод: скалярное произведение сигналов во временно́й области, с точностью до множителя , равно скалярному произведению спектральных плотностей данных сигналов. Выражение (7) носит название обобщенной формулы Рэлея [1, стр. 67].

Равенство Парсеваля

связывающее среднюю мощность периодического сигнала. Для непериодических сигналов мы можем получить аналогичное равенство энергии сигнала во времени и в частотной области. Для этого в обобщенную формулу Рэлея подставим и получим:

или с учетом (4) равенство Парсеваля [2, стр. 49]:
Таким образом, энергия сигнала во временно́й и частотной областях равна с точностью до множителя .

Если в выражениях (7)–(9) использовать частоту , выраженную в герц, вместо циклической частоты , измеряемой в единицах рад/c, то и множитель сокращается:

Спектральная плотность энергии сигнала

было введено понятие спектральной плотности сигнала и была приведена аналогия поясняющая понятие спектральной плотности, и ее отличие от спектра периодического сигнала.

Из равенства (9) следует, что энергия сигнала может быть представлена как интеграл по всей оси частот:

Тогда использую ту же аналогию, что и в разделе «Преобразование Фурье непериодических сигналов» можно заключить, что представляет собой спектральную плотность энергии сигнала. Проинтегрировав по всей оси , мы получим полную энергию сигнала, равно как проинтегрировав плотность стержня по длине мы получим полную массу.

Спектральная плотность энергии представляет собой квадрат АЧХ сигнала. Кроме того является вещественной неотрицательной функцией частоты . Спектральная плотность энергии сигнала измеряется в единицах джоуль на герц (Дж/Гц) или ватт, умноженный на секунду в квадрате (Втс).

Сделаем важное замечание. Спектральная плотность энергии игнорирует ФЧХ сигнала. Тогда можно заключить, что одной и той же спектральной плотности энергии могут соответствовать множество различных сигналов, имеющих одинаковую АЧХ и различные ФЧХ.

и на практике анализ поведения убывающей спектральной плотности с ростом частоты имеет важное значение. Однако графический анализ бывает затруднителен ввиду высокой скорости убывания спектральной плотности по частоте, а в случае спектральной плотности энергии затруднителен вдвойне, поскольку возведение АЧХ в квадрат только ускоряет убывание. Поэтому широкое распространение получило представление спектральной плотности энергии в логарифмическом масштабе, выраженной в единицах децибел (дБ):

В качестве примера на рисунке 1 приведены спектральные плотности энергии прямоугольного, треугольного, двустороннего экспоненциального и гауссова импульсов в линейном и логарифмическом масштабе.

Рисунок 1. Спектральная плотность энергии некоторых сигналов
а — в линейном масштабе; б — в логарифмическом масштабе

Как видно из рисунка 1а, спектральные плотности энергии импульсов в линейном масштабе практически сливаются и очень сложно различимы.

В логарифмическом масштабе (рисунок 1б), спектральные плотности энергии обнаруживают значительные отличия. Треугольный и экспоненциальный импульсы имеют одинаковую скорость убывания спектральной плотности энергии, а прямоугольный импульс имеет очень медленное затухание спектральной плотности энергии с ростом частоты. Гауссов импульс, напротив, отличается очень быстрым затуханием .

Логарифмическая шкала представления спектральной плотности энергии оказывается удобной при сравнении характеристик сигналов. Если энергии двух сигналов отличаются в 100 раз, то в логарифмической шкале отношение их энергий составляет 20 дБ. Если же энергии отличаются в 1000000 раз, то в логарифмической шкале это соответствует 60 дБ. Удвоение энергии сигнала, в логарифмической шкале соответствует прибавлению 3 дБ.

В данном разделе мы рассмотрели энергетические характеристики периодических и непериодических сигналов. Мы показали, что периодические сигналы имеют бесконечную энергию, но конечную среднюю мощность. Средняя мощность непериодических сигналов стремится к нулю, а их энергия конечна.

Было введено понятие скалярного произведения сигналов и получена обобщенная формула Релея,связывающая скалярное произведение во временной и частотной областях.

Установлено равенство Парсеваля для непериодических сигналов, как частный случай формулы Релея.

Введено понятие спектральной плотности энергии как квадрата модуля спектральной плотности сигнала. Также рассмотрено представление спектральной плотности энергии в линейном и логарифмическом масштабе для различных сигналов.

Спектральные плотности некоторых сигналов

Рассмотрим спектральную плотность прямоугольного импульса длительности и амплитуды . Функция описывает прямоугольный импульс длительности и единичной амплитуды:

График прямоугольного импульса показан на рисунке 1а.

Рисунок 1. Спектральная плотность прямоугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Спектральная плотность прямоугольного импульса равна:

  • Спектральная плотность является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса .
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
  • Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна , ввиду разрыва первого рода (скачка) сигнала во временно́й области.

Спектральная плотность треугольного импульса

Рассмотрим треугольный импульс длительности и амплитуды :

График треугольного импульса показан на рисунке 2а.

Рисунок 2. Спектральная плотность треугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.

Можно заметить, что треугольный импульс длительности и амплитуды может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса длительности и амплитуды c самим собой, как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3. Треугольный импульс как результат
свертки прямоугольных импульсов

Обратим внимание, что один из углов маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала , входящего в интеграл свертки.

Для различного сдвига мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения сигнала и его сдвинутой инверсной во времени копии .

Таким образом, мы можем применить свойство преобразования Фурье свертки сигналов и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности прямоугольного импульса длительности и амплитуды :

  • Спектральная плотность треугольного импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
  • Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна . Это выше, чем скорость убывания боковых лепестков прямоугольного импульса, ввиду отсутствия разрывов сигнала во временно́й области.
  • Главный лепесток спектральной плотности в два раза шире, чем главный лепесток спектральной плотности прямоугольного импульса при той же длительности .

Спектральная плотность гауссова импульса

Гауссов импульс задается выражением:

где — амплитуда, а — положительный параметр, который задает ширину импульса.

График гауссова импульса при различном значении и показан на рисунке 4а.

Рисунок 4. Спектральная плотность гауссова импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:

Преобразуем показатель экспоненты (6) следующим образом:
Тогда (6) с учетом (7):
Из курса математического анализа [1, стр. 401] известно, что:

Введем в выражении (8) замену переменной , тогда , пределы интегрирования остаются неизменными при положительном значении . Тогда (8) можно представить как:

и с учетом (9) окончательно можно записать:

Можно заметить, что временно́й гауссов импульс имеет спектральную плотность , которая также описывается гауссовской функцией.

График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра показан на рисунке 4б. C увеличением увеличивается ширина гауссова импульса во временно́й области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.

Спектральная плотность экспоненциального импульса

Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс , который задается выражением:

где — амплитуда, а — положительный параметр, который определяет ширину импульса. График двустороннего экспоненциального импульса при и различном значении параметра показан на рисунке 5а.

Рисунок 5. Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра приводит к сужению импульса во временно́й области.

Рассмотрим спектральную плотность двустороннего экспоненциального импульса:

Разобьем ось времени на положительную и отрицательную полуоси, и учтем что для отрицательной полуоси времени. Тогда (13) можно записать:

Объединим показатели экспонент в обоих интегралах и получим:

  • Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий характер.
  • Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием излома во временно́й области при .

На рисунке 5б показан вид спектральной плотности при различном значении . Можно видеть, что при увеличении параметра , спектральная плотность сужается (импульс во временно́й области —расширяется).

Рисунок 6. Односторонний экспоненциальный импульс

Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:

График одностороннего экспоненциального импульса показан на рисунке 6 при и различном .

Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:

  • Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , ввиду отсутствия временно́й симметрии импульса.
  • Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
  • носит затухающий характер.
  • Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием разрыва во временной области при .

Поскольку спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , то можно представить в виде амплитудно- и фазочастотной характеристик:

На рисунке 7 показаны АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса для различных значения параметра .

Рисунок 7. АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса
а — АЧХ; б — ФЧХ
Спектральная плотность функции

Рассмотрим спектральную плотность сигнала вида , где — параметр определяющий ширину главного лепестка функции , как это показано на рисунке 8а.

Рисунок 8. Спектральная плотность функции
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для получения спектральной плотности сигнала воспользуемся свойством двойственности преобразования Фурье, рассмотренным в в предыдущем параграфе. Тогда из выражения (2) можно записать:

Произведем замену переменных и , а также обозначим , откуда :

Вынесем множитель из под оператора преобразования Фурье, и окончательно спектральная плотность сигнала равна:

График спектральной плотности сигнала показан на рисунке 8б.

Важным частным случаем является , тогда будет иметь спектральную плотность , что соответствует частотной характеристике идеального фильтра нижних частот. Временно́й сигнал определяет импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот.

В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых непериодических сигналов: прямоугольного, треугольного, гауссова импульса, а также одностороннего и двустороннего экспоненциальных импульсов.

Были приведены аналитические выражения для спектральных плотностей каждого из сигналов, а также их частотные свойства.

2.3.1 Пара преобразований Фурье. Спектральная плотность сигнала

Пусть сигнал s(t) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t1 ,t2) (пример — одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T, включающий в себя интервал (t1 ,t2) (см. рис.1).

Обозначим периодический сигнал, полученный из s(t), в виде sT(t). Тогда для него можно записать ряд Фурье

Подставим выражение для в ряд:

Для того, чтобы перейти к функции s(t) следует в выражении sT(t) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n2 p /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю ( к бесконечно малой величине: , амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становится сплошным.

При предельном переходе в случае Т => , имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности:

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ — нечетной.

Смысл модуля S( w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность — [сигнал/частота].

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004

Спектральная плотность

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

x(t)

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

X(f)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>x(t)e^ dt. » width=»» height=»» /></td>
<td style=((1))

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

E_x=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>|x(t)|^2 dt = \int\limits_<-\infty>^ <\infty>|X(f)|^2 df.» width=»» height=»» /></td>
<td style=((2))

~S_x(f)=|X(f)|^2

Функция характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

x(t)

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

S_x(f)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>k_x(\tau)e^ d \tau.» width=»» height=»» /></td>
<td style=((3))

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной S_x(f)определяет k_x(\tau):

k_x(\tau)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>S_x(f)e^ df.» width=»» height=»» /></td>
<td style=((4))

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f=0и \tau=0, имеем

S_x(0)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>k_x(\tau)d \tau,» width=»» height=»» /></td>
<td style=((5))
\sigma_x^2=k_x(0)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>S_x(f)df.» width=»» height=»» /></td>
<td style=((6))

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S_x(f)dfможно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f-df/2до f+df/2. Если понимать под x(t)случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S_x(f)будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S_x(f)иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: \sigma_x^2– рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S_x(f)называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

  • Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:
S_x(f) \ge 0. ((7))
  • Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:
~S_x(-f)=S_x(f). ((8))
  • Корреляционная функция k_x(\tau)и энергетический спектр S_x(f)стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр S_x(f)тем «уже» корреляционная функция k_x(\tau), и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.

См. также

  • Преобразование Фурье
  • Теорема Парсеваля
  • Теорема Хинчина-Колмогорова
  • Спектральная плотность мощности
  • Спектральная плотность излучения

Литература

  1. Зюко, А. Г. Теория передачи сигналов / А. Г. Зюко [и др.]. — М .: Связь, 1980. — 288 с.
  2. Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. — М .: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2
  3. Тихонов, В. И. Статистическая теория радиотехнических устройств / В. И. Тихонов, Ю. Н. Бакаев. — М .: Академия им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.
  • Обработка сигналов
  • Преобразование Фурье

Wikimedia Foundation . 2010 .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *