Доказать что неполный квадрат больше нуля
Перейти к содержимому

Доказать что неполный квадрат больше нуля

  • автор:

Доказать что неполный квадрат больше нуля

Докажите, что число вида a0. 09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; a – цифра, отличная от 0).

Решение

Для n = 1 утверждение проверяется непосредственно.
Пусть n > 1 и Тогда Разложим на простые множители; в разложении получится
n + 1 множитель 2, n + 1 множитель 5 и все множители числа a. Числа k – 3 и k + 3 не могут оба делиться на 5, значит, все множители 5 содержатся либо в k – 3, либо в k + 3, а остальные множители как-то распределены между k – 3 и k + 3. Следовательно, разность между этими числами не менее 5 n+1 – 9·2 n+1 > 6 при n > 1. Противоречие.

Замечания

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

Формулы сокращённого умножения

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a 2 + b 2 = (a + b) 2 — 2ab — сумма квадратов;

a 2 — b 2 = (a + b)(ab) — разность квадратов;

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 — квадрат суммы;

(ab) 2 = a 2 — 2ab + b 2 — квадрат разности;

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ) — сумма кубов;

a 3 — b 3 = (ab)(a 2 + ab + b 2 ) — разность кубов;

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 — куб суммы;

(ab) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 — куб разности.

Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Разложение формул сокращенного умножения

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.

Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 — 2ab.

Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b) 2 — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab = a 2 + ab + ab + b 2 — 2ab = a 2 + b 2 .

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

a 2 — b 2 = (a + b)(ab).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(ab) = a 2 — ab + abb 2 = a 2 — b 2 .

Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(ab) 2 = a 2 — 2ab + b 2 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(ab) 2 = (ab)(ab) = a 2 — abab + b 2 = a 2 — 2ab + b 2 .

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a 2 — ab + b 2 ) = a 3 — a 2 b + ab 2 + a 2 bab 2 + b 3 = a 3 + b 3 .

Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

a 3 — b 3 = (ab)(a 2 + ab + b 2 ).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(ab)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 — a 2 bab 2 — b 3 = a 3 — b 3 .

Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b) 3 = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

(ab) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(ab) 3 = (ab)(ab) 2 = (ab)(a 2 — 2ab + b 2 ) = a 3 — 2a 2 b + ab 2 — a 2 b + 2ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 .

Неполный квадрат суммы

a 2 + 2ab + b 2

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a 2 + ab + b 2 ,

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

a 2 — 2ab + b 2

это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a 2 — ab + b 2 ,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Молитвослов | contact@izamorfix.ru
2018 − 2024 © izamorfix.ru

Неполный квадрат суммы

Неполный квадрат суммы в алгебре встречается в качестве составной части формулы разности кубов. Важно при преобразовании многочленов научиться видеть неполный квадрат и не путать его с полным квадратом суммы.

Неполный квадрат суммы — это сумма трех слагаемых, два из которых являются квадратами некоторых выражений, а третье равно произведению этих выражений.

У неполного квадрата суммы, в отличие от полного, произведение выражений не удваивается.

С помощью букв неполный квадрат суммы можно записать так:

С помощью схемы —

nepolnyiy kvadrat summyi

Примеры неполных квадратов —

На практике квадраты и произведение записаны в свернутом виде, поэтому, чтобы понять, является ли выражение полным либо неполным квадратом суммы, его надо проанализировать. На первых шагах изучения темы формулы имеет смысл подробно расписывать, в дальнейшем — делать это устно.

Как определить, является ли некоторое выражение неполным квадратом суммы?

Признаки неполного квадрата суммы

1) Выражение состоит ровно из трех положительных слагаемых.

2) Два слагаемых представляют собой квадраты некоторых выражений.

3) Третье слагаемое равно произведению этих двух выражений.

\[3)49{a^2} + 21ab + 9{b^2}\]

49y²=(7y)², 9b²=(3b)². Проверяем, равно ли третье слагаемое произведению 7y и 3b: 7y∙3b=21ab — да, равно. Значит, это выражение является неполным квадратом суммы.

С помощью схемы это можно записать так:

nepolnyiy kvadrat summyi formula

\[4)36{m^2} + 60mn + 25{n^2}\]

36m²=(6m)², 25n²=(5n)². Проверяем, равно ли третье слагаемое произведению 6m и 5n: 6m∙5n=30mn≠60mn. Значит, это выражение не является неполным квадратом суммы (60mn=2∙6m∙5n, то есть здесь есть полный квадрат суммы).

Слагаемые в выражении могут стоять в произвольном порядке (не обязательно в соответствии с формулой).

\[5)pq + \frac{4}{9}{p^2} + 2\frac{1}{4}{q^2} = \]

\[ = pq + {(\frac{2}{3}p)^2} + \frac{9}{4}{q^2} = \]

\[ = pq + {(\frac{2}{3}p)^2} + {(\frac{3}{2}q)^2} = \]

\[ = {(\frac{2}{3}p)^2} + \frac{2}{3}p \cdot \frac{3}{2}q + {(\frac{3}{2}q)^2};\]

\[6)100 + 9{d^8} + 30{d^4} = \]

\[ = {10^2} + 10 \cdot 3{d^4} + {(3{d^4})^2}.\]

Иногда выражение, не являющееся неполным квадратом суммы, может быть к нему приведено. Например,

\[7) - 81{c^2} - 16 - 36c\]

Здесь все три слагаемые — с «-«, то есть это выражение квадратом суммы быть не может. А что, если вынести «минус» за скобки? При этом знак каждого слагаемого в скобках изменится на противоположный:

\[- 81{c^2} - 16 - 36c = - (81{c^2} + 16 + 36c) = \]

\[ = - ({(9c)^2} + 9c \cdot 4 + {4^2})\]

В этом случае в скобках получили неполный квадрат суммы.

\[8)128a{x^2} + 16axy + 2a{y^2} = \]

\[ = 2a(64{x^2} + 8xy + {y^2}) = \]

\[ = 2a({(8x)^2} + 8x \cdot y + {y^2})\]

В скобках получили неполный квадрат суммы.

Умение раскладывать многочлены на множители и преобразовывать выражения, в том числе, содержащие разность кубов, в алгебре — обязательно.

Может ли неполный квадрат суммы быть меньше нуля или равен ему? А неполный квадрат разности?

1) Неполный квадрат суммы.
С одной стороны, a^2 + ab + b^2 < 0 требует, чтобы выполнялось: ab < 0.
С другой стороны, a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 — ab < 0. Продолжите и закончите сами.

2) Неполный квадрат разности.
Думаю, теперь сами решите.

Только если исходные равны нулю.
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *