Докажите что заданная функция возрастает y cosx 2x
Перейти к содержимому

Докажите что заданная функция возрастает y cosx 2x

  • автор:

Упр.30.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Изображение 30.9 Докажите, что заданная функция возрастает:а) у = cos x + 2х; б) у = х^5 + Зх^3 + 7х + 4; в) у = sin x + х^3 + х;г) у = х^5 + 4х^3 + 8х -.

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Похожие решебники

Мордкович, Семенов
Мордкович, Семенов, Александрова

Популярные решебники 10-11 класс Все решебники

Габриелян, Остроумов, Сладков
Максаковский
Максаковский
Власенков 10-11 класс
Власенков, Рыбченская
Габриелян, Остроумов, Сладков
Enjoy English
Биболетова, Бабушис
Рудзитис, Фельдман

Изображение учебника

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Упр.44.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Изображение Докажите, что заданная функция возрастает на R:a) у = cos х + 2х; б) y = sin х + х3 + х; в) у = х5 + Зх3 + 7x + 4;г) у = х5 + 4х3 + 8х -.

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Похожие решебники

Мордкович 10-11 класс
Мордкович, Семенов

Популярные решебники 10 класс Все решебники

Happy English
Сороко-Цюпа
Сороко-Цюпа
Мякишев, Буховцев
Вербицкая, Маккинли, Хастингс
Атанасян 10-11 класс
Атанасян, Бутузов

Изображение учебника

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Доказательство возрастании функции. Как доказать что эта функция возрастает? y = cos x + 2x

y’ = -sin x + 2
-1 1 y’ > 0 при всех x, значит функция — строго возрастающая.

Остальные ответы

производная >0, значит функция возрастает

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Рабочая тетрадь по математике 1 часть
учебно-методическое пособие по алгебре

Данная рабочая тетрадь по математике предназначена для студентов 1 курса различных специальностей.

Рабочая тетрадь содержит краткие теоретические сведения, примеры решения типовых задач, упражнения для самостоятельного решения (среди которых задания репродуктивного, частично-поискового и творческого уровня).

©Смоленская академия профессионального образования, 2021

РАЗДЕЛ 1. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ.

§ 1. Числовая функция. Основные понятия.

Понятие функции . Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Функция — ___________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

При этом используют запись ___________________________________________________.

Переменную х называют _________________ переменной или _______________________,

а переменную у – _____________________________________________________________ .

Значение у, соответствующее заданному значению х, называют _____________________.

Область определения функции (обозначение –____________) — _______________________

Множество значений функции (обозначение –______) — _____________________________

Функция f(x) называется числовой , если ее область определения D(f) и множество значений E(f) содержатся во множестве действительных чисел R.

В дальнейшем будем изучать лишь числовые функции.

Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. При этом если область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, область определения функции, заданной формулой , состоит из всех чисел, кроме числа –7 (D(f)=(- ∞; -7)U(-7; +∞)).

Способы задания функций. Функции могут быть заданы различными способами. Отметим некоторые из них.

  1. Аналитический способ. ______________________________________________________
  1. Табличный способ . _________________________________________________________

_________________________________________________________________________________ . Например, широко известны таблица квадратов, таблица обратных чисел и т. д.

  1. Графический способ представления функции – самый наглядный. График функции – это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения ее аргумента.

Графиком функции y=f(x) называется ___________________________________________

Линия, изображенная на рис. 1, не может быть графиком функции, а линия, изображенная на рис. 2, есть график некоторой функции.

Благодаря своей наглядности графический способ задания функции часто сопутствует другим способам. Выведя формулу какой-либо функциональной зависимости, исследователь вслед за этим строит еще и ее график. Многие приборы выдают показания именно в виде графиков. Например, барограф вычерчивает график атмосферного давления как функции времени, кардиограмму можно назвать графиком работы сердца.

Упражнения для самостоятельного решения.

№1. Формула у = -5х + 6 задает некоторую функцию. Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -1,2; 2,8. При каком значении аргумента значение функции равно 6; 8; 100.

№2. Запишите значения функции:

а) f(x) = х 2 + 2х в точках х 0 , t + 1;

б) f(x) = +1 в точках х 0 , а – 2.

№3. Найдите область определения каждой из функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) .

№4 . Найдите область определения и область значений функции:

а) ; б) .

§ 2. Основные характеристики функций.

Функция у=f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если

Функция у=f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке Х, если

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется _________________ на этом промежутке.

Пример 1. Доказать, что функция, заданная формулой f(x)=3x 2 возрастает на промежутке [0; +∞).

Р е ш е н и е. Пусть х 2 >х 1 ≥0. Тогда оценим разность f(x 2 )-f(x 1 )=3x 2 2 -3x 1 2 =3(x 2 2 -x 1 2 )=3(x 2 -x 1 ) (x 2 +x 1 )>0.

Итак из неравенства х 2 >х 1 ≥0 следует неравенство f(x 2 )>f(x 1 ), т. е. большему значению аргумента из промежутка [0; +∞) соответствует большее значение функции. Следовательно, функция f(x)=3x 2 возрастает на промежутке [0; +∞).

О монотонности функции можно судить по ее графику. Например, функция, график которой представлен на рис. 3, ______________________________________________________. Функция, график которой изображен на рис. 4, убывает на промежутке _________ и возрастает на промежутке __________________________________________________________________.

Точки максимума и минимума (точки экстремума).

Рассмотрите график на рис. 5.

Чем «замечательны» точки А, В и С графика функции?

Четные и нечетные функции.

Функция y=f(x) называется четной , если она обладает следующими двумя свойствами:

  1. ____________________________________________________________________
  1. ____________________________________________________________________

Функция y=f(x) называется нечетной , если она обладает следующими двумя свойствами:

  1. ____________________________________________________________________
  1. ____________________________________________________________________

Пример 2. Исследовать на четность функции:

а) у=х 20 ; б) у=х 13 ; в) ; г) .

Р е ш е н и е. а) Область определения функции D(y)=R симметрична относительно нуля.

f(-x)=(-x) 20 = x 20 = f(x)

Значит, для всех х выполняется неравенство f(-x)=f(x). Функция является четной.

б) Область определения функции D(y)=R симметрична относительно нуля. Найдем f(-x):

f(-x)=(-x) 13 = -x 13 = -f(x)

Значит, для всех х выполняется неравенство f(-x)=-f(x). Функция является нечетной.

в) Область определения функции D(y)=(-∞; -3)U(-3; 3)U(3; +∞) симметрична относительно нуля. Найдем f(-x):

Так как f(-x)≠f(x) и f(-x)≠-f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной (такие функции называют функциями общего вида) .

г) Область определения функции D(y)=(-∞; -5)U(-5; +∞) не является симметричной относительно нуля, поэтому функцию исследовать на четность, нечетность нельзя.

Графики четной и нечетной функции обладают следующими особенностями:

  1. Если функция является четной, то ее график ________________________

____________________________________________________________________ (рис. 6) .

  1. Если функция является нечетной, то ее график _____________________

_____________________________________________________________________ (рис. 7) .

Промежутки знакопостоянства и нули функции.

Промежутками знакопостоянства функции — ___________________________________

О промежутках знакопостоянства функции легко судить по ее графику. Рассмотрим, например, функцию у=x (рис. 8)

Нули функции — ___________________________________________________________

Графически нули функции — __________________

На рис. 9 нулями функции являются точки ____________________________________________.

Процесс определения основных характеристик функции по ее графику называется ______________________________________________________________________________.

Упражнения для самостоятельного решения.

№5. Докажите, что функция, заданная формулой f(x)=3x 2 убывает на промежутке (-∞; 0].

№6. Докажите, что функция y = kx + b

а) возрастает на множестве R при k > 0;

б) убывает на множестве R при k

Установите четность или нечетность функций (7 – 9)

№7 . а) у = -2х 2 ; б) у = х 7 – 2х 3 .

№8. а) у = (х – 3) 2 – (х + 3) 2 ; б) ; в) у = 0,5х 3 – 5х 2 .

№9. a) ; б) ; в) .

№10. Для функций, графики которых изображены на рис. 10, а — е, найдите:

б) те значения х, при которых значение функции равно 1;

в) область определения функции;

г) множество значений функции;

е) промежутки знакопостоянства;

ж) промежутки монотонности;

д) точки экстремума, вид экстремума;

з) является ли функция четной, нечетной.

1 2 3

4 5 6

Начертите эскиз графика функции f (11 – 13):

№11 . а) f возрастает на промежутке (-∞; 2] и убывает на промежутке [2; +∞);

б) f убывает на промежутках (-∞; -1] и [4; +∞), возрастает на промежутке [1; 4].

№12. а) х max = -3, х min = 4, f(-3) = 5, f(4) = -5;

б) , х min = -2 , х min = 2, х max = 0, f(-2) = f(2) = -3, f(0) = 2.

№13. а) f – четная функция, х max = -3, , х min = 0, f(-3) = 4, f(0) = 0;

б) f – нечетная функция, х max = 2, , х min = 5, f(2) = 3, f(5) = -4.

§ 3. Простейшие преобразования графиков функций.

Если известен график функции у=f(x), то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельного переноса, осевой и центральной симметрии и т. д.) можно построить графики более сложных функций.

1.График функции f(kx) получается сжатием графика f(x) в k раз вдоль оси Ох при k>1 или растяжением в раз вдоль этой оси при 0

2.График функции f(x+c) получается параллельным переносом графика f(x) в отрицательном направлении оси Ох на │с│при с>0 и в положительном направлении на│с│при с

3.График функции kf(x) получается растяжением графика f(х) вдоль оси Оу в k раз при k>1 или сжатием в раз вдоль этой оси при 0

4.График функции f(x)+c получается параллельным переносом графика f(x) в положительном направлении оси Оу на │с│при с>0 и в отрицательном направлении этой оси на│с│при с

5.График функции у=f(-x) получается симметричным отображением графика f(x) относительно оси Оу (рис. 15).

6.График функции у= — f(x) получается симметричным отображением графика f(x) относительно оси Ох (рис. 16).

7.График функции у=│f(x)│получается из графика функции у=f(x) следующим образом: часть графика у=f(x), лежащая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох (рис. 17).

8.График функции у=f(│x│) получается из графика функции у=f(x)следующим образом: при х≥0 график у=f(x) сохраняется, а при х

Замечание . Если необходимо построить график функции, содержащий знак модуля, можно воспользоваться определением модуля.

Пример. Построить графики следующих функций:

а) ; б) у=2х 2 -8х-1; в) ; г) у=х 2 -2 | х |-3; д) у=3 |х+2| -1

а) Согласно п.2 график функции получается из графика функции при помощи параллельного переноса на 3 единицы в отрицательном направлении вдоль оси Ох (рис. 19)

б) Выделим из данного квадратного трехчлена полный квадрат:

2х 2 -8х-1=2(х 2 -4х)-1=2(х 2 -4х+4-4)-1=

2((х-2) 2 -4)-1=2(х-2) 2 -8-1=2(х-2) 2 -9.

График данной функции получается из графика функции у=х 2 при помощи следующих преобразований:

1)растяжением графика вдоль оси Оу в 2 раза;

2)параллельного переноса вдоль оси Ох на 2 единицы в положительном направлении;

3)параллельного переноса на 9 единиц в отрицательном направлении вдоль оси Оу

в) Построим график функции . Выделяя целую часть имеем:

Следовательно, сначала необходимо построить график функции и произвести следующие преобразования:

1)переместить вправо на 2 единицы вдоль оси Ох;

2)переместить вверх на 2 единицы вдоль оси Оу;

3)часть графика, оказавшуюся в нижней полуплоскости, отобразить в верхнюю полуплоскость (рис. 21).

Рис. 22

г)Запишем исходную функцию в виде

у=| х | 2 -2 | х |-3. Тогда график данной функции получается из графика функции у=х 2 -2х-3 при помощи симметричного отображения относительно оси Оу части графика при х≥0 (рис. 22).

д)Для построения графика данной функции используем определение модуля:

;

;

Следовательно, при х≥-2 необходимо построить график функции у=3х+5, а при х≤-2 – график функции у=-3х-7 (рис. 23).

Упражнения для самостоятельного решения.

№14. В одной и той же системе координат постройте графики следующих функций:

а) ;

б) .

№15. Постройте графики функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

№16. Используя преобразования, постройте графики следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

№17*. Постройте графики функций:

а) ; б) .

РАЗДЕЛ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента.

Градусное и радианное измерение углов.

Градус – величина центрального угла, стягиваемого дугой, равной длины окружности (рис. 24 )

Минутой называют градуса (обозначение: ’ )

Секундой называют минуты (обозначение: ’’ )

Радиан – величина центрального угла, стягиваемого дугой, равной радиусу данной окружности (рис. 25).

Формулы перехода от радианной меры угла к градусной и наоборот имеют вид:

рад

рад = .

а) выразим в радианах величину угла А, если А=150 0 :

б) выразим в градусах величину угла α, если α = 4,5 рад:

Запишем градусную и радианную меры наиболее часто встречающихся углов:

Рассмотрим единичную окружность, т. е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 26). На единичной окружности отметим точку Р 0 (1; 0). При

повороте начального радиуса около центра О на угол α радиан точка Р 0 перейдет в некоторую точку Р α . Обозначим координаты этой точки х α и у α . (заметим, что поворот можно осуществить как в положительном, так и в отрицательном направлении).

Синусом угла α _______________________________________________________________

Косинусом угла α _____________________________________________________________

Каждому углу α соответствует единственная точка Р α (х α ; у α ) и, следовательно, единственное значение синуса и косинуса этого числа.

Укажите множество значений синуса и косинуса угла ______________________________

Тангенсом угла α ______________________________________________________________

Котангенсом угла α ___________________________________________________________

В практических вычислениях часто используются значения тригонометрических функций, приведенные в таблице:

Отметим знаки значений тригонометрических функций по четвертям:

Важное значение имеет следующее свойство тригонометрических функций: значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются при прибавлении к данному углу целого числа оборотов . Этот факт позволяет свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значения для неотрицательного угла, меньшего 360 0 . Например,

cos 785 0 = cos (2∙360 0 + 65 0 ) = cos 65 0 .

Пример 2. Определить знак произведения sin 67 0 ctg 267 0 cos 375 0 tg (-68 0 ) sin 2.

Р е ш е н и е. sin 67 0 > 0, так как угол 67 0 является углом первой четверти, а синус в первой четверти положителен.

ctg 267 0 0 является углом третьей четверти, а котангенс в этой четверти отрицателен.

cоs 375 0 > 0, так как угол 375 0 является углом первой четверти (375 0 = 360 0 +15 0 ), а косинус в этой четверти положителен.

tg (-68 0 ) 0 является углом четвертой четверти, а тангенс четвертой четверти отрицателен.

sin 2 > 0, так как угол величина которого 2 радиана, является углом второй четверти, а синус во второй четверти положителен.

Следовательно, исходное произведение положительно.

Основные формулы тригонометрии.

Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса следуют основные тригонометрические тождества:

sin ² α + cos ² α =1

; ;

; .

Пример 3 . Вычислить значения остальных трех основных тригонометрических функций, если sin α = -0,8, .

Р е ш е н и е. Найдем значение косинуса, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, из которого следует, что: .

Получаем: .

Выясним, какой знак надо оставить перед корнем. По условию , т. е. угол принадлежит III четверти, а косинус в этой четверти отрицателен. Следовательно, перед корнем надо оставить знак «минус». Итак, соs α = -0.6.

Для нахождения значений тангенса и котангенса воспользуемся формулами:

; .

Получим: .

Формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противолежащих углов:

Основой для вывода остальных формул являются формулы сложения:

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β;

sin (α — β) = sin α cos β — cos α sin β;

cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β;

cos (α — β) = cos α cos β + sin α sin β;

; ;

; .

Пример 4. Вычислить без таблиц: 1) sin 105 0 ; 2) tg 15 0 .

1) Представим 105 0 в виде суммы 60 0 +45 0 . Тогда

sin 105 0 = sin (60 0 + 45 0 ) = sin 60 0 cos 45 0 + cos 60 0 sin 45 0 = .

2) Представим 15 0 в виде разности 45 0 – 30 0 . Тогда

tg 15 0 = tg (45 0 — 30 0 ) = .

Из формул сложения, полагая , где nєZ, получаем формулы приведения для преобразования выражений вида

; ; ; , nєZ.

Для запоминания этих формул удобно пользоваться таким правилом:

а) перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если ;

б) функция меняется на «кофункцию», если n нечетно; функция не меняется, если n четно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс).

Например, ; ; и т. п.

Пример 5. Привести к тригонометрической функции острого угла:

2)cos (-1560 0 ); 3)tg 23,7π.

1) sin 474 0 = sin (360 0 + 114 0 ) = sin 114 0 = sin (90 0 + 24 0 ) = cos 24 0 .

2)cos (-1560 0 ) = cos 1560 0 = cos (360 0 ∙4 + 120 0 ) =cos 120 0 = cos (180 0 — 60 0 ) = -cos 60 0 =-0,5.

3)tg 23,7π = tg (23π +0,7π) = tg (0,7π) = tg (π – 0,3π) = -tg 0,3π.

Пример 6. Упростить выражение .

.

Из формул сложения, полагая α = β, выводятся формулы двойного аргумента:

sin 2 α = 2sin α cos α;

cos 2α = cos ² α — sin ² α;

cos 2α = 2 cos ² α — 1; cos 2α = 1-2 sin ² α

.

Пример 7. Вычислить значение выражения: sin 75 0 ∙sin 15 0 .

sin 75 0 ∙sin 15 0 = sin (90 0 – 15 0 )∙sin 15 0 = сos 15 0 ∙sin 15 0 = .

Известны также формулы суммы и разности синусов и косинусов:

;

;

;

,

и формулы половинного аргумента:

;

;

.

В указанных формулах половинного аргумента знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол .

Полезно знать следующие формулы:

; .

Упражнения для самостоятельного решения.

№18. Данные углы выразите в радианах:

а) 40 0 , 160 0 , 310 0 ;

б) 36 0 , 317 0 , 1000 0 ;

в) 17 0 15’, 10 0 5’’, 35’20’’.

№19. Найдите угловую величину дуги в градусах, если ее радианная мера равна:

а) , , ;

в) , cos 0,5π, sin 90 0 + cos 0 0 – ctg .

№20. Найдите числовое значение выражения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

№21. Определите знак произведения:

а) sin 50 0 cos 60 0 sin 188 0 ctg 489 0 ;

б) sin 210 0 tg 465 0 cos 540 0 ctg 3 sin (-46 0 ).

№22. Могут ли синус и косинус одного и того же числа быть равными соответственно:

а) и ; б) 0,4 и 0,7; в) и ; г) и ?

№23. Могут ли тангенс и котангенс одного и того же числа быть равными соответственно:

а) и ; б) и ; в) 2,4 и ; г) и ?

№24. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно значение:

а) ; б) ;

в) tg α = 2, 180 0 0 ; г) ctg α = -3, 270 0 0 .

№25. Вычислите значение выражения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

№26. Преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы аргумент соответствующей тригонометрической функции принадлежал промежутку (0; ):

а) ;

б) .

№27. Найдите числовое значение выражения:

а) cos 2 (π — α) tg (π + α) tg ( — α) + sin (2π — α) cos ( + α);

б) .

№28. Упростите выражение:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; г) ctg 2 α (1-cos 2α) + cos 2 α.

№29. Вычислите sin 2α, cos 2β, cos (α + β) и sin (α — β), если:

а) ;

б) .

№30. Найдите , если:

а) ;

б) .

а) сos 105 0 – sin 195 0 + sin 135 0 ;

б) sin 810 0 cos 900 0 + tg 585 0 ctg 1845 0 + cos 135 0 sin 405 0 ;

в) tg 18 0 tg 288 0 + sin 32 0 sin 148 0 + sin 302 0 sin 122 0 .

№32*. Докажите тождества:

а) при ;

б) (sin 2 t + 2 sin t cos t – cos 2 t) 2 = 1 – sin 4 t;

в) ;

г) при .

а) ;

б) .

§ 2. Свойства и графики тригонометрических функций.

Свойства функции у=sinx и ее график.

Числовая функция, заданная формулой y = sin x называется синусом .

Свойства функции у=cosx и ее график.

Числовая функция, заданная формулой y = cos x называется косинусом.

Свойства функции у=tgx и ее график.

Свойства функции у=ctgx и ее график.

График (рис. 30)

Обратные тригонометрические функции.

Теорема. Пусть функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке, а число а – любое из значений, принимаемых функцией на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = a имеет единственный корень на данном промежутке.

Известно, что функция sin x возрастает на отрезке и принимает значения от -1 до 1. Таким образом (по теореме), для любого числа а, такого, что –1 ≤ а ≤ 1, на промежутке существует единственный корень уравнения sin x = a. Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin a.

Итак, арксинусом числа а называется такое число α из отрезка , синус которого равен а.

Математическая запись данного предложения такова:

arcsin a = α, если sin α = a, где α ∈ ; а ∈ [-1; 1].

Рассмотрим функцию y = arcsin x.

Перечислим некоторые ее свойства:

2.E(y) = .

4.Функция возрастает на всей области определения.

5.График функции y = arcsin x изображен на рис. 31.

Функция y = arcsin x является нечётной, справедлива формула arcsin(- x)= — arcsin x

Аналогично введем понятие арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Арккосинусом числа а называется такое число α из отрезка [0; π], что его косинус равен а.

Математическая запись данного предложения такова:

arccos a = α, если cos α = a, где α ∈ [0; π] ; а ∈ [-1; 1].

Рассмотрим функцию y = arccos x.

Перечислим некоторые ее свойства:

3.Функция не является ни четной, ни нечетной.

4.Функция убывает на всей области определения.

5.График функции y = arccos x изображен на рис. 32.

Имеет место следующее тождество: arccos (-x)= π — arccos x

Арктангенсом числа а называется такое число α из интервала , что его тангенс равен а.

Математическая запись данного предложения такова:

arctg a = α, если tg α = a, где α ∈ ; а ∈ R.

Рассмотрим функцию y = arctg x.

Перечислим некоторые ее свойства:

2.E(y) = .

3.Функция является нечетной.

4.Функция возрастает на всей области определения.

5.График функции y = arctg x изображен на рис. 33.

Функция y = arctg x является нечётной, справедлива формула

arctg(- x)= — arctg x

Арккотангенсом числа а называется такое число α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Математическая запись данного предложения такова:

arcсtg a = α, если сtg α = a, где α ∈ (0; π) ; а ∈ R.

Рассмотрим функцию y = arcсtg x.

Перечислим некоторые ее свойства:

3.Функция не является ни четной, ни нечетной.

4.Функция убывает на всей области определения.

5.График функции y = arcctg x изображен на рис. 34.

Имеет место следующее тождество:

arcctg(- x)= π — arcctg x

Функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс называют обратными тригонометрическими функциями.

Упражнения для самостоятельного решения.

№34. Постройте графики следующих функций, используя преобразования:

а) у = cos x – 3; б) у = sin (x + ); в) у = tg 2x; г) у = 3 cos x.

№35. Постройте графики функций:

а) y = -3 tg 2x; б) y = 4 sin ;

в) y = 1 — ; г) y = ctg (2x — 120 0 ).

№36*. Постройте графики тригонометрических функций, содержащих знак модуля:

а) у = ; б) у = cos ; в) у = ; г) у = ; д) у = 2 – sin .

§ 3. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнение sin x = a , где –1 ≤ а ≤ 1, имеет бесконечно много корней. Например, уравнению sin x = удовлетворяют следующие значения: и т. д.

Общая формула, по которой находят все корни уравнения sin x = a, где –1 ≤ а ≤ 1, такова:

Решения уравнения сos x = a , где –1 ≤ а ≤ 1, находят по формуле

Уравнение tg x = a решается по формуле

а уравнение ctg x = a – по формуле

Пример 1. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. По формуле решения уравнения вида сos x = a имеем:

х = ±arccos + 2πn, n ∈ Z.

Так как arccos = , то окончательно получаем х = ± + 2πn, n ∈ Z.

Пример 2. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой (3), получим: = arctg 2 + πn, n ∈ Z ,

откуда находим: х = 2 arctg 2 + πn, n ∈ Z .

Пример 3. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Запишем исходное уравнение в виде .

Функция синус нечетна. Поэтому .

.

Так как , имеем:

.

Заметим, что в некоторых случаях удобнее пользоваться частными формулами:

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному.

Для решения тригонометрических уравнений вида

а sin 2 x + b sin x + c =0, a cos 2 x + b sin x + c = 0 и т. п.

используются следующие соотношения: sin 2 x = 1 – cos 2 x; cos 2 x = 1 – sin 2 x,

а также формулы корней квадратного уравнения и уравнений вида sin x = a, cos x = a.

Пример 4. Решить уравнение 2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.

Р е ш е н и е. Введем новую переменную у = sin x. Тогда данное уравнение можно записать в виде 2у 2 + у – 1 = 0.

Мы получили квадратное уравнение относительно у. Решая его, найдем:

у 1 = , у 2 = — 1.

Следовательно, sin x = или sin x = — 1. В первом случае получим решения

т. е. .

Во втором случае имеем: .

Пример 5. Решить уравнение 8cos 2 x + 6cosx – 3 = 0.

Р е ш е н и е. Заменяя sin 2 x на 1 – сos 2 x, получим:

8(1 – сos 2 x) + 6cosx – 3 = 0,

8cos 2 x – 6cosx – 5 = 0.

Введем новую переменную. Обозначим cos x через y. Тогда уравнение примет вид:

Корни последнего уравнения: у 1 = , у 2 = .

Следовательно, сos x= , cos x = .

Уравнение cos x = не имеет решений, так как cos x не может быть больше единицы.

Решая уравнение сos x= , находим: .

Уравнение вида a tg x + b ctg x + c = 0 приводится к квадратному уравнению одной тригонометрической функции путем замены .

Пример 6. Решить уравнение tg x + 2 ctg x = 3.

Р е ш е н и е. Обозначим tg x через у. Поскольку , получаем уравнение , которое приводится к квадратному у 2 – 3у + 2 = 0 (при условии у ≠ 0). Его корни у =2 и у = 1.

1) tg x = 2, x = arctg 2 + πn, n ∈ Z.

2) tg x = 1, x = , n ∈ Z.

Однородные тригонометрические уравнения.

Уравнение вида a sinx + b cos x =0 (a ≠ 0, b ≠ 0) называется однородным первой степени относительно sin x и cos x. Оно решается делением обеих его частей на cos x ≠ 0. В результате получается уравнение вида a tg x + b = 0.

Уравнение вида a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 называется однородным уравнением второй степени относительно sin x и cos x, если все три коэффициента a, b, c или какие-либо два из них отличны от нуля. Считая, что а ≠ 0, разделим обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0, тогда получим:

a tg 2 x + b tg x + c = 0 .

Полученное уравнение равносильно исходному, так как корни уравнения cos 2 x = 0 не являются корнями исходного уравнения.

Однако если а = 0, то исходное уравнение принимает вид b sin x cos x + c cos 2 x = 0 , которое решается разложением левой части на множители: cos x ( b sin x + c cos x) = 0 .

Пример 7. Решить уравнение 3 sin 2 x – 4 sin x cos x + cos 2 x = 0.

Р е ш е н и е. Значения аргумента, при которых cos x = 0, не являются решениями этого уравнения, так как если cos x = 0, то должно выполняться равенство 3 sin 2 x = 0, а косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю (это следует из основного тригонометрического тождества). Поэтому обе части уравнения можно разделить на cos 2 x (или на sin 2 x) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению

3 tg 2 x – 4 tg x + 1 = 0,

откуда tg x = 1 или tg x = . Следовательно,

или .

Пример 8. Решить уравнение 2 sin x cos x – 2 cos 2 x = 0.

Р е ш е н и е. Вынесем общий множитель за скобки, получим 2 сos x (sin x – cos x) = = 0. Решим это уравнение.

  1. 2 сos x = 0, cos x = 0, x = .

2) sin x – cos x = 0.

Разделив обе части на cos x, получим tg x = 1, значит x = ,

З а м е ч а н и е. Если бы мы разделили обе части данного уравнения на сos 2 x, то получили бы уравнение 2 tg x = 2. Корни этого уравнения: x = , n ∈ Z. Как видно, мы потеряли бы серию корней x = . При таком способе решения необходимо учитывать, что те х, при которых cos x = 0, — корни данного уравнения.

Пример 9. Решить уравнение 22 cos 2 x + 8 sin x cos x = 7.

Р е ш е н и е. Так как sin 2 α + cos 2 α = 1, то данное уравнение можно заменить равносильным ему уравнением

22 cos 2 x + 8 sin x cos x = 7(sin 2 х + cos 2 х).

Раскроем скобки, перенесем все члены из правой части уравнения в левую, сделаем приведение подобных членов. Получим:

7sin 2 x – 8 sin x cos x – 15 cos 2 x = 0.

Это – однородное уравнение второй степени. Разделив обе части этого уравнения на cos 2 x, найдем:

7 tg 2 x – 8 tg x – 15 = 0,

откуда tg x = — 1, значит x = , n ∈ Z , или tg x = , значит, .

Простейшие тригонометрические неравенства.

Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции, сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств вида sin x > a,

cos x ≤ a, tg x ≥ a и т. п. Для их решения используют единичную окружность или графики тригонометрических функций. Рассмотрим примеры.

Пример 10. Решить неравенство .

Р е ш е н и е. Для решения неравенства воспользуемся единичной окружностью.

Данное неравенство означает, что все точки единичной окружности при значениях х, удовлетворяющих неравенству, имеют ординату, меньшую .

Множество всех таких точек – дуга L, выделенная на рис. 35.

Концы ее А 1 и А 2 не входят в рассматриваемое множество, поскольку их ординаты не меньше, а равны .

х1 = ;

Рассмотрим обход дуги L от точка А х1 до точки А х2 , в направлении по часовой стрелке: х2 .

Таким образом, . Чтобы получить все решения данного неравенства, достаточно к концам этого промежутка прибавить 2πn, n ∈ Z .

.

Пример 11. Решить неравенство .

Р е ш е н и е. Для решения данного неравенства строим графики функций

у = sin x и у = (рис. 36).

Из рисунка видно, что прямая у = пересекает синусоиду в бесконечном числе точек.

На рисунке выделены несколько промежутков, удовлетворяющих неравенству, один из них . Воспользовавшись тем, что значения синуса повторяются через промежуток 2π, запишем окончательный ответ:

.

Пример 12. Решить уравнение .

Р е ш е н и е. Обозначим 3х через t, тогда данное неравенство примет вид .

Этому неравенству удовлетворяют все точки, абсциссы которых больше или равны (рис. 37).

Из рисунка видно, что эти точки дуги лежат правее прямой х = или на самой этой прямой. Следовательно, множество всех точек, удовлетворяющих неравенству есть

дуга, выделенная на рис. Концы этой дуги входят в искомое множество, так как их абсциссы равны и, значит, удовлетворяют неравенству.

Таким образом, .

Учитывая, что значения косинуса повторяются через промежуток 2π, запишем множество всех решений неравенства :

.

Переходя снова к переменной х, получаем искомый ответ:

.

Пример 13. Решить неравенство tg x ≤ 1.

Р е ш е н и е. Построим единичную окружность и проведем линию тангенсов, которая является касательной к окружности в точке (1; 0).

Так как х – решение неравенства tg x ≤ 1, то ордината точки Т х , должна быть меньшеили равна 1.

Все такие точки лежат на луче АТ (рис. 38).

Точки единичной окружности, соответствующие точкам Т х , образуют дугу, выделенную на рис. Для точек этой дуги выполняется неравенство

.

Учитывая, что значения тангенса повторяются через π, получаем ответ:

Упражнения для самостоятельного решения.

Решите уравнения (37 – 42):

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

№38. а) 2 cos x + = 0; б) cos x + 1 = 0; в) 2 sin x + = 0;

г) 2 sin x + 1 = 0; д) сtg x – 1 = 0; е) tg x + = 0.

№39. а) sin 2x = ; б) cos ; в) sin ;

г) tg (-4x) = ; д) сos 4x = 0; е) ctg = 1.

№40. а) 2 сos = ; б) 2 sin (3x — ) = — ;

в) tg = 3; г) sin + 1 = 0.

№41. а) cos = -1; б) 2 sin ;

в) tg = — 1; г) 2 cos = .

№42*. а) sin 3x cos x – cos 3x sin x = ; б) sin 2 — cos 2 = 1;

в) sin 2x cos 2x = ; г) sin cos — cos sin = .

№43*. Решите уравнения cos = , sin (2x + ) = -1 и найдите для каждого из них:

а)наименьший положительный корень;

б)корни, принадлежащие промежутку ;

в)наибольший отрицательный корень;

г)корни, принадлежащие промежутку .

Решите уравнения (44 – 49):

№44. а) 3 sin 2 x – 5 sin x – 2 = 0; б) 4 cos 2 x – 8 cos x + 3 = 0; в) 2 sin 2 x + 3 cos x = 0;

г) 6 cos 2 x + cos x – 1 = 0; д) 3 tg 2 x + 2 tg x – 1 =0; е) 5 sin 2 x + 6cos x – 6 = 0;

ж) 4 сos x = 4 – sin 2 x; з) tgx – 2ctgx +1 = 0; и) sin 2 — 2 cos = -2.

№45. а) 2 cos 2 x + cos x = 0; б) 4 cos 2 x – 3 = 0;

в) tg 2 x – 3 tg x = 0; г) 4sin 2 x – 1 = 0.

№46. а) 3 sin 2 x + sin x cos x = 2 cos 2 x; б) 2 cos 2 x – 3 sin x cos x + sin 2 x = 0;

в) 9 sin x cos x – 7 cos 2 x = 2 sin 2 x; г) 2 sin 2 x – sin x cos x = cos 2 x.

№47. а) 4 sin 2 x – sin 2x = 3; б) сos 2x = 2 cos x – 1;

в) sin x + cos x = 0; г) tgx = 3 ctg x.

№48*. а) sin 4 — cos 4 = ; б) 4 (1 + cosx) = 3 cos sin 2 ;

в) 4 (1 – cosx) = 3 sin cos ; г) 1 – cos x = 2 sin ;

д) 22 сos 2 x + 4 sin 2x = 7; е) 2 сos 2 (270 0 + x) + 3 sin (x + ) = 0;

ж) sin 4x + sin 2 2x = 0; з) sin 3 x + cos 3 x = 0.

№49*. а) cos 5x – cos 3x = 0; б) sin 7x – sin x = cos 4x;

в) sin 5x – sin x = 0; г) сos 3x + cos x = 4 cos 2x.

№50. На единичной окружности отметьте точки, для которых соответствующие значения х удовлетворяют данному неравенству. Найдите множество значений х, удовлетворяющих неравенству и принадлежащих указанному промежутку

а) sin x , x є [-π; 0]; б) sin x ≥ , x є [0; π];

в) cos x > , x є ; г) cos x , x є ;

д) tg x > — , x є ; д) tg x , x є .

Решите неравенства (51 – 53):

№51. а) sin x > ; б) sin x ≥ ; в) sin x ; г) cos x ≥ ; д) cos x ;

е) cos x ≥ — ; ж) tg x ≤ ; з) tg x ≥ ; и) tg x

№52. а) 2 cos x – 1 ≥ 0; б) 2 sinx + ≥ 0; в) 2 cos x — ≤ 0; г) 3 tg x + ≥ 0.

а) 2 сos ≤ 1; б) tg

в) sin ≥ 1; г) 2 cos > .

№53*. а) sin cos x + cos sin x ; б) sin x + cos x ; в) (sin — cos ) 2

г) — ≤ сos x ; д) 2 сos 2 x + 3 cos x – 2 ≥ 0; е) sin x – cos 2 x > 0.

РАЗДЕЛ 3. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ.

§ 1. Обобщение понятия степени.

Вам уже знакомо понятие степени числа с целым показателем. Выражение а n определено для всех а и n, кроме случая а = 0 при n ≤ 0. Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел а, b и любых целых чисел m и n справедливы равенства:

а m · a n = __________; а m : a n = _________ (a ≠ 0);

(a m ) n = _________;

(ab) n = ___________ ; __________ (b ≠ 0);

a 1 = ___; a 0 =______ (a ≠ 0)

Отметим также следующие свойства:

1. Если m > n, то a m > a n при a > 1 и a m n при 0

2. Пусть 0 n n при n > 0; a n > b n при n

Обобщим понятие степени числа, придав смысл выражениям типа 2 0,3 , , и т. д.

Определение . Степенью числа a > 0 с рациональным показателем , где m – целое число, a n – натуральное (n > 1), называется число .

Запишите определение степени в символьном виде ________________________________

Степень числа 0 определена только для положительных показателей; по определению 0 r = 0 для любого r > 0.

Например, , .

Для степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для целого показателя.

Далее определим степень с иррациональным показателем.

Пусть α – иррациональное число. Выясним, какой смысл вкладывается в запись а α , где а – положительное число. Рассмотрим три случая: а = 1, a > 1, 0

1)Если а = 1, то полагают 1 α = 1.

2)Пусть a > 1. Возьмем любое рациональное r 1

r 2 > α. Тогда r 1 2 и a r1 r2 . В этом случае под а α понимают такое число, которое заключено между a r1 и a r2 для любых рациональных чисел r 1 и r 2 , таких, что r 1 2 > α.

В математике доказано, что такое число существует и единственно для любого а > 1 и любого иррационального α.

r 2 > α. Тогда r 1 2 и a r1 > a r2 . В этом случае под а α понимают такое число, которое заключено между a r2 и a r1 для любых рациональных чисел r 1 и r 2 , удовлетворяющих неравенству r 1 2 . В математике доказано, что такое число существует и единственно для любого а из интервала (0; 1) и любого иррационального α.

Для степени с иррациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для целого показателя.

Таким образом, определено понятие степени для любого действительного показателя.

Для степени с действительным показателем сохраняются ли основные свойства степеней?___________________________

Отметим основные свойства степени с действительным показателем.

Для любых действительных чисел x и y и любых положительных а и b справедливы следующие утверждения:

Пример 1. Упростить выражение а) ; б) .

Р е ш е н и е. а) ; б) .

Пример 2. Найти значение выражения а) ; б) .

а)

б) .

Пример 3. Преобразовать выражения а) ; б) .

а) ;

б) .

Упражнения для самостоятельного решения.

№54. Представьте в виде корня из числа выражение:

а) 3 1,2 ; б) ; в) 4 1,25 ; г) .

№55. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) ; б) ; в) ; г) .

Найдите значение числового выражения (56 – 57):

№56. а) 243 0,4 ; б) ; в) ; г) .

№57. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) .

Разложите на множители (58 – 59):

№58. а) ; б) ; в) ; г) .

№59. а) ; б) ;

в) ; г) .

Упростите выражения (60 – 62) :

№60. а) ; б) ;

в) ; г) .

№61. а) ; б) ;

в) ;

г) .

№62*. а) ;

б) ;

в) ;

г) .

№63*. Имеет ли смысл выражение:

а) ; б) (-2) -4 ; в) ; г) .

№64*. Найдите область определения выражения:

а) ; б) ; в) ; г) .1

§2. Степенная функция, ее свойства и график.

Для любого действительного числа α и каждого положительного х определено число х α .

Функция, заданная формулой _________________, называется степенной (с показателем степени α).

Отметим некоторые свойства степенной функции.

На рис 39. изображены схемы графиков степенных функций при α > 1, α = 1 и 0

З а м е ч а н и е. Для некоторых α степень х α определена не только для х > 0. Например, если α – натуральное число: α = n, то степень х n определена для любого х є R. Если α = -n, где n – натуральное число, то степень х -n определена для любого х є R, х ≠ 0. Функции х n , х є R, и

х -n , х є R, х ≠ 0, часто также называются степенными.

Эти функции являются четными, если n четное, и нечетными, если n нечетное.

Упражнения для самостоятельного решения.

№65. Постройте на одном и том же чертеже графики функций у = х, у = х 2 , у = х 1/2 ,

у = х 2/3 , у = х 3/2 . Укажите сходство и различие графиков этих функций.

№66. Постройте графики функций у = х -3/2 , у = х –1/2 .

№67*. На миллиметровой бумаге постройте графики функций .

1) Найдите с помощью графика приближенные значения:

а) ; б) ; в) ; г) .

2) Найдите значения этих корней с помощью калькулятора.

3) Сравните полученные значения.

§ 3. Логарифмы и их свойства.

Логарифм положительного числа b по основанию а (где а > 0, а ≠ 1)

Логарифм числа b по основанию а обозначается символом __________________________.

Установите связь между понятием степени и логарифмом___________________________

Основным логарифмическое тождество_________________________________________ .

Пример 1. Найти значение: а) log 2 32; б) log 5 0,04.

Р е ш е н и е. а) Заметим, что 32 = 2 5 , т. е. для того, чтобы получить число 32, надо 2 возвести в пятую степень. Следовательно, log 2 32 = 5.

б) Заметим, что 0,04 = = 5 -2 , поэтому log 5 0,04 = — 2.

Пример 2. Найти х, такое, что: а) log 8 x = ; б) log x 8 = .

Р е ш е н и е. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством.

Для обозначения десятичных логарифмов принята специальная запись: вместо log 10 b, где b – произвольное положительное число, пишут _______________________________________.

Для обозначения натуральных логарифмов принята специальная запись: вместо log e b, где b – произвольное положительное число, пишут _______________________________________.

Запишите основные свойства логарифмов , используя понятие степени и логарифма.

При любом а > 0 (а ≠ 1) и любых положительных х и у выполняются равенства:

1) Логарифм единицы по любому основанию равен _______________________________.

2) Логарифм самого основания равен __________________________________________.

3) Логарифм произведен ия равен _____________________________________________.

4) Логарифм частного равен _________________________________________________.

5) Логарифм степени равен ___________________________________________________.

Помимо основных свойств, при преобразовании выражений, содержащих логарифмы, полезно применять формулу перехода от одного основания логарифма к другому:
.

Пример 3. Найти значение выражения .

Р е ш е н и е. Пользуясь основными свойствами логарифмов, преобразуем числитель и знаменатель этой дроби: lg72 – lg9 = lg = lg8 = lg 2 3 = 3 lg 2;

lg28 – lg 7 = lg = lg4 = lg 2 2 2 lg2.

Следовательно, .

Определим две операции: логарифмирование и потенцирование.

Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов.

Пример 4. Прологарифмировать по основанию 2 выражение .

Р е ш е н и е. Пользуясь основными свойствами логарифмов, получаем:

.

Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.

Пример 5. Найти х, если log 5 x = log 5 7 +2 log 5 3 – 3 log 5 2.

Р е ш е н и е. Сначала преобразуем правую часть данного равенства, пользуясь основными свойствами логарифмов:

log 5 x = log 5 7 +log 5 3 2 – log 5 2 3 = ,

т. е. log 5 x = и поэтому х = .

Упражнения для самостоятельного решения.

№68. Найдите логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а:

а) 3 2 = 9; б) ; в) ; г) 7 0 = 1; д) ; е) ; ж) .

№69. Проверьте справедливость равенств:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) .

№70. Найдите логарифмы данных чисел по основанию а:

а) 25, при а = 5; б) 64, 8, 2 при а = 8;

в) 27, при а = 3; д) 4; 32; 0,25 при а = 0,5.

№71. Найдите число х:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Вычислите (72 – 73):

№72. а) lg8 + lg125; б) ; в)log 12 4 + log 12 36; г) lg13 – lg130.

№73. а) ; б) ; в) log 2 11 – log 2 44; г) log 0,3 9 – 2 log 0,3 10.

Прологарифмируйте выражение по основанию 10 (все переменные положительные)(74 – 76):

№74. а) 3ас; б) ; в)

№75. а) ; б) ; в) ; г) .

№76*. а) ; б) .

№77. Выполните потенцирование выражения:

а) ; б) ; в) ;

д) ; е) ; ж) .

§ 4. Показательная и логарифмическая функции.

Показательная функция, ее свойства и график.

Функция, заданная формулой вида _____________________________________________, называется ______________________________________________________________________ .

Показательная функция обладает следующими свойствами:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *