Как найти закономерность чисел
Перейти к содержимому

Как найти закономерность чисел

  • автор:

Задачи на закономерность для 2 класса

Задания уровня 2 класса нацелены на развитие навыка определения и формулирования закономерности, выбора правильных вариантов, восстановление или продолжение числовых рядов.

Математические задачи на поиск закономерностей – важная категория заданий в школьной программе для начальных классов. На ЛогикЛайк более 3500 заданий с ответами и пояснениями. Вас ждут увлекательные упражнения на логику от простого к сложному, награды, сертификаты.

Примеры задач с решениями и ответами

Выполнение заданий этой категории учит детей анализировать ряды элементов, сравнивать соседние объекты, обобщать, абстрагироваться и, конечно, находить закономерности.

Задача 1. Выбери подходящие ряды чисел

изображение к задаче 1

Условие: Профессор завёл новую тетрадь, в которой ведёт счёт особо секретным опытам. В конце каждой недели он записывает, сколько всего опытов он провёл на данный момент.

Задание: Выбери цепочки чисел, которые подходят под это описание:
1, 3, 5, 3, 7, 9
2, 4, 6, 8, 8, 11
4, 6, 7, 13, 14, 30
4, 5, 6, 7, 5, 6, 7

Cмотреть решение

2, 4, 6, 8, 8, 11 и
4, 6, 7, 13, 14, 30.

Решение:
Числа в цепочках могут быть любыми.
Единственное требование — каждое последующее число должно быть больше предыдущего или таким же (если в день записи опыты не проводились).

Числовые закономерности

Изучение математики всегда начинается с чисел. Сначала мы учимся выражать количество с помощью букв, цифр или самих предметов. А потом долгие и долгие годы складываем, вычитаем, умножаем, делим и решаем разные арифметические задачи. И за всей этой рутиной часто не видим магию чисел, способную развлечь и удивить любого, кто решится всего лишь заглянуть чуть глубже.

Вот, например, одна хитрость, с которой еще в детстве столкнулся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс[2]. Как-то раз на уроке математики учитель попросил класс сложить между собой всей числа от 1 до 100. Вряд ли он хотел развлечь учеников – скорее, отвлечь: заставить заняться чем-нибудь нудным и требующим полного сосредоточения, а самому спокойно сделать другую работу. Представьте себе его удивление, когда через несколько секунд Гаусс вышел к доске и написал ответ – 5050. Хотите знать, как он это сделал? Он просто представил все эти числа в виде двух рядов: верхний – от 1 до 50, нижний – от 51 до 100, причем в нижнем ряду числа шли в обратном порядке, вот так:

Гаусс заметил, что сумма чисел в каждом из 50 столбцов одинаковая – 101, а значит, для того, чтобы получить искомый результат, нужно всего лишь умножить 101 на 50. Так у него и получилось 5050.

Собственно говоря, благодаря такой вот способности – не быстро считать в уме, но заставлять числа плясать под свою дудку – Гаусс и стал одним из величайших математиков XIX столетия. В этой главе мы как раз и поговорим об интересных числовых закономерностях и, конечно, увидим танец чисел. Одни из этих примеров полезны тем, что развивают способности умственного счета, другие – просто красивы.

Только что мы последовали путем гауссовой логики, чтобы получить сумму первой сотни простых чисел. Но что, если нам нужна сумма 17 из них? Или тысячи? Миллиона? Логика Гаусса позволяет подсчитывать сумму первых n чисел, где n – любое нужное вам количество! Некоторым людям легче разобраться с математическими абстракциями, если они могут их визуализировать. К примеру, числа 1, 3, 6, 10 и 15 иногда называют треугольными, потому что, заменив их соответствующим количеством кружков, можно легко сложить треугольники, вроде того, что изображен чуть ниже (конечно, один кружок треугольником можно назвать с очень большой натяжкой, но число 1, несмотря на это, все же считается треугольным). Согласно определению, треугольное число n равняется 1 + 2 + 3 +… + n.

Посмотрите, что произойдет, если мы расположим два треугольника основаниями друг к другу, вот так:

У нас получился прямоугольник из 5 рядов и 6 столбцов – всего 30 кружков. Значит, в каждом из двух наших треугольников была половина общего их количества, то есть по 15 кружков. Мы, это, разумеется, уже знаем, но давайте применим этот же принцип к двум прямоугольникам, количество рядов в которых равно n. Точно так же составим из них прямоугольник с n рядов и n + 1 столбцов. Кружков в нем будет n ? (n + 1) – ну или в более привычной записи – n(n + 1). В результате мы получим формулу, которая позволит нам подсчитывать сумму первых n чисел:

Видите, закономерность, которую мы использовали для сложения первой сотни чисел, вполне применима к любому подобному ряду, сколько бы членов в него ни входило. И если вдруг нам понадобится сложить между собой все числа от 1 до 1 000 000, сделать это можно будет всего за два шага: перемножив 1 000 000 и 1 000 001 и разделив результат пополам.

Разобравшись в одной формуле, вы с легкостью разберетесь и в остальных. Например, если мы удвоим обе части последнего уравнения, получится формула суммы первых n четных чисел:

2 + 4 + 6 +… + 2n = n(n + 1)

А как насчет суммы первых нечетных, спр?сите вы? Давайте посмотрим, что говорят нам числа.

То, что справа – квадраты целых чисел. 1 ? 1; 2 ? 2; 3 ? 3 и т. д. Сложно не заметить следующую закономерность: сумма первых n нечетных чисел равняется n ? n. Или n?. Но что, если это просто совпадение? Чуть позже, в главе 6, мы с вами увидим несколько путей развития этой формулы, но уже и сейчас понятно, что у такой простой закономерности должно быть не менее простое объяснение. Самое мое любимое – методом подсчета кружков: он наглядно показывает, почему числа вроде 25 называются квадратами. Но почему вдруг мы должны складывать первые 5 нечетных чисел с 5?? А просто посмотрите на квадрат размером 5 на 5:

Кружков в нем 5 ? 5 = 25, это очевидно. Но давайте подсчитаем иначе. Начнем с одинокого кружка в левом верхнем углу. Его окружают 3 кружка, потом 5, потом 7 и, наконец, 9. Следовательно,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

И возьми мы квадрат со сторонами n на n, его можно будет легко разбить на n-ное количество L-образных секторов, в каждом из которых будет соответственно 1, 3, 5…., (2n – 1) кружков. Это и есть формула суммы первых n нечетных чисел

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n?

Отступление

Чуть позже мы еще вернемся к методу подсчета кружков (как и к методу решения задачи двумя разными способами), и вы увидите, к каким интересным результатам он может привести в высшей математике. Но и для понимания основ он не менее полезен. Почему, например, 3 ? 5 = 5 ? 3? Уверен, вы никогда даже не задавались таким вопросом: просто однажды в детстве вам сказали, что порядок чисел при умножении абсолютно не важен (математики, кстати, называют это законом коммутативности). Но почему же три пакетика по пять жемчужин – это то же, что и пять пакетиков по три жемчужины? Самый простой способ объяснить этот закон – посчитать кружки в прямоугольнике размером 3 на 5. Считая ряд за рядом, мы видим 3 ряда, в каждом из них 5 кружков, то есть во всем прямоугольнике 3 ? 5 кружков. С другой стороны, мы можем подсчитать столбики, а не ряды: по 3 кружка в каждом из 5 рядов, значит, всего кружков 5 ? 3.

Эта закономерность может привести нас к другой, еще более красивой. Раз уж мы хотим заставить числа танцевать, почему бы не сделать это и с их квадратами?

Взгляните вот на такую пирамидку уравнений:

Какую закономерность вы видите? Подсчитать количество чисел в каждом ряду несложно: 3, 5, 7, 9, 11 и так далее. А дальше неожиданность: первое число каждого ряда – по крайней мере, первых 5 записанных здесь рядов – является квадратом числа. И правда: 1, 4, 9, 16, 25… Почему так получается? Возьмем пятый ряд. Сколько чисел ему предшествуют? Давайте сложим их количество: 3 + 5 + 7 + 9. Прибавим к ним еще единицу, и у нас получится первое число пятого ряда – сумма первых 5 нечетных чисел, которая, как мы уже знаем, равна 5?.

А теперь просчитаем пятое уравнение, ничего к нему не добавляя. Как бы это сделал Гаусс? Если пока не обращать внимания на начальное 25, слева у нас останется 5 чисел, каждое из которых будет ровно на 5 меньше, чем соответствующее ему число справа.

То есть сумма чисел справа будет ровно на 25 больше суммы чисел слева. Но это без учета 25, которые стоят в начале. А с ними у нас получается именно тот результат, который обещан нам знаком равенства. Следуя той же логике и призвав на помощь алгебру, мы докажем, что этот ряд можно продолжать бесконечно.

Отступление

А теперь – специально для тех, кто хотел немного алгебры. Ряду n предшествует количество чисел, равное 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) = n? – 1, поэтому левая сторона нашего уравнения должна начинаться с числа n?, за которым следует n последовательных чисел, от n? + 1 до n? + n. Справа – n последовательных чисел, начиная с n? + n + 1, заканчивая n? + 2n. Если мы временно «забудем» про число n? слева, то увидим, что каждое из n чисел справа на n больше, чем соответствующее ему последовательное число слева. Разница при этом составляет n ? n, то есть n?. Закономерность эта компенсируется начальным n? слева, поэтому-то левая и правая части и равны.

Перейдем к другой закономерности. Как мы уже видели, из нечетных чисел можно составлять квадраты. А теперь посмотрим, что произойдет, если собрать их в один большой треугольник – вроде того, что изображен чуть ниже.

Так отлично видно, что 3 + 5 = 8, а 7 + 9 + 11 = 27, а 13 + 15 + 17 + 19 = 64. Что общего у 1, 8, 27 и 64? Да это же полные кубы чисел! Например, если сложить между собой пять чисел пятого ряда, мы получим:

21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5 ? 5 ? 5 = 5?

Логика вроде бы подсказывает, что сумма чисел в ряду n будет равна n?. Но насколько верным будет этот вывод? Не простое ли это совпадение? Чтобы лучше понять эту закономерность, посмотрим на числа в середине 1, 3 и 5 рядов. Что мы видим? 1, 9 и 25. То есть квадраты. В середине 2 и 4 рядов чисел нет, но по сторонам центра 2 ряда видим числа 3 и 5, среднее арифметическое которых – 4, а по сторонам центра 4 ряда – 15 и 17 со средним арифметическим 16. Давайте подумаем, как эту закономерность можно использовать.

Снова возьмем 4 ряд. Что мы тут видим? А видим мы, что сумма всех чисел в нем есть 5? – и не нужно к ним ничего добавлять, чтобы заметить: все они симметрично расположены вокруг 25. Так как среднее арифметическое этих чисел – 5?, уравнение преобразуется в 5? + 5? + 5? + 5? + 5? = 5 ? 5?, то есть 5?. То же справедливо и в отношении 4 ряда: среднее арифметическое всех чисел в нем – 4?, их сумма – 4?. Чуть-чуть алгебры (к которой мы здесь не прибегаем), и вы легко сделаете вывод, что среднее арифметическое n чисел ряда n равно n?, а их сумма равна n?, что и требовалось доказать.

Кстати, если уж мы взялись оперировать квадратами и кубами, не могу удержаться, чтобы не указать вам на еще одну закономерность. Что получится, если сложить кубы чисел, начиная с 1??

Подсчитывая сумму кубов, мы получаем 1, 9, 36, 100, 225 и т. д. – числа, которые являются полными квадратами. Но это не любые квадраты, а квадраты 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. – треугольных чисел! Мы уже знаем, что они по своей сути являются суммами простых чисел, а значит,

1? + 2? + 3? + 4? + 5? = 225 = 15? = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)?

Другими словами, сумма кубов первых n чисел есть квадрат суммы этих самых первых n чисел. Подтвердить это мы пока не можем, но в главе 6 пару доказательств увидим.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Найди закономерность и продолжи ряд

Задачи на поиск закономерностей развивают логическое мышление ребёнка, учат сравнивать, рассуждать, классифицировать и делать выводы. 3500+ задач с ответами и пояснениями.

Рекомендуем наш курс развития для детей 5-12 лет!
Выберите возраст ребёнка, чтобы начать занятия
15+ для себя

На платформе LogicLike.com дети с удовольствием развивают логику и способности к математике. У нас 3500 занимательных заданий с ответами и пояснениями!

Как ЛогикЛайк может помочь родителям?

Выберите основную цель занятий

Что такое закономерность в математике?

Математическая закономерность – это определенное правило, по которому в числовом, фигурном или другом ряду элементов происходит повторение или изменение самих элементов или их свойств в соответствии с заданным правилом.

Из учебных материалов с картинками и видео, подготовленных опытными педагогами, ваш ребёнок узнает:

  • что собой представляют закономерности, каких видов они бывают (циклические, возрастающие и убывающие);
  • с чего начать решение задачи и как понять, в каких направлениях думать;
  • как строятся умозаключения о том, какое число, буква или фигура должны продолжить предложенный ряд.

Рекомендуем взрослым и детям сначала решить несколько заданий вместе. Продолжить занятия ребёнок может самостоятельно.

В курсе развития мышления LogicLike

есть всё, что вы искали!
Закономерности в картинках
Числовые закономерности

Пройдите 3 главы-разминки и откройте доступ к закономерностям и другим занимательным заданиям на логику.

Начать курс!

Задачи типа «Найди закономерность»

Для ознакомления с темой предлагаем несколько примеров заданий по математике на поиск закономерностей разного уровня сложности.

Задачи для 1 класса

Найди закономерность и продолжи числовой ряд:

19, 16, 13, .

Все закономерности с пояснениями

Картинки расставили в определённом порядке (в виде закономерности). Подумай, какой элемент будет следующим.

изображение к задаче 2

Догадайся, как нужно раскрасить последние 3 карандаша, чтобы сохранить закономерность в этом ряду:

циклическая закономерность из карандашей

Смотреть еще задачи на закономерность для 1 класса или решать онлайн.

Примеры заданий для 2-3 классов

Фигуры разложили в виде закономерности (в определённом порядке). Продолжи закономерность: выбери подходящий набор фигур.

изображение к закономерности из цветных фигур

Какую закономерность можно заметить? Продолжи ряд чисел:

изображение к задаче продолжи ряд чисел

Помоги Алисе найти числовую закономерность и запиши следующие два числа, которые ее продолжат:

изображение к задаче

Смотреть еще задачи на закономерности для 2 класса или решать онлайн.

2 варианта занятий, выбор сложности

  • Пройдите 3 стартовые главы курса логики – и откройте доступ к разным категориям. Попробуйте «Закономерности», «Логические задачи», «Умный счёт» и другие.
  • Попробуйте задания разного уровня сложности: «Новичок», «Опытный», «Эксперт».

Задача повышенной сложности (математика 4 класс)

Ученики посадили дерево. Его высота составляла 72 см.
Через год дерево выросло до 80 см, через 2 года — до 86 см, через 3 года — до 90 см.

закономерность роста дерева

Какой высоты (в см) будет деревце через 9 лет, если закономерность его роста не изменится?

Как научить детей находить закономерности?

Объясните понятие закономерности и покажите на конкретных примерах несколько типов последовательностей. Поясните, как вы рассуждаете, чтобы найти закономерность между числами, буквами, картинками, любыми элементами ряда.

В видеоуроке по теме «Закономерности» мы на примерах разбираем: что такое возрастающая и убывающая закономерности, как правильно решать задачи на поиск закономерностей.

Действуем по такой схеме:

  • Внимательно смотрим на ряд чисел, фигур, животных, предметов.
  • Пробуем догадаться, на чем основана закономерность – по какому правилу расположены элементы.
  • Пробуем определить тип закономерности.
  • Проверяем наши предположения одно за другим, чтобы увидеть какое правило соблюдается.
  • Убедившись, что «задуманное» правило соблюдается, мы сможем точно назвать следующие элементы ряда.

Подключайтесь к ЛогикЛайк!

Более 2 000 000 детей со всего мира проводят время с пользой на LogicLike.com.

Методика «Закономерности числового ряда»

Методика оценивает теоретические математические способности. Обследуемые должны найти закономерности построения 7 числовых рядов и написать недостающие числа. Время выполнения — 5 мин.

Инструкция: «Вам предъявлены 7 числовых рядов. Вы должны найти закономерность построения каждого ряда и вписать недостающие числа. Время выполнения работы — 5 мин».

1) 24 21 19 18 15 13 — — 7

2) 1 4 9 16 — — 49 64 81

3) 16 17 15 18 14 19 — —

4) 1 3 6 8 16 18 76 78

5) 7 16 9 5 21 16 9 — 1

6) 2 4 8 10 20 22 — — 92 94

Производится по числу правильно написанных чисел. Норма для взрослого человека — 3 и выше.

См. также

  • Диагностика периферических нарушений речи у детей
  • Диагностика структуры интеллекта тестом Амтхауэра
  • Диагностическая методика «Проблема Эверье»
  • Исследование памяти с помощью методики заучивания десяти слов
  • КОСКОМ 2
  • Корректурная таблица Бентона
  • Корректурные пробы
  • Культурно-свободный тест на интеллект Р. Кеттелла: краткое описание
  • Метод определения яркости и контролируемости представлений путем самооценки (опросник Р. Гордона)
  • Метод оценки устойчивости представлений
  • . и другое

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *