Почему нет формулы суммы квадратов
Перейти к содержимому

Почему нет формулы суммы квадратов

  • автор:

Суммы квадратов, суммы кубов.

Еще в древнем Египте была известна формула для суммы последовательных натуральных чисел: $$ 1+2+\ldots+n=\frac2 $$ (чтобы убедиться в этом, сложите первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и т. д.).

Найдите формулу для суммы а) квадратов $1^2+2^2+\ldots+n^2$; б) кубов $1^3+2^3+\ldots+n^3$; в) четвертых степеней $1^4+2^4+\ldots+n^4$.

Подсказка 1

Начните эксперимента: вычислите первые несколько сумм ($1^2+2^2$, $1^2+2^2+3^2$ и т. д. хотя бы до $n=5$). После этого попробуйте найти закономерность.

Подсказка 2

Экспериментальные данные полезно записать в виде таблицы.

$n$ 1 2 3 4 5 6 7
$1^<\phantom1>+\ldots+n^<\phantom1>$ 1 3 6 10 15 28 35
$1^2+\ldots+n^2$ 1 5 14 30 55 91 140
$1^3+\ldots+n^3$ 1 9 36 100 225 784 1225
$1^4+\ldots+n^4$ 1 17 98 354 979 2275 4676

Попробуйте найти связь между числами в (одном столбце, но) разных строках.

Подсказка 3

Если у чисел в двух строках постоянно появляются общие делители (например, 10 и 30 делятся на 10, 15 и 55 на 5, 28 и 91 на 7. ), то полезно изучить отношение этих чисел. Что за последовательности получаются? (Удобно добавить в таблицу соответствующие строки.)

Решение

Как и предлагалось в последнем указании, изучим отношение первых двух строк.

$n$ 1 2 3 4 5 6 7
$1^<\phantom1>+\ldots+n^<\phantom1>$ 1 3 6 10 15 21 28
$1^2+\ldots+n^2$ 1 5 14 30 55 91 140
$S_2/S_1$ 1 5/3 7/3 3 11/3 13/3 5

Теперь нетрудно заметить закономерность: с увеличением $n$ на 1 частное увеличивается на $2/3$, т. е. это частное равно $(2n+1)/3$. Вместе с формулой для $1+2+\ldots+n$ это дает (гипотетический) ответ $$ 1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac2\cdot\frac3=\frac6. $$

С суммами кубов дело обстоит даже проще, чем с квадаратами — глядя на таблицу естественно предположить, что $S_3=S_1^2$, т. е. $$ 1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac4. $$

Заметно сложнее угадать формулу для суммы четвертых степеней. В отличие от предыдущих случаев, у $S_4(n)$ практически не видно общих делителей с $S_1(n)$ (кроме двойки). Зато можно заметить, что 14 и 98 делятся на 7, 55 и 979 на 11. Посмотрим на отношение $S_4/S_2$.

$n$ 1 2 3 4 5 6
$S_2$ 1 5 14 30 55 91
$S_4$ 1 17 98 354 979 2275
$S_4/S_2$ 1 17/5 7 59/5 89/5 25

Видно, что после домножения этого отношения на 5 получится последовательность целых чисел: 5, 17, 35, 59, 89, 125. Тут уже нельзя сказать, что разность соседних чисел неизменна. Все же посмотрим на эти разности: 12, 18, 24, 30. — закономерность сразу видна!

Итак, стало понятно, какие должны быть ответы, но как их доказать?

Задумаемся над тем, что вообще значит, что какое-то выражение $P(n)$ дает формулу для суммы $1^2+\ldots+n^2$? Это значит, что $P(1)=1$, $P(2)=P(1)+2^2$ и т. д., $P(n)=P(n-1)+n^2$. То есть все сводится к быть может утомительному, но прямолинейному вычислению: $$\begin \frac6+n^2&=&\frac6=\\ &=&\frac6=\frac6. \end$$ Аналогичным образом (говоря формально, «по индукции») можно доказать найденные выше формулы для $S_3(n)$ и $S_4(n)$.

Послесловие

Видимо наиболее наглядный способ вычислить сумму $1+2+\ldots+n$ — геометрический: об этой сумме можно думать как о треугольном числе, т. е. площади «пиксельного» (составленного из единичных квадратиков) равнобедренного прямоугольного «треугольника» со стороной $n$. Из двух таких треугольников легко составить прямоугольник размера $n\times(n+1)$, откуда и получается ответ $n(n+1)/2$ (половина площади прямоугольника).

Подобным образом можно вычислить и сумму $1^2+2^2+\ldots+n^2$: ее можно проинтерпретировать как объем пирамиды из кубиков (нижний слой которой состоит из $n^2$ кубиков, следующий из $(n-1)^2$ кубиков и т. д.), после чего сложить из 6 таких пирамид параллелепипед $n\times(n+1)\times(2n+1)$. Как это сделать, можно посмотреть на сайте «Математические этюды».

Есть геометрические доказательства и у позволяющего вычислить сумму кубов замечательного равенства $1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2$. Одно из них можно посмотреть на youtube-канале Think Twice, см. также подборку «доказательств без слов» в Кванте №11 за 2017 год.

Заметим, однако, что формула для суммы четвертых степеней не раскладывается (в отличие от предыдущих) на простые линейные множители. Видимо из-за этого ее не получается найти методами геометрического суммирования и открыта она была примерно на 1 000 лет позже, чем формула для суммы кубов (известная уже в античности).

Чтобы продвинуться дальше, полезно задуматься, что мы вообще надеемся увидеть в качестве ответа. Не любое алгебраическое выражение можно разложить на достаточно простые множители, но всегда можно, наоборот, раскрыть все скобки и привести подобные. В изученных нами случаях получаются следующие многочлены от $n$: $$\begin 1^<\phantom1>+2^<\phantom1>+\ldots+n^<\phantom1>&=&\frac12n^2+\frac12n;\\ 1^2+2^2+\ldots+n^2&=&\frac13n^3+\frac12n^2+\frac16n;\\ 1^3+2^3+\ldots+n^3&=&\frac14n^4+\frac12n^3+\frac14n^2;\\ 1^4+2^4+\ldots+n^4&=&\frac15n^5+\frac12n^4+\frac13n^3-\frac1n.\\ \end$$ Практически сразу возникает гипотеза, что вообще для любого $k$ сумма $1^k+2^k+\ldots+n^k$ равна многочлену от $n$, который начинается с $\frac1n^$ (в этом выражении изучавшие анализ сразу узнают первообразную того, что мы суммируем), дальше идет $\frac12n^k$ и члены еще меньших степеней.

С алгебраической точки зрения это очень естественный переход — но самого языка алгебры, «выражений с буквами» и преобразования таких выражений, не существовало до работ Франсуа Виета (конца 16 века)! А до появления такого языка гипотезу выше практически невозможно не то что доказать — сформулировать.

В первой половине 17 века Иоганн Фаульхабер смог найти формулы для сумм $1^k+2^k+\ldots+n^k$ до $k=17$ (интересную попытку реконструкции рассуждений Фаульхабера опубликовал Дональд Кнут). Вот несколько из таких формул: $$\begin S_2(n)&=&\frac13n^3+\frac12n^2+\frac16n;\\ S_3(n)&=&\frac14n^4+\frac12n^3+\frac14n^2;\\ S_4(n)&=&\frac15n^5+\frac12n^4+\frac13n^3&-&\frac1n;\\ S_5(n)&=&\frac16n^6+\frac12n^5+\frac5n^4&-&\frac1n^2;\\ S_6(n)&=&\frac17n^7+\frac12n^6+\frac12n^5&-&\frac16n^3&+&\frac1n;\\ S_7(n)&=&\frac18n^8+\frac12n^7+\frac7n^6&-&\frac7n^4&+&\frac1n^2. \end$$ Коэффициенты при $n^$ и при $n^k$ обсуждались выше. Подумав некоторое время вы наверняка угадаете формулу для коэффициентов при $n^$ и $n^$, а быть может, и для коэффициента при $n^$.

фрагмент «Ars Conjectandi» Я. Бернулли

Возникает надежда на общую (работающую для произвольного $k$) формулу для $S_k(n)$. И такую формулу нашел в конце 17 века Якоб Бернулли. В нее входит последовательность так называемых чисел Бернулли ($B^0=1$, $B^1=1/2$, $B^2=1/6$. ), а саму формулу можно записать символически очень коротко: $$ S_k(n)=\frac-B^>. $$ Понимать эту запись следует следующим образом. Нужно раскрыть формально в выражении $(n+B)^$ скобки, после чего начать воспринимать $B^m$ не как степень переменной $B$, а как $m$-е число Бернулли. Например: $$\begin S_2(n)&=&\frac3=\\ &=&\frac3= \frac13\left(n^3+\frac32n^2+\frac36n\right). \end$$ Если поверить в эту (крайне странную, на первый взгляд) процедуру, то будет ясно и как вычислять числа Бернулли: при подстановке $n=1$ получается равенство $1=\frac<(1+B)^-B^>$, позволяющее найти $B^k$, если числа Бернулли с меньшими номерами уже известны. В таблице ниже приведены несколько первых чисел Бернулли.

Замечательным образом те же самые числа Бернулли возникают и в квадратурных формулах для вычисления приближенных значений интегралов, и при вычислении бесконечных сумм типа $1+\frac14+\frac19+\frac1+\ldots=\frac<\pi^2>6$ (т. е. значений знаменитой дзета-функции), и в комбинаторике, и в теории чисел, и в топологии.

Литература

  1. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (М.: Наука, 1975)
    http://ilib.mccme.ru/djvu/polya/rassuzhdenija.htm https://mathedu.ru/text/poya_matematika_i_pravdopodobnye_rassuzhdeniya_1975
    Мало где можно прочитать не о конкретной области математики, а о том, как вообще решать новую для себя математическую задачу . Подсказки и решение выше по существу следуют главе 7 этой замечательной книги.
  2. Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант, 1989, № 1, 3–12
    http://kvant.mccme.ru/1989/01/akademik_izrail_moiseevich_gel.htm
    В решении выше сделана попытка объяснить, как некоторые формулы для сумм степеней мог бы искать любой человек. Интересующимся математикой может быть интересно прочитать, как такую задачу решал в школьные годы один из выдающихся математиков 20 века (собственно про это — небольшой фразмент на стр. 8–9, но все интервью интересное).
  3. В. С. Абрамович. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел // Квант, 1973, № 5, 22–25
    http://kvant.mccme.ru/1973/05/summy_odinakovyh_stepenej_natu.htm
    Можно прочитать доказательство формулы для суммы степеней (из конца послесловия), использующее, по сути, только бином Ньютона.
  4. Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел // Матем. просв., сер. 3, вып. 21 (2017), 104–118.
    https://mccme.ru/free-books/matpros_21.html
    Можно прочитать больше о разных взглядах на задачу о суммировании степеней.
  5. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика (М.: Мир, 1998)
    В учебнике, написанном по лекциям знаменитого Дональда Кнута, обсуждается и задача о суммировании степеней и числа Бернулли.

Как объяснить, почему в алгебре нет формулы для суммы квадратов?

Есть формула сокращённого умножения для разности квадратов, есть для квадрата суммы и квадрата разности, есть для суммы кубов и разности кубов, для куба суммы и для куба разности.

Остаётся сумма квадратов. Здесь формулы нет. А почему.

Должно же быть какое-то объяснение, почему её не существует? Ну, по крайней мере её нет в школьных учебниках и в энциклопедиях, которые я читал.

комментировать
в избранное
ОлегТ [49.7K]
8 месяцев назад

Ладно с кубами, давайте разберемся с квадратами. Всё дело в том, что разные формулы приживаются, когда они востребованы и облегчают жизнь. И формулы опять же придумываются не с потолка, а в результате каких то исследований и решения задач. Но после, когда формула оказалась полезной в общем виде её запоминают. Могут включить в справочники или в программу обучения. Но зачастую подробно не раскрывается смысл или ученики просто не интересуются природой формулы и просто заучивают. А потом мозг задаёт пытливые вопросы.

В школьной программе, да и в справочниках формулы для квадратов идут в таком виде:

(a+b)² = a² + 2ab + b² — квадрат суммы

(a-b)² = a² — 2ab + b² — квадрат разности

a² — b² = (a+b)•(a-b) — разность квадратов

И мозг ученика гложет ожидаемый вопрос: ну где же четвертая формула аналогичная, только с плюсом. И меня в школе учеником тоже поначалу мучал этот вопрос.

Я пытливым умам ученикам пытаюсь демонстрировать вывод формулы в другом виде.

1) представим, что надо перемножить суммы двух чисел (возвести в квадрат)

(a+b) • (a+b). Далее ученик или совместно с учеником раскрываем скобки перемножив каждое с каждым. Приводим подобные и как раз получаем a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

2) Теперь представим, что надо перемножить разности двух чисел (возвести в квадрат)

(a-b) • (a-b). Опять ученик или совместно с учеником раскрываем скобки перемножив каждое с каждым. Приводим подобные и как раз получаем a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b²

3) А теперь вопрос. Вот мы перемножили две скобочки с суммами, перемножили две скобочки с разностями. А возможен ещё какой вариант? А что если в одной скобочке сумма чисел, а в другой разность?

(a+b) • (a-b). Опять ученик или совместно с учеником раскрываем скобки перемножив каждое с каждым. Приводим подобные и как раз получаем a² + ab — ab — b² = a² — b²

И вот тут понимание, что больше вариантов то и нету.

и получили три формулы умножения различных множителей:

(a+b) • (a+b) = (a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b) • (a-b) = (a-b)² = a² — 2ab + b²

А потом уже навыками учимся применять формулы как в одну сторону, так и в обратную. И уже вопросов про сумму квадратов не возникает.

Функция СУММКВ

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции СУММКВ в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает сумму квадратов аргументов.

Синтаксис

Аргументы функции СУММКВ описаны ниже.

  • Число1, число2. Аргумент «число1» является обязательным, последующие числа необязательные. От 1 до 255 аргументов, для которых вычисляется сумма квадратов. Вместо аргументов, разделенных точкой с запятой, можно использовать один массив или ссылку на массив.

Замечания

  • Аргументы могут быть либо числами, либо содержащими числа именами, массивами или ссылками.
  • Учитываются числа, логические значения и текстовые представления чисел, которые непосредственно введены в список аргументов.
  • Если аргумент является массивом или ссылкой, то учитываются только числа в массиве или ссылке. Пустые ячейки, логические значения, текст и значения ошибок в массиве или ссылке игнорируются.
  • Аргументы, которые представляют собой значения ошибки или текст, не преобразуемый в числа, вызывают ошибку.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу Enter. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Описание (результат)

Сумма квадратов чисел 3 и 4 (25)

Формулы сокращённого умножения

При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.

a 2 + b 2 = (a + b) 2 — 2ab — сумма квадратов;

a 2 — b 2 = (a + b)(ab) — разность квадратов;

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 — квадрат суммы;

(ab) 2 = a 2 — 2ab + b 2 — квадрат разности;

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ) — сумма кубов;

a 3 — b 3 = (ab)(a 2 + ab + b 2 ) — разность кубов;

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 — куб суммы;

(ab) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 — куб разности.

Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.

Разложение формул сокращенного умножения

Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.

Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 — 2ab.

Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b) 2 — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab = a 2 + ab + ab + b 2 — 2ab = a 2 + b 2 .

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

a 2 — b 2 = (a + b)(ab).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(ab) = a 2 — ab + abb 2 = a 2 — b 2 .

Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:

(ab) 2 = a 2 — 2ab + b 2 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(ab) 2 = (ab)(ab) = a 2 — abab + b 2 = a 2 — 2ab + b 2 .

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 ).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(a + b)(a 2 — ab + b 2 ) = a 3 — a 2 b + ab 2 + a 2 bab 2 + b 3 = a 3 + b 3 .

Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:

a 3 — b 3 = (ab)(a 2 + ab + b 2 ).

Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:

(ab)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 — a 2 bab 2 — b 3 = a 3 — b 3 .

Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(a + b) 3 = (a + b)(a + b) 2 = (a + b)(a 2 + 2ab + b 2 ) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:

(ab) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 .

Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:

(ab) 3 = (ab)(ab) 2 = (ab)(a 2 — 2ab + b 2 ) = a 3 — 2a 2 b + ab 2 — a 2 b + 2ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 .

Неполный квадрат суммы

a 2 + 2ab + b 2

это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:

a 2 + ab + b 2 ,

которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы — это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Неполный квадрат разности

a 2 — 2ab + b 2

это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:

a 2 — ab + b 2 ,

которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.

Молитвослов | contact@izamorfix.ru
2018 − 2024 © izamorfix.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *