Что такое пск в геометрии
Перейти к содержимому

Что такое пск в геометрии

  • автор:

Как построить линию в полярной системе координат?

На предыдущем уроке мы познакомились с полярными координатами, а также научились строить отдельно взятые точки и распространённые кривые в данной системе координат. Давайте подведём краткие промежуточные итоги и ответим на важный вопрос:
как построить линию в полярной системе координат?

– Сначала необходимо отметить полюс, изобразить полярную ось и указать масштаб. Кроме того, на первоначальном этапе желательно найти область определения функции, чтобы сразу же исключить из рассмотрения лишние угловые значения.

– В большинстве случаев потребуется найти десяток-другой точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись меньшим количеством, а то и вовсе отделаться схематическим чертежом.

– На следующем шаге следует прочертить угловые направления и отметить найденные точки. Как это сделать с помощью каменного топора транспортира, циркуля и линейки, я подробнейшим образом объяснил в начале статьи о полярных координатах.

– И, наконец, отложенные точки нужно аккуратно-аккуратно соединить линией (линиями).

Отработаем алгоритм построения на более основательных типовых задачах:

Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением , рассматривая значения угла с интервалом в рад. Найти уравнение линии в прямоугольной системе координат.

Решение: найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то:

Очевидно, что условие выполнено для любого значения «фи», но, тем не менее, расскажу об удобном графическом способе решения тригонометрического неравенства: изобразите на черновике (или представьте мысленно) график функции левой части неравеснтва и прямую правой части неравенства. Непосредственно по чертежу видно, что синусоида расположена не ниже прямой , а значит, неравенство выполнено для любого значения «икс».

Итак, на угол не наложено никаких ограничений, и нам предстоит «перепахать» весь круг от 0 до , причём, по условию сделать это требуется строго с интервалом в рад. (22,5 градусов). Ложку в зубы, калькулятор в руки:

и так далее, пока не будет пройден весь оборот до «двух пи».

На практике обычно не расписывают подробные вычисления, а сразу заносят результаты в таблицу:
Таблица значений полярного угла и соответствующих значений полярного радиуса
Рекомендую использовать мой расчётный макет, созданный в MS Excel, который позволит буквально в пару щелчков вычислить все значения «эр», сэкономив целый вагон времени. Программу можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Особо нетерпеливым читателям предлагаю также воспользоваться handmade-продуктом и быстро начертить заготовку, ориентируясь по клеточкам:
Полярная система координат с разметкой углов через равный промежуток
Углы проставлены для удобства и на чистовике, понятно, их записывать не надо.

…поймал себя на мысли, что уже добрые пару лет не выполнял чертежи от руки. Сейчас аккуратно извлеку тетрадь из сканера и спрячу её в укромном месте – лет через 20-30 продам на антикварном аукционе за 100500 золотых червонцев =) Шутки шутками, а оперативная память моего первого компьютера ZX Spectrum составляла 32 килобайта. КИЛОбайта. При этом программисты умудрялись затолкать туда аркадные игры с сотнями экранов и отличной графикой (по меркам 8-разрядных машин, конечно). Сейчас на дворе февраль 2014 года, а ведь с той поры не прошло и пары десятилетий. Боюсь, что шутливое сравнение чертёжных инструментов с каменным топором довольно скоро перестанет быть шуткой =)

Кардиоида

После ностальгических воспоминаний отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией:

Напоминаю, что одинаковые значения радиуса эффективнее засекать циркулем, а слишком малые значения для углов допустимо отметить и «на глазок».

Найдём уравнение линии в декартовой системе координат. Для этого используем тоже уже знакомый приём – домножим обе части уравнения на «эр»:

Перенесём «икс» налево и возведём обе части в квадрат:

Дальнейшее возведение левой части в квадрат только усложнит запись, поэтому результат целесообразнее оставить в таком виде.

Из полученного уравнения следует, что кардиоида – это алгебраическая линия 4-го порядка, обратите внимание, насколько сложной получилась её формула по сравнению с полярной системой координат. Алгебраическим линиям 3-го, 4-го, 5-го, 6-го и высших порядков посвящены серьёзные исследования, и грибники без труда могут отыскать море информации по данной теме. Ну а я, как обычно, предлагаю вкусную и здоровую пищу на каждый день:

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, придавая значения через интервал , начиная с и заканчивая ;

2) найти уравнение линии в декартовой системе координат;

3) определить вид кривой.

Типовая формулировка, предвещающая час (а то и больше) усердного пыхтения, а нередко и чертыханья студента. Но только не того, кто прочитал эту и предыдущую статью о полярных координатах! Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Рассмотрим ещё ряд важных особенностей решения:

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат;

3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

Решение: найдём область определения:

Заметьте, что ноль в знаменателе нас тоже не устраивает, поэтому неравенство становится строгим. Перенесём косинус направо и развернём избушку к лесу задом:

Графическое решение тригонометрического неравенства

Неравенство несложно решить аналитически, но для лучшего понимания я опять воспользуюсь графическим методом. Изобразим на черновике или представим мысленно графики функций , при этом нас будет интересовать только один период – от до . Условию удовлетворяет та часть синусоиды, которая расположена ПОД прямой :

То есть, в нашем распоряжении оказываются почти все значения угла за исключением макушки, расположенной на симметричном отрезке .

Таким образом, . Арккосинус составляет примерно 37 градусов, поэтому из рассмотрения исключаем углы и . Заполним расчётную таблицу с прочерками в соответствующих ячейках:

Чайники могут, в принципе, вообще не загружаться областью определения и ставить тире по факту: получилось отрицательное значение «эр» – поставили.

Гипербола в полярной системе координат

Выполним чертёж:

На него не вместились точки, соответствующие значениям , но не уменьшать же из-за этого масштаб. Сойдёт и так.

2) Найдём уравнение линии в прямоугольной системе координат. По всем признаком должна получиться гипербола.

Избавляемся от дроби:

Используем формулы перехода :

Дальнейшие действия хорошо знакомы из практикума Задачи с линиями 2-го порядка:

3) Данная линия представляется собой гиперболу с центром в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью . Впрочем, формально по условию можно было и не упоминать о деталях.

Вы спросите: «но в полярной же системе координат прорисовалась только одна ветвь гиперболы, поэтому не ошибочно ли говорить о целой гиперболе?». Не ошибочно!
И вот по какой причине: если подразумевать обобщённую полярную систему координат с отрицательными значениями «эр», то при значениях угла из интервала прорисуется левая ветвь! Желающие могут провести самостоятельную проверку и анализ этого факта. Я не сторонник и даже противник обобщенных полярных координат, но в данном случае всё получается ловко и чертовски удобно – можно как бы и не оговариваться о том, что на чертеже только одна ветвь гиперболы.

Вычислим координаты фокусов и эксцентриситет. По условию уравнение не нужно приводить к каноническому виду, а значит, требуемые вещи проще найти напрямую – с учётом параллельного переноса гиперболы, к тому же, она не повёрнута.

Вычислим значение и поправкой на параллельный перенос в точку найдём фокусы:

Педантичные люди могут ещё записать развёрнутый ответ.

Заключительное задание для самостоятельного решения:

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат и определить её вид.

3) Привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж в прямоугольной системе координат. Найти фокусы кривой и её эксцентриситет.

Внимательно проанализируйте, что и в каком порядке требуется выполнить по условию. Сам много раз налетал – краем глаза показалось одно, а нужно совсем другое. В образце решения приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду выполнено академическим способом.

На основе полярных координат плоскости базируются цилиндрические и сферические координаты пространства. В частности, угловые величины широко используются в навигации (не зря упоминались лётчики и самолёты) и астрономии. Действительно, представьте земной шар (а если строго, эллипсоид), эллиптические орбиты планет и вы поймёте, что распиаренная прямоугольная система координат как-то здесь совсем не в тему. Ну а мне пора плотно прикрыть дверь аналитической геометрии и вернуться к матанализу, где полярные координаты тоже эксплуатируются на полную катушку.

До скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 7. Решение: 1) Найдём область определения функции:
– любое.
Заполним таблицу требуемыми значениями угла и соответствующими значениями полярного радиуса:

Выполним чертёж:
Эллипс в полярной системе координат
2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:

Используем формулы :

– уравнение линии в прямоугольной системе координат.
3) Данная кривая представляет собой эллипс с центром симметрии в точке , большой полуосью и малой полуосью .

Пример 9. Решение: 1) Найдём область определения функции:

Заполним расчётную таблицу:

Выполним чертёж:
Парабола в полярной системе координат
2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:

Используем формулы :

– искомое уравнение. Это парабола.

Парабола, приведённая к каноническому виду, в новой прямоугольной системе координат

3) Приведём уравнение линии к каноническому виду с помощью перехода к новой системе координат , которая получается путём поворота исходной системы координат на рад. вокруг точки и её параллельным переносом центром в точку (координаты – в старой системе координат).
В результате получено каноническое уравнение параболы , фокальный параметр которой равен . Выполним чертёж:

Найдём фокус: .
Эксцентриситет любой параболы равен единице.

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Самоучитель AutoCAD 3D

Для задания новой ПСК, в зависимости от задачи, после активизации необходимого инструмента следует указать на экране точку, несколько точек, грань, объект или ввести в КС численное значение угла поворота.

Способы доступа к инструментам управления ПСК:

  • ГМн >Сервис >Новая ПСК > выбор пункта, рис. 3.5.а;
  • Лента >Главная >Координаты > выбор инструмента, рис. 3.5.б;
  • щелкнуть ПКн по пиктограмме знака >КМн > выбрать пункт, рис. 3.5.в.

Рис. 3.5. Выбор инструментов управления ПСК из меню

На рис. 3.6 показаны возможные варианты ориентация ПСК при выборе определенного инструмента, а ниже приведены инструменты управления ПСК с краткими пояснениями:

ПСК – управляет системами координат из КМн;

МСК – восстанавливает МСК, рис. 3.6.а;

Предыдущая ПСК – возврат к предыдущей ПСК;

ПСК на грани – выравнивает рабочую плоскость XY по выбранной грани объекта, рис. 3.6.б;

Объект – совмещает новую ПСК с существующим объектом, рис. 3.6.в;

Вид – совмещает текущую ПСК с направлением взгляда, т.е. ориентирует рабочую плоскость XY параллельно ВЭ, рис. 3.6.г;

Начало – определяет начало координат ПСК, рис. 3.6.д;

Zось – определяет положение плоскости XY по выбранному направлению оси Z. На рис. 3.6.е, направление оси Z задано указанием двух точек 1 и 2;

3 точки – устанавливает начало координат и ориентирует рабочую плоскость XY по трем указанным на объекте точкам. На рис. 3.6.ж, рабочая плоскость XY определена по точкам 1, 2 и 3;

X (поворот вокруг X) – поворачивает текущую ПСК вокруг оси X, рис. 3.6.з;

Y (поворот вокруг Y) – то же вокруг оси Y;

Z (поворот вокруг Z) – то же вокруг оси Z;

Рис. 3.6. Управление ПСК

При выбранной опции поворота ПСК вокруг любой из осей, если не задан угол поворота, процедура завершается поворотом ПСК на стандартный угол равный 90 единицам, после щелчка по клавише Ent.

В 3D моделировании очень важно с первых шагов понять и научиться управлять ПСК, поэтому попробуем разобраться на самом простом примере.

Предположим, что вам нужно отпилить (напилить) дощечку на ровные бруски прямоугольной формы. Вы берете ножовку и ориентируете плоскость режущего полотна строго перпендикулярно к торцевой плоскости этой доски и просто ее распиливаете, рис. 3.7.а.

Но если же вы хотите распилить ее под каким-нибудь углом (неважно под каким), то вы просто поворачиваете ножовку (читай знак ПСК) и, тем самым, ориентируете ее режущую плоскость в нужном направлении, рис. 3.7.б.

Рис. 3.7. Пример создания новой ПСК

Подобные действия вы выполняете в AutoCAD, но только манипулируете уже не ножовкой, как физическим объектом, а знаком трехгранника осей и инструментом Разрез.

На рис. 3.7.а все разрезы выполнены при установленной в текущем рисунке мировой системе координат МСК и для поставленной задачи нет никакой необходимости устанавливать оригинальную, пользовательскую систему координат ПСК. Находясь в МСК вы можете разрезать эту дощечку не только в плоскости ZX, как это показано на рисунке, но и в плоскостях YZ и XY но не более.

Для того чтобы выполнить другую задачу, а именно разрезать дощечку под определенным углом, рис. 3.7.б, в AutoCAD нужно просто повернуть знак ПСК именно на этот угол, тем самым создав новую, отличную от МСК пользовательскую систему координат ПСК.

Конечно, разрезать дощечку можно по трем выбранным точкам (опция 3 точки), но для этого часто требуется вспомогательная геометрия в виде отрезков или сечений, что увеличивает временные затраты.

На рис. 3.7 ножовка, конечно же, показана условно, да и объекты представлены в визуальном стиле раскрашивания граней. На практике все операции и манипуляции с 3D объектами выполняются при установленном в текущем рисунке визуальном стиле 2D Каркас, в крайнем случае, в стиле 3D Каркас.

AutoCAD. ПСК в 2d рисовании: меняем направление осей X и Y

Посмотрев данный урок, вы научитесь переопределять систему координат в чертежах AutoCAD. Данная хитрость может пригодится в случаях, когда все объекты в вашем проекте расположены в направлениях, отличных от штатных X и Y (карты, генпланы, участки и т.п). В таких ситуациях переход от МСК (мировой системы координат файла) к ПСК (пользовательской системе координат) очень сильно упростит вам жизнь! =)

Опубликовано в: хитрости и трюки

Системы координат

Система координат, установленная в данный момент, называется текущей (ТСК) и принимает одно из возможных значений: ГСК, ПСК или ВСК. Текущая система координат назначается в карточке, вызываемой командой Установки/Параметры, разделе Сцена/Привязки/Умолчания для точки, поле Текущая Система Координат.

Если в качестве текущей системы координат используется глобальная или пользовательская, то задаваемые координаты точек не зависят от текущего видового окна. Если в качестве текущей системы координат используется видовая система координат, то задаваемые координаты точек зависят от текущего видового окна.

По умолчанию текущей системой координат является пользовательская система координат, совпадающая с глобальной. Однако пользователь может задавать ПСК самостоятельно (см. ниже).

Пользовательская система координат [ править | править код ]

При задании координат бывает удобно не высчитывать их относительно заданного изначально нуля, но переместить нулевую точку на более удобное место. Либо развернуть координатные оси таким образом, чтобы одна из осей совпадала со стороной объекта, на котором нужно указывать точки. Для этого в программе есть команда задания пользовательской системы координат (ПСК). За время работы в сцене можно менять ПСК сколько угодно раз, подстраиваясь под текущие нужды.

Для задания новой пользовательской системы координат существует команда:

Основное меню: Объекты/Преобразования/ПСК (для К3-Мебель К3/Преобразования/ПСК)Меню команд геометрического редактора: Преобразования/ПСКМеню команд в программах: К3/Преобразования/ПСКСинтаксис: setucs

Перед тем, как назначить ПСК, надо убедиться, что ПСК выбрана текущей системой координат. Текущая система назначается в карточке параметров, закладке Сцена/Привязки/Умолчания для точки.

После вызова команды необходимо задать положение ее нового нуля и направление двух любых осей координат. Третья ось вычисляется системой автоматически.

После запуска программы система выдаст запрос: Положение начала ПСК. Обратите внимание на элементы контекстного меню:

  • Ввод — в качестве начала ПСК вводит координаты базовой точки. То же действие происходит, если вместо указания точки нажать клавишу Enter;
  • Сдвиг — задать вектор сдвига текущей ПСК (направление осей остаётся прежним). Контекстное меню после выбора ключа меняется:
    • Ввод — см. выше
    • 2 точки — задать вектор сдвига, указав две точки в произвольном месте пространства. Данный вектор своим началом будет «помещён» в старую нулевую точку, а на месте конца вектора будет новая нулевая точка;
    • ПСК — оставить начало ПСК неподвижным, изменить только направления осей;
    • ЛСК — совместить ПСК (как начало, так и направление осей) с локальной системой координат объекта. На запрос Укажите объект, в ЛСК которого поместить ПСК укажите геометрический объект;
    • ГСК — совместить ПСК с глобальной системой координат;
    • ВСК — совместить ПСК с видовой системой координат. Если на экране несколько видовых окон, система координат будет соответствовать ВСК активного окна. При смене активного видового окна будет меняться и система координат;
    • Предыдущее — возвращает параметры прошлой ПСК. Ключ можно выбрать несколько раз;
    • Запомнить — сохранить текущую ПСК под именем, если нужно потом к ней вернуться;
    • Вернуться — вернуться к ПСК, сохранённой под именем;
    • Удалить — удалить ПСК из сохранённых. После выбора команды система выдаёт запрос Задайте удаляемое Имя с запомненным положением ПСК, на который нужно в окне для диалога ввести имя в кавычках. Например, если вы сохранили ПСК под именем 1, нужно ввести: «1».

    Если вы не воспользовались элементами контекстного меню (кроме Ввод), после указания нулевой точки программа затребует ввести направление двух любых осей координат. Очередность задания осей вы можете выбрать через контекстное меню. По умолчанию сначала запрашивается направление оси ОХ, затем — OY, но в контекстом меню вы можете сами выбрать, какую осы указываете в данный момент.

    В случае выбора элемента Закончить вместо указания направления обоих осей, ПСК переместится в новое начало без изменения ориентации осей. В случае выбора этого элемента после указания одной из осей, ПСК переместиться в новое начало с заданным направлением указанной оси, ориентация других осей выберется автоматически.

    При задании новой ПСК положение объектов в пространстве не меняется.

    Локальная система координат [ править | править код ]

    Локальная система координат (ЛСК) — это система координат объекта, независимая от видовых окон. Определяется автоматически при создании объекта и перемещается вместе с ним.

    • Ноль ЛСК точки совпадает с самой точкой. Ориентация осей ЛСК точки совпадает с ориентацией осей ПСК.
    • Ноль ЛСК отрезка совпадает с физическим началом отрезка. Ось X ЛСК отрезка направлена вдоль отрезка
    • Ноль ЛСК дуги и окружности совпадает с их центром. Оси Х и Y совпадают со сторонами первого квадранта окружности. Ось Z направлена по нормали к плоскости окружности.
    • Ноль ЛСК параллелепипеда расположен в одной из его вершин, а оси направлены вдоль его сторон.
    • Ноль ЛСК цилиндра, конуса, призмы и пирамиды расположен в центре нижнего основания. Оси Х и У совпадают со сторонами первого квадранта нижнего основания. Ось Z ЛСК цилиндра, конуса, призмы и пирамиды направлена вдоль их оси
    • Ноль ЛСК сферы, тора, эллипсоида и шарового пояса находится в центре симметрии. Оси Х и У совпадают со сторонами первого квадранта серединного сечения примитива. Ось Z ЛСК направлена по нормали к плоскости серединного сечения.

    • Ноль ЛСК тел вращения находится в точке, которая при задании оси вращения была определена первой. Ось Z ЛСК тел вращения направлена вдоль оси вращения.
    • ЛСК вновь создаваемой группы совпадает с текущей системой координат (ТСК).
    • Ноль ЛСК вновь создаваемого контура совпадает с началом первого отрезка (дуги), а ось Х направлена вдоль этого отрезка (вдоль касательной к дуге). Но, если в карточке параметров, закладке Сцена/Состояние, в строчке ЛСК контура в ТСК стоит галочка, то ЛСК вновь создаваемого контура будет совпадать с ТСК.
    • ЛСК объекта, являющегося результатом булевых операций, совпадает с ЛСК первого объекта.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *