Что такое верхний предел
Перейти к содержимому

Что такое верхний предел

  • автор:

2.Верхний и нижний пределы последовательности

Определение. (Наибольший частичный предел последовательности xn> называется ее верхним пределом, , гдеX – множество всех частичных пределов. Можно показать, что .Аналогично, определяется нижний предел .

Замечание. Если , (число или символ), то. Это является непосредственным следствием теоремы 1.

Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы. (без доказательства)

1) Если последовательность неограниченна сверху, то

2) Ограничена сверху. A- множество частичных пределов

.

Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов xn>.

3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности.

Условие Коши:>0Nn>Np😐xn+p xn|

Определение. Фундаментальною последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Т. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность xn> сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть >0 . Для =/2Nn>N😐xn a|/2 для тех же n (n>N) и p будет выполнено |xn+p a| /2. Таким образом, для n>Np😐xn+p xn| |xn+p a|+|a xn| /2+/2=.

Достаточность. Пусть >0. Для

=/2N1n>N1p😐xn+p xn|/2 (1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера N1+1 оказались в окрестности числа , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность, пусть . Для ранее выбранного 

(2).

Выберем натуральное число m так, чтобы m >K и m > N1, тогда число N=nm будет больше N1 и, согласно (1)

с другой стороны из (2)

(4)

Из (3), (4) получим, что при n >N будет выполнено

|xna| ч.т.д.

§4. Свойства последовательностей

1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями

Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число.

Последовательность n называется бесконечно малой (б.м.), если .

Последовательность n называется бесконечно большой (б.б.), если

1) n> б.м. |n| б.м.

2) n+n> б.м. , если n , n б.м.

Следствие. n+n+…+n> б.м. если n , n ,… б.м.

Определение. Произведением двух последовательностей xk>, yk> называется последовательность xkyk>.

3) б.м. на ограниченную является б.м.

Следствие. Произведение конечного числа б.м. Является б.м..

5)Ранее отмечалось, что

существование конечного предела равносильно существованию б.м. n> такой, что .

6) xn>,yn> сходятся, то сходится xn+yn> и

Следствие. Свойство 6) распространяется и на конечные суммы.

Замечание. Свойство 6) нарушается, если хотя бы один из пределов равен 

7) xn>,yn> сходятся, то сходится xnyn> и .

Доказательство.

Следствие 1.Если xn> сходятся, то сходится xn> и

Следствие 2. xna

8) xna |xn||a|

9) xna, ynb, yn0, b0

Лемма. Если ynb, yn0, b0, то |1/yn| ограничена.

Доказательство: , тогда для

таким образом,

Доказательство свойства 9)

.

Последовательность по лемме ограничена, последовательность — бесконечно малая.

Верхний предел

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать δn = 1 / n и, выбирая в каждой δ -окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность).

Нижним пределом последовательности (обозначается \varliminf_<n\rightarrow\infty>>» width=»» height=»» /> или <img decoding=, а это означает, что в любой окрестности точки a1 находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого \varepsilon, мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку a1 ). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

\varliminf_<n\rightarrow\infty></p>
<p>Последовательность x</i><sub><i>n</i></sub>> сходится к <i>a</i> тогда и только тогда, когда >=\varlimsup_<n\rightarrow\infty>>=a» width=»» height=»» />, так как получается, что <i>a</i> — единственная предельная точка множества элементов последовательности.</p><div class='code-block code-block-9' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 9joomlaumnik -->
<script src=

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Верхний парк
  • Верхний Шпреевальд-Лужица (район)

ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ

— 1) В. и н. п. последовательности — наибольший, и соответственно, наименьший, предел среди всех частичных пределов (конечных и бесконечных) данной последовательности действительных чисел. Для любой последовательности действительных чисел множество всех ее частичных пределов (конечных и бесконечных) на расширенной числовой прямой (т. е. в множестве действительных чисел, пополненном символами ) не пусто и имеет как наибольший, так и наименьший элементы (конечный пли бесконечный). Наибольший элемент множества частичных пределов наз. верхним пределом (в. п.) последовательности и обозначается

наименьший элемент — нижним пределом (н. п.) н обозначается

У всякой последовательности существует в. п. (н. п.), при этом, если последовательность ограничена cверху (снизу), то ее в. п. (н. п.) конечен. Для того чтобы число а было в. п. (соответственно н. п.) последовательности необходимо н достаточно, чтобы для любого выполнялись условия: а) существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство ; б) для любого номера пД существует такой номер , что Условие а) означает существование при любом фиксированном в последовательности лишь конечного числа таких членов , что . Условие б) означает существование бесконечного множества таких членов , что . Понятие н. п. сводится к понятию в. п. с помощью изменения знака у членов последовательности:

Для того чтобы последовательность имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов ), необходимо и достаточно, чтобы

2) В. п. (н. п.) функции в точке — предел верхних (нижних) граней множеств значений функции в окрестности точки , когда эти окрестности стягиваются к точке . Он обозначается

Пусть функция определена на метрич. пространстве и принимает действительные значения на Если есть -окрестность точки то

В каждой точке у функции существуют как в. п. так и н. п. (конечные или бесконечные). Функция полунепрерывна сверху, а функция полунепрерывна снизу на пространстве (в смысле понятия полунепрерывности функций, принимающих значения из расширенной числовой прямой).

Для того чтобы функция в точке имела предел, (конечный или бесконечный, равный одному из символов ), необходимо п достаточно, чтобы

Естественным образом понятие в.. п. (н. п.) функции в точке переносится на действительные функции, определенные на топологич. пространствах.

3) В. п. (н. п.) последовательности множеств множество

состоящее из таких элементов , к-рые принадлежат бесконечному числу множеств ; соответственно, множество

таких элементов , к-рые принадлежат всем множествам , начиная с нек-рого номера . Очевидно,

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1971; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; ГЗ] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973: [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1, М., 1973; [5] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М., 1937. Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

  • ВЕРТОР
  • ВЕРХНИХ И НИЖНИХ ФУНКЦИЙ МЕТОД

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Верхний и нижний пределы последовательности множеств

Верхний и нижний пределы последовательности множеств
03.11.2013, 19:50
Цитата:

Верхний предел последовательности множеств — множество, элементы которого принадлежат бесконечному числу множеств последовательности.

Нижний предел последовательности множеств — множество, элементы которого принадлежат всем множествам последовательности, за исключением конечного их числа (= начиная с некоторого).

Прошу вас помочь разобраться в определениях.

С нижним переделом вроде как понятно.
Верхний . рассуждаю так: бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или «подпоследовательность» или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

Тогда я прихожу к определению нижнего предела. Это как? .

P.S. исхожу из того, что минимально возможная мощность «бесконечного» множества счётно.

Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
03.11.2013, 20:01
Rashitovich в сообщении #784160 писал(а):
или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

То есть сама последовательность за вычетом конечного числа членов — не подпоследовательность? (:

Цитата:
Тогда я прихожу к определению нижнего предела. Это как? .

Я тоже не понял, объясните как вы из этого
Цитата:

Бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или «подпоследовательность» или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

перешли к этому
Цитата:

Нижний предел последовательности множеств — множество, элементы которого принадлежат всем множествам последовательности, за исключением конечного их числа (= начиная с некоторого) .

Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
03.11.2013, 20:25

Заслуженный участник

$ \limsup A_n = \bigcap\limits_</p>
<p>Чисто на всякий случай: <br />^\infty \bigcup\limits_^\infty A_k, \quad \liminf A_n = \bigcup\limits_^\infty \bigcap\limits_^\infty A_k. $» /></p><div class='code-block code-block-16' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 16joomlaumnik -->
<script src=

Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
03.11.2013, 21:41

Последний раз редактировалось Rashitovich 03.11.2013, 21:43, всего редактировалось 1 раз.

Цитата:

Бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или

А «подпоследовательность» или
Б же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

не вызывает вопросов.

Но определение нижнего предела следующее: нижний предел — это Б

верхний предел — это элементы из А или Б
нижний предел — это элементы Б

Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
03.11.2013, 21:49

Заслуженный участник

$A_n=[0,1-1/n]$

Пардон, каша какая-то.
Рассмотрите для начала . Какие у нее верхний и нижний предел?

Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
04.11.2013, 04:03

Заслуженный участник

Rashitovich в сообщении #784200 писал(а):
верхний предел — это элементы из А или Б
нижний предел — это элементы Б

$\liminf A_n \subseteq \limsup A_n$

Тоже пардон, хотелось бы понять, что за вопрос задаёт ТС. Разумеется, . Вопрос-то в чём?

Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
04.11.2013, 11:38

Последний раз редактировалось Rashitovich 04.11.2013, 11:43, всего редактировалось 1 раз.

  1. Получается, определения $\liminf A_n$и $\limsup A_n$могут быть такими:
    • $\limsup A_n$— множество, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности $A_n$; поэтому $\limsup A_n$может быть несколько.
    • $\liminf A_n$— множество, элементы которого принадлежат множествам из $A_n$за исключением конечного их числа.

    Это так? При этом $\liminf A_n \subseteq \limsup A_n$истинно.

  2. $A_n=[0;1-1/n]$
    • $\liminf A_n=\limsup A_n=[0;1)$?
  3. К сожалению, $\limsup A_n = \bigcap\limits_^\infty \bigcup\limits_^\infty A_k, \quad \liminf A_n = \bigcup\limits_^\infty \bigcap\limits_^\infty A_k. $ не даёт мне представления об этих объектах.

P.S. да, действительно каша у меня какая-то в голове (читаю «Теория меры» Халмоша).

Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
04.11.2013, 12:19

Заслуженный участник

Rashitovich в сообщении #784450 писал(а):

  1. Получается, определения $\liminf A_n$и $\limsup A_n$могут быть такими:
    • $\limsup A_n$— множество, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности $A_n$; поэтому $\limsup A_n$может быть несколько.

Последний вывод непонятен и неверен. $\limsup A_n$— множество, каждый элемент которого принадлежит некоторой подпоследовательности множеств. Одно множество, а не несколько. По-русски: $x\in\limsup A_n$тогда и только тогда, когда для всякого $n\geqslant 1$найдётся $k\geqslant n$такое, что $x\in A_k$.

З.Ы. Ровно это и написано в формуле через объединение пересечений.

Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
04.11.2013, 14:45

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ewert 04.11.2013, 14:47, всего редактировалось 1 раз.

—mS— в сообщении #784468 писал(а):
Ровно это и написано в формуле через объединение пересечений.

(только наоборот, естественно)
Не ровно. Формулировки выглядят совершенно по-разному, и их эквивалентность надо доказывать.

Rashitovich в сообщении #784450 писал(а):

$A_n$

, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности

Элемент не может принадлежать «подпоследовательности множеств». Но он может принадлежать пересечению всех множеств, входящих в подпоследовательность. Т.е. принадлежать каждому множеству из этой подпоследовательности. Так вот: существование такой подпоследовательности множеств для данного элемента равносильно тому, что этот элемент принадлежит $\bigcup\limits_^\infty A_k$ для каждого $n$. Т.е. равносильно его принадлежности $\bigcap\limits_<n=1>^\infty \bigcup\limits_^\infty A_k\equiv\limsup A_n$» />.</p>
<div class='yarpp yarpp-related yarpp-related-website yarpp-template-list'>
<!-- YARPP List -->
<div>Похожие публикации:</div><ol>
<li><a href=Как найти проекцию наклонной

  • Как разделить шоколадку чтобы осталась 1 долька
  • Как разобрать мультиварку панасоник sr tmh18
  • Как установить hola для chrome
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *