Доказать что последовательность функционалов сходится
Перейти к содержимому

Доказать что последовательность функционалов сходится

  • автор:

Линейные функционалы

[math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)[/math] .

Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math] .

Заметим: [math] \forall \alpha \in \mathbb ~ 0 \cdot \alpha = 0[/math] . По линейности [math]f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)[/math] , следовательно, [math]f(0) = 0[/math] .

[math] \mathrm\, f [/math] — линейное подмножество [math]X[/math] : Пусть [math]x, y \in \mathrm\, f[/math] , тогда [math]f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \implies \alpha x + \beta y \in \mathrm\, f[/math] .

Коразмерность

Выясним геометрическую структуру ядра.

Напомним свойства отношения эквивалентности:

1. Рефлексивность: [math]x \sim x[/math]

2. Симметричность: [math]x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1[/math]

3. Транзитивность: [math]x_1 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3[/math]

Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество, [math]Y[/math] линейное подмножество [math]X[/math] .

Введем отношение эквивалентности на [math]X[/math] :

[math] x_1 \sim x_2 \stackrel<\mathrm> <\iff>x_1 — x_2 \in Y [/math]

[math] [x] = \ < y \in X \mid y \sim x \>[/math] — классы смежности по [math]Y[/math] .

Операции над классами смежности:

[math] \alpha [x] \stackrel<\mathrm> [\alpha x] [/math]

Эти операции не зависят от представителя класса.

Фактор-множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:

Определение:
[math]\mathrm\, Y \stackrel<\mathrm> \dim X /_Y [/math] — коразмерность [math]Y[/math] . [math] Y [/math] — гиперплоскость в [math]X[/math] , если [math]\mathrm\, Y = 1[/math] .

Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?

[math]\mathrm\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X [/math] такие, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \sum\limits_^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y[/math] .

Замечание: для [math]n = 1[/math] : если [math]\mathrm\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X [/math] такое, что [math]\forall x \in X[/math] представляется единственным образом: [math] x = \alpha e + y, ~ y \in Y[/math] .

[math]\mathrm\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y [/math] — базис [math] X /_Y [/math] . [math] \forall \xi \in X /_Y [/math] единственным образом [math]\xi = \sum\limits_^n \alpha_k \xi_k [/math] .

Рассмотрим [math] \forall x \in X [/math] , [math] [x] \in X /_Y [/math] и его представление [math] [x] = \sum\limits_^n \alpha_k \xi_k [/math] .

Пусть [math] \xi_k = [ e_k ] [/math] , то есть [math] [ x ] = \left [ \sum\limits_^n \alpha_k e_k \right ] [/math] . Следовательно, по определению [math] [ x ] [/math] , [math] x \sim \sum\limits_^n \alpha_k e_k [/math] [math] \implies x — \sum\limits_^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_^n \alpha_k e_k + y [/math] ­— разложение [math] x [/math] . Единственность следует из единственности разложения по базису [math] [x] = \sum\limits_^n \alpha_k \xi_k [/math] .

Доказательство [math] \Longleftarrow [/math] :

Если [math] f [/math] не является тождественно равным нулю, то [math]\mathrm\, \mathrm\, f = 1 [/math] .

Рассмотрим [math]x_0 \in X : f(x_0) \not = 0 [/math] . Возьмем [math]\forall x \in X[/math] , подберем [math]\alpha[/math] такое, чтобы [math]y = x — \alpha x_0 \in \mathrm\, f[/math] .

Итак, ядро линейного функционала является гиперплоскостью.

Для непрерывности надо превратить [math]X[/math] в ТВП. Наиболее важный случай — когда [math]X[/math] является НП.

Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.

Непрерывность функционала

Определение:
Пусть [math]X[/math] ­— нормированное пространство. Линейный функционал [math] f \in X^* [/math] — непрерывен в точке [math] x [/math] , если [math]x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) [/math] .

Далее: [math] \| \cdot \| [/math] — норма на [math] X [/math] .

Заметим, что в силу линейности функционала нам достаточно проверять непрерывность в нуле:

Линейный функционал [math]f[/math] непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] непрерывен в нуле.

Рассмотрим [math] x_n \to 0 [/math] . [math] f(x_n) \to f(0) = 0 [/math] . Проверим непрерывность [math]f[/math] :

[math] x_n \to x \implies x_n — x \to 0 \implies f(x_n — x) \to 0 [/math]

Обозначение [math] \overline_1 = \ < x : \| x \| \leq 1 \>[/math]

Введем норму в [math] X^* [/math] :

Определение:
[math] f [/math] ­— ограниченный функционал, если [math] \| f \| \lt \infty [/math] .

Отметим, что для ограниченного функционала: [math] \forall x \in X, x \not = 0[/math]

[math] \frac \in \overline_1 \implies \left | f \left ( \frac \right ) \right | \leq \| f \| \implies f \left ( \frac \right ) = \frac 1 f(x) \implies \\ | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| [/math]

[math]f[/math] — непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] ­— ограничен.

1) [math]f[/math] ­— ограничен [math] \implies \| f \| \lt \infty [/math] . Как отмечалось ранее: [math] | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \| [/math]

Рассмотрим [math] x_n \to 0 \implies \| x_n \| \to 0 \implies | f(x_n) | \leq \| f \| \cdot \| x_n \| \implies f(x_n) \to 0 \implies f[/math] — непрерывен.

2) [math]f[/math] — непрерывен. Пусть [math] \| f \| = \infty [/math] , тогда по определению [math] \| f \| [/math] :

[math] \forall n \in \mathbb ~ \exists\, x_n \in \overline_1 : | f (x_n) | \gt n \implies [/math] по линейности [math] \left| f \left( \frac \right) \right| \gt 1 [/math] .

[math] \left\| \frac \right\| = \frac1n \| x_n \| [/math] , так как [math] x_n \in \overline_1 \implies \frac1n \| x_n \| \leq \frac1n[/math]

[math] n \to \infty, \quad \frac1n \to 0, \quad \left \| \frac \right \| \to 0 \implies \frac \to 0 \implies [/math]

Пусть [math] X^* [/math] обозначает теперь более узкий класс линейных ограниченных функционалов. То, что [math]\|f\|[/math] — норма, проверяется так же, как свойства нормы линейного оператора, то есть получили, что [math]X^*[/math] — НП, сопряженное с [math]X[/math] .

Пусть [math] Y [/math] — линейное всюду плотное в [math] X [/math] множество.

[math] f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] Y [/math] . Тогда существует единственный [math] \widetilde f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] X [/math] такой, что:

1) [math] \widetilde f |_Y = f [/math] — сужение на [math] Y [/math] совпадает с [math] f [/math] .

2) [math] \| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y [/math]

TODO: Было в виде идеи, доказал Дмитрий Герасимов 21:18, 7 января 2013 (GST) , проверьте

По определению всюду плотности, [math] \mathrm\, Y = X [/math] , то есть любое [math] \forall x \in X [/math] можно аппроксимировать последовательностями [math]y \in Y[/math] : [math] y_n \to x [/math] , при этом последовательности [math]y[/math] будут сходящимися в себе.

Рассмотрим последовательность [math] \ < f(y_n) \>[/math] . Она сходится в себе, так как [math]f(y_n) — f(y_m) = f(y_n — y_m)[/math] , [math]y_n — y_m \in Y[/math] , и как мы уже заметили, последовательность [math]y[/math] сходится в себе, тогда [math]f(y_n — y_m) \le \|f\| \|y_n — y_m\|[/math] , по ограниченности [math]f[/math] и сходимости в себе [math]y[/math] , также сходится. Последовательность [math]f(y_n)[/math] сходится в себе, тогда по полноте [math]\mathbb[/math] , последовательность [math]f(y_n)[/math] также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке [math]x[/math] , то есть [math] \widetilde f(x) \stackrel<\mathrm> \lim f(y_n)[/math] .

Установим единственность: Если [math]y_n \to x[/math] и [math]y’_n \to x[/math] , то

[math]y_n — y’_n \to 0 \implies f(y_n — y’_n) \to 0 \implies f(y_n) — f(y’_n) \to 0 \\ \implies \lim f(y_n) = \lim f(y’_n) [/math] .

Таким образом, предел не зависит от выбора [math] y_n [/math] .

Покажем, что [math] \widetilde f [/math] ­— линейный и удовлетворяет условию теоремы:

[math]f[/math] — ограничен [math]\iff \mathrm\, f[/math] — замкнуто в [math]X[/math] .

[math]f[/math] — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала:
[math]x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm\, f[/math] , все [math]f(x_n) = 0[/math] , значит, и [math]f(x) = 0 \implies x \in \mathrm\, f[/math] то есть оно содержит пределы своих подпоследовательностей [math]\implies[/math] ядро замкнуто.

TODO: тут была какая-то непонятная хрень, запилил хорошее доказательство с английской википедии

Установим теперь важную теорему, которая задает общую формулу для записи линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве.

[math]\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle[/math] , причем [math]\|f\| = \|y\|[/math]

Ссылки

  • Quotient space
  • Quotient space (linear algebra)

Доказать что последовательность функционалов сходится

Напомним некоторые понятия из функционального анализа, которые будут использоваться в последующем изложении.

    Е — векторное пространство над полем вещественных (комплексных) чисел;

Определение 2. Линейное нормированное пространство Е называется банаховым, если оно является полным относительно метрики р (х, у) = ||x – y||, то есть каждая фундаментальная последовательность хn (||хnхm||→ 0 при n,m → ∞) сходится к некоторому элементу из Е.

  • Пространство C (p) [a, b] — множество функций f : [a, b] → R, имеющих непрерывные производные до p-го порядка включительно с нормой
  • Определение 3. Функционал — это числовая функция Φ(x), заданная на банаховом пространстве E.
    В дальнейшем будут рассматриваться функционалы с действительными значениями. На функционалы распространяются обычные понятия анализа: непрерывность, дифференцируемость и другие.

    Определение 4. Функционал Φ : ER называется непрерывным в точке y0E, если для любого ε > 0 существует δ > 0, что для всех y таких, что ||y — y0|| < δ, выполняется неравенство

    Определение 5. Функционал l( · ) : ER на банаховом пространстве E называется линейным, если

    2) l ( · ) — непрерывен.

    Определение 6. Функционал Φ(y), определенный на банаховом пространстве E, называется дифференцируемым в точке y0E, если приращение ∆Φ(y0, h) ≡ Φ(y0 + h) — Φ(y0) представимо в виде:

    ∆Φ(y0, h) = l (h) + o(h),

    Линейный функционал l (h) обозначается δΦ(y0, h) и называется первой вариацией функционала Φ в точке y0E.

    Определение 7. Точка y0E называется точкой локального максимума (минимума) функционала Φ( · ) : E → R, если существует окрестность U (y0) = y ∈ E :||yy0|| < ε>, ε > 0, точки y0 такая, что для всех yU(y0) выполняется неравенство Φ(y) < Φ(y0) (соответственно Φ(y) > Φ(y0)).
    Если выполняется строгое неравенство, то точка y0 называется точкой строгого локального максимума (минимума).
    При нахождении локальных экстремумов дифференцируемых функционалов используется следующий результат (аналог известной в анализе теоремы Ферма).

    Утверждение. Если функционал Φ : ER дифференцируем в точке y0E и y0 является точкой локального экстремума, то

    для всех hE.

    Доказательство: Пусть, например, y0 — точка локального минимума.
    Предположим, что существует элемент h0E, для которого l (h0) ≠ 0, скажем l (h0) > 0.
    Полагая h = t h0, t — вещественное число, рассмотрим приращение

    Функциональный анализ

    Здесь я постараюсь написать теоретический минимум по второй части курса функционального анализа.

    Большая часть материала взята из Википедии, чтобы не перебивать формулы и все такое. Все остальное бралось из конспектов, лучший из них лежит на firun.ru

    Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения.

    Краткое содержание 5 семестра (версия 2009)

    • Метрическое пространство [math]M[/math] есть множество точек с метрикой [math]d \colon M \times M \to \mathbb[/math] :
    1. [math]d(x,\;y) \ge 0 ; d(x,\;y)=0\Leftrightarrow x=y[/math] .
    2. [math]d(x,\;y)=d(y,\;x)[/math] .
    3. [math]d(x,\;z)\leqslant d(x,\;y)+d(y,\;z)[/math] .
    • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
    • Банаховым пространством (B-пространством) называется нормированное линейное пространство, полное по метрике, порождённой нормой.
    • Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке [math][a,b][/math] функции (обычно обозначается [math]<\mathrm C>[a,b][/math] ). Норма в этом пространстве определяется следующим образом: [math]||x||_<<\mathbf C>[a,b]>=\max_|x(t)|[/math]
    • Теорема Рисса — Фреше: Для любого непрерывного линейного функционала [math]f[/math] на Гильбертовом пространстве [math] H[/math] существует единственный вектор [math]y \in H[/math] такой, что [math]f(x)= \langle x,y \rangle[/math] для любого [math]x \in H[/math] . При этом норма линейного функционала [math]f[/math] совпадает с нормой вектора [math]y[/math] : [math]\|f\|=\sup_ |f(x)|= \sqrt<\langle y,y \rangle>[/math] . Теорема также означает, что пространство всех линейных ограниченных функционалов над [math]H[/math] изоморофно пространству [math]H[/math] .
    • Теорема (Хан-Банах) о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты: любой линейный функционал [math]f(x)[/math] , определённый на подпространстве [math]L[/math] линейного пространства [math]X[/math] и удовлетворяющий условию [math]|f(x)| \leq p(x), \forall x \in L[/math] , где [math]p(x)[/math] — некоторый положительно однородный функционал (определённый на всем пространстве [math]X[/math] ) то [math]f(x)[/math] может быть продолжен на все пространство [math]X[/math] с сохранением этого условия.
    • Теорема (Хан-Банах) о непрерывном продолжении линейного функционала: всякий линейный функционал [math]f(x)[/math] , определённый на линейном многообразии [math]L[/math] линейного нормированного пространства [math]X[/math] , можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.
    • Следствие: для любых двух различных точек линейного пространства существует линейный функционал, определённый на всем пространстве и такой, что его значения в этих точках различны.
    • Ядром линейного отображения [math]f\colon A\to B[/math] называются подмножество [math]A[/math] , которое отображается в нуль: [math]\mbox\,f = \< x\in A\mid f(x) = 0 \>[/math] . Ядро линейного отображения образует подпространство в линейном пространстве [math]A[/math] .
    • Пусть [math]A[/math] — оператор, действующий в банаховом пространстве [math]E[/math] . Число λ называется регулярным для оператора [math]A[/math] , если оператор [math]R(\lambda)=(A — \lambda I)^[/math] , называемый резольвентой оператора [math]A[/math] , определён на всём [math]E[/math] и непрерывен. Множество регулярных значений оператора [math]A[/math] называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора.

    Билеты — 5 семестр

    1. Принцип вложенных шаров в полном МП.

    [math]X[/math] — полное МП, [math]\overline_ \subset X,\; \overline_> \subset \overline_,\; r_i \rightarrow 0 \Rightarrow \exists ! d \in \cap \overline_[/math]

    2. Теорема Бэра о категориях.

    Определение:
    Замыкание [math]Cl \; A = F[/math] , если [math]F[/math] — замкнутое, [math]A \subseteq F[/math] и [math]\forall[/math] замкнутого [math]G: A \subseteq G \Rightarrow F \subseteq G[/math]
    Определение:
    [math]A[/math] всюду плотно в [math]X[/math] , если [math]Cl \; A = X[/math]
    Определение:
    [math]A[/math] нигде не плотно в [math]X[/math] , если [math]\forall V_r(x)\; \exists V_(y) \subset V_r(x): V_(y) \cap A = \O[/math]
    Определение:
    [math]A[/math] I категории по Бэру в [math]X[/math] , если [math]A = \cup A_i[/math] (счетное объединение), [math]A_i[/math] нигде не плотно в [math]X[/math] , иначе II категории

    [math]X[/math] — полное МП [math]\Rightarrow X[/math] — II категории в [math]X[/math]

    3. Критерий компактности Хаусдорфа в МП.

    4. Пространство [math]R^<\infty>[/math] : метрика, покоординатная сходимость.

    [math](x_1^n, x_2^n, \ldots, x_m^n, \ldots) \to (x_1, x_2, \ldots, x_m, \ldots) \Leftrightarrow \forall m : x_m^n \to x_m[/math]

    5. Компактность прямоугольника в [math]R^<\infty>[/math] .

    ну компактен, хуле

    6. Постранство S(E, [math]\mu[/math] ).

    Определение:
    [math]S(E, \mu)[/math] — пространство измеримых функций на [math]E[/math] по [math]\mu[/math] . На этом пространстве определена метрика [math]\rho (f, g) = \int\limits_E \frac<|f-g|> <1+|f-g|>d\mu[/math]

    7. Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.

    Определение:
    [math]x_n[/math] сходится по норме к [math]x[/math] , если [math]\|x_n — x\| \to 0[/math]

    8. Эквивалентность норм в конечномерном НП.

    Определение:
    [math]\| \cdot \|_1 \sim \| \cdot \|_2[/math] , если [math]\exists a, b \; \forall x : a\|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq b\|x\|_1[/math]

    В конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны

    9. Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.

    [math]X[/math] — НП, [math]Y[/math] — конечномерное линейное подмножество [math]X \Rightarrow Y[/math] — замкнутое

    10. Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.

    [math]Y[/math] — собственное подпространство [math]X \Rightarrow \forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_ \in X : \|z_\| = 1,\; \rho(z_, Y) \geq 1 — \varepsilon[/math] (где [math]\rho(z, Y) = \inf\limits_ \|z-y\|[/math] )

    [math]X[/math] — бесконечномерное НП [math]\Rightarrow[/math] любой шар в нем — не компакт

    11. Банаховы пространства на примерах С[0,1] и Lp(E).

    Определение:
    Банахово пространство — полное нормированное пространство
    Определение:
    [math]C[0,1][/math] — пространство непрерывных функций на [math][0,1][/math] . На этом пространстве определена норма [math]\|f\| = \max\limits_|f(t)|[/math]
    Определение:
    [math]L_p(E)[/math] — пространство измеримых на [math]E[/math] функций [math]f : \int\limits_E|f|^p \lt +\infty[/math] . На этом пространстве определена норма [math]\|f\| = \sqrt[p]<\int\limits_E |f|^p>[/math]

    12. Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.

    Равенство параллелограмма: [math]2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2[/math]

    Неравенство Шварца: [math]|\langle x,y \rangle| \leq \sqrt <\langle x,x \rangle>\cdot \sqrt<\langle y,y \rangle>[/math]

    13. Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.

    [math]\forall x \; \exists y^* : E_n(x) = \|x — y^*\|[/math]

    14. Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.

    [math]\alpha_i(x) = \langle x,e_i \rangle, \; \sum \alpha_i(x)e_i[/math] — абстрактный ряд Фурье

    [math]\delta_n(x) = \sum\limits_^n \alpha_i(x)e_i,\; E_n(x) = \|x-\delta_n(x)\|[/math]

    Неравенство Бесселя: [math]\sum \alpha_i^2(x) \leq \|x\|^2[/math]

    15. Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.

    Определение:
    Пространство сепарабельно, если у него существует счетное абсолютно плотное подмножество

    В гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис тогда и только тогда, когда оно сепарабельно

    16. Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.

    Пусть [math]\[/math] — ортонормированная система в гильбертовом пространстве [math]H[/math] , [math]\sum\limits_^ <\infty>\alpha_i^2 \leq +\infty[/math] . Тогда [math]\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle[/math] и выполняется равенство Парсеваля: [math]\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2[/math]

    17.Наилучшее приближение в Н для случая выпуклого,замкнутого множества, [math]H=H_1 \oplus H_2[/math]

    [math]M[/math] — замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства [math]H[/math] . Тогда [math]\forall x \in H\; \exists \overline : \|x — \overline\| = \inf\limits_ \|x — y\|[/math]

    [math]H_1[/math] — подпространство [math]H,\; H_2 = H_1^ <\perp>= \[/math] . Тогда [math]\forall x \in H\; \exists!x_1, x_2 : x = x_1 + x_2,\; x_i \in H_i[/math]

    18. Непрерывный линейный функционал и его норма.

    Определение:
    Линейный функционал [math]f[/math] ограничен, если [math]\|f\| = \sup\limits_ |f(x)| \lt +\infty[/math]
    Определение:
    Линейный функционал [math]f[/math] непрерывен в [math]x[/math] , если [math]\forall \ : x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x)[/math]

    [math]f[/math] непрерывен в [math]x[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]f[/math] непрерывен в [math]0[/math]

    [math]f[/math] непрерывен [math]\Leftrightarrow[/math] [math]f[/math] ограничен

    19. Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.

    Определение:
    Ядро линейного функционала [math]Ker f = \[/math]

    [math]f[/math] непрерывен [math]\Leftrightarrow[/math] [math]Ker f[/math] замкнуто

    20. Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.

    Пусть [math]X[/math] — НП, [math]Y[/math] всюду плотно в [math]X[/math] , [math]f[/math] — ограниченный линейный функционал из [math]Y[/math] . Тогда [math]\exists !g : X \to \mathbb : g(y) = f(y),\; \|g\| = \|f\|[/math] (существует единственное продолжение, сохраняющее норму)

    21. Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).

    Пусть [math]X[/math] — линейное множество с введенной на нем полунормой [math]p(x)[/math] , [math]Y \subset X[/math] , [math]f : Y \to \mathbb[/math] , [math]|f(y)| \leq p(y)[/math] (то есть функционал подчинен полунорме), [math]z \notin Y[/math] , [math]Z = L(Y, z)[/math] . Тогда [math]\exists g : Z \to \mathbb : g(y) = f(y),\; g(x) \leq p(x)[/math]

    Пусть [math]X[/math] — линейное множество с введенной на нем полунормой [math]p(x)[/math] , [math]Y \subset X[/math] , [math]f : Y \to \mathbb[/math] , [math]|f(y)| \leq p(y)[/math] . Тогда [math]\exists g : X \to \mathbb : g(y) = f(y),\; g(x) \leq p(x)[/math] , то есть продолжение [math]f[/math]

    22. Два следствия из теоремы Хана-Банаха.

    Следствие 1: [math]X[/math] — НП, [math]x_0 \in X[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists f : f(x_0) = \|x_0\|,\; \|f\| = 1[/math]

    Следствие 2: [math]X[/math] — НП, [math]\[/math] — ЛНЗ [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists \ : f_i(e_j) = \delta_[/math] (биортогональная система)

    23. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в Н.

    [math]\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle[/math] , причем [math]\|f\| = \|y\|[/math]

    24. Непрерывный линейный оператор и его норма.

    Определение:
    Линейный оператор [math]A[/math] ограничен, если [math]\|A\| = \sup\limits_ \|Ax\| \lt +\infty[/math]
    Определение:
    Линейный оператор [math]A[/math] непрерывен в [math]x[/math] , если [math]\forall \ : x_n \to x \Rightarrow Ax_n \to Ax[/math]

    [math]A[/math] непрерывен [math]\Leftrightarrow[/math] [math]A[/math] ограничен

    25. Продолжение линейного оператора по непрерывности.

    [math]A: X_1 \to Y,\; Cl\;X_1 = X,\; Y[/math] — Банахово, [math]\|A\| \lt +\infty[/math] . Тогда [math]\exists !\tilde : X \to Y : \tildex = Ax,\; \|\tilde\| = \|A\|[/math]

    26. Полнота пространства L(X,Y).

    Определение:
    [math]L(X,Y)[/math] — пространство непрерывных линейных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math]

    [math]Y[/math] — Банахово [math]\Rightarrow L(X,Y)[/math] — Банахово

    27. Теорема Банаха-Штейнгауза.

    Пусть [math]\forall x : \sup\limits_n\|A_nx\| \lt +\infty[/math] (то есть последовательность поточечно ограничена). Тогда [math]\sup\limits_n\|A_n\| \lt +\infty[/math] (то есть последовательность равномерно ограничена)

    28. Условие непрерывной обратимости лин. оператора.

    Пусть [math]A[/math] — ограниченный линейный оператор из [math]X[/math] в [math]Y[/math] , и [math]\exists m\; \forall x \in X : m \|x\| \leq \|Ax\|[/math] . Тогда [math]R(A)[/math] замкнуто, [math]\exists A^<-1>:Y \to X,\; \|A^<-1>\| \lt +\infty[/math]

    29. Теорема Банаха о непрерывной обратимости I-С.

    Пусть [math]X[/math] — Банахово, [math]C \in L(X),\; \|C\| \lt 1[/math] . Тогда [math]I — C[/math] непрерывно обратим.

    30. Теорема Банаха об обратном операторе.

    Пусть [math]A[/math] — биективный линейный ограниченный оператор из [math]X[/math] в [math]Y[/math] (оба Банаховы). Тогда [math]\exists A^<-1>:Y \to X,\; \|A^<-1>\| \lt +\infty[/math]

    31. Теорема о замкнутом графике.

    [math]A[/math] непрерывен [math]\Leftrightarrow[/math] [math]G_A[/math] замкнут

    32. Теорема об открытом отображении.

    [math]A[/math] непрерывен, [math]G[/math] — открыто [math]\Rightarrow[/math] [math]A(G)[/math] — открыто

    33. Теорема об открытости резольвентного множества.

    Определение:
    Резольвентное множество линейного оператора [math]\rho(A) = \<\lambda \mid \exists (A - \lambda I)^<-1>[/math] — непрерывный [math]\>[/math]
    Определение:
    Спектр линейного оператора [math]\sigma(A) = \mathbb \setminus \rho(A)[/math]

    [math]\rho(A)[/math] открыто

    34. Вхождение спектра в круг радиуса ||А||.

    [math]\sigma(A) \subset \<\lambda \mid |\lambda| \leq \|A\| \>[/math]

    35. Спектральный радиус.

    Определение:
    Спектральный радиус [math]r_(A) = \inf\limits_n \sqrt[n][/math]
    1. [math]r_(A) = \lim\limits_ \sqrt[n][/math]
    2. [math]\sigma(A) \subset \<\lambda \mid |\lambda| \leq r_(A) \>[/math]

    36. Аналитичность резольвенты.

    37. Непустота спектра ограниченного оператора.

    38. А* и его ограниченность.

    Определение:
    Сопряженным к оператору [math]A : X \to Y[/math] называется такой оператор [math]A^* : Y^* \to X^*[/math] , что [math]A^* \varphi = \varphi \circ A[/math] , то есть [math]A^*\varphi = f : f(x) = \varphi(Ax)[/math]

    [math]\|A\|=\|A^*\|[/math]

    39. Ортогональные дополнения Е и Е*.

    Определение:
    Ортогональным дополнением линейного множества [math]M \subset E[/math] называется множество [math]M^ <\perp>= \[/math] . [math]M^ <*\perp>= \[/math] . Заметим, что из непрерывности функционалов следует замкнутость ортогональных дополнений.

    [math]E^ <\perp>= \,\; E^ <*\perp>= \[/math]

    40. Ортогональное дополнение R(A).

    Пусть [math]A[/math] — ограниченный ЛО, [math]R(A)[/math] замкнуто. Тогда [math]R(A) = (Ker A^*)^<\perp>[/math]

    41. Ортогональное дополнение R(A*).

    Пусть [math]A[/math] — ограниченный ЛО, [math]R(A)[/math] замкнуто. Тогда [math]R(A^*) = (Ker A)^<\perp>[/math]

    42. Арифметика компактных операторов.

    Определение:
    Оператор [math]A[/math] компактен, если [math]\forall G : G[/math] — ограниченное [math]\Rightarrow A(G)[/math] — относительно компактно
    1. [math]A[/math] — компактный, [math]B[/math] — ограниченный [math]\Rightarrow[/math] [math]AB[/math] и [math]BA[/math] — компактные
    2. [math]A_n[/math] — компактные, [math]A_n \to A[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]A[/math] — компактный
    3. [math]A : X \to Y[/math] — компактный, [math]X[/math] — бесконечномерно [math]\Rightarrow[/math] оператор [math]A[/math] не может быть непрерывно обратим

    43. О компактности А*, сепарабельность R(A).

    [math]A[/math] — компактный [math]\Rightarrow[/math] [math]A^*[/math] — компактный

    44. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.

    Определение:
    Система точек [math]\ \subset X[/math] называется базисом Шаудера, если любой элемент пространства [math]X[/math] единственным образом представим в виде линейной комбинации этих точек

    45. Почти конечномерность компактного оператора.

    [math]X[/math] — пространство с базисом Шаудера, [math]A : X \to X[/math] — компактный [math]\Rightarrow[/math] [math]\forall \varepsilon \; \exists B, C : A = B+C,\; \|C\| \lt \varepsilon,\; B[/math] — конечномерный (то есть [math]R(B)[/math] конечномерно), [math]B[/math] и [math]C[/math] компактны

    46. О размерности Ker(I-A) компактного А.

    [math]A[/math] — компактный [math]\Rightarrow \dim(Ker (I — A)) \lt +\infty[/math]

    47. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения.

    Пусть [math] A \in L(E, F) [/math] , и [math] \exists \alpha \; \forall y \in R(A)\; \exists x \in E : \|x\| \leq \alpha \|y\| , Ax=y[/math] . Тогда [math] R(A) [/math] — замкнуто.

    48. О замкнутости R(I-A) компактного А.

    Пусть оператор [math] A [/math] — компактный. Тогда [math] R(I — A) [/math] — замкнуто

    49. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А.

    Пусть оператор [math]A[/math] — компактный. Тогда [math] \exists k : Ker(I — A)^ = Ker(I — A)^k[/math]

    50. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е.

    Пусть оператор [math]A[/math] — компактный. Тогда [math] R(I — A) = X \Leftrightarrow Ker(I — A) = \[/math]

    51. Альтернатива Фредгольма-Шаудера.

    1. [math]Ker(I-A) = \[/math] . Тогда уравнение имеет решение при любом [math]y[/math]
    2. [math]Ker(I-A) \neq \[/math] . Тогда уравнение имеет решение при [math]y \in (Ker (I-A)^*)^<\perp>[/math]

    52. О спектре компактного оператора.

    Пусть оператор [math]A[/math] — компактный. Тогда его спектр не более, чем счетный, и предельной точкой в нем может быть только [math]0[/math]

    Билеты — 6 семестр

    1. Сопряженный оператор и его ограниченность

    Будем работать с [math]E[/math] , как с банаховым пространством.

    Def: Пространство всех линейных функционалов на [math]E[/math] образует линейное пространство (прошлый семестр). Это пространство называется сопряжённым к [math]E[/math] , оно обычно обозначается [math]E^*[/math] .

    Def: Пусть [math]A:E\to F[/math] — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства [math]E[/math] в банахово пространство [math]F[/math] . И пусть [math]E^*, F^*[/math] — сопряжённые пространства. Обозначим [math]\forall x\in E, f\in F^* \langle Ax,f\rangle =f(Ax)[/math] . Если [math]f[/math] — фиксировано, то [math]\langle Ax,f \rangle [/math] — линейный непрерывный функционал в [math]E, \langle Ax,f \rangle \in E^*[/math] . Таким образом, для [math]\forall f\in F^*[/math] определён линейный непрерывный функционал из [math]E^* [/math] , поэтому определён оператор [math]A^*:F^*\to E^*[/math] , такой что [math]\langle Ax,f \rangle=\langle x,A^*f \rangle[/math] . [math]A^*[/math] называется сопряжённым оператором.

    Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math] . Тогда норма оператора [math]A^*:F^*\to E^*[/math] совпадает с нормой [math]A[/math] .

    2. Ортогональные дополнения Е и Е*

    Def: Пусть [math]S[/math] некоторое линейное множество. Тогда его ортогональное дополнение [math]S^\perp = \[/math] .

    Th: Имеют место соотношения: [math]E^\perp = \[/math] ; [math](E^*)^\perp = \[/math] .

    (при доказательстве используем теорему Хана-Банаха)

    3. Ортогональное дополнение R(A)

    (Здесь можно написать красивый текст из конспекта про важность теорем и все такое)

    Th: Пусть задан линейный оператор [math]A:E\to F[/math] , где [math]E[/math] и [math]F[/math] банаховы. Тогда [math]\overline = (Ker(A^*))^\perp[/math] .

    4. Ортогональное дополнение R(A*)

    Th: Пусть множество значений оператора [math]A[/math] замкнуто: [math]R(A) = Cl(R(A))[/math] . Тогда верно [math]R(A^*) = Cl(R(A^*)) = (Ker(A))^\perp[/math] .

    5. Арифметика компактных операторов

    Def: Линейный оператор [math]A:E\to F[/math] называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество из [math]E[/math] в относительно компактное множество в [math]F[/math] .

    Примером является оператор Фредгольма: [math]\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt[/math] .

    Установим несколько свойств:

    Th: Пусть операторы [math]A, B:E\to E[/math] такие, что [math]A[/math] компактен, а [math]B[/math] ограничен. Тогда операторы [math]AB[/math] и [math]BA[/math] компактны.

    6. О компактности А*, сепарабельность R(A)

    7. Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве

    Def: Система векторов [math]\[/math] топологического векторного пространства [math]E[/math] называется базисом Шаудера, если каждый элемент [math]f \in E[/math] разлагается в единственный, сходящийся к [math]f[/math] ряд по [math]\[/math] : [math]f= \sum_^ <\infty>f_i e_i[/math] , где [math]f_i[/math] — числа, называемые коэффициентами разложения вектора [math]f[/math] по базису [math]\[/math] .

    8. Почти конечномерность компактного оператора

    Теперь походим вокруг альтернативы Фредгольма-Шаудера.

    9. О размерности Ker(I-A) компактного А

    Утв. Пусть [math] A [/math] — компактный оператор, [math] H = I — A [/math] . Тогда, [math] dim (Ker H)\lt +\infty [/math]

    Следствие Множество решений операторного уравнения [math] Ax = \lambda x, \lambda \in \mathbb [/math] конечномерно.

    10. Условие замкнутости R(A) на языке решений операторного уравнения

    Утв. Пусть [math] A \in L(E, F) [/math] и [math] \exists \alpha = const : \forall y \in R(A), y = A(x), \exists x \in E : \|x\| \le \alpha \|y\| [/math] . Тогда, [math] R(A) [/math] — замкнуто.

    11. О замкнутости R(I-A) компактного А

    Утв. Пусть оператор [math] A [/math] — компактный. Тогда, [math] R(I — A) [/math] — замкнуто.

    12. Лемма о Ker(I-A)*n компактного А

    Утв. Пусть оператор [math]A[/math] — компактный. Тогда [math] \exists k \in \mathbb[/math] : [math]Ker(I — A)^ = Ker(I — A)^k[/math]

    13. Об условии справедливости равенства R(I-A)=Е

    Утв. Пусть [math] A [/math] — компактный оператор. Тогда, [math] R(I — A) = E \Leftrightarrow Ker(I — A) = \[/math]

    14. Альтернатива Фредгольма-Шаудера

    Th. (Альтернатива Фредгольма-Шаудера)

    Пусть [math] A : E \rightarrow E [/math] — компактный оператор, [math]E — B[/math] -пространство.

    Тогда, [math] \forall \lambda \neq 0[/math] возможны только 2 случая:

    1. [math] Ker(\lambda I — A) = \ \Rightarrow \lambda \in \rho(A) [/math]
    2. [math] Ker(\lambda I — A) \neq \ \Rightarrow [/math] (уравнение [math](\lambda I — A)x = y[/math] разрешимо относительно [math]x) \Leftrightarrow y \in (Ker(\lambda I^ — A^))^[/math]

    15. О спектре компактного оператора

    Теперь это называется Теорией Гильберта-Шмидта

    16. О вещественности спектра ограниченного самосопряженного оператора

    Утв. Пусть [math] A [/math] — ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, [math]\sigma(A) \subset \mathbb[/math]

    17. О характеризации спектра и резольвентного множества ограниченного самосопряженного оператора

    Th. Пусть [math] A [/math] — ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда,

    1. [math] \lambda \in \rho(A) \Leftrightarrow \exists m \gt 0 : \|(\lambda I — A)x\| \ge m \|x\| [/math]
    2. [math] \lambda \in \sigma(A) \Leftrightarrow \exists \[/math] , т.ч. [math] \lim_\|(\lambda I — A)x_n\| = 0 [/math]

    18. О числах m- и m+

    Def. [math] m_ = \inf_\langle Ax, x \rangle[/math]

    Def. [math] m_ = \sup_\langle Ax, x \rangle[/math]

    Def. Если для некоторого оператора [math]L : \langle Ax, x \rangle \ge 0 [/math] , то [math]L[/math] называется неотрицательным.

    Th. Пусть [math]A[/math] — ограниченный и самосопряженный оператор. Тогда, [math]\sigma(A) \subset [m_, m_][/math] , и [math]m_ \in \sigma(A), m_ \in \sigma(A)[/math]

    19. Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора

    Th. Пусть [math]A[/math] — ограниченный, самосопряженный оператор. Тогда, [math]\|A\| = r_ = \max\<|m_<->|, |m_|\>[/math]

    20. Теорема Гильберта-Шмидта

    21. О диагонализации компактного самосопряженного оператора и разложении его резольвенты

    Элементы нелинейного функционального анализа.

    22. Теорема Банаха о сжимающем отображении

    Def: Пусть на замкнутом шаре [math]\overline \subset X[/math] , где [math]X[/math] — метрическое пространство, определён оператор [math]A: \overline \subset X \to X[/math] . Он называется сжатием на [math]\overline[/math] , если [math]\exists\alpha\in(0; 1)[/math] такой, что для [math]x,y \in M[/math] выполняется [math]<\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha<\cdot>\rho(x,y)>[/math] .

    Th.(Банаха о неподвижной точке) Пусть [math]T : \overline \to \overline[/math] и является сжатием, тогда в этом шаре у оператора [math]T[/math] [math]\exists ![/math] неподвижная точка.

    23. Дифференциал Фреше

    Рассмотрим [math]T : V_r(x_0) \to Y[/math] , где [math]V_r(x_0) \subset X[/math] и, кроме того, [math]X, Y[/math] — нормированные пространства.

    Пусть [math]\|\delta x \| \lt r[/math] . Тогда, очевидно, [math]x + \delta x \in V_r(x_0)[/math] .

    Обозначим [math]\delta T(x_0, \delta x) = T(x_0 + \delta x) — T(x_0)[/math] .

    Def. Отображение [math]T[/math] называется дифференцируемым по Фреше в точке [math]x_0[/math] , если существует оператор [math]A_ \in L(X,Y)[/math] такой, что [math]\delta T(x_0, \delta x) = A_(\delta x) + o(\delta x)[/math] , где [math]o(\delta x)[/math] несёт следующий смысл: [math]\frac< <\|o(\delta x)\|>_Y > _X> \to 0[/math] .

    Обычно, в случае дифференцируемого отображения используют следующее обозначение: [math]T_’ = A_[/math] . Подчеркнем, что [math]T_’: X \to Y[/math] . Аргументом является «отклонение» некоторой точки [math]x'[/math] от [math]x_0[/math] : [math]x — x_0[/math] . А результат применения оператора: [math]T(x’) — T(x_0)[/math] с точностью до [math]o(\delta x = x’ — x)[/math] .

    Lm. Рассмотрим оператор [math]T(x, t) =\int_0^1 K(t,s,x(s))ds[/math] , действующий на [math]x(t) \in C[0,1][/math] , и где [math]K = W(v, y, z); v, y \in [0, 1][/math] , [math] z \in \mathbb R[/math] , и существует непрерывная по [math]v, y, z[/math] производная [math]\frac<\partial K><\partial z>[/math] . Тогда в любой точке пространства [math]C[0,1][/math] это отображение дифференцируемо и его производная Фреше задается интегральным линейным по [math]\delta x[/math] оператором: [math]T_'(\delta x, t) = \int_0^1 \frac<\partial K><\partial z>(t, s, x_0(s))\delta x(s) ds[/math] .

    24. Неравенство Лагранжа

    Lm. (Неравенство Лагранжа) Пусть [math]X, Y[/math] — нормированные пространства, [math]V[/math] — некоторый шар в [math]X[/math] и дан оператор [math]T : V \to Y[/math] и на всем этом шаре [math]\exists T'(x)[/math] . Тогда для любых [math]a, b \in V : \|T(b) — T(a)\| \le M _X[/math] , где [math]M = sup_\|T'(x)\|[/math] .

    25. Локальная теорема о неявном отображении

    Th.(о неявном отображении)

    Пусть [math]V[/math] — шар в [math] X, V \subset X[/math] , а [math]W \subset Y[/math] — шар в [math]Y[/math] , и задан оператор [math]T : \times \rightarrow Y[/math] .

    Пусть [math]x_0 \in V,\: y_0 \in W,\: T(x_0, y_0) = 0 \in Y[/math] .

    Пусть [math] \forall x \in V, \forall y \in W \quad \exists T^_y [/math] — дифференциал Фреше, непрерывный как отображение переменных [math]x[/math] и [math]y[/math] .

    Пусть также [math]T^_(x_0, y_0)[/math] — непрерывно обратим.

    Тогда задача о неявном отображении для [math]T(x, y) = 0[/math] c начальным решением [math]T(x_0, y_0) = 0[/math] разрешима в некоторых окрестностях точек [math]x_0, y_0[/math] , а именно: для любого [math]x’ \in V_(x_0)[/math] существует единственное [math]y’ \in V_(y_0) : T(x’, y’) = 0[/math] .

    26. Теорема о локальной обратимости отображения

    Следствие локальной теоремы о неявном отображении

    Дано отображение [math]T : V_r(x_0) \subset X \to V_r(y_0) \subset Y[/math] . [math]T(x_0) = y_0[/math] . Если существует непрерывно-обратимое отображение [math]T_x ‘(x_0)[/math] и отображение [math]T_x ‘(x)[/math] существует на всем шаре, то для любого [math]y \in V_(y_0)[/math] существует единственный [math]x \in V_(x_0) : T(x) = y[/math] .

    27. Локальная теорема о простой итерации

    Th.(о простой итерации) [math]T: V \subset X \to X[/math] и существует [math]\overline \in V : \overline = T(\overline)[/math] . Кроме того, пусть [math]\|T'(\overline)\| \lt 1[/math] . Тогда [math]\exists \delta : \forall x_0 \in V_\delta(\overline)[/math] и [math]x_ = T(x_n)[/math] выполнено [math]lim(x_n) = \overline[/math] .

    28. Локальная теорема о методе Ньютона-Канторовича

    Th.(о методе Ньютона-Канторовича) [math]F : V \to X, \exists \overline \in V : F(\overline) = 0[/math] . Кроме этого, пусть на [math] V[/math] [math] \exists F'(x)[/math] , непрерывная на нем. Тогда существует окрестность точки [math]\overline[/math] , в которой метод Ньютона-Канторовича осуществим. Т.е. [math]\exists \delta \gt 0 : x_0 \in V_\delta(\overline), x_ = x_n — (F_’)^(F(x_n))[/math] и тогда: [math] lim(x_n) = \overline [/math] .

    29. О проекторах Шаудера

    Lm.(о проекторах Шаудера) Пусть [math]T: D \subset X \to X[/math] , где [math]X[/math] — нормированное пространство. Тогда существует последовательность компактных операторов [math]T_n: T_n \rightrightarrows T[/math] на D, и при этом [math]\forall T_n[/math] лежит в конечномерном подпространстве [math]X[/math] .

    30. Теорема Шаудера о неподвижной точке

    Th.(Шаудера) Если [math]D[/math] — ограниченное выпуклое замкнутое множество в Банаховом пространстве [math]X[/math] и оператор [math]T : D \to D[/math] , то у этого оператора на [math]D[/math] существует неподвижная точка.

    Научный форум dxdy

    Слабо сходящаяся последовательность линейных операторов

    Слабо сходящаяся последовательность линейных операторов
    06.01.2010, 23:48

    Заслуженный участник

    Пусть в банаховом пространстве $E$задана последовательность $\$ непрерывных линейных операторов $A_n\colon E\to E$, $n=1,2,\ldots$. Известно, что эта последовательность слабо сходится к тождественному оператору $A_n\mathop<\longrightarrow>\limits^w I$» />, т.е. для любого вектора <img decoding=и любого непрерывного линейного функционала $f\in E^\ast$выполнено $f(A_nx)\to f(x)$, $n\to\infty$. Требуется доказать, что для любого $x_0\in E$существуют последовательность элементов $x_k\in E$и подпоследовательность $\<A_<n_k>\>\subset\$» /> такие, что <img decoding=. Либо построить соответствующий контрпример.

    Хорошо было бы, если $x_k$можно выбрать слабо сходящейся к $x_0$.

    Re: Слабо сходящаяся последовательность линейных операторов
    07.01.2010, 12:25

    Это не доказательство, это просто наблюдения чтоб не забыть, а то бумаги под рукой нет.

    Из стандартной теоремы следует, что $\sup_n\|A_nx\|<\infty$при любом $x$. Из принципа равномерной ограниченности следует, что $\sup_n\|A_n\|\le c<\infty$.

    Re: Слабо сходящаяся последовательность линейных операторов
    07.01.2010, 13:13

    Заслуженный участник

    Насчет равномерной ограниченности полностью согласен.

    Вот пример слабо сходящейся последовательности операторов $A_nx=x+a_n\cdot h(x)$, где $h(x)$— фиксированный линейный непрерывный функционал, а $\<a_n\>$» /> — слабо сходящаяся к нулю, но не сходящаяся по норме последовательность векторов (например, последовательность ортов в гильбертовом пространстве). Не будет ли это контрпримером?</p>
<p><b>Re: Слабо сходящаяся последовательность линейных операторов</b><br />
07.01.2010, 19:24<br />
<b>Padawan в сообщении #278121</b> писал(а):</p>
<p>слабо сходится к тождественному оператору <img decoding=и любого непрерывного линейного функционала $f\in E^\ast$выполнено $f(A_nx)\to f(x)$, $n\to\infty$

    Не факт, что это называется слабой сходимостью, т.к. неочевидно, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве линейных непрерывных операторов $\mathcal L(E,E)$представим в виде $(f, Ax)$, где $f\in E^\ast$, $x\in E$.

    Re: Слабо сходящаяся последовательность линейных операторов
    07.01.2010, 19:35
    Padawan в сообщении #278205 писал(а):

    Насчет равномерной ограниченности полностью согласен.

    Вот пример слабо сходящейся последовательности операторов $A_nx=x+a_n\cdot h(x)$, где $h(x)$— фиксированный линейный непрерывный функционал, а $\<a_n\>$» /> — слабо сходящаяся к нулю, но не сходящаяся по норме последовательность векторов (например, последовательность ортов в гильбертовом пространстве). Не будет ли это контрпримером?</p>
<p>наверное это контр пример. даже конкретней в <img decoding=рассмотрим $A_nx(t)=x(t)+e^<int>\int_x(t)dt.$» /> <img decoding=

    Re: Слабо сходящаяся последовательность линейных операторов
    07.01.2010, 19:50

    Заслуженный участник

    nckg в сообщении #278322 писал(а):

    $\mathcal L(E,E)$

    Не факт, что это называется слабой сходимостью, т.к. неочевидно, что любой линейный непрерывный функционал на пространстве линейных непрерывных операторов представим в виде .

    нет, факт, именно это стандартно и называется слабой сходимостью операторов (в отличие от «сильной» и «по норме»). Функционалы имеются в виду именно над исходным пр-вом, а не операторов.

    Я, правда, не понял, какова цель этой задачки. Уж больно искусственным выглядит её условие.

    Re: Слабо сходящаяся последовательность линейных операторов
    07.01.2010, 21:23

    Заслуженный участник

    Чтобы утверждение было верно, нам достаточно проверить, что для любой $\varepsilon$-окрестности точки $x_0$$U(x_0,\varepsilon)=\<x\in E: ||x-x_0||<\varepsilon\>$» /> найдётся хотя бы одна точка <img decoding=и оператор $A_<n_1>$» /> такие, что <img decoding=задана последовательность непрерывных функций $\<K_n(s,t)\>$» /> такая, что при каждом фиксированном <img decoding=последовательность $K_n(s,t_0)$является дельта-образной и стремится к $\delta(t-t_0)$. А именно

    1) $K_n(s,t)\geq 0$для всех $s,t\in [a,b]$
    2) $\int_a^b K_n(s,t_0)ds\leq 1$для всех $n=1,2,\ldots$
    3) $\lim\limits_<n\to\infty>\int_a^b K_n(s,t_0)ds=1$» /><br />4) <img decoding=(равномерная сходимость по $s$)

    Надо доказать, что для любого $\varepsilon>0$» /> и любого номера <img decoding=найдутся точки $t_1,\ldots,t_p$, числа $c_1,\ldots,c_p\geq 0$и номер $n>N$» /> такие, что <img decoding=— норма в $L_1[a,b]$.

    Короче, надо единицу приблизить линейной комбинацией «почти дельта-функций».

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *