Какое условие задает круг на координатной плоскости
Перейти к содержимому

Какое условие задает круг на координатной плоскости

  • автор:

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Числовая ось

Числовая ось

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Прямоугольная декартова система координат на плоскости абсцисса ордината точки

Прямоугольная декартова система координат на плоскости абсцисса ордината точки

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Прямоугольная декартова система координат на плоскости координаты точки

Прямоугольная декартова система координат на плоскости координаты точки

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости четверти квадранты ось абсцисс ось ординат

Прямоугольная декартова система координат на плоскости четверти квадранты ось абсцисс ось ординат

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости четверти квадранты ось абсцисс ось ординат

Прямоугольная декартова система координат на плоскости четверти квадранты ось абсцисс ось ординат

| A1A2| 2 =
= ( x2x1) 2 + ( y2y1) 2 .
(1)

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Прямоугольная декартова система координат на плоскости четверти квадранты ось абсцисс ось ординат

Прямоугольная декартова система координат на плоскости четверти квадранты ось абсцисс ось ординат

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Линии второго порядка.
Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность

После основательной проработки прямых на плоскости продолжаем изучать геометрию двухмерного мира. Ставки удваиваются, и я приглашаю вас посетить живописную галерею эллипсов, гипербол, парабол, которые являются типичными представителями линий второго порядка. Экскурсия уже началась, и сначала краткая информация обо всей экспозиции на разных этажах музея:

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид , где – многочлен, состоящий из слагаемых вида ( – действительное число, – целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях.

Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости

Порядок линии равен максимальному значению входящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат, поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах .

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид , где – произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты не равны одновременно нулю.

Если , то уравнение упрощается до , и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой, которая представляет собой линию первого порядка.

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней входящих переменных.

слагаемое содержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое содержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Далее из полученных чисел выбирается максимальное значение, в данном случае единица, – это и есть порядок линии.

Теперь разберёмся, почему уравнение задаёт линию второго порядка:

слагаемое содержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, где коэффициенты не равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат , то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат.

Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению «плоской» прямой, во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка и направляющий вектор .

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( и – положительные действительные числа)

1) – каноническое уравнение эллипса;

2) – каноническое уравнение гиперболы;

3) – каноническое уравнение параболы;

4) – мнимый эллипс;

5) – пара пересекающихся прямых;

6) – пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) – пара параллельных прямых;

8) – пара мнимых параллельных прямых;

9) – пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола.

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Эллипс и его каноническое уравнение

Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса».

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где – положительные действительные числа, причём . Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу:

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Построить эллипс, заданный уравнением

Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .

Каноническое расположение эллипса

В данном случае :

Отрезок называют большой осью эллипса;
отрезокмалой осью;
число называют большой полуосью эллипса;
числомалой полуосью.
в нашем примере: .

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы. И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем:

Далее уравнение распадается на две функции:
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами . Настукаем три смс-ки на калькуляторе:

Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Построение эллипса алгебраическим методом с помощью дополнительных точек

Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:

Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса

Эллипс – это частный случай овала. Слово «овал» не следует понимать в обывательском смысле («ребёнок нарисовал овал» и т.п.). Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку. Целью данного урока не является рассмотрение теории овалов и различных их видов, которым практически не уделяется внимания в стандартном курсе аналитической геометрии. И, в соответствии с более актуальными потребностями, мы сразу переходим к строгому определению эллипса:

Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: .
При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .

Иллюстрация определения эллипса

Сейчас станет всё понятнее:

Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же:

Убедимся, что в нашем примере значение суммы действительно равно восьми. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить.

На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Высшая математика, порой, причина напряжения и стресса, поэтому самое время провести очередной сеанс разгрузки. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку… отлично… чертёж можно сдать на проверку врачу преподавателю =)

Как найти фокусы эллипса?

В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр геометрии.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют координаты , где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса.

Вычисления проще пареной репы:

! Со значением «цэ» нельзя отождествлять конкретные координаты фокусов! Повторюсь, что – это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра (который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат).
И, следовательно, расстояние между фокусами тоже нельзя привязывать к каноническому положению эллипса. Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты. Пожалуйста, учитывайте данный момент в ходе дальнейшего изучения темы.

Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл

Эксцентриситетом эллипса называют отношение , которое может принимать значения в пределах .

Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: .

Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат.

Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: .
При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на… смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат:

Окружность – частный случай эллипса

Окружность – это частный случай эллипса

Действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который рефлекторно преобразуется к – хорошо известному из школы уравнению окружности с центром в начале координат радиуса «а».

На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: . Радиусом называют длину отрезка , при этом каждая точка окружности удалена от центра на расстояние радиуса.

Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная. Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю.

Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в этом случае идём знакомым путём – приводим уравнение к бодрому матановскому виду:

– функция верхней полуокружности;
– функция нижней полуокружности.

После чего находим нужные значения, дифференцируем, интегрируем и делаем другие хорошие вещи.

Статья, конечно, носит справочный характер, но как на свете без любви прожить? Творческое задание для самостоятельного решения

Составить каноническое уравнение эллипса, если известен один из его фокусов и малая полуось (центр находится в начале координат). Найти вершины, дополнительные точки и изобразить линию на чертеже. Вычислить эксцентриситет.

Решение и чертёж в конце урока

Поворот и параллельный перенос эллипса

Вернёмся к каноническому уравнению эллипса , а именно, к условию , загадка которого терзает пытливые умы ещё со времён первого упоминания о данной кривой. Вот мы рассмотрели эллипс , но разве на практике не может встретиться уравнение ? Ведь здесь , однако, это вроде бы как тоже эллипс!

Поворот эллипса на 90 градусов

Подобное уравнение нечасто, но действительно попадается. И оно действительно определяет эллипс. Развеем мистику:

В результате построения получен наш родной эллипс, повёрнутый на 90 градусов. То есть, – это неканоническая запись эллипса . Запись! – уравнение не задаёт какой-то другой эллипс, поскольку на оси не существует точек (фокусов), которые бы удовлетворяли определению эллипса.

Как быть, если такое чудо-яйцо всё-таки встретилось на жизненном пути? В том случае если вам предложено построить эллипс, то, наверное, лучше построить его в нестандартном виде. С вершинами и дополнительными точками, думаю, трудностей не возникнет. Но если вам предложено найти фокусы, эксцентриситет и т.д., то настоятельно рекомендую начать (или продолжить после чертежа) решение так:

«Повернём эллипс на 90 градусов и перепишем его уравнение в каноническом виде: » – дальше по обычной схеме.

! Примечание: в теории принято поворачивать не саму фигуру, а оси! И если от вас требуется именно ПРИВЕСТИ уравнение к каноническому виду, то решение, строго говоря, следует оформить иначе: «Перейдём к новой прямоугольной системе координат , повернув координатные оси на 90 градусов против часовой стрелки, и запишем уравнение эллипса в каноническом виде: ».

Впрочем, эрудиты могут встать на скользкую дорожку путаницы, модифицировав все расчёты с учётом поворота. Но всё равно не советую. Потому что ребячество. Ведь эллипс можно повернуть и на другой угол =) Об этом мы ещё поговорим позже.

В практических задачах гораздо чаще встречается параллельный перенос эллипса:

Уравнение задаёт эллипс с большой полуосью «а», малой полуосью «бэ» и центром симметрии в точке .

Параллельный перенос эллипса

Изобразим на чертеже эллипс . Согласно формуле: , то есть наш подопытный эллипс «переехал» в точку :

Значения остались прежними, а вот фокусы, разумеется, мигрировали, и формулы их координат нужно модифицировать поправками на соответствующие сдвиги:

Здесь всё обходится значительно проще, чем при повороте, и если по условию не нужно приводить уравнение к каноническому виду, то лично я предпочту оставить его в виде . Что делать, если нужно приводить? «Чайникам» в большинстве случаев простят фразу: «Осуществим параллельный перенос эллипса в начало координат и перепишем уравнение в каноническом виде: ». Но академический подход предполагает параллельный перенос не самой фигуры, а системы координат! Поэтому людям, изучающим высшую математику по профилю и/или углублённо, гораздо лучше завернуть примерно следующее: «С помощью параллельного переноса исходной системы координат перейдём к новой прямоугольной системе координат с началом в точке и запишем уравнение эллипса в каноническом виде ».

На самом деле упрощенная версия формулы нам знакома ещё со школьных времён:

Уравнение задаёт окружность радиуса с центром в точке .

Параллельный перенос окружности

Освежая ностальгические воспоминания, изобразим на чертеже окружность, заданную уравнением :

В исследовательских целях приведём наше уравнение к общему виду, выполнив возведение в квадрат и приведение подобных слагаемых:

– как правило, в таком обличье оно и встречается в природе.

Таким образом, в практических задачах часто предварительно нужно выполнить обратное действие – выделить полные квадраты. Данный приём подробно разобран на уроках о геометрических преобразованиях графиков и интегрировании дробей. Хотя следующий простой пример не должен вызвать у вас затруднений даже без отработки данного метода:

Построить график линии, заданной уравнением

Решение и чертёж в конце урока.

На практике эллипс (как и другие линии) может быть одновременно повёрнут на любой угол относительно своего канонического положения и перенесен в любую точку, отличную от начала координат. В таком случае решается типовая задача приведения линии 2-го порядка к каноническому виду, к которой я потихоньку начал вас готовить уже сегодня.

Ну а пока самое время перейти ко второй части лекции, где жертвами станут гипербола и парабола.

Решения и ответы:

Найденное каноническое уравнение эллипса и чертёж линии

Пример 2: Решение: поскольку фокусы канонически расположенного эллипса имеют координаты , то расстояние от каждого из фокусов до начала координат равно: .
По условию известно значение , из соотношения находим:

Запишем каноническое уравнение эллипса:

Вершины эллипса расположены в точках .
Найдём дополнительные точки:

Выполним чертёж:

Вычислим эксцентриситет:

Построение окружности после выделения полного квадрата

Пример 3: Решение: выделим полный квадрат:

– окружность радиуса с центром в точке .
Выполним чертёж:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

§12. Задание фигур в координатах.

1. Основные понятия. Напомним, что фигурой мы называем любое множество точек. Задать множество – значит указать правило, по которому для каждого объекта мы можем установить, принадлежит он данному множеству или нет. Такое правило называется характеристическим свойством данного множества. При этом обычно испытанию подвергаются не все мыслимые объекты, а только элементы так называемого универсума: некоего «универсального» множества, заведомо содержащего наше. Для фигур роль универсума играют плоскость или пространство. 16 Мы обычно будем работать с плоскими фигурами, но все сделанное с очевидными изменениями переносится и на случай пространства.

Пусть на плоскости задана АСК Оху. Говорят, что фигура Ф задана в данной АСК уравнением F(x,y) = 0, если

(12.1) М(х,у)Ф F(x,y) = 0,

т.е., если вместо того, чтобы проверять, принадлежит ли точка плоскости фигуре Ф, мы можем проверять, удовлетворяют ли координаты этой точки в данной АСК уравнению F(x,y) = 0. Аналогично определяется задание фигуры неравенством, системой и, вообще, любым соотношением между координатами ее точек.

(12.2) Замечание. Понятно также, что АСК можно в данном определении заменить любой другой системой координат. Если при этом координаты любой точки в данной системе координат определяются однозначно, то в ней любое соотношение между координатами задает некоторую фигуру (возможно, пустую). Если же такой однозначности нет (как, например, в полярной системе координат) может случиться, что у одной и той же точки некоторые наборы координат удовлетворяют данному уравнению, а некоторые – нет. В таких случаях обычно считается, что уравнение выбрано некорректно и не задает в данной системе координат никакого множества. Но иногда используют другой подход: считают, что точка принадлежит заданному уравнением множеству, если этому уравнению удовлетворяет хотя бы один набор ее координат.

Доказывать, что уравнение F(x,y) = 0 действительно задает фигуру Ф, удобнее всего прямой проверкой равносильности (12.1). Но это далеко не всегда удается. Тогда утверждение (12.1) разбивают на два взаимно обратных:

(12.1а) М(х,у)Ф F(x,y) = 0

(12.1б) F(x,y) = 0 М(х,у)Ф

и доказывают их по отдельности.

2. Две основные задачи о задании фигур в координатах состоят в том, чтобы по данной фигуре найти ее уравнение 17 и по данному уравнению найти заданную им фигуру. Во втором случае «найти» означает «описать наглядно», что в простейшем случае подразумевает представление искомой фигуры как объединения конечного числа известных простейших фигур: точек, прямых, лучей, отрезков, окружностей, дуг и т.п. Рассмотрим примеры.

(12.3) Задача. Задать уравнениями в данной АСК ее оси.

Зададим ось абсцисс Ох. Имеем: М(х,у)Ох ОМ || е1 ОМ = хе1 у=0. Аналогично, ось ординат задается уравнением х = 0.

(12.4) Задача. Какую фигуру задает уравнение z = 0 в АСК в пространстве?

М(х,у,0) ОМ = хе1 + уе2 векторы ОМ, е1 и е2 компланарны ОМ||Оху МОху. Таким образом, уравнение z = 0 задает в АСК в пространстве координатную плоскость Оху.

(12.5) Упражнение. Какие фигуры задают в АСК в пространстве уравнения х = 0, у = 0? Как задать в АСК в пространстве координатные оси? Октанты?

3. Уравнения окружности и сферы. (12.6) Задача. Задать уравнением в ПДСК окружность Окр(О,r) с центром О(х00) и радиусом r.

М(х,у)Окр(О(х00), r) |ОМ| = r =r (12.7) (x–х0) 2 + (y–у0) 2 = r 2

(12.7) и есть уравнение окружности (в ПДСК на плоскости). Если заменить в нем знак равенства знаком , получившееся неравенство будет задавать ограниченный данной окружностью круг. Аналогично доказывается, что уравнение

(12.8) (x–х0) 2 + (y–у0) 2 + (zz0) 2 = r 2

и неравенство

(12.9) (x–х0) 2 + (y–у0) 2 + (zz0) 2 r 2

задают в ПДСК в пространстве соответственно сферу и шар с центром О и радиусом r. А вот уравнение (12.7) в пространстве задает уже не окружность, а цилиндр с осью, параллельной Oz: действительно, вместе с любой точкой М(а,b,0) ему удовлетворяют и все точки вида (а, b, z) где z – произвольное действительное число.

4. Задание пересечений и объединений фигур. Пусть фигуры Ф1 и Ф2 заданы в некоторой АСК на плоскости уравнениями F1(x,y) = 0 и F2(x,y) = 0 соответственно. Пересечение Ф1Ф2 данных фигур по определению состоит из всех точек, принадлежащих одновременно обеим фигурам. Поэтому М(x,y)Ф1Ф2 F1(x,y) = 0 и F2(x,y) = 0. Последнее утверждение принято записывать в виде системы:

(12.10) .

Объединение МФ1Ф2 состоит по определению из всех точек, принадлежащих хотя бы одной из двух данных фигур. Поэтому МФ1Ф2 F1(x,y) = 0 или F2(x,y) = 0, что принято записывать в виде совокупности:

(12.11) .

Совокупность (12.11) для краткости нередко заменяют равносильным ей уравнением F1(x,y)F2(x,y) = 0, а систему (12.10) – равносильным уравнением (F1(x,y)) 2 + (F2(x,y)) 2 = 0.

Рассмотрим примеры.

(12.12) Задача. Как задать в АСК на плоскости координатные четверти.

Полуплоскости, на которые координатные оси делят плоскость, очевидно, задаются неравенствами х > 0, х < 0, у>0, y < 0. Поэтому четверти (без точек координатных осей) задаются системами ,,и.

(12.13) Задача. Какую фигуру задает в АСК в пространстве уравнение ху = 0.

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений х = 0 или у = 0, задающей объединение координатных плоскостей Oyz и Oxz.

5. Параметрический способ задания линий. Представим себе, что по координатной плоскости движется точка, причем движение началось в момент t = a и закончилось в момент t = b. Линия T, которую описывает движущаяся точка, называется траекторией движения. Координаты (х,у) движущейся точки являются числовыми функциями х = х(t), y = y(t) времени t[а;b]. Покажем, что траектория Т задается системой

(12.14) .

В самом деле, чтобы проверить, лежит ли данная точка М000) на траектории Т, достаточно решить систему 12.14 при х = х0, у = у0: если решение есть, то точка М0 лежит на траектории, в противном случае – нет.

Система 12.14 называется системой параметрических уравнений траектории Т. Переменная t при этом называется параметром, а промежуток [а,b] – областью определения (или областью изменения) параметра.

Рассмотрим точку, вращающуюся по окружности радиуса r с центром в начале ПДСК с постоянной угловой скоростью . Пусть при t0 = 0 она находится на оси абсцисс. За время t ее радиус-вектор повернется на угол = t. Подставляя это значение в формулы (11.2), получаем параметрические уравнения окружности:

(12.15) .

Это уравнения равномерного вращательного движения. При = 1 они превращаются в уравнения (11.2), а параметром можно считать сам полярный угол .

Область изменения параметра в (12.15) подобрана так, чтобы движущаяся точка успела обойти всю окружность. Если уменьшить эту область, система (12.15) будет задавать не всю окружность, а только ту ее дугу, которую движущаяся точка успеет описать за отведенное время.

Определить попадание точки в круг

Добрый день. В базе хранятся координаты точки (тип float) из google-maps. Нужно при получении подобных координат определить какие хранящиеся в базе точки попадают в круг полученной точки. Т.е. есть координата в базе 5, 5. Поступает координата 6, 6. Есть радиус определенны (скажем 5 метров), нужно узнать — попадает ли 6, 6 в круг. Вопрос вроде не сложный, но сообразить не могу как правильно все это рассчитать

Отслеживать
34.6k 15 15 золотых знаков 66 66 серебряных знаков 95 95 бронзовых знаков
задан 13 авг 2013 в 8:02
811 1 1 золотой знак 7 7 серебряных знаков 17 17 бронзовых знаков
а если это не окружность а площадь
26 мая 2017 в 17:13

1 ответ 1

Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию

Вам можно воспользоваться следующим условием:

(x - x0)^2 + (y - y0)^2  

где x и y - координаты вашей точки, x0 и y0 - координаты центра окружности, R - радиус окружности, ^2 - возведение в квадрат. Если условие выполняется, то точка находится внутри (или на окружности, в случае равенства левой и правой частей). Если не выполняется, то точка вне окружности.

Необходимое уточнение - это будет работать в случае небольших радиусов (до нескольких километров). В случае же окружностей с большими радиусами допущение о том, что поверхность плоская станет неверным - нужно будет принимать во внимание кривизну поверхности Земли и вносить коррективы с учетом пространственной геометрии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *