Что такое линейная комбинация
Перейти к содержимому

Что такое линейная комбинация

  • автор:

Что такое линейная комбинация

Линейной комбинацией векторов e 1, e 2, . e k линейного пространства L называется выражение С1· e 12 ·e 2+ . +Сk · e k . Числа С1, С2 , . Сk — коэффициенты линейной комбинации

Если все коэффициенты линейной комбинации С1· e 12 ·e 2+ . +Сk · e k равны нулю, то она называется тривиальной линейной комбинацией.

Система e 1, e 2, . e k линейно независима , если равенство С1· e 12 ·e 2+ . +Сk · e k = 0 возможно только для тривиальной линейной комбинации.

Система e 1, e 2, . e k линейно зависима , если существует нетривиальная линейная комбинация, для которой справедливо равенство С1· e 12 ·e 2+ . +Сk · e k = 0 .

Линейная комбинация

Линейная комбинация векторов — это сложение векторов, умноженных на действительное число (скалярное умножение). Это создает новый вектор.

$\vec=r_1\cdot\vec+r_2\cdot\vec+$ $. +r_n\cdot\vec$

Коллинеарные вектора

Два вектора с параллельными направлениями называют коллинеарными. Один вектор может быть представлен как линейная комбинация другого.

Компланарные векторы

Векторы, которые могут быть изображены в одной плоскости, являются компланарными. В этом случае, каждый вектор может быть изображен как линейная комбинация другого вектора.

Линейная комбинация

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.

Определение

L \left( P \right)

Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L , на котором введены операции

  1. сложения, то есть каждой паре элементов множества \mathbf<x>, \mathbf \in L» width=»» height=»» /> ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый <img decoding=и любому элементу \mathbf<x>\in L» width=»» height=»» /> ставится в соответствии элемент из <img decoding=, обозначаемый  \lambda\mathbf<x>\in L(P) » width=»» height=»» />.</li>
</ol>
<p>При этом удовлетворяются следующие условия:</p><div class='code-block code-block-9' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 9joomlaumnik -->
<script src=
  1. \mathbf+ \mathbf = \mathbf + \mathbf, для любых \mathbf, \mathbf\in L (коммутативность сложения);
  2. \mathbf+ (\mathbf + \mathbf) = (\mathbf + \mathbf) + \mathbf, для любых \mathbf, \mathbf, \mathbf \in L (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент \theta \in L, что \mathbf+ \theta = \mathbf для любого \mathbf\in L (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
  4. для любого \mathbf\in L существует такой элемент -\mathbf\in L, что \mathbf+ (-\mathbf) = \theta (существование противоположного элемента).
  5. \alpha(\beta\mathbf) = (\alpha\beta)\mathbf (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. 1\cdot\mathbf= \mathbf (существование нейтрального элемента относительно умножения).
  7. (\alpha + \beta)\mathbf= \alpha \mathbf + \beta \mathbf (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);
  8. \alpha(\mathbf+ \mathbf) = \alpha \mathbf + \alpha \mathbf(дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля Pскалярами.

Простейшие свойства

  1. Нейтральный элемент \theta \in Lявляется единственным.
  2.  0\cdot\mathbf= \theta для любого \mathbf\in L.
  3. Для любого \mathbf\in L противоположный элемент -\mathbf\in L является единственным.
  4. (-1)\mathbf= -\mathbf для любого \mathbf\in L.
  5. (-\alpha)\mathbf= \alpha(-\mathbf) = -(\alpha\mathbf) для любых \alpha \in Pи \mathbf\in L.

Связанные определения и свойства

  • Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество P линейного пространства L такое, что P само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр.
  • Конечная сумма вида

\alpha_1\mathbf_1 + \alpha_2\mathbf_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf_n называется линейной комбинацией элементов \mathbf_1, \mathbf_2, \ldots, \mathbf_n \in L с коэффициентами \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in P.

  • Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
  • Элементы \mathbf_1, \mathbf_2, \ldots, \mathbf_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу \mathbf<0>\in L» width=»» height=»» />. В противном случае эти элементы называются <b>линейно независимыми</b>.</li>
<li>Бесконечное подмножество векторов из <i>L</i> называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.</li>
<li>Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется <b>рангом</b>, или <b>размерностью</b>, пространства, а само это подмножество — <b>базисом</b>.</li>
<li>Любые <i>n</i> линейно независимых элементов <i>n</i> -мерного пространства образуют <i>базис</i> этого пространства.</li>
<li>Любой вектор <img decoding= можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

\mathbf= \alpha_1\mathbf_1 + \alpha_2\mathbf_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf_n.

Примеры

X\to P

  • Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
  • Пространство всех функций образует векторное пространство размерности равной мощностиX .
  • полевещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

Дополнительные структуры

  • Нормированное векторное пространство
  • Топологическое линейное пространство
  • Евклидово пространство
  • Гильбертово пространство

См. также

  • Линейный оператор
  • Сопряжённое пространство
  • Модуль над кольцом
  • Выпуклый функционал
  • Линейная независимость
  • Линейная оболочка

Линейная комбинация

Математика

Лине́йная комбина́ция, выражение, равное сумме произведений элементов множества ( векторов , функций и т. д.) на числа.

Пусть R \mathbb R – поле вещественных чисел, V V V – векторное пространство . Линейной комбинацией векторов v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n ∈ V \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n\in V v

n ​ ∈ V с коэффициентами α 1 , α 2 , … , α n ∈ R \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\in\mathbb α 1 ​ , α 2 ​ , … , α n ​ ∈ R называется вектор v = α 1 v ⃗ 1 + α 2 v ⃗ 2 + … + α n v ⃗ n . v=\alpha_1\vec v_1 + \alpha_2\vec v_2 +\ldots + \alpha_n\vec v_n. v = α 1 ​ v

n ​ . Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной. В этом случае v v v есть нулевой вектор 0 0 0 . Если хотя бы один из коэффициентов α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n α 1 ​ , α 2 ​ , … , α n ​ не равен нулю, то линейная комбинация нетривиальная. Для некоторых систем векторов v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v

n ​ любая нетривиальная линейная комбинация не равна нулевому вектору, для других систем векторов некоторые нетривиальные линейные комбинации равны нулевому вектору.

Зафиксируем векторы v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v

n ​ : α 1 ​ , α 2 ​ , … , α n ​ ∈ R > называется линейной оболочкой L L L векторов v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v

n ​ . Линейная оболочка является подпространством в V V V . Линейная оболочка L L L является наименьшим подпространством, содержащим векторы v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , … , v ⃗ n \vec v_1,\vec v_2,\ldots,\vec v_n v

Опубликовано 30 января 2023 г. в 20:51 (GMT+3). Последнее обновление 30 января 2023 г. в 20:51 (GMT+3). Связаться с редакцией

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *