Когда уравнение имеет бесконечное множество корней
Перейти к содержимому

Когда уравнение имеет бесконечное множество корней

  • автор:

Когда уравнение имеет бесконечное множество корней

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 4 Линейные уравнения

Уравнение называется линейным, если левая и правая части его представляют собой линейные функции Относительно неизвестной величины.

К таким уравнениям относится, например, любое из уравнений:

2х — 1 = 3х — 5; 4х = 6 — 7х; 8х — 9 = 0.

Общий вид линейного уравнения таков:

ах + b = сх + d, (1)

где а, b, с и d — заданные числа, ах — неизвестная величина.

Если в уравнении (1) коэффициенты а и с отличны друг от друга, то уравнение называется также уравнением 1-й степени. Так, каждое из приведенных выше линейных уравнений является вместе с тем и уравнением 1-й степени. Уравнение 0 • х — 1 (это тоже уравнение!) является линейным, но не является уравнением 1-й степени. Очевидно, что каждое уравнение 1-й степени можно назвать и линейным уравнением. Однако не каждое линейное уравнение будет уравнением 1-й степени.

Как же решаются линейные уравнения?

Перенося сх из правой части уравнения (1) в левую, а b из левой части в правую, получим эквивалентное уравнение (а — с) х = d — b. Таким образом, всякое линейное уравнение эквивалентно уравнению вида

тх = п, (2)

где т и п — некоторые заданные числа, а х — неизвестная величина. Если т =/= 0, то уравнение (2) имеет, очевидно, один корень

x = n /m

Если т = 0, а п =/= 0, то уравнение (2) обращается в

0 • x = п.

Такое равенство не может выполняться ни при каких значениях х. Следовательно, в этом случае уравнение (2) не имеет корней.

Наконец, при т = n = 0 уравнение (2) принимает вид 0 • х =0. Это равенство верно при любых значениях х. Поэтому в данном случае уравнение (2) имеет бесконечное множество корней: любое число является его корнем.

Примеры.

1) Решить относительно х уравнение

ах — 1 = х + 2.

Перенося х в левую, а — 1 в правую часть и приводя подобные члены, получаем

(а — 1) х = 3.

Если а =/= 1, то уравнение имеет единственный корень х = 3 /a — 1

Если же а = 1, то уравнение принимает вид 0 • х = 3. Такое уравнение не имеет корней.

Ответ. При а =/= 1 данное уравнение имеет единственный корень х = 3 /a — 1, а при а = 1 — корней не имеет.

2) Решить относительно х уравнение

а — х = 1 — а 2 х.

Перенося а 2 х в левую, а а в правую часть и приводя подобные члены, получаем

(а 2 — 1) х = 1 — а.

Если а 2 — 1 =/= 0, то есть а =/= 1 и а =/= — 1, то

Если а = 1, то рассматриваемое уравнение сводится к такому:

0 • х = 0.

В этом случае любое число является его корнем. Наконец, при а = —1 получаем

0 • х = 2.

Такое равенство не выполняется ни при каких значениях х.

Ответ. Если а =/=1 и а =/= — 1, то данное уравнение имеет единственный корень х = 1 /a + 1; при а = 1 его корнем является любое число, а при а = — 1 уравнение вовсе не имеет корней.

Упражнения

Данные уравнения (№ 26—35) решить относительно х:

26. 3х + 1 = а. 31. а + х = а 2 х — 1.

27. 5 + х = ах. 32. ахb = 1 + х.

28. 4 = ах. 33. х = bа 2 х.

29. х = а 2 х. 34. ахb 2 = 7.

30. аха 2 = 4 — 2х. 35. 3 — а 2 х = хb.

36. Может ли уравнение тх = п иметь:

а) ровно один корень;
б) ровно два различных корня;
в) ровно 1 000 000 различных корней;
г) бесконечно много различных корней?

37. Может ли уравнение ах = 1 + b 2 иметь бесконечно много различных корней?

38. Может ли уравнение (а — 1) х = а 2 — 3а + 2 не иметь корней?

39. Отцу 45 лет, а его. сыну 15. Через сколько лет отец будет старше сына:
а) в два раза;
б) в четыре раза?

Как можно истолковать отрицательный корень уравнения, полученный при решении задачи 39 б?

40. Из пунктов А и В отправляются навстречу друг другу одновременно два пешехода. Первый идет со скоростью v1 км/ч, а второй — со скоростью v2 км/ч ( v1=/= v2). Спустя некоторое время они одновременно изменяют свои скорости: первый пешеход идет со скоростью v2 км/ч, а второй— со скоростью v1 км/ч. Встреча пешеходов происходит через час после того, как они изменили свои скорости, в пункте, равноудаленном от А и В. Какое время находились пешеходы в пути?

41. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в р% и q% (p =/= q). Сколько нужно взять лома того и другого сорта, чтобы получить 100 тонн стали с содержанием никеля в r%?

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. § 3. Контрольные вопросы и задания. Номер №5

В каком случае уравнение ax = b имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. § 3. Контрольные вопросы и задания. Номер №5

Решение

Линейное уравнение ax = b при a ≠ 0 имеет один корень, при a = 0 и b ≠ 0, не имеет корней, при a = 0 и b = 0 имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).

Примеры:
15 x = 30 − один корень;
0 x = 4 − не имеет корней;
0 x = 0 − имеет бесконечно много корней.

Когда говорят что уравнение имеет бесконечно много корней на множестве действительных чисел, то.

Когда говорят, что уравнение имеет бесконечно много корней на множестве действительных чисел, то имеют в виду, что множество корней уравнения, которое вы решаете на множестве действительных чисел, бесконечно.

Пример.
Уравнение sin(x/pi) = 0 имеет бесконечно много корней на множестве действительных чисел, множество его корней — это множество всех целых чисел. Это бесконечное множество.

——
Теперь офф-топик, он для школьника слегка крутоват, но суть его в том, что (формальное) определение бесконечного множества в математике существует, хоть интуитивно вы прекрасно понимаете, какое множество конечно, а какое — бесконечно.

Определение.
Множество X, являющееся подмножеством множества Y, называется _собственным_ подмножеством Y, если X ≠ Y.

Определение.
Множество называется бесконечным, если его можно взаимно-однозначно отобразить на собственное подмножество.

Определение.
Множество называется конечным, если оно не является бесконечным.

Только не глотать!Мастер (2277) 5 лет назад

Дядюшка Кантор допускает повторение одинаковых элементов, в качестве решения уравнения это катит не всегда.

Тадасана Гений (76843) Где допускает? Обычному множеству элемент либо принадлежит, либо не принадлежит, принадлежать 2 раза, но не 3, он не может. Если нужно построить определение мультимножества, отобразите просто обычное в N ∪ < 0 >

Значит она часто совпадает с осью ОХ и бесконечна.

Ни то, ни другое. Имеется в виду, что есть бесконечно много действительных чисел, являющихся корнями уравнения, но это совершенно не обязаны быть ВСЕ действительные числа. Например, уравнение sin x = 1 имеет бесконечно много корней, но это далеко не все действительные числа.

Когда уравнение имеет бесконечное множество корней

Раз­мес­ти­ли на стра­ни­цах «Ва­ри­ан­ты» про­ш­ло­год­ние ва­ри­ан­ты с ре­ше­ни­я­ми по всем пред­ме­там, кро­ме ма­те­ма­ти­ки

Новый сер­вис: ри­со­ва­ние
Внед­ри­ли тёмную тему!

Раз­ме­сти­ли про­шло­год­ние ва­ри­ан­ты с ре­ше­ни­я­ми эк­за­ме­на 2020 года по рус­ско­му языку, не­мец­ко­му языку, фи­зи­ке, био­ло­гии, химии и гео­гра­фии

Ма­те­ма­ти­ка не­обыч­но­го те­ле­ви­зи­он­ный урок
Раз­ме­сти­ли все ва­ри­ан­ты вы­пуск­но­го эк­за­ме­на по ма­те­ма­ти­ке 11 клас­са
Раз­ме­сти­ли все ва­ри­ан­ты вы­пуск­но­го эк­за­ме­на по ма­те­ма­ти­ке 9 клас­са с ре­ше­ни­я­ми

04.05.2017
От­кры­ва­ем ма­те­ма­ти­ку в ре­жи­ме те­сти­ро­ва­ния

02.05.2017
От­кры­ва­ем фи­зи­ку в ре­жи­ме те­сти­ро­ва­ния

29.04.2017
От­кры­ва­ем био­ло­гию в ре­жи­ме те­сти­ро­ва­ния

24.05.2017
От­кры­ва­ем ми­ро­вую ис­то­рию в ре­жи­ме те­сти­ро­ва­ния

19.04.2017
От­кры­ва­ем не­мец­кий язык в ре­жи­ме те­сти­ро­ва­ния

16.04.2017
От­кры­ва­ем ан­глий­ский язык в ре­жи­ме те­сти­ро­ва­ния

10.04.2017
От­кры­ва­ем ис­пан­ский язык в ре­жи­ме те­сти­ро­ва­ния

05.04.2017
От­кры­ва­ем рус­ский язык в ре­жи­ме те­сти­ро­ва­ния

01.02.2017
Здесь будет город-сад!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *