Пользуясь определением предела последовательности доказать что lim
Перейти к содержимому

Пользуясь определением предела последовательности доказать что lim

  • автор:

Метод решения задачи вида «Пользуясь определением пределов последовательности , докажите равенство».

You seem to be using an older version of Internet Explorer. This site requires Internet Explorer 8 or higher. Update your browser here today to fully enjoy all the marvels of this site.

Рассмотрим метод решения на следующем примере $$\lim_\frac=\frac$$ Вспомним определение предела последовательности .

Последовательность \(\) называется сходящейся, если существует такое число \(a\), что последовательность \(\) является бесконечно малой, т.е. \(\forall \varepsilon >0 \quad \exists N=N(\varepsilon)\) такое, что при всех \(n>N\) элементы \(x_n\), этой последовательности удовлетворяет неравенству \( |x_n-a| < \varepsilon \). При этом число \(a\) называется пределом последовательности \(x_n\), что символически записывается так: $$\lim_x_n=a$$ Хочу обратить внимание на основные моменты из определения, которые понадобятся при доказательстве.

  1. Если мы говорим \(\forall \varepsilon >0\), то это означает, что какое бы сколь угодно малое \( \varepsilon >0\).
  2. Если мы говорим \(\exists N=N(\varepsilon)\), то это означает, что чем меньше \( \varepsilon \), тем больше будет \(N(\varepsilon)\).

Вот мы и получили зависимость между \( \varepsilon \) и \( N \). Суть доказательства сводится к нахождению этой зависимости, т.е. если мы найдем \(N(\varepsilon)\), для которого выполняется неравенство \( |x_n-a| < \varepsilon \), то это и будет доказательством того, что последовательность имеет предел равный \(a\).

Равенство доказано.

Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пользуясь определением предела последовательности, докажите.

Задача 2.а

Решение

Напомним определение предела последовательности. Если $\forall \epsilon >0$, $\exists N \in \mathbb$, что $\forall n>N: \ |x_n-a|$. Значит мы должны доказать, что $\forall \epsilon>0, \ \exists N \in \mathbb$, что $\forall n>N: \ \left| \dfrac\right|=\dfrac

В качестве $N$ возьмем $\left[\dfrac\right]$. Нет необходимости добавлять единицу, так как следующее целое число, большее, чем $N$, будет больше этой дроби. Тогда $\forall n>N=\left[\dfrac\right], \dfrac

Задача 2.б

Решение

Здесь, $\lim \limits_ \dfrac=0$, следовательно $2\lim \limits_ \dfrac=2$.

Задача 2.в

Решение

Так как $|\cos n|\leqslant 1$, это выражение можно записать в виде $\dfrac\leqslant \dfrac$. А лимит этой последовательности равен нулю.

Задача 2.г

Решение

Для доказательства нам нужно $\forall \epsilon >0$ найти $\exists N \in \mathbb$, что $\forall n>N: \ |\log_n 2|=\log_n 2

Задача 2.д

Решение

Заменим эту дробь, другой дробью, которая больше него и покажем, что предел большей дроби в бесконечности равен нулю.

В пункте a доказали, что $\lim \limits_ \dfrac=0$, значит лимит меньшей дроби тоже равен нулю.

Задача 2.е

Решение

Так как основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

$\log_(0,8)^n>\log_\epsilon \Rightarrow n>\log_\epsilon$

Значит если в качестве $N$ брать $N=\left[\log_\epsilon\right]$, тогда $\forall n>N$ удовлетворяется условие определения предела.

Задача 2.ж

Решение

Здесь предел знаменателя первой дроби равен $\infty$, значит предел первой дроби равен нулю. А знаменатель второй дроби равен $1$, потому что, как доказали в задаче е, если основание меньше единицы, то предел $\$ в бесконечности равен нулю. Тогда $\lim \limits_(0,5)^n=0$, значит $\lim \limits_\dfrac=5$.

Задача 2.з

Решение

Так как $|\sin n^2|\leqslant 1$ и $n+1>n$

Как мы уже показали в пункте a $\lim \limits_ \dfrac=0$, значит $\lim \limits_\sqrt[3]<\dfrac>=0$.

Читайте также

Глава II. Задача 4, 5 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть $\lim \limits_ |x_n|=|a|$. Следует ли отсюда, что $\lim \limits_ x_n=a$ ?

Глава II. Задача 8 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что последовательность $\< x_n \>$ сходится, а $\< y_n \>$ бесконечно большая. Может ли последовательность $\< x_n y_n \>$: а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой?

Глава II. Задача 30.а (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Нужно вычислить следующий предел:
$\displaystyle \lim_ \left(\dfrac + \dfrac + \dfrac + . + \dfrac\right)$

Глава II. Задача 9 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Приведите примеры последовательностей $\$ и $\$, для которых $\lim_\limits x_n =0$, $\lim_\limits y_n =\infty$, а произведение их $\< x_n y_n\>$ является последовательностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой.

Глава II. Задача 1 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Ограничены ли следующие последовательности:
а)$x_n = (-1)^n \dfrac$; б)$x_n = 2n$; в)$x_n = \ln n$; г)$x_n = \sin n$; д)$x_n = 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, \ . $
Обоснуйте ответы.

Глава II. Задача 6 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть последовательность $\$ сходится и $M=\sup\, \ m=\inf\$. Докажите, что $\exists n$ такое, что $x_n=M$, либо $\exists k$, такое, что $x_k=m$, либо $\exists n,k$, такие, что $x_n=M, \ x_k=m$. Приведите примеры последовательностей всех трех видов.

Глава II. Задача 32 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Докажите сходимость последовательности $\$, где $x_n = \sum\limits_^n \dfrac$

Глава II. Задача 7 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что в некоторой окрестности нуля находится:
а) конечное число членов последовательности;
б) бесконечное число членов последовательности.
Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой.

Глава II. Задача 3 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что $\lim \limits_ x_n=a$. Докажите следующие равенства:
а)$\lim \limits_ (x_-x_n)=0$; б)$\lim \limits_ |x_n|=|a|$; в)$\lim \limits_ x_n^2=a^2$

© Все права защищены

Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.

© Copyright Jsoft

Пользуясь определением предела последовательности доказать что lim

При увеличении `n` члены последовательности `x_n=1//n` становятся сколь угодно малыми, неограниченно приближаются (стремятся) к нулю. Логично считать, что ноль — предел последовательности `x_n`. Однако такого интуитивного понимания в более сложной ситуации может оказаться недостаточно. Мы должны точно сформулировать, что означает слово «предел» на языке чисел. Строгое определение предела было сформулировано довольно поздно — только в середине XIX века. Дело в том, что в отличие от используемых ранее «назывных» определений (типа определения равнобедренного треугольника) здесь описывается процесс изменения величины: пробегая по ряду натуральных чисел `1,2,3. n. `, мы наблюдаем за поведением `x_n`. Такие понятия плохо формализуются.

Попытаемся понять, что следует предпринять, чтобы проконтролировать утверждение «`x_n` стремится к `a`». Изобразим члены последовательности на числовой оси и отметим на ней точку `a`. Представим ситуацию образно: будем делать фотографии `a` каждый раз с новым оптическим увеличением. Число `a` будет пределом последовательности `(x_n)`, если `a` — «друг» `x_n`: на любой такой фотографии окажутся все `x_n`, начиная с некоторого номера.

Проиллюстрируем сказанное на примере последовательности `x_n=1//n`. В качестве «фотографии» `a=0` можно взять симметричный интервал `(-epsilon, epsilon)^1`. [ 1 `epsilon` — греческая буква «эпсилон».] Оптическому увеличению соответствует уменьшение `epsilon`. Пусть `k=1//epsilon`, тогда `1//nk` и, следовательно, член `x_n` попадает на «фотографию», т. е. `-epsilon
Определение

Число `a` называется пределом последовательности `(x_n)`, если для любого положительного числа `epsilon` найдётся такое действительное число `k`, что при всех `n>k` выполняется неравенство

В этом случае пишут `lim_(n->oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.

Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.

Выясним геометрический смысл понятия предела. Для положительного числа `epsilon` интервал `(a-epsilon, a+epsilon)` называется `epsilon` — окрестностью точки `a`. Неравенство (2.1) равносильно двойному неравенству `-epsilon

Неравенство (2.2) показывает, что все члены последовательности `(x_n)` с номерами `n>k` попадают в `epsilon` — окрестность точки `a`. В определении предела число `epsilon` может быть любым (сколь угодно малым), поэтому произвольная (сколь угодно малая) окрестность точки `a` содержит все члены `(x_n)` за исключением, быть может, конечного числа (рис. 1а). На уровне графика последовательности это означает, что вне сколь угодно узкой полосы между прямыми `x=a-epsilon` и `x=a+epsilon` может оказаться лишь конечное число точек графика `(x_n)` (рис. 1б).

В определении предела выбор числа `k`, вообще говоря, зависит от `epsilon`. Чтобы подчеркнуть это, иногда пишут `k=k(epsilon)`. Доказать, что последовательность `(x_n)` имеет предел, фактически означает найти функциональную зависимость `k` от `epsilon`. Вообще, определение предела по виду напоминает нескончаемую дискуссию между двумя лицами `A` и `B:A` задаёт точность приближения `epsilon`, в ответ `B` указывает число `k`, с которого эта точность достигается, т. е. выполняется неравенство (2.1) при всех `n>k`; уменьшает точность, `B` — указывает новое `k` и т. д.

Пусть `x_n=c` — постоянная последовательность. Доказать, что `lim_(n->oo)x_n=c`.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Пользуясь определением предела последовательности доказать

Пользуясь определением предела последовательности доказать
24.10.2013, 23:11

Последний раз редактировалось rodo_by 24.10.2013, 23:26, всего редактировалось 4 раз(а).

Пользуясь определением предела последовательности доказать

$\lim_<n\to\infty></p>
<p>\frac=0$» /></p>
<p>что равносильно найти решение</p>
<p><img decoding=

$\frac<3n+1></p>
<p>Я должен решать квадратное уравнение?</p>
<p>А если я буду искать N при которых это неравенство верно, рассуждая так:</p>
<p><img decoding=

$\frac<1></p>
<p>, а также</p>
<p><img decoding=

Re: Пользуясь определением предела последовательности доказать
24.10.2013, 23:28

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось provincialka 24.10.2013, 23:30, всего редактировалось 2 раз(а).

Не обязательно решать неравенство точно. Оцените левую часть сверху каким-нибудь более простым выражением.
Оценка снизу, которую вы применяете, не подойдет.

Re: Пользуясь определением предела последовательности доказать
24.10.2013, 23:47

можно записать по теореме предел частного равен частному пределов,т.к. они существуют и не равны нулю,а потом по теореме о сумме пределов,т.к. они существуют и конечные.

Re: Пользуясь определением предела последовательности доказать
24.10.2013, 23:54

Заслуженный участник

raenkaa в сообщении #779847 писал(а):

можно записать по теореме предел частного равен частному пределов,т.к. они существуют и не равны нулю,а потом по теореме о сумме пределов,т.к. они существуют и конечные.

$\frac<\infty></p>
<p>Нельзя записать. Здесь неопределенность <\infty>$» />.</p>
<p><b>Re: Пользуясь определением предела последовательности доказать</b><br />
25.10.2013, 00:29<br />
<b>provincialka в сообщении #779836</b> писал(а):</p><div class='code-block code-block-15' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 15joomlaumnik -->
<script src=

Не обязательно решать неравенство точно. Оцените левую часть сверху каким-нибудь более простым выражением.
Оценка снизу, которую вы применяете, не подойдет.

$\frac</p>
<p> < \frac < \frac < \frac = \frac = \frac </p>
<p><img decoding=

Последний раз редактировалось gefest_md 25.10.2013, 01:10, всего редактировалось 1 раз.

Да. Но где-то там будет нестрогое неравенство, $\leqslant$, и $N=n(\varepsilon)=\left[\frac<4>\right]+1.$» /></p>
<p><b>Re: Пользуясь определением предела последовательности доказать</b><br />
25.10.2013, 07:49<br />
Всем спасибо за подсказки<br />
<b>Re: Пользуясь определением предела последовательности доказать</b><br />
25.10.2013, 08:19</p>
<table cellspacing= Заслуженный участник

rodo_by в сообщении #779865 писал(а):

$\frac</p>
<p> < \frac < \frac < \frac = \frac = \frac </p>
<p>Самое первое неравенство не так. Оцените нижнюю единичку сверху примерно так же, как оценивали верхнюю. Кроме того: зачем делать лишнюю работу и выкидывать двойку?</p>
<p><b>Re: Пользуясь определением предела последовательности доказать</b><br />
25.10.2013, 08:20</p>
<table cellspacing= Заслуженный участник

Последний раз редактировалось iifat 25.10.2013, 08:21, всего редактировалось 1 раз.

rodo_by в сообщении #779822 писал(а):
Я должен решать квадратное уравнение?

Не, всё вышесказанное, разумеется, верно, только зачем весь этот сыр-бор — решительно не понимаю. Вполне себе безобидное квадратное уравнение. $n\ge\frac3+\frac1\sqrt$. Любое $n$, удовлетворяющее неравенству, может быть выбрано в качестве $N_<\varepsillon>$» />. Куда-то упорно теряется нижний индекс <img decoding=у $N$.

Re: Пользуясь определением предела последовательности доказать
25.10.2013, 08:30

Заслуженный участник

Если рассуждать строго, то существование и свойства корня (и других элементарных функций) доказывается на основе свойств непрерывности. То есть пределы должны быть доказаны до и без них.

Re: Пользуясь определением предела последовательности доказать
25.10.2013, 08:31

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ewert 25.10.2013, 08:33, всего редактировалось 1 раз.

iifat в сообщении #779916 писал(а):

$n\ge\frac3</p>
<p>Вполне себе безобидное квадратное уравнение. +\frac1\sqrt$» />.</p>
<p>Оно лишь случайно безобидное. Что, скажем, если бы в числителе стояла минус единичка вместо плюс? Сразу же начались бы совершенно ненужные размышления.</p>
<p>— Пт окт 25, 2013 09:33:50 —</p>
<p><b>provincialka в сообщении #779919</b> писал(а):<br />
То есть пределы должны быть доказаны до и без них.</p>
<p>Мы с Вами уже эту тему обсуждали. В этом месте строгость неуместна: пример ведь сугубо тренировочный и никакого значения для теории не имеет.</p>
<div class='yarpp yarpp-related yarpp-related-website yarpp-template-list'>
<!-- YARPP List -->
<div>Похожие публикации:</div><ol>
<li><a href=Как закруглить углы в coreldraw

  • Ластик в либре офис где находится
  • Тильда как редактировать кнопки
  • Файл wv чем открыть
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *