Что делать если определитель матрицы равен 0
Перейти к содержимому

Что делать если определитель матрицы равен 0

  • автор:

формул Крамера

Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

Теорема (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля ( ), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

, где — главный определитель, j -й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j -го столбца столбцом свободных членов.

Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.

Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.

Что делать если определитель матрицы равен 0

Многие свойства определителей основаны на соответствующих свойствах перестановок и транспозиций.

Применение свойств определителей позволяет значительно упростить процедуру их вычисления.

.

Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число:


Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей:

Что делать если определитель матрицы равен 0

Свойство 1 . Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: .

Доказательство. Согласно определению,

(1)

Свойство 2 . Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножееию определителя на это число:

.

Свойство 3 . Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.

Свойство 4 . Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.

Свойство 5 . Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю.

Свойство 6 . Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю.

Свойство 7 . Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.

Свойство 8 . Если все элементы k-ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм ak j + bk j, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:

.

Доказательство. Преобразуем исходный определитель:

.

Свойство 9 . Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.

Доказательство. Определитель, стоящий в правой части этого равенства, можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых является исходным, а второй имеет две пропорциональные друг другу строки и, следовательно, равен нулю.

Почему при определителе матрицы равном нулю, она не имеет обратной матрицы? [закрыт]

Закрыт. Этот вопрос не по теме. Ответы на него в данный момент не принимаются.

Скорее всего, данный вопрос не соответствует тематике Stack Overflow на русском, согласно правилам описанным в справке.

Закрыт 4 года назад .

Почему при определителе матрицы равном нулю, она не имеет обратной матрицы?

Отслеживать

задан 7 апр 2019 в 11:24

65 6 6 бронзовых знаков

При чём тут программирование? Как связаны определители прямой и обратной матриц?

7 апр 2019 в 11:33

Данный вопрос следует закрыть, потому что он не имеет отношения к программированию

7 апр 2019 в 11:34

Глубокий вопрос 🙂 — потому, что матричное уравнение A*X=E (Е-единчная матрица) не имеет решения, когда матрица А имеет линейно зависимые строки, а значит ее определитель равен 0. Это все равно что пытаться решить уравнение 0*х=1

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *