Что такое проекция меркатора
Перейти к содержимому

Что такое проекция меркатора

  • автор:

Проекция Меркатора

Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Все локсодромы в ней изображаются прямыми линиями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми равно расстоянию между меридианами вблизи экватора и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (это обусловлено особенностями функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80-85° градусов северной и южной широты.

Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.

Искажения площадей в проекции Меркатора

Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия кажется в 2-3 раза больше Австралии и сравнима по размерам с Южной Америкой. В реальности Гренландия втрое меньше Австралии и в 8 раз меньше Латинской Америки.

Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что траектория движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (т.е. с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) изображается прямой линией на карте в проекции Меркатора.

Математическое выражение проекции Меркатора

Карта мира в проекции Меркатора с координатными линиями, проведёнными через 20°.

\lambda

Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки (при использовании в расчетах следует учесть, что выражаться эта величина должна в радианах)

x=c(\lambda-\lambda_0)

.

Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте \thetaравен просто c/(R\cos\theta)(R — радиус Земли), то из условия dy R\cos\theta/c= R d\thetaмы получаем выражение для зависимости y от \theta

 \begin</p>
<p> y &=& c \ln\mathop\left(\frac+\frac<\pi>\right)\\ &=& c \,\mathop\sin\theta \end » width=»» height=»» />.</p><div class='code-block code-block-8' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 8joomlaumnik -->
<script src=

 \begin</p>
<p> \theta &=& 2\mathop \left( e^ \right) — \frac  \pi \\ \\ \ &=& \mathop \left( \mathop (y/c) \right) \\ \\ \lambda &=& x/c + \lambda_0. \end » width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-9' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 9joomlaumnik -->
<script src=

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (a — большая полуось, b — меньшая) в географических координатах

 dl^2=\frac<a^2 d\lambda^2></p><div class='code-block code-block-10' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 10joomlaumnik -->
<script src=

\mathop^2\theta>+\frac\frac<(\cos^2\theta+\frac\sin^2\theta)^3>, » width=»» height=»» />

перейти в ней к координатам x и y и приравнять масштабы по осям. После интегрирования получаем

 \begin</p>
<p> x &=& c(\lambda-\lambda_0)\\ y &=& c [\mathop\sin\theta-\varepsilon\mathop(\varepsilon\sin\theta)]. \end » width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-12' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 12joomlaumnik -->
<script src=

Здесь \varepsilon=\sqrt<a^2-b^2>/a» width=»» height=»» /> — эксцентриситет земного эллипсоида. Обратное преобразование не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому <img decoding=.

Итерационная формула для обратного преобразования имеет следующий вид:

\theta_<n+1>= f \left(\theta_,y\right)» width=»» height=»» />, где <img decoding=можно взять равным 0 или приближению, рассчитанному по формуле для сфероида. \theta_<n+1>= arcsin\left(1-\frac<(1+\sin \theta_n)(1-\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon>(1+\varepsilon\sin \theta_n)^\varepsilon>\right) » width=»» height=»» /></p>
<h3>Ссылки</h3>
<table style= Знаменитые карты и глобусы Древний мир Туринская папирусная карта | Вавилонская карта мира | Карта Птолемея | Пейтингерова таблица | Мадабская карта | Христианская топография Средневековье
(mappa mundi, портуланы) Карта Т и О | Меровингская карта | Беатова карта | Карта Рожера | Херефордская карта | Эбсторфская карта | Карты Дульсерта | Каталанский атлас | Карта Пиццигано | Карта де Вирга | Карта Бьянко | Карта фра Мауро | Карта Винланда Великие географические
открытия Карта Хуана де ла Коса | Планисфера Кантино | Карта де Кавери | Карта Вальдземюллера | Карта Пьетро Коппо | Карта Пири-реиса Новое время Carta Marina | Leo Belgicus | Maris Pacifici | Большой Чертёж
Меркаторовы карты | Атлас Ортелия | Космография Блау | План Тюрго Дальневосточные карты Большая карта династии Мин | Каннидо | Карта Мао Куня | Карта Маттео Риччи Глобусы Земное яблоко | Ягеллонский глобус | Глобус Иоганна Шёнера | Готторпский глобус | Глобус Блау

Wikimedia Foundation . 2010 .

Что такое проекция меркатора